Prova 1 - Calculo III 2014.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1
2
3
4
T
1a Prova de MAT 157 - CA´LCULO III - Turma D - 07/05/2014
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Importante
Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada.
1. Considere a transformac¸a˜o g definida por x = u+ v e y = v − u2.
a)(06 pontos) Determine a imagem R no plano xy da regia˜o Q no plano uv limitada pelas retas
u = 0, v = 0 e u+ v = 2.
b)(09 pontos) Calcule a a´rea de R.
c)(10 pontos) Calcule
∫∫
R
(x− y + 1
4
)−
1
2dxdy.
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2. Calcule
a)(10 pontos)
∫ 4
0
∫ 2
√
y
ex
3
dxdy
b)(15 pontos)
∫∫
R
exydA onde R e´ a regia˜o compreendida pelas retas y =
1
2
x e y = x e as curvas
y =
1
x
e y =
2
x
.
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3. Considerando a integral
∫ pi
2
0
∫ 2b senθ
0
rsen(2θ) drdθ fac¸a o que se pede.
a)(05 pontos) Esboce a regia˜o, R, de integrac¸a˜o no plano xy.
b)(05 pontos) Reescreva a integral em coordenadas retangulares.
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4. Calcule
a)(20 pontos)
∫∫∫
E
z
√
x2 + y2 dV , onde E e´ a metade do cone circular reto de ve´rtice (0, 0, h), h >
0 e base x2 + y2 ≤ a2 compreendido no lado direito do plano y = 0. Fac¸a um esboc¸o de E.
b)(20 pontos)
∫∫∫
E
1
z2
dV , onde E e´ o so´lido limitado pelas superf´ıcies z =
√
x2 + y2, z =√
1− x2 − y2 e z =√4− x2 − y2. Fac¸a um esboc¸o de E.