EXERCICIOS DE CALCULO II - LISTA 3

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II - LISTA 3 
 
COMPRIMENTO DE ARCO 
 
Comprimento de Arco de uma Curva y = f(x) 
Teorema 1. Se uma função f e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [a, b], então 
o comprimento L do arco da curva y = f(x) do ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)) será dado por 
 ∫ √ ( ) 
 
 
 
Teorema 2. Se uma função g e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [c, d],então 
o comprimento L do arco da curva x = g(y) do ponto (g(c), c) ao ponto (g(d), d) será dado por 
 ∫ √ ( ) 
 
 
 
 
Comprimento de Arco de uma Curva Paramétrica 
Teorema. Se uma curva C for definida parametricamente por x = f(t) e y = g(t) para t [a, b], 
onde são contínuas e não simultaneamente nulas em [a, b] e C for percorrida exatamente 
uma vez quando t varia de a até b, então o comprimento L de C será dado por 
 ∫ √ ( ) ( ) 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
01. Calcular o comprimento do arco de cada curva dada, no intervalo indicado. 
a) y = 3x + 1, de x = 0 a x =3 f) 6xy = 
b) y = 
 
 
 de x = 2 a x = 3 g) 
 
 
√ ( ) de x = 1 a x = 4 
c) 24xy = de y = 2 a y = 4 h) ⁄ ⁄ no 1º quadrante, de x = 
 
 
 a x = 1 
d) x = 
 
 
 
 
 
 y = 1 a y = 4 i) y = ∫ √ 
 
 
 de x = 0 a x = 
 
 
 
e) x = 
 
 
 
 
 
 de y = 1 a y = 4 j) 9y² = x(x – 3)², no 1º quadrante, de x = 1 a x = 3. 
 
RESPOSTAS 
01. a) 3√ b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
 
 f) 
 
 
 g) 
 
 
 h) 
 
 
 i) 2 j) √ 
 
 
 
 
02. Calcular o comprimento do arco da curva paramétrica dada, no intervalo indicado, sem 
eliminar o parâmetro. 
a) x = (1 + t)², y = (1 + t )³; f) x = a - a , y = a – a 
b) x = 1 – t, y = 2 + 3t; 
 
 
 g) x = t³, y = 
 
 
 √ 
c) x = 0 
 
 
 h) x = 
 
 
 
d) x = i) x = 2(1 - ) ( ) 
e) x = 
( ) ⁄
 
 
 
 
 j) x = 8 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
02. a) 
 
 
( √ √ b) 
 √ 
 
 c) d) 4 e) 
 
 
 f) 8a g) 7 h) i) 3 j) 4