Teorema Fundamental do Cálculo

Prévia do material em texto

Cap´ıtulo 22
O Teorema Fundamental do Ca´lculo e
Integrais Indefinidas
22.1 Introduc¸a˜o
Calcular integrais usando somas de Riemann, tal qual vimos no cap´ıtulo anterior, e´ um trabalho penoso e por vezes
muito dif´ıcil (ou quase imposs´ıvel). Felizmente, existe um me´todo muito eficiente e poderoso que permite calcular
integrais de uma maneira muito mais simples. Este me´todo, desenvolvido separadamente por Newton e Leibniz, mostra
que se uma determinada quantidade pode ser calculada por exausta˜o (somas de Riemann, por exemplo), enta˜o pode
ser calculada muito mais facilmente com o uso de antiderivac¸a˜o, entendida como o processo de achar uma func¸a˜o
conhecendo-se a sua derivada. Este importante resultado e´ denominado teorema fundamental do ca´lculo e e´ um dos
mais importantes de toda a matema´tica. Este teorema relaciona derivadas e integrais e mostra que elas sa˜o, de uma
certa maneira, “operac¸o˜es inversas”.
Este fato e´ evidenciado pela seguinte situac¸a˜o f´ısica. Considere uma part´ıcula deslocando-se em linha reta, com
velocidade conhecida v(t) ≥ 0, em cada instante t, com t variando em um intervalo de tempo [a, b]. Se s(t) fornece
a posic¸a˜o da part´ıcula em cada instante t, o espac¸o total percorrido pela part´ıcula em um intervalo de tempo [a, b] e´
dado por s(b)− s(a).
Considere agora uma partic¸a˜o P do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais. O espac¸o percorrido pela part´ıcula,
em cada subintervalo de tempo [ ti−1, ti], de comprimento ∆ t, da partic¸a˜o P , pode ser aproximado por v(ci)∆ t, onde
ci e´ um ponto do subintervalo considerado. Assim, o espac¸o total percorrido pela part´ıcula no intervalo de tempo [a,
b], pode ser aproximado pela soma
n∑
i=1
v(ci)∆ t. Esta aproximac¸a˜o sera´ cada vez melhor a` medida que ∆ t for cada
vez menor. Assim, temos que o valor exato do espac¸o percorrido sera´ dado pelo limite da soma acima, ou seja,
s(b)− s(a) = lim
n→∞
n∑
i=1
v(ci)∆ t =
∫ b
a
v(t) dt =
∫ b
a
s′(t) dt .
Este resultado e´ o chamado teorema fundamental do ca´lculo .
22.2 O teorema fundamental do ca´lculo
A abordagem de Newton do problema do ca´lculo de a´reas parece, a` primeira vista, paradoxal e consiste em substituir
o problema do ca´lculo da a´rea de uma regia˜o fixa (figura a` esquerda) pelo ca´lculo da a´rea de uma regia˜o varia´vel,
produzida quando a extremidade direita do intervalo e´ considerada mo´vel, de modo que a a´rea seja uma func¸a˜o de x,
como e´ ilustrado no diagrama da figura a` direita.
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
4.
2.
2.1.0
4.
2.
2.1.0
4.
2.
2.1.0
4.
2.
2.1.0
4.
2.
2.1.0
4.
2.
2.1.0
301
302 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Ca´lculo e Integrais Indefinidas
E´ fa´cil descobrir qual e´ a func¸a˜o que nos da´ a a´rea da regia˜o varia´vel, como mostra a primeira parte da demonstrac¸a˜o
do teorema fundamental do ca´lculo enunciado a seguir.
Teorema fundamental do ca´lculo:
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua definida no intervalo fechado [a, b].
1. Se a func¸a˜o A e´ definida em [a, b] por
A(x) =
∫ x
a
f(t) dt ,
enta˜o, A′(x) = f(x) para todo x em [a, b]. Uma func¸a˜o com tal propriedade e´ chamada de primitiva ou an-
tiderivada de f.
2. Se F e´ uma primitiva de f em [a, b], enta˜o∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a) .
Antes de demonstrarmos o teorema, vamos salientar alguns aspectos geome´tricos da fo´rmula do item 2. Se f e´ positiva
em [a, b], enta˜o a func¸a˜o A definida em 1, representa a a´rea sob o gra´fico de f desde t = a ate´ t = x (figura seguinte a`
esquerda).
E´ claro que A cresce com x. Se ∆x > 0, a diferenc¸a ∆A = A(x+∆x)−A(x) e´ a a´rea sob o gra´fico de f de x ate´
x+∆x, que corresponde a a´rea da faixa mostrada na figura seguinte a` direita.
x ba x∆x+x ba
Mostraremos que
A(x+∆x)−A(x)
∆x
= f(c) ,
onde c esta´ entre x e x+∆x. Intuitivamente percebemos que se ∆x tende a zero, enta˜o c→ x e f(c)→ f(x), que e´
o resultado que queremos provar. Este resultado nos diz, simplesmente, que a taxa de variac¸a˜o da a´rea A em relac¸a˜o
a x e´ igual ao comprimento do lado esquerdo da regia˜o.
Demonstrac¸a˜o
1. Seja ∆x > 0. Se x e x+∆x pertencem a [a, b] enta˜o, pela definic¸a˜o da func¸a˜o A(x) e pelas propriedades das
integrais definidas, temos que
A(x+∆x)−A(x) =
∫ x+∆ x
a
f(t) dt−
∫ x
a
f(t) dt =
∫ x
a
f(t) dt+
∫ x+∆ x
x
f(t) dt−
∫ x
a
f(t) dt
=
∫ x+∆ x
x
f(t) dt
Assim, podemos escrever
A(x+∆x)−A(x)
∆x
= (
1
∆x
)(
∫ x+∆ x
x
f(t) dt) .
Como f e´ cont´ınua, pelo teorema do valor me´dio para integrais, sabemos que existe um nu´mero c (que depende
de ∆x) no intervalo (x, x+∆x), tal que ∫ x+∆ x
x
f(t) dt = f(c)∆x
e, portanto,
A(x+∆x)−A(x)
∆x
= f(c) .
W.Bianchini, A.R.Santos 303
Como x < c < x+∆x, segue que lim
∆ x→0+
f(c) = lim
c→x+
f(c) = f(x) e da´ı, pela igualdade anterior,
lim
∆ x→0+
A(x+∆x)−A(x)
∆x
= f(x) .
