Pêndulo Físico e Pêndulos Simples Acoplados

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Pêndulo Físico e Pêndulos Simples Acoplados
Fernanda Gonçalves, Rafaela Vaz, Ravenna Lessa, Verônica Pereira
FIS122 – Departamento de Física Geral
Universidade Federal da Bahia
e-mail: rafarvps@yahoo.com.br
	
Resumo. Os experimentos realizados tratam da análise do movimento oscilatório do pêndulo físico e pêndulos simples acoplados. No pêndulo físico, observou-se que o período tende ao infinito quando a distância entre o centro de massa e o eixo de oscilação cresce indefinidamente ou tende a zero e, que há um período mínimo dentro deste intervalo. No acoplamento de pêndulos simples, observou-se que a ligação entre eles leva a uma transferência de energia e uma possível mudança em suas trajetórias.
Palavras chave: oscilação, pêndulo, período.
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Introdução
Os movimentos que se repetem em intervalos regulares ou indefinidamente são chamados de periódicos ou oscilações, e estamos cercados destes movimentos: barcos oscilando no cais, movimento dos pistões nos motores dos carros e as vibrações sonoras produzidas por um clarinete, por exemplo. E é por, isso que as oscilações desempenham um papel fundamental na física (mecânica, óptica, acústica, etc.).
Um tipo importante, e de mais fácil estudo, de oscilação, é o Movimento Harmônico Simples, o qual é definido como sendo “o movimento executado por uma partícula sujeita a uma força (chamada de restauradora) proporcional ao deslocamento da partícula, mas com o sinal oposto”. Este será o tipo de movimento considerado neste experimento.
Um pêndulo simples é um modelo idealizado constituído por um fio inextensível de massa desprezível e por um corpo puntiforme suspenso por este fio. Quando este corpo é retirado da sua posição de equilíbrio e em seguida largado, ele oscila em torno da sua posição de equilíbrio. O pêndulo simples executa oscilações harmônicas se afastado por pequenos deslocamentos (ângulos menores que 15º) da sua posição de equilíbrio. O elemento de inércia neste pêndulo é a massa do corpo e a força restauradora é devida à gravidade, a qual força o corpo a retornar para o ponto mais baixo. Ao acoplarmos dois pêndulos simples, que são sistemas físicos independentes, estes se influenciam mutuamente: este fato pode ser observado pela troca de energia entre eles e na mudança da trajetória de um ou de ambos os pêndulos após o início do movimento acoplado.
Já o pêndulo físico é um sistema real (não idealizado) que se utiliza de um corpo com volume finito e massa bem distribuída, e não concentrada em um único ponto como no pêndulo simples. Na posição de equilíbrio, o seu centro de gravidade está diretamente abaixo do eixo de rotação do pêndulo. Quando o pêndulo é deslocado de sua posição de equilíbrio, o torque restaurador será proporcional ao produto da força peso, a qual é o elemento restaurador, assim como no pêndulo simples, pela distância do seu eixo de rotação ao centro de massa. O elemento de inércia neste pêndulo é o momento de inércia relativo a um determinado eixo de oscilação, ou seja, o momento de inércia depende da distância entre o centro de massa e o eixo de oscilação. Como no pêndulo simples, o pêndulo físico oscila harmonicamente se o ângulo de deslocamento for pequeno, neste caso temos que o torque restaurador é dado por τ = -(mgs).θ e o período da oscilação por T= 2π.√ (I/mgs).
Os objetivos deste experimento são: realizar medidas de períodos de um pêndulo físico e relacioná-lo com a distribuição de massa do pêndulo e observar o complexo movimento de pêndulos simples acoplados.
Procedimento Experimental
O primeiro procedimento experimental realizado refere-se ao pêndulo físico. Utilizou-se uma haste de acrílico retangular delgada, a qual possuía alguns furos de modo a variar a distância do eixo de rotação ao centro de massa da barra, um cronômetro, bases, garras e barras cilíndricas para sustentar a haste. Assim, mediu-se o tempo gasto em 10 oscilações para ângulos menores que 25º em eixos de rotação diferentes e, com isso determinou-se o período em cada situação.
A segunda parte do experimento constitui-se em observar o comportamento dos pêndulos simples acoplados em diferentes situações. Para acoplar os sistemas utilizou-se um fio para atar os dois pêndulos e colocou-se uma pequena massa longe das extremidades deste fio. Na primeira situação um pêndulo foi posto a iniciar um movimento linear com o outro em estado de repouso. Depois fez-se um pêndulo iniciar um movimento circular com o segundo em repouso. E por último colocou-se os dois pêndulos para iniciarem o movimento simultaneamente, em direções perpendiculares. 
Resultados e Discussão
A partir dos dados obtidos para o primeiro experimento, pêndulo físico, pôde-se obter um gráfico do período de oscilação T em função da distância do centro de massa ao eixo de oscilação s, conforme pode ser observado no anexo I. 
A tendência prevista de que o gráfico tem um valor mínimo e que ele cresce quando s →0 e s→L/2 foi observada.
