201841 204422 Listas+5+ +9

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Atividade Acadeˆmica: 97952 - Ca´lculo I: Estudo da Derivada
Docente: Prof. Ms. Jonas F. de Medeiros Per´ıodo Letivo: 2018/1
Lista 5
01) Dada a func¸a˜o y = x2 − 1:
a) Encontre a taxa de variac¸a˜o me´dia de y em relac¸a˜o a x no intervalo [1; 3].
b) Encontre a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de y em relac¸a˜o a x num ponto gene´rico x0.
02) Usando a definic¸a˜o da derivada f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
, determine a derivada da func¸a˜o f(x) = x2+x.
03) Calcule a derivada f ′(x) das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x5 + 4x3 − 2x2 + x+ 7
b) f(x) = 1x +
3
x2 − 7x10 + 7x10
c) f(x) = x5/4 + 2
x5/4
+
√
x+ 6√
x
d) f(x) = − 56
(
x2 − 4x+ 1)
e) f(x) = (1− x) ( 13x+ 2)
04) Calcule dydx nos itens a seguir:
a) y = 3x8 + 4x
b) y = 3
c) y = pi7
d) y = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a, b, c e d sa˜o constantes.
e) y = (3x+ 5x2)2
05) Se f(x) = x5 + 4x3 − 2x2 + x+ 7, enta˜o determine o valor de f ′(1).
06) Se y = (2 + 3x).4x2, enta˜o determine o valor de y′(2).
07) Se y(t) = 3t − 5t3 , enta˜o determine dydt e dydt
∣∣∣
t=2
.
08) Ache a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y = f(x) no ponto x = −3 se f(−3) = 2 e f ′(−3) = 5.
09) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y = 1x + x no ponto x = 1.
10) Um atleta percorre uma pista de 100 metros de modo que a distaˆncia s(t) percorrida apo´s t segundos e´ dada
por S(t) = 15 t
2 + 8t metros. Determine:
a) a distaˆncia percorrida em 5 segundos.
b) a velocidade me´dia no intervalo [0,5].
c) a velocidade instantaˆnea em t segundos.
1
11) Seja a func¸a˜o f(x) = x2 + 4x, responda:
a) Qual e´ a inclinac¸a˜o (coeficiente angular) da reta secante determinada pelos pontos P(1,5) e Q(3,21)?
b) Qual e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto P(1,5)?
12) Uma part´ıcular move-se na direc¸a˜o positiva de um eixo de tal forma que, apo´s t minutos, a sua distaˆncia e´
de S(t) = 6t4 cent´ımetros de sua origem.
a) Ache a velocidade me´dia da part´ıcula no intervalo [2,4].
b) Ache a velocidade instantaˆnea em t = 2.
13) Abaixo temos um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 + x2 − 3x+ 4. Qual e´ a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico f no ponto de abscissa x = 1? Fac¸a um esboc¸o dessa reta.
14) Um estudo realizado pela caˆmara de come´rcio de uma cidade projetou que a populac¸a˜o da cidade nos
pro´ximos treˆs anos crescera´ de acordo com a lei P (t) = 50000 + 30t3/2 + 20t onde P (t) denota a populac¸a˜o daqui a
t meses.
a) Em 2 anos, qual sera´ a populac¸a˜o da cidade?
b) Em 16 meses, com que rapidez a populac¸a˜o dessa cidade estara´ crescendo?
c) Entre o 1o e o 2o ano, qual foi a taxa me´dia de crescimento populacional nessa cidade?
15) O nu´mero de pessoas entre 18 e 64 anos recebendo benef´ıcios do sistema de seguridade social entre 1990
e 2000 e´ aproximado pela func¸a˜o N(t) = 0, 00037t3 − 0, 0242t2 + 0, 52t + 5, 3, onde N(t) e´ dado em milho˜es de
habitantes e t e´ medido em anos, com t = 0 correspondendo a 1990. Com que rapidez o nu´mero de beneficia´rios
esta´ aumentando em 1996?
Exerc´ıcios Sugeridos do Livro
Exerc´ıcios de compreensa˜o: Pa´gina 160.