Se ∆x < 0, demonstra-se, analogamente, que lim
∆ x→0−
A(x+∆x)−A(x)
∆x
= f(x) .
Os limites laterais acima implicam que
dA
dx
= lim
∆ x→0
A(x+∆x)−A(x)
∆x
= f(x) ,
o que quer´ıamos demonstrar.
2. Seja A(x) =
∫ x
a
f(t) dt como definida em 1. Enta˜o, A(a) = 0 e A(b) =
∫ b
a
f(t) dt.
Pela parte 1, A′(x) = f(x). Por hipo´tese, temos tambe´m que F ′(x) = f(x). Logo, pelo corola´rio 2 do teorema do
valor me´dio, as func¸o˜es A e F diferem por uma constante, isto e´,
A(x) = F (x) + C .
Para x = a, temos 0 = A(a) = F (a) + C, isto e´, C = −F (a).
Assim, A(x) = F (x)− F (a). Logo, para x = b,
A(b) =
∫ b
a
f(t) dt = F (b)− F (a)
e o teorema esta´ demonstrado.
Observac¸o˜es
1. A igualdade A′(x) = f(x) que aparece na parte 1 do teorema fundamental do ca´lculo pode ser reescrita como
d
dx
∫ x
a
f(t) dt = f(x)
e nos mostra que a derivada desta func¸a˜o e´, simplesmente, o valor do integrando calculado no limite superior da
integral. Temos tambe´m que ∫ x
a
f(t) dt =
∫ x
a
d
dt
F (t) dt
e por sua vez ∫ x
a
d
dt
F (t) dt = F (x)− F (a)
Neste sentido, diz-se que as operac¸o˜es de derivac¸a˜o e integrac¸a˜o sa˜o inversas uma da outra.
2. Usa-se a notac¸a˜o F (x)|ba para representar a diferenc¸a F (b)− F (a). Assim, escrevemos∫ b
a
f(x) dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) .
3. Qualquer primitiva de f(x) servira´ para o ca´lculo da
∫ b
a
f(x) dx. A veracidade desta afirmac¸a˜o e´ facilmente
comprovada se lembrarmos que quaisquer duas primitivas de f diferem por uma constante. Assim, se F e´ uma
primitiva de f , enta˜o qualquer outra primitiva desta func¸a˜o e´ obtida adicionando-se uma conveniente constante
C a` func¸a˜o F para obter F + C. Deste modo, como
(F (x) + C)|ba = (F (b) + C)− (F (a) + C) = F (b)− F (a) ,
a constante arbitra´ria C na˜o tem efeito sobre o resultado, portanto, podemos sempre escolher C = 0, quando
estamos achando primitivas com o propo´sito de calcular integrais definidas.
304 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Ca´lculo e Integrais Indefinidas
4. Este teorema torna o dif´ıcil problema de calcular integrais definidas por meio do ca´lculo do limite de somas num
problema muito mais fa´cil de encontrar primitivas. Portanto, para achar o valor de
∫ b
a
f(x) dx na˜o precisamos
mais calcular limites de somas de Riemann; simplesmente achamos, da maneira que for poss´ıvel (por inspec¸a˜o,
por algum ca´lculo inteligente, por inspirac¸a˜o divina, procurando numa tabela, usando o Maple), uma primitiva
F da func¸a˜o que queremos integrar e calculamos o nu´mero F (b)− F (a).
5. A tarefa de encontrar primitivas de func¸o˜es na˜o e´ trivial e, em alguns casos, e´ imposs´ıvel determinar primitivas
em termos de func¸o˜es elementares – polinoˆmios, senos e cossenos, logaritmos e exponenciais, ou combinac¸o˜es e
composic¸o˜es destas func¸o˜es. Noentanto, a func¸a˜o A(x) definida no teorema fundamental do ca´lculo, existe sempre
que o integrando for uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo [a, x], mesmo que na˜o saibamos calcula´-la explicitamente,
e e´ cont´ınua, pois e´ deriva´vel. Neste sentido, por exemplo, o problema de se achar uma fo´rmula expl´ıcita para a
integral ∫ x
a
sen(x2) dx
esta´ fora do nosso alcance. Entretanto, se em vez de procurarmos uma fo´rmula expl´ıcita para esta integral
quisermos apenas uma func¸a˜o bem definida, a expressa˜o F (x) =
∫ x
a
sen(x2) dx servira´ como uma boa definic¸a˜o
para a func¸a˜o procurada. (Veja o Exemplo 5.)
Exemplo 1
Se n e´ um inteiro positivo, calcule uma primitiva de xn e use este resultado para calcular
∫ 2
−1 x
5 dx.
Soluc¸a˜o Como
d
dx
(
x(n+1)
n+ 1
)
= xn, temos que
x6
6
e´ a primitiva procurada. Assim, pelo teorema fundamental do
ca´lculo obtemos: ∫ 2
−1
x5 dx =
x6
6
∣∣∣∣2
−1
=
26
6
− (−1)
6
6
=
63
6
.
Exemplo 2 Calcule
∫ 2
−1
∣∣x2 − x ∣∣ dx .
Soluc¸a˜o: Como x2 − x ≤ 0 em (0, 1) e x2 − x ≥ 0 em (−1, 0) e (1, 2), usando as propriedades da integral definida,
temos ∫ 2
−1
∣∣x2 − x ∣∣ dx = ∫ 0
−1
x2 − x dx+
∫ 1
0
x− x2 dx+
∫ 2
1
x2 − x dx
=
[
x3
3
− x
2
2
]0
−1
+
[
x2
2
− x
3
3
]1
0
+
[
x3
3
− x
2
2
]2
1
= −( (−1)
3
3
− (−1)
2
2
) + (
1
2
− 1
3
) + [
23
3
− 2
2
2
− (1
3
− 1
2
)] =
11
6
.
Exemplo 3 Considere a func¸a˜o f(x) = 2x3 + 2x2 − 4x .
(a) Calcule
∫ 1
−2 f(x) dx.
(b) Ache a a´rea da regia˜o limitada pelo gra´fico de f e o eixo x.
