Torção (teoria)

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Notas de aula de RM, prof. André Luis Christoforo 
 
 
 
Torção 
 
 
Notas de aula de RM, prof. André Luis Christoforo 
 
 
 
 
 
TORÇÃO EM BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
Torção refere-se ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos (ou 
torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra. 
Para ficar mais claro, imaginemos a seguinte situação: uma pessoa tenta abrir uma 
garrafa de refrigerante (com rosca interna) com uma mão só, em cima de um piso liso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Garrafa sendo submetido a um Momento Torçor 
 
A pessoa não irá conseguir por falta de apoio e reação, sendo assim os efeitos do 
esforço serão nulos. Agora ele segura a garrafa com uma mão e com a outra gira a tampa. A tampa 
irá girar e sair. 
Podemos perceber que foram criados dois momentos, um positivo e um negativo. A 
mão sobre a tampa gerará um momento de torção sobre a estrutura. 
Podemos visualizar exemplos de barras em torção no dia-a-dia como hastes, eixos, eixos 
propulsores, hastes de direção e brocas de furadeira. 
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Figura 2 - Momento Torçor Aplicado a Estrutura Cilindrica 
Momentos que produzem giro na barra, como o momento T1 da Figura 2, é chamado de 
torque ou momento torçor. 
Membros cilíndricos submetidos a torques e que transmitem potência através de 
rotação são chamados de eixos. 
Como exemplo, podemos citar o girabrequim de um automóvel ou o eixo propulsor de 
um navio. A maioria dos eixos tem seções transversais circulares,sólidas ou tubulares. 
 
4.2 MOMENTO TORÇOR 
Em uma barra de seção circular sujeita a um momento torçor M, a tensão de cisalhamento 
será máxima nas bordas e nula no centro. O diagrama é linear e é função de r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para fins de estudo, iremos chamar a tensão de cisalhamento máxima de e a tensão em um 
ponto qualquer distante r do centro de . 
Através de uma simples resolução de semelhança de triângulos, podemos facilmente 
encontrar . 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 - Diagrama da Tensão de Cisalhamento 
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Considerando a Figura 4 como um eixo submetido a um momento torçor externo Te. 
Retiramos do eixo um elemento infinitesimal de comprimento dx entre duas seções qualquer S1 e S2 
com as tensões de cisalhamento na direção longitudinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma observação interessante a ser feita e que parece ser óbvia é que o sentido da tensão de 
cisalhamento depende do sentido do momento torçor Mt. 
Admitindo que o elemento infinitesimal sofra deformações infinitesimais, o ângulo é 
pequeno e o comprimento do arco bb’ é aproximadamente um segmento de reta, fazendo válida a 
seguinte relação: 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na borda da seção transversal, considera-se um elemento de espessura dr com tensões e 
 distribuídas uniformemente nas respectivas áreas, figura 03. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Barra sob Ação de um Momento Torçor 
Figura 5 - Elemento Infinitesimal 
Figura 6 - Tensões de Cisalhamento 
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DESLOCAMENTO ANGULAR, ROTAÇÃO OU GIRO 
Observe a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após as deformações, o ponto a coincide com a’ e o ponto b da seção S2 ocupa a posição b’, 
definindo o ângulo na seção transversal e a distorção na longitudinal. O ângulo é a rotação 
ou giro da seção S2 em relação a S1. 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
LEI DE HOOKE 
A lei de Hooke estabelece uma relação entre a tensão de cisalhamento e distorção, 
lembrando que é válida apenas quando consideramos o elemento trabalhando no regime elástico-
linear. 
 
Figura 7 - Giro da Seção S2 em relação à Seção S1 
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A constante de proporcionalidade G é o módulo de deformação transversal que se relaciona 
com o módulo de deformação longitudinal por meio do Coeficiente de Poisson , conforme nos 
mostra a equação seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ângulo , é o giro da seção s2 em relação a s1. 
 
