Exercicios Metodo dos Deslocamentos - Porticos

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Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 1/12 profwillian.com 
Exercícios - Utilize o Método dos deslocamentos para calcular as reações de apoio e trace os diagramas de esforços 
normal, cortante e momento fletor dos quadros hiperestáticos: 
1) 
 
B 
A 
C 
15 kN/m 
5m 
4m 
 
5) 
 6 kN/m 
2 m 
3 m 2 m 
D 
A B C 3EI 
EI 
3EI 
 
2) 
 
B 
A 
C 
18 kN/m 
4m 
3m 
4EI 
EI 
 
6) 
 10,8 kN/m 
3 m 
4 m 4 m 
D 
A B C 
E 
 
3) 
 
B 
A 
C 
12 kN/m 
5m 
4m 
3m 
D 
 
7) 
 12 kN/m 
3 m 
5 m 3 m 
D 
A B C 4EI 
EI 
3EI 
E 
EI 
 
4) 
 6 kN/m 
2 m 
3 m 2 m 
D 
A B C 
 
8) 
 
B 
A 
C D 
6 kN/m 
6 m 
4 m 
3 m 
1 kN 
4EI 
EI 
EI 
 
 
Obs.: Confirme as reações de apoio e os esforços com o software: 
Ftool  http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/ 
 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 2/12 profwillian.com 
2) 
 
B 
A 
C 
18 kN/m 
4m 
3m 
4EI 
EI 
 
Solução: 
1- Sistema Principal 
 1 
B 
A 
1 
 
2- Efeitos no sistema principal 
 
B 
A 
1 
10 
 
 
B 
A 
1 
11 
 
Carregamento Externo Rotação 1 
 
barra BC: 
36
8
4x18
8
qL
M
22
1
1B 
 
 
Temos então: 
36M 1B10 
 
barra BC: 
EI3
4
EI4x3
L
EI3
k
1
1C 
 
barra AC: 
EI333,1
3
EI4
L
EI4
k
2
2C 
 
Temos então: 
 2C1C11 kk
 
EI333,4EI333,1EI311 
 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 3/12 profwillian.com 
3- Cálculo da incógnita 1 
Sabemos que: 
011110 
 

 
11
10
1



 

 
EI333,4
36
1


 

EI
30769,8
1 
 
 
4- Reações de Apoio 
 1B1
o
BB VVV
 

2
1
1
1
B
L
EI3
8
qL3
V
 











2B 4
EI43
EI
30769,8
8
4183
V
 
kN23,33VB 
 
 









2A
2
2
1A
1
A1
o
AA
3
EI6
EI
30769,8
0H
L
EI6
0H
HHH
 
kN54,5HA 
 
 









EJ
30769,8
3
EJ2
0M
L
EJ2
0M
MMM
A
1
2
A
1
1
A
o
AA
 
kNm54,5M A 
 
 
 
 
 
 
As demais reações de apoio podem 
ser calculadas por equilíbrio estático. 
  0Fy
 
 04x18V23,33 A
 
kN77,38VA 
 
 
  0Fx
 
 0H54,5 B
 
kN54,5HB 
 
Representação gráfica das reações de apoio 
 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 4/12 profwillian.com 
5- Diagramas de esforços 
 
Barra BC 
Equações com origem em B (x=0). 
m4x0 
 
2
B
B
B
x9xV)x(M
x18V)x(V
H)x(N



 
 
Barra AC 
Equações com origem em A (x=0). 
m3x0 
 
xHM)x(M
H)x(V
V)x(N
AA
A
A



 
 
a) Esforço Normal 
 
 
b) Cortante 
 
 
c) Momento Fletor 
 
 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 5/12 profwillian.com 
4) 
 
 6 kN/m 
2 m 
3 m 2 m 
D 
A B C 
 
Solução: 
 
D 
A 
1 
1 
Sistema Principal 
 
C 
 
 
D 
A 
1 
10 
Carregamento 
Externo 
 
6 kN/m 
C 
 
 
D 
A 
1 
11 
Rotação 1 
 
C 
 
Carregamento Externo: 
3
8
26
8
qL
M
2
9
12
36
12
qL
M
22
BC
2B
22
AB
1B






 
 
Temos então: 
2
3
3
2
9
MM 2B1B10 
 
Rotação 1 
EI2
2
EI4
L
EI4
k
EI
2
3
2
EI3
L
EI3
k
EI
3
4
3
EI4
L
EI4
k
BD
3B
BC
2B
AB
1B









 
Temos então: 
EI
6
29
EI2EI
2
3
EI
3
4
11 
 
Cálculo da incógnita 
1 
Sabemos que: 
011110 
 

 
11
10
1



 

 
EI
6
29
2
3
1

 

EI29
9
1 
 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 6/12 profwillian.com 
 