Soluc¸a˜o (a) Como a func¸a˜o F (x) = x
4
2 +
2 x3
3 − 2x2 e´ uma primitiva de
f(x) = 2x3 + 2x2 − 4x, tem-se que
∫ 1
−2
2x3 + 2x2 − 4x dx = x
4
2
+
2x3
3
− 2x2
∣∣∣∣1
−2
=
1
2
+
2
3
− 2− ( (−2)
4
2
+
2 (−2)3
3
− 2 (−2)2) = 9
2
(b) Observe o o seguinte gra´fico da func¸a˜o f :
W.Bianchini, A.R.Santos 305
R2
R1
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
y
–3 –2 –1 1 2 3x
A regia˜o limitada pelo gra´fico de f e o eixo x e´ composta de duas regio˜es R1 e R2. A a´rea de R1 e´ dada por∫ 0
−2
2x3 + 2x2 − 4x dx = x
4
2
+
2x3
3
− 2x2
∣∣∣∣0
−2
= −
(
(−2)4
2
+
2 (−2)3
3
− 2 (−2)2
)
=
16
3
No intervalo (0, 1) a func¸a˜o e´ negativa, de modo que, para obter a a´rea (positiva) da regia˜o R2, devemos mudar o
sinal da integral de f neste intervalo. Assim, a a´rea de R2 sera´ dada por
−
∫ 1
0
2x3 + 2x2 − 4x dx = −
[
x4
2
+
2x3
3
− 2x2
]1
0
= −(1
2
+
2
3
− 2) = 5
6
.
Logo, a a´rea R da regia˜o pedida sera´
R = R1 + R2 =
16
3
+
5
6
=
37
6
.
Este racioc´ınio e´ equivalente a integrarmos o valor absoluto de f no intervalo considerado, pois∫ 1
−2
| f(x) | dx =
∫ 0
−2
f(x) dx−
∫ 1
0
f(x) dx ,
e esta soma fornece a a´rea que queremos calcular. Esta conclusa˜o e´ ilustrada pelo gra´fico de y = | f(x) |, mostrado a
seguir. Compare este gra´fico com o de y = f(x) trac¸ado anteriormente.
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
y
–3 –2 –1 1 2 3x
Exemplo 4
Calcule
dy
dx
, se
(a) y = f(x) =
∫ x
0
t3 sen(t) dt (b) y = h(x) =
∫ x2
0
t3 sin(t) dt
Soluc¸a˜o (a) A primeira parte do teorema fundamental do ca´lculo afirma que a derivada de uma integral em
relac¸a˜o ao seu limite superior e´ igual ao valor do integrando naquele limite. Assim, se y(x) =
∫ x
0
t3 sen(t) dt, temos,
imediatamente, que dydx = x
3 sen(x).
(b) Este caso e´ um pouco mais complicado, pois o limite superior da integral e´ uma func¸a˜o da varia´vel em relac¸a˜o
a qual desejamos derivar a func¸a˜o dada. Neste caso, seja u = g(x) = x2. Assim, se
F (u) =
∫ u
0
t3sen(t) dt
enta˜o, h(x) = (F ◦ g)(x). Pela regra da cadeia,
dh
dx
=
dF
du
du
dx
= u3sen(u)2x = x6sen(x2) 2x = 2x7sen(x2)
Exemplo 5
A integral S(x) =
∫ x
0
sen
(
pi t2
2
)
dt e´ chamada func¸a˜o de Fresnel e apareceu pela primeira vez no trabalho do f´ısico
franceˆs Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por suas contribuic¸o˜es em o´tica sobre a difrac¸a˜o de ondas de luz.
306 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Ca´lculo e Integrais Indefinidas
(a) Para que valores de x esta func¸a˜o tem ma´ximos locais.
(b) Em que intervalos esta func¸a˜o e´ coˆncava para cima?
Soluc¸a˜o (a) A primeira parte do teorema fundamental do Ca´lculo nos mostra que
S′(x) = sen
(
pi x2
2
)
.
A partir desta informac¸a˜o, podemos aplicar os me´todos do ca´lculo diferencial para analisar esta func¸a˜o. Como S′ e´
cont´ınua em toda a reta, os pontos cr´ıticos de S so´ podera˜o ocorrer onde S′(x) = 0, ou seja, onde sen
(
pi x2
2
)
= 0. Da´ı,
decorre que x = ±√2 k, para k = 0, 1, 2 . . ..
Para decidir quais destes pontos sa˜o ma´ximos locais, vamos aplicar o teste da derivada segunda. Assim, como
S′′(x) = pi x cos
(
pi x2
2
)
, temos que, para valores ı´mpares de k, S′′(
√
2 k) sera´ negativa e, portanto, os pontos x =
√
2 k
(k ı´mpar) sera˜o ma´ximos locais da func¸a˜o S.
A ana´lise e´ ana´loga para o caso em que x = −√2 k. O ponto (0, 0) e´ um ponto de inflexa˜o da func¸a˜o S. (Confira!)
O item (b) e´ deixado como exerc´ıcio para o leitor.
Veja abaixo, a` esquerda o gra´fico desta func¸a˜o trac¸ado com a ajuda do Maple e abaixo a` direita um detalhe do
mesmo (para x variando de 0 ate´ 2,5) trac¸ado em conjunto com a sua derivada. Observe que as concluso˜es obtidas
acima coincidem com os gra´ficos apresentados.
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
x
22.3 Integrais indefinidas
Uma integral como
∫ b
a
f(x) dx e´ chamada integral definida de f. Uma func¸a˜o F , tal que F ′(x) = f(x) e´ uma primitiva
de f(x), assim como F (x)+C, onde C e´ uma constante real qualquer. A` medida que variamos C, obtemos o conjunto
de todas as primitivas de f . Podemos representar este conjunto por∫
f(x) dx = F (x) + C.
A integral que aparece nesta expressa˜o e´ chamada integral indefinida de f e e´ usada para especificar a primitiva
mais geral de f . Assim, ∫
f(x) dx = F (x) + C se e somente se F ′(x) = f(x)
e podemos escrever que
d
dx
∫
f(x) dx =
d
dx
(F (x) + C) = f(x) e
∫
f(x) dx =
∫
d
dx
F (x) dx = F (x) + C .
A constante C e´ chamada de constante de integrac¸a˜o. Para cada valor de C temos uma primitiva de f . Veja a
figura a seguir, onde trac¸amos o gra´fico de va´rias primitivas da func¸a˜o f(x) = (x− 2)2, obtidas pela variac¸a˜o do valor
da constante C.
c =3
c = 2
c = 1
c = 0
c = –1
c = –2
–4
–2
0
2
4
y
1 2 3 4
x
W.Bianchini, A.R.Santos 307
Em geral, na˜o se explicita o domı´nio de F . Supo˜e-se sempre escolhido um intervalo em que f seja integra´vel. Tal
como no caso de integrais definidas, aqui tambe´m e´ irrelevante o s´ımbolo adotado para a varia´vel de integrac¸a˜o, por
exemplo,
∫
f(t) dt,
∫
f(u) du, etc. originam sempre a mesma func¸a˜o F . Como a integral indefinida de f e´ uma primitiva
desta func¸a˜o, o teorema fundamental do ca´lculo nos da´ a seguinte relac¸a˜o entre integrais definidas e indefinidas:∫ b
a
f(x) dx =
[∫
f(x) dx
]b
a
Assim, conhecida a integral indefinida de uma func¸a˜o f , podemos calcular qualquer integral definida desta mesma
func¸a˜o. Ale´m disso, a partir das propriedades operato´rias de derivac¸a˜o, podemos estabelecer algumas regras ba´sicas
para as integrais indefinidas. Por exemplo, a propriedade operato´ria para derivar somas de func¸o˜es pode ser traduzida
em termos de integrais indefinidas como∫
(f(x) + g(x)) dx =
∫
f(x) dx+
∫
g(x) dxDa mesma forma, se C e´ uma constante arbitra´ria,∫
C f(x) dx = C
∫
f(x) dx
Assim, tal como no caso de integrais definidas, toda regra de derivac¸a˜o pode ser transformada em uma regra de
integrac¸a˜o. Por exemplo, como
d
dx
(√
x2 + 5
)
=
x√
x2 + 5
⇒
∫
x√
x2 + 5
dx =
√
x2 + 5 + C
Esta observac¸a˜o nos permite construir uma tabela de integrais “invertendo” uma tabela de derivadas, como e´ feito nos
exemplos a seguir.
Exemplo 1 A regra da poteˆncia para integrais definidas e´ dada por∫
xn dx =
x(n+1)
n+ 1
+ C, para todo racional n 6= −1.
Exemplo 2 Da mesma maneira, valem as regras∫
sen(x) dx = −cos(x) + C∫
cos(x) dx = sen(x) + C∫
sec2(x) dx = tg(x) + C
∫
cossec2(x) dx = −cotg(x) + C∫
1
1 + x2
dx = arctg(x) + C∫
1√
1− x2 dx = arcsen(x) + C
Como ja´ dissemos, a tarefa de encontrar primitivas e, portanto, de calcular integrais indefinidas, na˜o e´ trivial. Nos
pro´ximos cap´ıtulos, desenvolveremos me´todos que sera˜o u´teis no ca´lculo de integrais indefinidas.
22.4 Exerc´ıcios
1. Calcule as integrais abaixo usando o teorema fundamental do ca´lculo:
(a)
∫ 3
1
x2 dx
(b)
∫ pi
0
sen(x) dx
(c)
∫ pi
0
cos(x) dx
(d)
∫ 1
0
5x3 − 4x2 + 2 dx
(e)
∫ pi
4
0
sec2 x dx
2. Use o teorema fundamental do ca´lculo e as propriedades de integral para calcular as integrais abaixo:
(a)
∫ 1
−1
5x5 + 3x3 + sen(2x) dx
(b)
∫ pi
0
sen(x) cos(x) dx
(c)
∫ 9
1
√
3x− 2 dx
(d)
∫ 4
2
√
3x− 1√
x
dx
(e)
∫ pi
0
cos(5x) dx
(f)
∫ 3
1
5
x4
− 2
x3
dx
(g)
∫ 2
1
x3 + x4
x
dx
(h)
∫ pi
0
2x cos(x2) dx
308 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Ca´lculo e Integrais Indefinidas
3. Usando as propriedades das integrais definidas e o teorema fundamental do ca´lculo, prove que a integral de um
polinoˆmio de grau n e´ dada por: ∫ b
a
n∑
i=0
ci x
i dx =
n∑
i=0
(
ci
i+ 1
)
x(i+1)
∣∣∣∣b
a
4. Seja f(x) =
{
x+ 1 x < 0
cos(x) x ≥ 0 . Calcule
∫ 1
−1
f(x) dx.
5. Em cada um dos itens abaixo, determine um nu´mero c que satisfac¸a a conclusa˜o do teorema do valor me´dio para
integrais definidas:
(a)
∫ 4
0
√
x+ 1 dx
(b)
∫ 1
−1
(2x+ 1)2 dx
(c)
∫ 2
−1
3x3 + 2 dx
(d)
∫ 9
1
3
x2
dx
6. (a) Se f(x) = x2 + 1, determine a a´rea da regia˜o sob o gra´fico de f de −1 a 2.
(b) Se f(x) = x3, determine a a´rea da regia˜o sob o gra´fico de f de 1 a 3.
7. Use integrac¸a˜o para calcular a a´rea do triaˆngulo delimitado pela reta y = 2x, pelo eixo x e pela reta x = 3.
Confira sua resposta usando geometria.
8. Use uma integral definida para provar que a a´rea de um triaˆngulo retaˆngulo de base b e altura a e´ dada por ab2. .
9. Cada uma das curvas a seguir tem um arco acima do eixo x. Calcule a a´rea da regia˜o sob o arco.
(a) y = −x3 + 4x
(b) y = x3 − 9x
(c) y = 2x2 − x3
(d) y = x4 − 6x2 + 8 .
10. Ache a fo´rmula geral para F (x) =
∫ x
0
t2 + 2 t+ 5 dt. Idem para
∫ x
a
t5 − 2 t3 + 1 dt.
11. Ache a primeira e a segunda derivada de cada uma das func¸o˜es dadas abaixo
(a) f(x) =
∫ x
5
t2 dt
(b) g(x) =
∫ x
pi
t3 + 1 dt
(c) h(x) =
∫ x
−4
√
1 + t8 dt
(d) g(x) =
∫ 3
x
(1 + t3)100 dt
(e) f(x) =
∫ 5
x
1
t
dt, para x > 0.
22.5 Problemas
1. Ache a a´rea sob o gra´fico de y = x√
x2+1
desde x = 1 ate´ x = 2.
(A menos que voceˆ consiga se lembrar de alguma func¸a˜o cuja derivada seja x√
x2+1
, voceˆ na˜o tera´ como resolver este
problema. O radical no denominador sugere que, de alguma forma, voceˆ deve tentar usar a fo´rmula (
√
f)′ = f
′
2
√
f
.
2. Calcule
∫ 1
−1
t√
t2 + 1
dt. Sugesta˜o: Esboce o gra´fico desta func¸a˜o e explique por que o valor desta integral pode
ser determinado sem ser necessa´rio fazer nenhum ca´lculo!
3. Calcule
∫ pi
2
−pi2
sen(x) (cos(x) + 3x2 − x sen(x)) dx.
(Se voceˆ achou este problema dif´ıcil, use o Maple para trac¸ar o gra´fico do integrando e conclua porque na˜o e´
necessa´rio nenhum ca´lculo para resolver esta integral!)
4. (a) Se f(x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar, isto e´, f(−x) = −f(x), mostre, geome´trica e analiticamente, que ∫ a−a f(x) dx = 0.
(b) Se f(x) e´ uma func¸a˜o par, isto e´ f(−x) = f(x), mostre geometrica e analiticamente, que ∫ a−a f(x) dx =
2
∫ a
0
f(x) dx
5. O gra´fico de y = x2, x ≥ 0, pode ser considerado como sendo o gra´fico de x = √y, y ≥ 0. Mostre, por geometria,
que isto implica a validade da equac¸a˜o
∫ a
0
x2 dx+
∫ a2
0
√
y dy = a3, a > 0. Confira este resultado calculando as
integrais.
W.Bianchini, A.R.Santos 309
6. Para calcular a integral
∫ 1
−1
1
x2 dx, um aluno de Ca´lculo I raciocinou da seguinte maneira:
Seja F (x) = − 1x . Como F ′(x) = 1x2 , temos que∫ 1
−1
1
x2
dx = F (1)− F (−1) = −1− (− 1−1) = −2.
O resultado acima representa, geometricamente, a a´rea sob o gra´fico da curva y = 1x2 , de x = −1 ate´ x = 1 que,
evidentemente, na˜o pode ser negativa. Qual a falha no racioc´ınio deste aluno?
7. (a) Seja um ponto P que se move com velocidade cont´ınua v numa reta coordenada. Mostre que a velocidade
me´dia deste ponto, no intervalo [a, b], e´ igual a` me´dia de v em [a, b].
(b) Se f tem derivada cont´ınua em [a, b], mostre que a taxa me´dia de variac¸a˜o de f(x) em relac¸a˜o a x em [a,b],
e´ igual ao valor me´dio de f ′ em [a,b].
8. Uma pedra cai de um edif´ıcio de 40 metros de altura. Ache a velocidade me´dia da pedra se ela demora 18
segundos para atingir o solo.
9. A temperatura me´dia da praia de Copacabana em um dia de vera˜o das 8 da manha˜ a`s 6 da tarde e´ dada,
aproximadamente, por T (t) = 25 + 16 sen(pi t10 ). Considerando t = 0 a`s oito da manha˜, calcule a temperatura
me´dia da areia no per´ıodo de 10 horas discriminado acima.
10. Os itens abaixo se referem a` func¸a˜o F (x) =
∫ x
0
1
1+t4 dt, qualquer que seja x real.
(a) Ache F (0) e F ′(1).
(b) Justifique por que F (3)− F (1) < 1.
(c) Justifique por que F (x) + F (−x) = 0, qualquer que seja o nu´mero real x.
(d) Mostre que F e´ invert´ıvel em toda a reta e calcule (dF
−1
dx )(1).
11. (a) Ache a a´rea A, como uma func¸a˜o de k, da regia˜o no primeiro quadrante limitada pelo eixo y, pela reta y =
k , k > 0, e pelo gra´fico da func¸a˜o y = x3.
(b) Qual o valor de A quando k = 1?
(c) Se a reta y = k esta´ se movendo para cima a uma taxa constante de 110 unidades de comprimento por
segundo, qual a taxa de variac¸a˜o de A quando k = 1?
12. Seja g(x) =
∫ x
4
f(t) dt, onde f e´ a func¸a˜o cujo gra´fico e´ mostrado a seguir.
(a) Calcule g(4), g(−4), g(−3), g(0) e g(2).
(b) Em que intervalos g e´ crescente?
(c) Em que ponto g atinge o seu valor ma´ximo?
(d) Esboce o gra´fico de g.
(e) Use o gra´fico obtido no item anterior para esboc¸ar o gra´fico de g′. Compare o gra´fico assim obtido com o
gra´fico de g.
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–4 –2 2 4
13. Suponha que g′(x) < 0 para todo x ≥ 0 e seja F (x) = ∫ x
0
t g′(t) dt, para todo x ≥ 0. Justifique a veracidade ou
a falsidade das afirmac¸o˜es:
(a) F e´ negativa para todo x ≥ 0.
(b) F e´ cont´ınua para todo x ≥ 0.
(c) F ′(x) existe para todo x > 0.
(d) F e´ uma func¸a˜o crescente.
310 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Ca´lculo e Integrais Indefinidas
14. Seja f(x) uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel tal que f ′′ e´ cont´ınua em toda a reta. Sabendo que f(0) = −4,
f(1) = 3, f ′(0) = 5, f ′(1) = 2, f ′′(0) = 3 e f ′′(1) = 1, calcule
∫ 1
0
f ′′(x) dx e
∫ 1
0
f ′(x) dx.
15. Mostre que
d
dx
(∫ u2(x)
u1(x)
f(t) dt
)
= f(u2(x))
(
d u2
dx
)
− f(u1(x))
(
d u1
dx
)
. Use este resultado para calcular
d
dx
(∫ x3
x2
1
t
dt
)
22.6 Um pouco de histo´ria: A integral de Lebesgue
O me´todo de calcular a´reas evolumes de figuras geome´tricas complicadas por meio de a´reas e volumes de figuras mais
simples, ja´ era usado por Arquimedes (287-212 A.C.). Tal ide´ia foi o germe do que se convencionou chamar de ca´lculo
infinitesimal. Embora esta ide´ia seja ta˜o antiga, sua formalizac¸a˜o matema´tica, denominada teoria da integrac¸a˜o, teve
seu apogeu no se´culo atual. Podemos afirmar que o conceito de integral aparece, de fato, em forma embriona´ria,
nos trabalhos de Arquimedes, ao utilizar o Me´todo da Exausta˜o criado por Eudoxo (408-355 A.C.), no ca´lculo de
comprimento de curvas, de a´reas e de volumes de figuras geome´tricas. Um dos resultados obtidos por Arquimedes
com o emprego deste me´todo e´ descrito no projeto Arquimedes e a quadratura da para´bola.
Ainda que os conceitos de derivada como coeficiente angular da tangente e da integral definida como a´rea sob
uma curva fossem familiares a muitos pensadores desde a Antiguidade, dizemos que Newton e Leibniz lanc¸aram as
bases do ca´lculo diferencial e integral porque eles, trabalhando quase ao mesmo tempo e independentemente um do
outro, foram os principais descobridores do teorema fundamental do ca´lculo e aqueles que primeiro compreenderam
a sua importaˆncia, comec¸ando a construir a necessa´ria teoria para o estabelecimento destas noc¸o˜es em bases so´lidas,
aplicando os seus resultados, com sucesso espetacular, a problemas de mecaˆnica e geometria.
Entretanto, Newton e Leibniz na˜o possu´ıam com clareza a noc¸a˜o de limite, deixando duvidosos e obscuros va´rios
pontos de seus trabalhos, com a introduc¸a˜o do conceito de infinite´simo.
Posteriormente, com os trabalhos de Cauchy (1789-1857) e Riemann (1826-1866), o conceito de integral foi estab-
elecido em bases matema´ticas rigorosas, tornando-se para a e´poca um instrumento poderoso na resoluc¸a˜o de inu´meros
problemas.
Durante muito tempo foi desenvolvida uma teoria de integrac¸a˜o baseada nas ide´ias de Riemann. Esta teoria, entre-
tanto, conte´m certos inconvenientes que a tornam inadequada ao estudo de va´rios problemas da ana´lise matema´tica.
Na sec¸a˜o Para voceˆ Meditar, deste cap´ıtulo, focalizamos um desses inconvenientes.
Como a noc¸a˜o de integral de Riemann apresenta certas deficieˆncias que a tornam ineficaz para a resoluc¸a˜o de um
grande nu´mero de problemas, fez-se necessa´ria a reformulac¸a˜o de tal conceito, com o objetivo de se obter uma integral
sem as deficieˆncias da integral de Riemann e a contendo como um caso particular. Dito de outro modo, dever-se-ia
obter uma integral tal que a nova classe de func¸o˜es integra´veis contivesse a classe de func¸o˜es integra´veis a Riemann
(onde as duas integrais deveriam coincidir) e na qual os inconvenientes da integral de Riemann desaparecessem ou,
pelo menos, fosse minimizados.
O passo decisivo no sentido de se obter uma definic¸a˜o de integral que eliminasse as deficieˆncias existentes na integral
de Riemann foi dado por Henri Lebesgue (1875-1941), quando em 1902 publicou sua famosa tese de doutoramento,
intitulada “Inte´grale, longuer, aire”, que atualmente esta´ contida no livro “Lec¸ons sur l’Integration et la Recherche
des Fonctions Primitives”. O conceito de integral originalmente proposto por Lebesgue baseia-se na noc¸a˜o de medida
de conjuntos, e as suas ide´ias se afastaram tanto dos caˆnones da e´poca que foram, em princ´ıpio, refutadas e sever-
amente criticadas. Todavia, a originalidade de suas ide´ias encontrou crescente reconhecimento, vindo a completar
definitivamente certas lacunas inerentes a` integral de Riemann.
A integral de Lebesgue foi a primeira tentativa frut´ıfera de organizac¸a˜o matema´tica da noc¸a˜o de integral. Neste
sentido, costuma-se dizer que a teoria de integrac¸a˜o foi criada no se´culo XX.
22.7 Para voceˆ meditar: Uma conclusa˜o intuitiva ou um erro teo´rico?
Dizemos que uma func¸a˜o u :(a, b)→R e´ uma func¸a˜o escada quando existe uma partic¸a˜o do intervalo (a, b) tal que
u e´ constante em cada subintervalo desta partic¸a˜o. No cap´ıtulo anterior, utilizamos a´reas de retaˆngulos inscritos (ou
circunscritos) a uma regia˜o para obter aproximac¸o˜es para a´reas sob gra´ficos de func¸o˜es f positivas. Observe o gra´fico
a seguir e conclua que, se mi e´ o menor valor da func¸a˜o f em cada subintervalo da partic¸a˜o, a a´rea dos retaˆngulos
inscritos e´ a a´rea sob o gra´fico de uma func¸a˜o escada que assume o valor mi em cada subintervalo considerado.
W.Bianchini, A.R.Santos 311
0
1
2
3
4
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
No cap´ıtulo anterior conclu´ımos, tambe´m, que o valor exato da a´rea sob uma curva poderia ser obtido tomando-se
o limite das a´reas desses retaˆngulos. Seguindo o mesmo racioc´ınio, podemos observar que a` medida que o nu´mero
de intervalos considerados na partic¸a˜o aumenta, a sequ¨eˆncia de func¸o˜es escadas un associadas, da maneira descrita
acima, a cada subintervalo das partic¸o˜es, converge para a func¸a˜o f , isto e´, lim
n→∞ un = f e desse modo,
lim
n→∞
∫ b
a
un(x) dx =
∫ b
a
lim
n→∞ un(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx .
Estas afirmac¸o˜es sa˜o ilustradas no diagrama:
Considere agora a sequ¨eˆncia de func¸o˜es gn definidas por
gn(x) =

2n2 x, 0 ≤ x ≤ 12n
2n− 2n2 x, 12n ≤ x ≤ 1n
0, 1n ≤ x ≤ 1
Observe os gra´ficos de g1(x) e g2(x):
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1x 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.2 0.4 0.6 0.8 1x
E´ fa´cil ver que, a` medida que n cresce, para cada x fixado, a sequ¨eˆncia gn(x) converge para zero. Assim, podemos
dizer que lim
n→∞ gn(x) = 0. No entanto, para cada n, temos que
∫ 1
0
gn(x) dx =
1
2 (por queˆ?) e, portanto
lim
n→∞
∫ 1
0
gn(x) dx =
1
2
6= 0 =
∫ 1
0
lim
n→∞ gn(x) dx
• E agora, sera´ que a nossa definic¸a˜o de a´rea sob uma curva esta´ errada, pois na˜o e´ verdade que lim
n→∞
∫ b
a
un(x) dx =∫ b
a
lim
n→∞ un(x) dx?
• Se a conclusa˜o no primeiro exemplo apresentado acima e´ correta, qual a diferenc¸a entre os dois exemplos dados?
Por que no primeiro caso vale a igualdade
lim
n→∞
∫ b
a
un(x) dx =
∫ b
a
lim
n→∞ un(x) dx
312 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Ca´lculo e Integrais Indefinidas
e no segundo este resultado na˜o se aplica?
(Sugesta˜o: O cerne deste problema esta´ na definic¸a˜o de convergeˆncia para sequ¨eˆncia de func¸o˜es. O modo como as
sequ¨eˆncias acima convergem para a func¸a˜o limite e´ diferente nos dois casos apresentados. Tente entender onde esta´
esta diferenc¸a!)
22.8 Projetos
22.8.1 Arquimedes e a quadratura da para´bola
Vamos examinar o procedimento utilizado por Arquimedes para calcular a a´rea de um segmento parabo´lico, isto e´, a
a´rea da regia˜o limitada por uma para´bola e pela reta AB como mostra a figura a` esquerda.
Para calcular a a´rea desta regia˜o, Arquimedes utilizou triaˆngulos da maneira descrita a seguir. Sua primeira
aproximac¸a˜o foi o triaˆngulo ABC, onde o ve´rtice C e´ escolhido como o ponto em que a tangente a` para´bola e´ paralela
a` reta AB. (Veja figura a` direita).
B
A
0
2
4
6
8
–3 –2 –1 1 2 3x
C
B
A
0
2
4
6
8
–3 –2 –1 1 2 3x
Sua segunda aproximac¸a˜o foi obtida juntando-se ao triaˆngulo ABC os dois triaˆngulos ACD e BCE, onde o ve´rtice
D e´ o ponto em que a tangente e´ paralela a` reta AC e o ve´rtice E e´ o ponto em que a tangente e´ paralela a` reta BC,
continuando com este processo, ate´ “exaurir” a a´rea do segmento parabo´lico.
Desta maneira, Arquimedes calculou a a´rea do segmento parabo´lico e mostrou que existe uma relac¸a˜o entre esta
a´rea e a a´rea do primeiro triaˆngulo utilizado para este ca´lculo.
O objetivo deste projeto e´ utilizar conhecimentos de ca´lculo, para descobrir no procedimento descrito acima a
relac¸a˜o existente entre as a´reas do segmento parabo´lico e do primeiro triaˆngulo utilizado por Arquimedes em um caso
particular.1. Considere a reta y = mx+ b e a para´bola y = x2. Determine o ponto P no arco AOB da para´bola que maximize
a a´rea do triaˆngulo APB, onde A e B sa˜o os pontos de intersec¸a˜o da reta e da para´bola e O e´ a origem do sistema
de coordenadas.
2. Relacione a a´rea deste triaˆngulo o´timo com a a´rea da regia˜o delimitada pela reta e pela para´bola.
3. Usando o teorema do valor me´dio, mostre que no ponto P a reta tangente a` para´bola e´ paralela a` reta AB.
4. Use os itens anteriores para concluir qual a relac¸a˜o estabelecida por Arquimedes no seu trabalho sobre a
quadratura da para´bola.
22.8.2 Separac¸a˜o de varia´veis, velocidade de escape e buracos negros
Grande parte da inspirac¸a˜o original para o desenvolvimento do Ca´lculo veio da F´ısica, mais especificamente, da
Mecaˆnica e estas cieˆncias continuam ligadas ate´ hoje. A Mecaˆnica e´ baseada em certos princ´ıpios ba´sicos que foram
formulados por Newton. O enunciado destes princ´ıpios requer o conceito de derivada, e suas inu´meras aplicac¸o˜es
dependem do conceito de integral aplicado a` resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais: equac¸o˜es que envolvem uma func¸a˜o e
suas derivadas.
Resolver uma equac¸a˜o diferencial significa encontrar uma func¸a˜o inco´gnita a partir de informac¸o˜es dadas a respeito
de sua taxa de variac¸a˜o. Essas equac¸o˜es aparecem ta˜o frequ¨entemente em problemas f´ısicos, biolo´gicos e qu´ımicos que
seu estudo, hoje, constitui-se num dos principais ramos da matema´tica.
No projeto Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado, vimos, como a partir de leis
f´ısicas (no caso a segunda Lei de Newton), foi poss´ıvel obter uma equac¸a˜o diferencial que modela a queda livre de
corpos e enta˜o deduzir va´rias fo´rmulas para este movimento que usamos desde o segundo grau, sem uma justificativa
mais profunda.
Nos exemplos estudados naquele projeto, tratamos a acelerac¸a˜o da gravidade como se fora uma constante e vimos
que esta hipo´tese e´ razoa´vel para corpos que se movem pro´ximos a` superf´ıcie da Terra. No entanto, para estudar o
W.Bianchini, A.R.Santos 313
movimento de um corpo que se move para fora da Terra, no espac¸o, devemos levar em conta que a forc¸a da gravidade
varia inversamente com o quadrado da distaˆncia do corpo a` Terra.
Esta lei, conhecida como lei da gravitac¸a˜o de Newton, em homenagem ao grande matema´tico e f´ısico que a
estabeleceu, afirma que duas part´ıculas quaisquer de mate´ria no universo se atraem com uma forc¸a proporcional a
suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia entre elas. O objetivo deste projeto e´ utilizar esta
lei e nossos conhecimentos sobre integrais para estabelecer a velocidade necessa´ria para que um foguete escape da
atrac¸a˜o gravitacional da Terra.
Equac¸o˜es diferenciais e separac¸a˜o de varia´veis
Vimos que a equac¸a˜o
∫
f(x) dx = F (x) e´ equivalente a F ′(x) = f(x). Esta afirmac¸a˜o pode ser interpretada de duas
maneiras.
(a) Podemos pensar no s´ımbolo
∫
. dx operando sobre a func¸a˜o f(x) para produzir sua primitiva. Dessa maneira,
o sinal de integral e o s´ımbolo dx sa˜o, juntos, parte de um mesmo s´ımbolo. O sinal de integral especifica a
operac¸a˜o, e o u´nico papel de dx e´ assinalar qual e´ a varia´vel de integrac¸a˜o.
(b) Uma segunda interpretac¸a˜o para a equivaleˆncia acima e´ baseada na notac¸a˜o e no conceito de diferencial de
uma func¸a˜o introduzido no Cap. 20. Usando diferenciais, a igualdade F ′(x) = f(x) pode ser escrita como
dF (x) = f(x) dx , onde f(x) dx e´ encarada como a diferencial da func¸a˜o F (x). Segundo este ponto de vista, o
sinal de integral pode ser entendido como um operador que age sobre a diferencial de uma func¸a˜o, ou seja, sobre
f(x) dx , retornando, como resultado, a pro´pria func¸a˜o. Assim, o s´ımbolo de integral significa a operac¸a˜o que e´
a inversa da diferenciac¸a˜o.
Esta segunda interpretac¸a˜o e´ particularmente conveniente para a resoluc¸a˜o de certas equac¸o˜es diferenciais simples.
Como dissemos na introduc¸a˜o, uma equac¸a˜o diferencial e´ uma equac¸a˜o que envolve uma func¸a˜o (a inco´gnita do
problema) e suas derivadas. A ordem de uma equac¸a˜o diferencial e´ a ordem da maior derivada que ocorre na equac¸a˜o.
Ao integrarmos uma func¸a˜o qualquer, estamos resolvendo uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem. Assim, usando
notac¸a˜o diferencial, a equac¸a˜o dydx = 3x
2 e´ equivalente a dy = 3x2 dx . Para resolver esta equac¸a˜o diferencial, basta
integrarmos ∫
dy =
∫
3x2 dx⇒ y = x3 + C
Esta soluc¸a˜o e´ chamada soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada, e escolhas diferentes para a constante de
integrac¸a˜o C fornecem soluc¸o˜es particulares.
De um modo geral, se uma equac¸a˜o diferencial pode ser escrita na forma
g(y) dy = f(x) dx
com as varia´veis x e y “separadas” em diferentes membros da igualdade acima, podemos integrar ambos os lados da
identidade para obter a soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Velocidade de escape
Suponha que um foguete seja lanc¸ado para cima com velocidade inicial v0 e depois disso se mova sem nenhum gasto
posterior de energia. Para valores grandes de v0, este foguete sobe bastante antes de atingir o repouso e iniciar sua
queda de volta a` Terra. O problema que propomos e´ o de calcular a menor velocidade v0 para que o foguete jamais
atinja o repouso e, por causa disso, escape da atrac¸a˜o gravitacional da Terra.
De acordo com a lei da gravitac¸a˜o de Newton, a forc¸a F que atrai o foguete para a Terra e´ dada por F = −G(Mms2 ),
onde G e´ uma constante positiva, M e m sa˜o as massas da Terra e do foguete, respectivamente, e s e´ a distaˆncia do
foguete ao centro da Terra (neste caso toda a massa da Terra esta´ concentrada no seu centro). Como pela segunda lei
do movimento de Newton, F = ma, temos que
(∗) m(d
2 s
dt2
) = −G(Mm
s2
)⇒ d
2 s
dt2
= −GM
s2
Esta equac¸a˜o nos diz que o movimento do foguete na˜o depende da sua massa. Ale´m disso, podemos determinar o
valor da constante G se lembrarmos que, quando s = R (raio da Terra), a acelerac¸a˜o d
2 s
dt2
e´ igual a −g (acelerac¸a˜o a
gravidade).
Enta˜o, temos que GM = gR2, e como d
2 s
dt2
= dvdt , podemos escrever (*) como
(∗∗) dv
dt
= −gR
2
s2
.
314 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Ca´lculo e Integrais Indefinidas
Como, pela regra da cadeia, dvdt = (
dv
ds )(
ds
dt ) = (
dv
ds )(v), a equac¸a˜o (**) se transforma em
v
dv
ds
= −gR
2
s2
.
1. Separe as varia´veis e integre para obter a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o diferencial.
2. Use a condic¸a˜o inicial v = v0, quando s = R, para determinar, dentre todas as soluc¸o˜es poss´ıveis da equac¸a˜o, a
soluc¸a˜o particular que nos interessa, isto e´, determine o valor da constante de integrac¸a˜o a fim de que a soluc¸a˜o
encontrada satisfac¸a os dados iniciais do problema em estudo.
3. Examinando a soluc¸a˜o encontrada, determine a velocidade de escape da Terra. (Lembre-se de que a velocidade
do foguete deve ser sempre positiva, pois se a velocidade se anular, o foguete pa´ra e, enta˜o, cai de volta a` Terra.)
4. Estime o valor da velocidade de escape usando para g o valor de 9,8 m/s2 e para R, 6, 37× 106 m.
5. Como vimos na discussa˜o acima, a lei da gravitac¸a˜o de Newton implica que a gravidade na superf´ıcie de um plan-
eta ou qualquer outro corpo celeste e´ diretamente proporcional a` massa do planeta e inversamente proporcional
ao quadrado do seu raio.
(a) Se gL denota a acelerac¸a˜o devido a` gravidade da Lua, use o fato de que a Lua tem, aproximadamente,
3
11
do raio e 181 da massa da Terra para mostrar que gL e´ aproximadamente igual a
g
6 .
(b) Calcule a velocidade de escape para a Lua.
(c) Explique por que se o raio de um corpo diminui e sua massa se mante´m constante a velocidade de escape
para este corpo cresce.
Buracos negros
A maioria das estrelas normais e´ mantida em seu estado gasosoem virtude da pressa˜o de radiac¸a˜o de dentro, que e´
gerada pela queima de combust´ıvel nuclear. Quando o combust´ıvel nuclear se distribui, a estrela sofre um colapso
gravitacional, transformando-se numa esfera muito menor com, essencialmente, a mesma massa.
A mate´ria comprimida e degenerada dessas estrelas que ca´ıram em colapso podem alcanc¸ar dois tipos de equil´ıbrio,
dependendo da massa da estrela. As estrelas ana˜s brancas sa˜o as que se formam quando a massa e´ menor que cerca
de 1,3 massas solares, e estrelas de neˆutrons aparecem quando a massa esta´ entre 1,3 e 2 massas solares. Para estrelas
mais pesadas, o equil´ıbrio na˜o e´ poss´ıvel e o colapso continua ate´ que a velocidade de escape na superf´ıcie atinja a
velocidade da luz. Estrelas em colapso deste tipo sa˜o completamente invis´ıveis, pois na˜o emitem nenhuma radiac¸a˜o.
Estes sa˜o os chamados buracos negros.
• Se o sol pudesse ser concentrado numa esfera menor com a mesma massa, qual seria um valor aproximado do seu raio
para que a velocidade de escape em sua superf´ıcie fosse igual a` velocidade da luz (aproximadamente 300000 km/s)?