Superfícies Quádricas e de Revolução

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Superf´ıcies Qua´dricas e de Revoluc¸a˜o
1 Superf´ıcies Qua´dricas
Definic¸a˜o 1.1. O gra´fico de uma equac¸a˜o de segundo grau nas varia´veis x, y e z da
forma
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0,
comA,B,C,D,E, F,G,H, I e J constantes reais, e´ chamada uma superf´ıcie qua´drica.
Para visualizar, reconhecer e trac¸ar o gra´fico destas superf´ıcies usamos uma te´cnica
que envolve a determinac¸a˜o dos trac¸os e sec¸o˜es da superf´ıcie.
Os trac¸os de uma superf´ıcie sa˜o as curvas de intersec¸a˜o da superf´ıcie com os
planos coordenados xy (z = 0), xz (y = 0) e yz (x = 0).
As sec¸o˜es de uma superf´ıcie sa˜o as curvas de intersec¸a˜o da superf´ıcie com os
planos paralelos aos planos coordenados, ou seja, com planos x = k, y = k ou z = k,
onde k e´ uma constante real na˜o nula.
Definic¸a˜o 1.2. Uma superf´ıcie qua´drica dada por uma equac¸a˜o da forma
±x
2
a2
± y
2
b2
± z
2
c2
= 1, (1)
onde a, b, c sa˜o constantes positivas, e´ chamada uma qua´drica central.
As superf´ıcies qua´dricas centrais sa˜o classificadas do seguinte modo:
(i) Se os treˆs sinais do lado esquerdo da equac¸a˜o (1) sa˜o positivos, a superf´ıcie e´
chamada elipso´ide.
(ii) Se apenas um dos sinais do lado esquerdo da equac¸a˜o (1) e´ negativo, a superf´ıcie
e´ chamada hiperbolo´ide de uma folha.
(iii) Se dois sinais do lado esquerdo da equac¸a˜o (1) sa˜o negativos e o outro e´ positivo,
a superf´ıcie e´ chamada hiperbolo´ide de duas folhas.
As justificativas para tais nomes sa˜o dadas a seguir.
1
1.1 O elipso´ide
Considere o elipso´ide de equac¸a˜o:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, com a, b, c > 0.
Os trac¸os do elipso´ide nos planos coordenados sa˜o:
(1) No plano xy (z = 0) temos:
x2
a2
+
y2
b2
= 1, (elipse).
(2) No plano xz (y = 0) temos:
x2
a2
+
z2
c2
= 1, (elipse).
(3) No plano yz (x = 0) temos:
y2
b2
+
z2
c2
= 1, (elipse).
A sec¸a˜o do elipso´ide no plano z = k 6= 0, possui equac¸a˜o da forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1− k
2
c2
=
c2 − k2
c2
.
(i) Se |k| < c, (c2 − k2)/c2 > 0,
x2
a2
+
y2
b2
=
c2 − k2
c2
e a sec¸a˜o e´ uma elipse.
(ii) Se |k| > c, (c2 − k2)/c2 < 0,
x2
a2
+
y2
b2
=
c2 − k2
c2
e a sec¸a˜o e´ o conjunto vazio.
(iii) Se |k| = c, (c2 − k2)/c2 = 0,
x2
a2
+
y2
b2
= 0 e a sec¸a˜o e´ o ponto (0, 0, k).
2
De modo ana´logo, podemos obter as sec¸o˜es do elipso´ide nos planos x = k e y = k.
Observac¸a˜o: Considere um elipso´ide de equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, com a, b, c > 0.
Se a = b = c temos uma esfera centrada na origem e raio r = a.
A equc¸a˜o de uma esfera S de centro em C(x0, y0, z0) e raio r e´ obtida da seguinte
forma:
P (x, y, z) ∈ S ⇔ d(P,C) = r ⇔
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r ⇔
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2.
1.2 O hiperbolo´ide de uma folha
Supondo que apenas o termo envolvendo z2 seja negativo, temos a equac¸a˜o:
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1, com a, b, c > 0.
Os trac¸os deste hiperbolo´ide nos planos coordenados sa˜o:
(1) No plano xy (z = 0) temos:
x2
a2
+
y2
b2
= 1, (elipse).
(2) No plano xz (y = 0) temos:
x2
a2
− z
2
c2
= 1, (hipe´rbole).
(3) No plano yz (x = 0) temos:
y2
b2
− z
2
c2
= 1, (hipe´rbole).
A seguir as sec¸o˜es do hiperbolo´ide de uma folha.
(1) No plano z = k 6= 0, temos
x2
a2
+
y2
b2
= 1 +
k2
c2
=
c2 + k2
c2
e a sec¸a˜o e´ uma elipse.
3
(2) No plano x = k 6= 0, temos
y2
b2
− z
2
c2
= 1− k
2
a2
=
a2 − k2
a2
. (2)
(i) Se |k| < a, (a2 − k2)/a2 > 0 e a curva dada pela equac¸a˜o (2) e´ uma elipse.
(ii) Se |k| > a, (a2 − k2)/a2 < 0 e a curva dada pela equac¸a˜o (2) e´ uma
hipe´rbole com focos no eixo z.
(iii) Se |k| = a, (a2 − k2)/a2 = 0 e a curva dada pela equac¸a˜o (2) e´ um par de
retas concorrentes cujas equac¸o˜es sa˜o: y = ±b/cz.
(3) No plano y = k 6= 0, temos uma situac¸a˜o ana´loga a` do item (2).
1.3 O hiperbolo´ide de duas folhas
Supondo que apenas os termos envolvendo x2 e z2 possuam sinais negativos, temos
a equac¸a˜o:
−x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1, com a, b, c > 0.
Os trac¸os deste hiperbolo´ide nos planos coordenados sa˜o:
(1) No plano xy (z = 0) temos:
−x
2
a2
+
y2
b2
= 1, (hipe´rbole com focos no eixo y).
(2) No plano xz (y = 0) temos:
−x
2
a2
− z
2
c2
= 1, (conjunto vazio).
(3) No plano yz (x = 0) temos:
y2
b2
− z
2
c2
= 1, (hip´’erbole com focos no eixo y).
A seguir as sec¸o˜es do hiperbolo´ide de duas folhas.
(1) No plano z = k 6= 0, temos
−x
2
a2
+
y2
b2
= 1 +
k2
c2
=
c2 + k2
c2
e a sec¸a˜o e´ uma hipe´rbole com focos no eixo y.
4
(2) No plano x = k 6= 0, temos
y2
b2
− z
2
c2
= 1 +
k2
a2
=
a2 + k2
a2
e a sec¸a˜o e´ uma hipe´rbole com focos no eixo y.
(3) No plano y = k 6= 0, temos:
−x
2
a2
− z
2
c2
= 1− k
2
b2
=
b2 − k2
b2
. (3)
(i) Se |k| < b, (b2− k2)/b2 > 0 e a curva dada pela equac¸a˜o (3) e´ um conjunto
vazio.
(ii) Se |k| > b, (b2 − k2)/b2 < 0 e a curva dada pela equac¸a˜o (3) e´ uma elipse.
(iii) Se |k| = b, (b2 − k2)/b2 = 0 e a curva dada pela equac¸a˜o (3) e´ o ponto
(0, k, 0).
1.4 Parabolo´ides
Consideremos uma superf´ıcie qua´drica cuja equac¸a˜o padra˜o tem uma das seguintes
formas:
±x
2
a2
± y
2
b2
= z ou ± y
2
b2
± z
2
c2
= x ou ± x
2
a2
± z
2
c2
= y,
onde a, b e c sa˜o constantes positivas.
Se os sinais do lado esquerdo destas equac¸o˜es sa˜o iguais, a superf´ıcie e´ chamada um
parabolo´ide el´ıptico. Se os sinais forem diferentes teremos uma superf´ıcie chamada
parabolo´ide hiperbo´lico (ou sela de cavalo).
1.5 Parabolo´ide el´ıptico
Suponha, por exemplo, que o parabolo´ide tenha equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= z, com a, b > 0.
Os trac¸os nos planos coordenados sa˜o:
(1) No plano xy (z = 0) temos :
x2
a2
+
y2
b2
= 0, que e´ o ponto (0, 0, 0).
5
(2) No plano xz (y = 0) temos:
z =
x2
a2
, (para´bola).
(3) No plano yz (x = 0) temos:
z =
y2
b2
, (para´bola).
A seguir as sec¸o˜es do parabolo´ide el´ıptico.
(1) No plano x = k 6= 0, temos
z =
y2
b2
+
k2
a2
(para´bola).
(2) No plano y = k 6= 0, temos
z =
x2
a2
+
k2
b2
(para´bola).
(3) No plano z = k 6= 0, temos:
x2
a2
+
y2
b2
= k. (4)
(i) Se k > 0 a curva dada pela equac¸a˜o (4) e´ uma elipse.
(ii) Se k < 0 a curva dada pela equac¸a˜o (4) e´ um conjunto vazio.
1.6 Parabolo´ide hiperbo´lico
Suponha, por exemplo, que o parabolo´ide hiperbo´lico tenha equac¸a˜o
−x
2
a2
+
y2
b2
= z, com a, b > 0.
Os trac¸os nos planos coordenados sa˜o:
(1) No plano x = 0 temos:
z =
y2
b2
, (para´bola).
6
(2) No plano y = 0 temos:
z = −x
2
a2
, (para´bola).
(3) No plano z = 0 temos:
−x
2
a2
+
y2
b2
= 0,
que e´ um par de retas concorrentes cujas equac¸o˜es sa˜o y = (b/a)x e y = −(b/a)x.
A seguir as sec¸o˜es do parabolo´ide hiperbo´lico.
(1) No plano x = k 6= 0, temos
z =
y2
b2
− k
2
a2
(para´bola).
(2) No plano y = k 6= 0, temos
z = −x
2
a2
+
k2
b2
(para´bola).
(3) No plano z = k 6= 0, temos:
−x
2
a2
+
y2
b2
= k. (5)
(i) Se k > 0 a curva dada pela equac¸a˜o (5) e´ uma hipe´rbole com focos no eixo
y.
(ii) Se k < 0 a curva dada pela equac¸a˜o (5) e´ uma hipe´rbole com focos no eixo
x.
1.7 Cone el´ıptico
Uma superf´ıcie qua´drica cuja equac¸a˜o padra˜o e´ da forma
x2
a2
+
y2
b2
= z2 ou
y2
b2
+
z2
c2
= x2 ou
x2
a2
+
z2
c2
= y2,
onde a, b e c sa˜o constantes positivas, e´ chamada cone el´ıptico.
A seguir vamos determinar os trac¸os e as sec¸o˜es do cone el´ıptico de equac¸a˜o
x2a2
+
y2
b2
= z2, com a, b > 0. (6)
7
(i) No plano x = 0 temos:
z2 =
y2
b2
⇒ z = ±y
b
(par de retas concorrentes).
(ii) No plano y = 0 temos:
z2 =
x2
a2
,⇒ z = ±x
a
(par de retas concorrentes).
(iii) No plano z = 0 temos:
x2
a2
+
y2
b2
= 0,
que e´ o ponto (0, 0, 0).
A seguir as sec¸o˜es do cone el´ıptico dado pela equac¸a˜o (6).
(1) No plano x = k 6= 0, temos
z2 − y
2
b2
=
k2
a2
(hipe´rbole).
(2) No plano y = k 6= 0, temos
z2 − x
2
a2
=
k2
b2
(hipe´rbole).
(3) No plano z = k 6= 0, temos:
x2
a2
+
y2
b2
= k2 (elipse).
Observac¸a˜o: Se na equac¸a˜o (6) a = b, o cone e´ chamado circular.
Exemplos: Identifique as superf´ıcies a seguir, determinando os trac¸os e sec¸o˜es.
Se a superf´ıcie for uma esfera determinar o centro e o raio.
1. 4x2 + 8x+ y2 − 2y + z2 − z = 55.
2. 4x2 + 8x+ 4y2 − 8y + 4z2 − 4z = 16.
3. 3x2 + 4y2 + 9z2 = 25.
4. x2 − 16y2 + 25z2 = 4.
8
5. 49x2 − 25y2 − 36z2 = 1.
6. −x2 + 8y2 = −4z2.
7. 36y2 + 49z2 = x.
8. 121x2 − 100y2 = 64z.
9. −64y2 − 100z2 = 4x.
10. −36x2 + 81y2 − 25z2 = 7.
11. x2 − y
2
144
+ 36z = 0.
1.8 Superf´ıcies cil´ındricas
Definic¸a˜o 1.3. Um cilindro e´ uma superf´ıcie gerada por uma reta L, chamada gera-
triz do cilindro, que se move ao longo de uma curva plana C, chamada diretriz, de
modo que a reta L permanece sempre paralela a uma reta fixa na˜o situada no plano
da curva.