Exerc´ıcios 2.3 - Pa´gina 161: I´mpares do 1 ao 21, 29 e 31.
2
Respostas
01) a) 4 b) f ′(x0) = 2x0
02) f ′(x) = 2x+ 1
03) a) f ′(x) = 5x4 + 12x2 − 4x+ 1
b) f ′(x) = − 1x2 − 6x3 + 70x11 + 70x9
c) f ′(x) = 54x
1/4 − 5
2x9/4
+ 1
2
√
2
− 3
x3/2
d) f ′(x) = − 56 (2x− 4)
e) f ′(x) = − 23x− 53
04) a) y′ = 24x7 + 4
b) y′ = 0
c) y′ = 0
d) y′ = 3ax2 + 2bx+ c
e) y′ = 18x+ 90x2 + 100x3
05) 14
06) 176
07) dydt = − 3t2 + 15t4 e dydt
∣∣∣
t=2
= 516
08) y = 5x+ 17
09) y = 2
10) a) 45 metros b) 9m/s c) S′(t) = V (t) = 25 t+ 8
11) a) 8 b) 6
12) a) 720 cm/min b) S′(2) = 192cm/min
13) y = 2x+ 1
14) a) Aprox. 54007 hab. b) 200 hab/meˆs c) 210 hab/meˆs
15) 0,85036 beneficia´rios/ano.
3
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Lista 6
01) A partir das func¸o˜es abaixo, determine f ′(2).
a) f(x) = (x3 + 7x2 − 8)(2x3 + x4)
b) f(x) = x−2 + 3x4
c) f(x) = 2x+x
2
1−x
d) f(x) =
(
3x+2
x
)
(x−5 + 1)
02) A partir das func¸o˜es abaixo, determine d
2y
dx2 .
a) y = (4x2 − 3x)(6x3 + 1)
b) y = x+1x
03) Um estudo dos n´ıveis de formalde´ıdo em 900 casas indicou que a emissa˜o de va´rios produtos qu´ımicos pode
diminuir com o passar do tempo. Os n´ıveis me´dios de formalde´ıdo (em partes por milha˜o) em uma casa sa˜o dados
por
f(t) =
0, 055t + 0, 26
t + 2
, 0 ≤ t ≤ 12
onde t representa a idade da casa em anos.
a) Quando a casa esta´ no in´ıcio de seu 4o ano, com que rapidez o n´ıvel me´dio de formalde´ıdo estara´ decrescendo?
b) Supondo que esse comportamento fosse mantido, determine o limite dos n´ıveis me´dios de formalde´ıdo nessas
casas quando t tende a infinito.
04) A velocidade me´dia de um ve´ıculo em um trecho de uma rodovia entre 6h e 10h da manha˜ em um t´ıpico dia
de semana e´ dada aproximadamente pela func¸a˜o f(t) = 20t − 40√t + 50, 0 ≤ t ≤ 4 , onde f(t) e´ medido em km
por hora e t e´ medido em horas, com t = 0 correspondendo a`s 6h da manha˜. As 10h da manha˜, qual e´ a velocidade
me´dia dos carros que esta˜o trafegando por essa rodovia?
05) Construa o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2 e trace a reta tangente a` para´bola no ponto (1,1). Apo´s, determine
a equac¸a˜o dessa reta.
06) A para´bola de equac¸a˜o y = x2−4x+3 tem uma reta tangente cujo coeficiente angular e´ igual a 6. Determine
o ponto (x, y) da curva no qual essa reta tangencia.
07) Um mo´vel se desloca segundo a func¸a˜o S(t) = −2t2+15t+3, onde o deslocamento esta´ em metros e o tempo
em segundos. Determine a acelerac¸a˜o desse mo´vel no instante t = 3s. Nesse instante, a velocidade esta´ aumentando
ou diminuindo?
08) Se f(x) = 4+xx−5 , determine f
′(x) e o domı´nio de f ′(x).
1
Exerc´ıcios Sugeridos do Livro
Pa´gina 161: 41, 43 e 45.
Pa´gina 162: 47 e 61.