 
4.3 SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR CHEIA 
Observe a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento torçor Mt é resultante da tensão de cisalhamento que atua na seção transversal. 
 
 
 
A tensão de cisalhamento na distância r do centro da seção é determinado pela seguinte 
equação: 
 
 
 
 
A área do elemento infinitesimal é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rearranjando: 
 
 
 
  
 
 
 
Figura 8 - Seção Transversal Circular Cheia 
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onde chama-se módulo de resistência a torção e seu valor é dado por: 
 
 
 
 
 
DESLOCAMENTO ANGULAR, ROTAÇÃO OU GIRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a tensão de cisalhamento e resolvendo a integral temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação anterior pode ser substituída por: 
 
 
 
 
Onde é denominado momento de inércia e é equivalente a: 
 
 
 
O deslocamento angular depende do comprimento x e varia linearmente, portanto, dois 
valores são suficientes para traçar o diagrama. 
Nessa situação, temos um engastamento, assim sendo, os deslocamentos angulares das 
outras seções giram em relação à parte engastada. 
 
 
 
 (seção do engastamento fixo) 
 
 
 
 (seção da extremidade livre) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessa situação, temos um engastamento, portanto, os deslocamentos angulares das outras 
seções giram em relação à parte engastada. 
 
Figura 9 - Diagrama de Deslocamento Angular 
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4.4 SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR VAZADA 
 
O eixo de seção transversal circular vazada, cuja espessura é superior a é denominado 
tubo de parede grossa, caso contrário temos uma seção de parede fina. 
Espessura do tubo: 
 
 
 
Iremos analisar os dois casos em separado. 
A) TUBO DE PAREDE GROSSA 
 
 
Tensão de cisalhamento: os cálculos são análogos ao da seção transversal cheia, mudando 
apenas os limites da integração. 
 
 
 
 
Portanto fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 onde chama-se módulo de resistência à torção e seu valor é dado 
por: 
 
 
 
Figura 10 – Seção Transversal Vazada 
Figura 11 – Seção Transversal Vazada de Parede Grossa. 
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DESLOCAMENTO ANGULAR, ROTAÇÃO OU GIRO 
A rotação relativa entre duas seções separadas pelo comprimento é determinado por 
meio da seguinte equação: 
 
 
 
 
Integrando a equação em ambas as partes temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a tensão de cisalhamento e resolvendoa integral temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos trechos constantes, resulta na seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com sendo denominado momento de inércia à torção e seu valor dado por: 
 
 
 
 
 
B) TUBO DE PAREDE FINA 
Para o cálculo da tensão de cisalhamento e do deslocamento angular, utiliza-se o diâmetro 
médio , dado que a espessura é muito pequena em relação aos diâmetros internos e externo 
 do tubo. 
Espessura do tubo: 
Diâmetro médio do tubo: 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
Admite-se a tensão de cisalhamento distribuída na área do tubo. 
 
Figura 12 – Seção Transversal Vazada de Parede Fina. 
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A área é obtida multiplicando-se o diâmetro médio pela espessura : 
 
 
 
 
Da tensão de cisalhamento que atua na área do tubo resulta o momento torçor 
 
 
 
 
Rearranjando temos: 
 
 
 
 
 
A equação anterior pode ser escrita sob a seguinte forma: 
 
 
 
 
Onde é denominado módulo de resistência a torção e seu valor é dado por: 
 
 
 
 
 
DESLOCAMENTO ANGULAR, ROTAÇÃO OU GIRO 
A rotação relativa entre duas seções separadas pelo comprimento é determinada por 
meio da equação: 
 
 
 
 
Integrando a equação anterior, obtém-se o giro de uma seção genérica distante da 
seção fixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a tensão de cisalhamento da equação, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos trechos constantes, resulta na seguinte equação: 
 
 
 
 
 
A equação anterior pode ser escrita na seguinte forma: 
 
 
 
 
Onde denomina-se momento de inércia à torção, e seu valor é dado por: