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Equações de Maxwell Prof. Thiago Mattos Departamento de Física e Matemática Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Introdução Forças (ou interações) no universo: Nome Intens. rel. Alcance (m) Age sobre Nuclear forte 1 10−14 carga de cor Eletromagnética 10−2 ∞ carga elétrica Nuclear fraca 10−13 ≈ 0 sabor Gravitacional 10−39 ∞ massa e energia Teoria eletromagnética clássica⇔ { Teoria quântica Teoria da relatividade Força eletromagnética: ~F = Q ( ~E + ~v × ~B ) Campo eletromagnético: ~E , ~B Qual foi a contribuição de Maxwell ao eletromagnetismo? James Clerk Maxwell (1831-1879) Escreveu uma série de leis baseadas em observações experimentais na forma de equações matemáticas, compilando assim todo o conhecimento na área; Unificou as teorias da eletricidade e do magnetismo, criando assim a teoria do eletromagnetismo; Corrigiu a lei empírica de Ampère com base em argumentos puramente teóricos; Descreveu a luz como sendo a propagação de um campo eletromagnético pulsante, confirmando a hipótese de Faraday. Equações de Maxwell no vácuo (1) ∮ S ~E · d~a = 1 �0 ∫ V ρdv Gauss (2) ∮ S ~B · d~a = 0 (3) ∮ C ~E · d~l = − d dt ∫ S ~B · d~a Faraday-Lenz (4) ∮ C ~B · d~l = µ0 ∫ S ( ~J + �0 ∂~E ∂t ) · d~a Ampère-Maxwell Equações de Maxwell no vácuo Teorema da divergência∫ V (∇ · ~v) dV = ∮ S ~v · d~a Teorema de Stokes∫ S (∇× ~v) · d~a = ∮ C ~v · d~l (1) ∇ · ~E = ρ �0 Gauss (2) ∇ · ~B = 0 (3) ∇× ~E = −∂ ~B ∂t Faraday-Lenz (4) ∇× ~B = µ0 ( ~J + �0 ∂~E ∂t ) Ampère-Maxwell (1) Lei de Gauss Johann Carl Friedrich Gauss (1835) ∮ S ~E · d~a = 1 �0 ∫ V ρdv ⇐⇒ ∇ · ~E = ρ �0 (1) Lei de Gauss Campo elétrico gerado por uma carga pontual (Lei de Coulomb) ∮ S ~E · d~a = ∮ S E da = E ∫ da = E4pir2 1 �0 ∫ V ρdv = q �0 E4pir2 = q �0 ⇒ ~E = q 4pi�0 ~ˆr r2 (2) Lei de Gauss para a magnetostática ∇ · ~B = 0 ⇐⇒ ∮ S ~B · d~a = 0 (2) Lei de Gauss para a magnetostática Não existem monopolos magnéticos!∗ ∗Pelo menos até hoje, 29 de janeiro de 2015 (3) Lei de Faraday-Lenz Indução eletromagnética ∇× ~E = −∂ ~B ∂t ⇐⇒ ∮ C ~E · d~l = − d dt ∫ S ~B · d~a (4) Lei de Ampère-Maxwell Antes de Maxwell: ∇× ~B = µ0~J ⇐⇒ ∮ C ~B · d~l = µ0 ∫ S ~J · d~a (4) Lei de Ampère-Maxwell O divergente do rotacional de um campo vetorial é sempre zero: ∇ · ( ∇× ~F ) = 0 ∇ · ( ∇× ~B ) = µ0∇ · ~J, mas em geral ∇ · ~J 6= 0 A correção de Maxwell: ∇ · ~J = −∂ρ ∂t = − ∂ ∂t ( �0∇ · ~E ) = −∇ · ( �0 ∂~E ∂t ) Assim: ∇× ~B = µ0 ( ~J + �0 ∂~E ∂t ) Ondas eletromagnéticas Na ausência de fontes (1a) ∇ · ~E = 0 (2a) ∇ · ~B = 0 (3a) ∇× ~E = −∂ ~B ∂t (4a) ∇× ~B = µ0�0∂ ~E ∂t Calculando o rotacional (∇×) da equação (3a), obtemos: ∇× ( ∇× ~E ) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E ∇× ( −∂ ~B ∂t ) = − ∂ ∂t (∇× ~B) = −µ0�0∂ 2~E ∂t2 ∇ 2~E = µ0�0 ∂2~E ∂t2 Ondas eletromagnéticas Fazendo o mesmo para a equação (4a), obtemos resultado idêntico para ~B. Assim: ∇2~E = µ0�0∂ 2~E ∂t2 ∇2~B = µ0�0∂ 2~B ∂t2 Equação de onda em 3 dimensões! ∇2f = 1 v2 ∂2f ∂t2 ~E e ~B são ondas que se propagam com velocidade v = 1√ �0µ0 = c ≈ 3× 108m/s Simetria nas equações de Maxwell Na ausência de fontes (~J = ρ = 0) (1a) ∇ · ~E = 0 (2a) ∇ · ~B = 0 (3a) ∇× ~E = −∂ ~B ∂t (4a) ∇× ~B = µ0�0∂ ~E ∂t Se existissem cargas magnéticas (1b) ∇ · ~E = 1 �0 ρe (2b) ∇ · ~B = µ0ρm (3b) ∇× ~E = −µ0~Jm − ∂ ~B ∂t (4b) ∇× ~B = µ0~Je + µ0�0∂ ~E ∂t Porém não existen cargas magnéticas, então... (1) ∇ · ~E = ρ �0 (2) ∇ · ~B = 0 (3) ∇× ~E = −∂ ~B ∂t (4) ∇× ~B = µ0 ( ~J + �0 ∂~E ∂t ) Apêndice: equações de Maxwell na matéria (1) ∇ · ~D = ρf (2) ∇ · ~B = 0 (3) ∇× ~E = −∂ ~B ∂t (4) ∇× ~H = ~Jf + ∂~D ∂t Equações constitutivas: ~D, ~H ⇔ ~E , ~B Meios lineares: ~D = �~E , ~H = 1 µ ~B onde: � ≡ �0(1 + χe) µ ≡ µ0(1 + χm)
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