Pa´gina 168: 1 ao 15 (´ımpares) + 21, 23, 27, 29 e 41.
Respostas
01) a) f ′(x) = −15x2 − 14x3 + 48x4 + 32x5, f ′(2) = −3/2
b) f ′(x) = −2x−3 − 12x−5, f ′(2) = −5/8
c) f ′(x) = 2+2x−x
2
(1−x)2 , f
′(2) = 2
d) f ′(x) = −12x−7 − 15x−6 − 2x−2, f ′(2) = −53/64
02) a) y′′ = 480x3 − 216x2 + 8
b) y′′ = 2x3
03) a) -0,00417 ppm/ano b) 0,055 ppm
04) 50km/h
05) y = 2x− 1
06) (5,8)
07) a = −4m/s2 e a velocidade esta´ diminuindo.
08) f ′(x) = 9(5−x)2 e D(f
′) = R− {5}
2
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Lista 7
01) A partir das func¸o˜es abaixo, determine f ′(x).
a) f(x) = 4 cosx+ 2sen x
b) f(x) = −4x2. cosx
c) f(x) = 5−cos x5+sen x
d) f(x) = secx−√2 tanx
e) f(x) = secx. tanx
02) Seja f(x) = sen x2x , determine f
′(pi).
03) Dada a func¸a˜o f(x) = x.sen x, calcule f ′′′
(
pi
2
)
.
04) Na figura abaixo esta´ esboc¸ado o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x+4x2+1 . Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a esta
curva no ponto em que x = 1. No mesmo gra´fico, esboce essa reta.
05) Calcule as derivadas das func¸o˜es a seguir:
a) f(x) = x2.sen x
b) f(x) = sec x1+tan x
c) f(x) = x− 3sen x
d) f(x) = sen x+ 10 tanx
e) f(t) = t3 cos t
f) y = xcos x
1
g) f(θ) = sec θ1+sec θ
h) f(x) = sen xx2
06) Na figura abaixo, esta´ esboc¸ado o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x+ cosx . Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente
a esta curva no ponto em que x = 0. No mesmo gra´fico, esboce esta reta.
07) Na figura abaixo, esta´ esboc¸ado o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x. cosx . Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a
esta curva no ponto em que x = pi. No mesmo gra´fico, esboce esta reta.
2
Exerc´ıciosSugeridos do Livro
Pa´gina 172 (Compreensa˜o): 1 e 2.
Pa´gina 172: 9 e 13 ao 29 (´ımpares).
Pa´gina 173: 35 ao 41 (´ımpares).
Respostas
01) a) −4sen x+ 2 cosx
b) 4x2sen x− 8x cosx
c) 1+5sen x−5 cos x(5+sen x)2
d) secx. tanx−√2 sec2 x
e) sec3 x+ secx. tan2 x
02) f ′(pi) = − 12pi
03) −3
04) y = −2x+ 92
05) a) 2x.sen x+ x2 cosx
b) sec x(tan x−1)(1+tan x)2
c) 1− 3 cosx
d) cosx+ 10 sec2 x
3
e) 3t2 cos t− t3.sen t
f) cos x+x.sen xcos2 x
g) sec θ. tan θ(1+sec θ)2
h) x. cos x−2.sen xx3
06) y = x+ 1
07) y = −x
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Lista 8
01) Calcule as derivadas das func¸o˜es a seguir:
a) f(x) = (2 + 3x+ 5x2)22
b) f(x) =
(
2 + 3x
)22
c) f(x) = x5.
(
2 + 3x
)22
d) f(x) =
√
1 + 5x2
e) f(x) = 2+3x(5−6x)10
f) f(x) = (2x+ 1)−2
g) f(x) = (x2 − 4)3/2
h) f(x) = 3
√
1− x2
i) f(t) = 1√
2t−3
j) f(x) =
√
x+ 1 +
√
x− 1
k) f(x) = (x− 1)2.(2x+ 1)4
l) f(t) =
(
9 + 9t2
)
(7−√t)79
m) f(x) =
1+ 7√
x
(1−5√x)5
n) f(t) = sen (2t) + sen2 (5t)
o) f(x) = sen (
√
x) + sen
(
1 + 1x
)
p) g(t) = 2.sen (10t) + 7.sen5 (t4)
q) h(x) =
sen
(
2√
x
)
1−x
r) f(x) = (1− x) cos
(
2√
x
)
s) f(t) = (5 + 6t)7 + cos(pit)
u) f(x) =
√
x+ sen (5x)
02) Seja f(x) =
√
1 + 7x2. Determine f ′(5).