Consideremos o problema de encontrar uma equac¸a˜o para um cilindro com direriz
C no plano xy e geratriz paralela ao eixo z.
Suponhamos que C tem equac¸a˜o F (x, y) = 0. Um ponto P (x, y, z) pertence ao
cilindro se e somente se o ponto Q(x, y, 0) esta´ em C, isto e´, se e somente se as
coordenadas x e y de P satisfazem a equac¸a˜o de C. Logo, a equac¸a˜o do cilindro e´
F (x, y) = 0, ou seja, a mesma equac¸a˜o de C.
Exemplos
1) Curva C dada por x2 + y2 = 9 e diretriz L paralela ao eixo z.
9
2) Curva C dada por y = 8x2 e diretriz L paralela ao eixo z.
3) Esboce o gra´fico em R3 das equac¸a˜o z = sen y.
4) Esboce o gra´fico em R3 das equac¸a˜o z − ex = 0.
2 Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o
Definic¸a˜o 2.1. Uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o e´ uma superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o de
uma curva plana em torno de uma reta fixa pertencente ao mesmo plano da curva.
Tal curva e´ chamada geratriz e a reta fixa eixo de revoluc¸a˜o.
Exemplos: Esfera, cilindro, cone.
Vamos determinar a equac¸a˜o de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida girando uma
curva C no plano yz, de equac¸a˜o z = f(y) (z func¸a˜o de y), em torno do eixo y.
Seja P (x, y, z) um ponto qualquer da superfc´ie. O plano perpendicular ao eixo
de revoluc¸a˜o y e que passa por P intercepta o eixo y no ponto R(0, y, 0) e a curva
geratriz C no ponto Q(0, y, f(y)). Como P e Q esta˜o na mesma circunfereˆncia de
centro R temos
d(P,R) = d(Q,R)⇔
√
x2 + z2 =
√
[f(y)]
2 ⇔ x2 + z2 = [f(y)]2.
De modo ana´logo, a equac¸a˜o da superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o, em
10
torno do eixo x, de uma curva num dos planos coordenados contendo este eixo e´
y2 + z2 = [f(x)]2.
Se o eixo de rotac¸a˜o for o eixo z e a curva geratriz esta´ em um dos planos coorde-
nados contendo exte eixo, a equac¸a˜o da superf´ıcie de revoluc¸a˜o e´
x2 + y2 = [f(z)]2.
Exemplos
1) Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o da para´bola
z = x2 em torno do eixo z. Esboce o gra´fico da superf´ıcie.
Escreva x =
√
z e seja f(z) =
√
z ou f(z) = −√z. Enta˜o, a equac¸a˜o da
superf´ıcie e´ dada por x2 + y2 = [f(z)]2 = z. Logo, a superf´ıcie u´m parabolo´ide
circular.
2) Considere a superf´ıcie de equac¸a˜o ln(x2 + z2) = −2y. Determine:
a) O eixo de revoluc¸a˜o.
b) A curva geratriz em um dos planos coordenados que conte´m o eixo de
revoluc¸a˜o.
c) Esboce o gra´fico da superf´ıcie.
Temos que ln(x2 + z2) = −2y ⇔ x2 + z2 = e−2y ⇔ x2 + z2 = [e−y]2.
Logo o eixo de revoluc¸a˜o e´ o eixo y e as curvas geratrizes sa˜o x = f(y) = e−y
ou z = f(y) = e−y.
Exemplos
1) x2 + y2 =
(
sen(
pi
2
z) +
1
2
)2
e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o.
2) Um elipso´ide que tem 2 dos paraˆmetros iguais e´ um elipso´ide de revoluc¸a˜o.
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, com paraˆmetros a, b, c > 0.
O eixo de revoluc¸a˜o e´ o eixo relacionado a varia´vel que tem como coeficiente o
inverso do quadrado do paraˆmetro distinto.
3) O hiperbolo´ide de uma folha que tem paraˆmetros iguais associados aos termos
de sinal positivo e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o. A varia´vel com coeficiente
negativo e´ o eixo de revoluc¸a˜o.
11
4) O hiperbolo´ide de duas folhas que tem paraˆmetros iguais associados aos termos
de sinal negativo e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o. A varia´vel com coeficiente
positivo e´ o eixo de revoluc¸a˜o.
5) O cone
x2
a2
+
y2
a2
= z2 pode ser obtido pela rotac¸a˜o da reta z =
y
a
em torno do
eixo z.
12