Analisando o gráfico no papel log-log, anexo II, temos:
α = Δy = log 1,63 – log 1,11 = - 0,408
 Δx log 1,95.10-2 – log 5.10-2
log y = αlog x + log b
log b = log y – αlog x = log 1,63 – ( - 0,408.log 1,95) = 0,331
b = 2, 141
A partir dos valores encontrados acima podemos inferir que a equação que representa a dependência funcional entre T e s é: T= 2,141.s- 0,408 , que é uma lei de potência com expoente negativo como esperado.
Após a elaboração do gráfico em papel milimetrado de T2s/(4π2) em função de s2, anexo III, foi obtida uma relação linear. Considerando x=s2 e y = T2s/(4π2), pelo método dos mínimos quadrados temos que:
a’ = (∑ x)( ∑ y) - n(∑xy) =
 (∑ x)2 - n(∑x2) 
a’=0,1338 . 0,02791 – 11 . 5,034.10-4 = 0,1046
 0,0179 - 11 . 3,1943 . 10-3
b’ = (∑xy)( ∑x) - (∑x2)( ∑y) =
 (∑x)2 - n (∑x2)
b’ = 5,034.10-4. 0,1338 - 3,1943 . 10-3. 0,02791= 
 0,0179 ̶ 11 . 3,1943 . 10-3
b’= 1,2695.10-3
Como o gráfico obtido reta a equação geral pode ser escrita como T2s/ (4π2) = a’s2 + b’. Substituindo os valores de a’ e b’ temos:
T2s = 0,1046s2 + 1,27.10-3 (1)
 (4π2)
Para determinar a dependência do momento de inércia em função da distância s partiremos da equação T = 2π .
Elevando a equação ao quadrado: 
T2 = 4π2 I => T2s = I 
 mgs 4π2 mg
Substituindo na equação (1): 
I = mg (0,1046s2 + 1,27.10-3)
O teorema dos eixos paralelos é dado por: I = ICM + ms2, como I CM = mL2/12, podemos: substituir o I CM na primeira equação obtendo:
I = mL2 + ms2 = mL2 + 12ms2 = m(L2 + 12s2)
 12 12 12
Para verificar se o pêndulo satisfaz a Teoria dos eixos paralelos, devemos calcular o momento de inércia teórico (It) e comparar com o momento de inércia experimental (Ie) para um dado s.
It = m.(L2 + 12s2) 
 12
 Substituindo m=0,129g, s= 0,1905m e L=0,4m
It = 0,129.(0,42 + 12 . 0,19052)/12
It = 0,006401 kg·m²
Ie = (0,1046.s2 + 1,27.10-3)mg
Substituindo m=0,129g, s=0,1905m e g= 9,783m/s2
Ie = (0,1046 . 0,19052 + 1,27.10-3)0,129. 9,783
Ie = 0,006393 kg·m²
Cálculo do erro relativo:
ΔI=│ 0,006401 – 0,006393│= 0,00125 = 0,125%
 0,006401
O erro relativo para este valor de s é pequeno, porém se adotarmos valores menores de s para a realização dos cálculos este erro aumenta. Isso indica que quanto maior a distância entre o centro de massa e eixo de oscilação do pêndulo maior será a exatidão nos resultados experimentais.
Portanto, o pêndulo obedece a teoria dos eixos paralelos, com um pequeno erro experimental.
O raio de giração k é a distância do eixo a um ponto tal que, se toda a massa do corpo estivesse ai concentrada, o seu momento de inércia em relação ao eixo seria igual ao do corpo que constitui o pêndulofísico. Este pode ser obtido em função de s da seguinte forma: 
K = √I/m, elevando os membros ao quadrado
K2 = I/m , substituindo o valor de I
K2 = mg (0,1046s2 + 1,27.10-3) 
 m
 Substituindo g = 9,783m/s2
 m
K = 
Para o sistema de pêndulos acoplados, verificou-se a influência que um pêndulo tem sobre o outro quando são postos em algumas situações de movimento. A interferência mútua entre eles é praticamente completa quando ambos estão em posições simétricas, ou seja, os comprimentos dos fios nos dois pêndulos são iguais. Ao montar o sistema de modo que os pêndulos fiquem acoplados com quebra de simetria, verifica-se que a transferência de energia não é completa, pois a freqüência natural de oscilação não será igual nos dois pêndulos, já que esta depende do comprimento do fio.
Conclusão
Enquanto que no pêndulo simples o período é influenciado pelo comprimento do fio, no pêndulo físico a distância entre o eixo de oscilação e o centro de massa é que interfere significativamente no tempo necessário para o pêndulo completar uma oscilação. Assim o pêndulo físico é um sistema mais complexo, o que pode ser constatado pela equação que relaciona o período T e a distância s no caso da haste retangular delgada utilizada durante o experimento.
No caso dos pêndulos simples acoplados verificou-se que quando eles são colocados para oscilar há uma transferência de energia entre eles e, observa-se que eles interferem-se mutuamente provocando uma mudança em suas trajetórias. Ressaltando que essa troca de energia se torna mais completa quando os dois pêndulos estão em posições simétricas e quando os pêndulos são idênticos. 
Referências
[1] Halliday, D.; Resnick, R.; Walker,J, “Fundamentos de Física, vol 2” , pp. 71-79, LTC editora, 2002.
[2] Young, H. D.; Freedman, R. A., “Física II Termodinâmica e Ondas”, pp. 52-55, Addison Wesley,2008.
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