03) Seja f(x) = [1 + sen (3x)]
5
. Determine o valor de f ′(5) com duas casas apo´s a v´ırgula de aproximac¸a˜o.
1
04) Abaixo temos um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
√
2x+ 2:
a) Qual e´ a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) no ponto em que x = 1?
b) Fac¸a um esboc¸o da reta do item anterior no plano cartesiano acima. Qual e´ a intersecc¸a˜o da reta com o eixo x?
05) Abaixo, temos um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) = sen (2x + 3) + x + 1, 5 . Qual e´ a equac¸a˜o da reta
tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa x = 1? Trace essa reta.
06) O deslocamento de uma part´ıcula sobre uma corda vibrante e´ dado pela equac¸a˜o
S(t) = 10 +
1
4
.sen (10pit)
onde S e´ medido em cent´ımetros e t em segundos. Encontre a velocidade da part´ıcula apo´s t segundos.
2
07)A Cefeu e´ uma constelac¸a˜o cujo brilho e´ varia´vel. A estrela mais vis´ıvel dessa constelac¸a˜o e´ a Delta Cefeu,
para a qual o intervalo de tempo entre os brilhos ma´ximos e´ de 5,4 dias. O brilho me´dio dessa estrela e´ 4,0, com
uma variac¸a˜o de ±0, 35. Em vista desses dados, o brilho de Delta Cefeu no instante , onde e´ medido em dias, foi
modelado pela func¸a˜o
B(t) = 4, 0 + 0, 35.sen
(
2pit
5, 4
)
Determine a taxa de variac¸a˜o do brilho dessa constelac¸a˜o apo´s t dias.
Exerc´ıcios Sugeridos do Livro
Pa´gina 178 (Compreensa˜o): 3 e 4.
Pa´gina 178 e 179: 1 ao 39 (´ımpares) + 43, 45, 47 e 49.
Pa´gina 182 e 183 (Revisa˜o do Cap´ıtulo): 3, 7, 19, 29, 31, 33, 35 e 39.
Respostas
01) a) (66 + 220x)(2 + 3x+ 5x2)21
b) − 66x2
(
2 + 3x
)21
c) 5x4.
(
2 + 3x
)22 − 66x3 (2 + 3x)21
d) 5x√
1+5x2
e) 3(5−6x)
10+(120+180x)(5−6x)9
(5−6x)20 =
3
(5−6x)10 +
120+180x
(5−6x)11
f) − 4(2x+1)3)
g) 3x
√
x2 − 4
h) − 2x
3(1−x2)2/3
i) − 1
(2t−3)3/2
j) 1
2
√
x−1 +
1
1
√
x+1
k) 8(x− 1)2(2x+ 1)3 + 2(x− 1)(2x+ 1)4
l) −18t−3(7−√t)79 + (9− 9t2 ) .79.(7−√t)79 (− 12 t−1/2)
m)
− 72x−3/2(1−5
√
x)5−
(
1+ 7√
x
)
.5.(1−5√x)4(− 52x−1/2)
(1−5√x)10
n) 2 cos(2t) + 10.sen (5t). cos(5t)
o) cos(
√
x)
2
√
x
− cos(1+
1
x )
x2
p) 20 cos(10t) + 140t3sen4 (t4) cos(t4)
3
q)
cos
(
2√
x
)
(−x−3/2)(1−x)−sen
(
2√
x
)
(−1)
(1−x)2
r) −1. cos
(
2√
x
)
+ (1− x)
(
sen
(
2√
x
))
(−x−3/2)
s) 42(5 + 6x)6 − pisen (pit))
t) 42(5 + 6x)6 cos(pit)− pi(5 + 6x)7sen (pit)
u) 1+5 cos(5x)
2
√
x+sen (5x)
02) 35√
176
03) −84, 52
04) y = 12x+
3
2 e a intersec¸a˜o e´ quando x = −3
4
05) y = (2 cos(5) + 1)x+ sen (2, 5) = 2 cos(5)− 3, 5
06) S′(t) = v(t) = 52pi cos(10pit) cm/s
07) B′(t) = 754pi cos
(
2pit
5,4
)
5
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Lista 9
Taxas Relacionadas
01) Uma bola de pla´stico cai num roseiral e um espinho a perfura de forma que o volume da bola decresce a
uma taxa de 100cm3 por segundo. No exato instante que o raio da bola atinge 20cm, com que rapidez o raio estara´
decrescendo?