4- Reações de Apoio 
kN207,9V
29
267
3
EI6
EI29
9
2
36
V
L
EI6
2
qL
V
VVV
A
2A
2
AB
1
AB
A
1
A1
o
AA















 
kNm707,4M
58
273
3
EI2
EI29
9
12
36
M
L
EI2
12
qL
M
MMM
A
2
A
AB
1
2
AB
A
1
A1
o
AA















 
kN526,16V
2
EI3
3
EI6
EI29
9
8
265
2
36
V
L
EI3
L
EI6
8
qL5
2
qL
V
VVV
D
22D
2
BC
2
AB
1
BCAB
D
1
D1
o
DD






 



























 
kNm310,0M
2
EI2
EI29
9
0M
L
EI2
0M
MMM
D
D
BD
1D
1
D1
o
DD










 
kN267,4V
2
EI3
EI29
9
8
263
V
L
EI3
8
qL3
V
VVV
C
2C
2
BC
1
BC
C
1
C1
o
CC
























 
kN466,0H
kN466,0H
2
EI6
EI29
9
0H
L
EI6
0H
HHH
A
D
2D
2
BD
1D
1
D1
o
DD















 


 
 
 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 7/12 profwillian.com 
8) 
 
B 
A 
C D 
6 kN/m 
6 m 
4 m 
3 m 
1 kN 
4EI 
EI 
EI 
 
 
Sistema Principal 
 
1 = Rotação do nó C (deslocabilidade interna) 
2 = Rotação do nó D (deslocabilidade interna) 
3 = Translação da direção CD (deslocabilidade externa) 
 
 
1 2 3 
1 2 
3 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 8/12 profwillian.com 
Direção 0 – Carregamento original 
 
 
Para a barra CD temos os seguintes valores: 
18
2
66
2
q
VV
18
12
66
12
q
M
18
12
66
12
q
M
0D0C
22
0D
22
0C












 
Os demais valores (na cor azul) são todos iguais a zero. 
6 kN/m 
1 2 3 
6 kN/m 
VD0 VC0 
MC0 MD0 
HC0 
HA0 
HD0 
HB0 
MC0 
MA0 
MD0 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 9/12 profwillian.com 
Direção 1 – Rotação unitária na direção de 1 
 
 
Para a barra CD temos os seguintes valores: 
3
EI2
36
EI24
6
EI24)EI4(6
VV
3
EI4
6
EI8
6
)EI4(2)EI4(2
M
3
EI8
6
EI16
6
)EI4(4)EI4(4
M
221D1C
1D
1C






 
Para a barra AC temos os seguintes valores: 
8
EI3
16
EI6
4
EI6EI6
HH
2
EI
4
EI2EI2
M
EI
4
EI4EI4
M
221A1C
1A
1C






 
Os demais valores (na cor azul) são todos iguais a zero. 
1 2 3 
VD1 VC1 
MC1 MD1 
HC1 
HA1 
HD1 
HB1 
MC1 
MA1 
MD1 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 10/12 profwillian.com 
Direção 2 – Rotação unitária na direçãode 2 
 
 
Para a barra CD temos os seguintes valores: 
3
EI2
36
EI24
6
EI24)EI4(6
VV
3
EI8
6
EI16
6
)EI4(4)EI4(4
M
3
EI4
6
EI8
6
)EI4(2)EI4(2
M
222D2C
2D
2C






 
Para a barra BD temos os seguintes valores: 
3
EI
9
EI3
3
EI3EI3
HH
EI
3
EI3EI3
M
222B2D
2D



 
Os demais valores (na cor azul) são todos iguais a zero. 
 
1 2 3 
VD2 VC2 
MC2 MD2 
HC2 
HA2 
HD2 
HB2 
MC2 
MA2 
MD2 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 11/12 profwillian.com 
Direção 3 – Translação unitária na direção de 3 
 
 
Para a barra AC temos os seguintes valores: 
16
EI3
64
EI12
4
EI12EI12
HH
8
EI3
16
EI6
4
EI6EI6
MM
333A3C
223A3C



 
Para a barra BD temos os seguintes valores: 
9
EI
27
EI3
3
EI3EI3
HH
3
EI
9
EI3
3
EI3EI3
M
333B3D
223D



 
Os demais valores (na cor azul) são todos iguais a zero. 
 
1 2 3 
VD3 VC3 
MC3 MD3 
HC3 
HA3 
HD3 
HB3 
MC3 
MA3 
MD3 
Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática 
Método dos Deslocamentos 12/12 profwillian.com 
Equações de compatibilidade 
11H
00M
00M
333232131303
323222121202
313212111101






 
 
Onde: 
144
EI43
9
EI
16
EI3
HH
3
EI
H
3
EI11
EI
3
EI8
MM
8
EI3
H
3
EI4
M
3
EI11
EI
3
EI8
MM
0
18M
18M
3D3C33
3223
3113
2D32
2D2D22
2112
1C31
1D21
1C1C11
30
0D20
0C10












 
 
Assim: 
EI
1
3269346,5
3845231,7
1391722,8
1
18
18
144
43
3
1
8
3
3
1
3
11
3
4
8
3
3
4
3
11
EI
1
0
0
3
2
1
3
2
1
30
20
10
3
2
1
333231
232221
131211


























































































 
 
Reações de Apoio: 





3B32B21B10BB
3B32B21B10BB
3A32A21A10AA
3A32A21A10AA
3A32A21A10AA
HHHHH
VVVVV
MMMMM
HHHHH
VVVVV
kN0539,3H
kN5031,18V
kN0720,2M
kN0539,2H
kN4969,17V
B
B
A
A
A




