Fisica II Equações de Maxwell

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Equações de Maxwell
Prof. Thiago Mattos
Departamento de Física e Matemática
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Introdução
Forças (ou interações) no universo:
Nome Intens. rel. Alcance (m) Age sobre
Nuclear forte 1 10−14 carga de cor
Eletromagnética 10−2 ∞ carga elétrica
Nuclear fraca 10−13 ≈ 0 sabor
Gravitacional 10−39 ∞ massa e energia
Teoria eletromagnética clássica⇔
{
Teoria quântica
Teoria da relatividade
Força eletromagnética:
~F = Q
(
~E + ~v × ~B
)
Campo eletromagnético: ~E , ~B
Qual foi a contribuição de Maxwell ao eletromagnetismo?
James Clerk Maxwell (1831-1879)
Escreveu uma série de leis baseadas em observações
experimentais na forma de equações matemáticas,
compilando assim todo o conhecimento na área;
Unificou as teorias da eletricidade e do magnetismo,
criando assim a teoria do eletromagnetismo;
Corrigiu a lei empírica de Ampère com base em
argumentos puramente teóricos;
Descreveu a luz como sendo a propagação de um campo
eletromagnético pulsante, confirmando a hipótese de
Faraday.
Equações de Maxwell no vácuo
(1)
∮
S
~E · d~a = 1
�0
∫
V
ρdv Gauss
(2)
∮
S
~B · d~a = 0
(3)
∮
C
~E · d~l = − d
dt
∫
S
~B · d~a Faraday-Lenz
(4)
∮
C
~B · d~l = µ0
∫
S
(
~J + �0
∂~E
∂t
)
· d~a Ampère-Maxwell
Equações de Maxwell no vácuo
Teorema da divergência∫
V
(∇ · ~v) dV = ∮
S
~v · d~a
Teorema de Stokes∫
S
(∇× ~v) · d~a = ∮
C
~v · d~l
(1) ∇ · ~E = ρ
�0
Gauss
(2) ∇ · ~B = 0
(3) ∇× ~E = −∂
~B
∂t
Faraday-Lenz
(4) ∇× ~B = µ0
(
~J + �0
∂~E
∂t
)
Ampère-Maxwell
(1) Lei de Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss (1835)
∮
S
~E · d~a = 1
�0
∫
V
ρdv ⇐⇒ ∇ · ~E = ρ
�0
(1) Lei de Gauss
Campo elétrico gerado por uma carga pontual
(Lei de Coulomb)
∮
S
~E · d~a =
∮
S
E da = E
∫
da = E4pir2
1
�0
∫
V
ρdv =
q
�0
E4pir2 =
q
�0
⇒ ~E = q
4pi�0
~ˆr
r2
(2) Lei de Gauss para a magnetostática
∇ · ~B = 0 ⇐⇒
∮
S
~B · d~a = 0
(2) Lei de Gauss para a magnetostática
Não existem monopolos magnéticos!∗
∗Pelo menos até hoje, 29 de janeiro de 2015
(3) Lei de Faraday-Lenz
Indução eletromagnética
∇× ~E = −∂
~B
∂t
⇐⇒
∮
C
~E · d~l = − d
dt
∫
S
~B · d~a
(4) Lei de Ampère-Maxwell
Antes de Maxwell: ∇× ~B = µ0~J ⇐⇒
∮
C
~B · d~l = µ0
∫
S
~J · d~a
(4) Lei de Ampère-Maxwell
O divergente do rotacional de um campo vetorial é sempre
zero: ∇ ·
(
∇× ~F
)
= 0
∇ ·
(
∇× ~B
)
= µ0∇ · ~J, mas em geral ∇ · ~J 6= 0
A correção de Maxwell:
∇ · ~J = −∂ρ
∂t
= − ∂
∂t
(
�0∇ · ~E
)
= −∇ ·
(
�0
∂~E
∂t
)
Assim: ∇× ~B = µ0
(
~J + �0
∂~E
∂t
)
Ondas eletromagnéticas
Na ausência de fontes
(1a) ∇ · ~E = 0
(2a) ∇ · ~B = 0
(3a) ∇× ~E = −∂
~B
∂t
(4a) ∇× ~B = µ0�0∂
~E
∂t
Calculando o rotacional (∇×) da equação (3a), obtemos:
∇×
(
∇× ~E
)
= ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E
∇×
(
−∂
~B
∂t
)
= − ∂
∂t
(∇× ~B) = −µ0�0∂
2~E
∂t2
∇
2~E = µ0�0
∂2~E
∂t2
Ondas eletromagnéticas
Fazendo o mesmo para a equação (4a), obtemos resultado
idêntico para ~B. Assim:
∇2~E = µ0�0∂
2~E
∂t2
∇2~B = µ0�0∂
2~B
∂t2
Equação de onda em 3 dimensões!
∇2f = 1
v2
∂2f
∂t2
~E e ~B são ondas que se propagam com velocidade
v =
1√
�0µ0
= c ≈ 3× 108m/s
Simetria nas equações de Maxwell
Na ausência de fontes
(~J = ρ = 0)
(1a) ∇ · ~E = 0
(2a) ∇ · ~B = 0
(3a) ∇× ~E = −∂
~B
∂t
(4a) ∇× ~B = µ0�0∂
~E
∂t
Se existissem cargas magnéticas
(1b) ∇ · ~E = 1
�0
ρe
(2b) ∇ · ~B = µ0ρm
(3b) ∇× ~E = −µ0~Jm − ∂
~B
∂t
(4b) ∇× ~B = µ0~Je + µ0�0∂
~E
∂t
Porém não existen cargas magnéticas, então...
(1) ∇ · ~E = ρ
�0
(2) ∇ · ~B = 0
(3) ∇× ~E = −∂
~B
∂t
(4) ∇× ~B = µ0
(
~J + �0
∂~E
∂t
)
Apêndice: equações de Maxwell na matéria
(1) ∇ · ~D = ρf
(2) ∇ · ~B = 0
(3) ∇× ~E = −∂
~B
∂t
(4) ∇× ~H = ~Jf +
∂~D
∂t
Equações constitutivas:
~D, ~H ⇔ ~E , ~B
Meios lineares:
~D = �~E , ~H =
1
µ
~B
onde:
� ≡ �0(1 + χe)
µ ≡ µ0(1 + χm)