02) Um petroleiro sofre um acidente em alto mar e comec¸a a perder o´leo por uma abertura no casco. Se o
combust´ıvel se espalha de forma circular de modo que o raio da mancha cresce a uma taxa constante de 4m/s, com
que velocidade a a´rea do derramamento esta´ crescendo quando o raio da mancha for de 100m?
03) Um bala˜o esfe´rico e´ esvaziado de tal forma que seu raio decresce a uma taxa constante de 10cm/min. Com
que taxa o ar esta´ sendo removido quando o raio for de 12cm?
04) Uma escada de 1,3m esta´ apoiada em uma parede. Se seu topo desliza sobre a parede para baixo a uma taxa
de 0,2m/s, com que rapidez a base da escada estara´ se afastando da parede quando o topo estiver a 0,5m acima do
solo?
05) Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3m/s. Com
que rapidez estara´ variando a a´rea englobada pela onda crescente ao final de 10 segundos?
06) Pela ruptura de um tanque, uma mancha de o´leo espalha-se em forma de um c´ırculo, cuja a´rea cresce a
uma taxa constante de 6km2/h. Com que rapidez estara´ variando o raio da mancha crescente quando a a´rea for de
9pi km2?
07) Um bala˜o esfe´rico e´ inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3m3/min. Com que rapidez o raio
do bala˜o estara´ crescendo quando o diaˆmetro for de 2m?
08) Um foguete subindo verticalmente e´ acompanhado por uma estac¸a˜o de radar no solo a 3km da rampa de
lanc¸amento. Com que rapidez o foguete estara´ subindo quando a sua altura for 4km e a sua distaˆncia a` estac¸a˜o do
radar estiver crescendo a uma taxa de 2000km/h?
09) Gra˜os caem de uma calha de escoamento a uma taxa de 8m3/min, formando uma pilha coˆnica cuja altura e´
sempre o dobro do seu raio. Com que rapidez a altura da pilha esta´ crescendo no momento em que a altura e´ de 6m?
10) A`s 8h o navio A esta´ a 25km ao sul do navio B. Se o navio A esta´ navegando para o oeste a` 16km/h e
o navio B esta´ navegando para o sul a 20km/h enta˜o determine a raza˜o em que a distaˆncia entre os navios esta´
variando a`s 8h30min.
Crescimento e Decrescimento de Func¸o˜es
11) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = 3x2 − 6x+ 1
b) f(x) = 6 + pi − 3x
c) f(x) = 3x4 + 12x2
d) f(x) = x3 − 3x2 + 1
1
Exerc´ıcios Sugeridos do Livro
Pa´ginas 208 a 211: 1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 25, 27 e 29.
Respostas
01) 0,02 cm/s
02) 800pi m2/s
03) 5760pi cm3/min
04) 8,3 cm/s
05) 180pi m2/s
06) 0,32 km/h
07) 23,9 cm/min
08) 2500 km/h
09) 28,3 cm/min
10) 10,12 km/h
11) a) Crescente: [1,+∞); decrescente: (−∞, 1]
b) A func¸a˜o e´ sempre decrescente, logo e´ decrescente em R.
c) Crescente: [0,+∞); decrescente: (−∞, 0]
d) Crescente: (−∞, 0] ∪ [2,+∞); decrescente: [0, 2].
2