Capítulo VI - Análise de Estruturas

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Mecânica Geral 
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Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM 
Mecânica Geral 
I. L. Ferreira, N. Medeiros 
Capítulo 6 
Análise de Estruturas 
... 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.1 Introdução 
As treliças são projetadas para suportarem somente cargas 
atuantes em seu plano. Portanto, podem ser consideradas 
estruturas bidimensionais. 
Ø  Definição de Treliça: 
ü  São barras retas articuladas nas juntas ou nós. Tais 
barras são conectadas entre si apenas em suas 
extremidades, ou seja, nenhuma barra é contínua através 
de uma junta. 
P 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.1 Introdução 
A estrutura de uma treliça é composta por barras delgadas 
que podem suportar pequenas cargas laterais. Desta forma, 
as cargas devem ser aplicadas às juntas. 
P 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.1 Introdução 
ü  Os pesos de cada barra são aplicados nas juntas. Assim, 
metade deste peso está aplicado a cada uma das duas 
juntas que a barra interliga; 
ü  Considera-se que as barras são unidas por pinos. Logo, as 
forças que atuam nas extremidades reduzem-se a uma única 
carga e não produzem momento; 
ü  Cada barra é tratada como uma viga submetida a duas 
forças e a treliça inteira é definida como um conjunto de 
pinos e barras com duas forças, conforme Figura no próximo 
slide; 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.1 Introdução 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.2 Análise de Treliças pelo Método do Nó 
O diagrama de corpo-livre da treliça abaixo mostra que, de 
fato, tais estruturas denotam um conjunto de barras e pinos; 
P 
RA 
A 
C 
B D 
RB 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.2 Análise de Treliças pelo Método do Nó 
Assim, esta treliça pode ser desmembrada de forma a ser 
originado um diagrama de corpo-livre para cada par pino-
barra; 
RA 
A 
C 
B 
D 
RB P 
D 
Cada barra está submetida à duas cargas de mesmo módulo 
e linha de ação, mas sentidos opostos. 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.2 Análise de Treliças pelo Método do Nó 
ü  Análise: 
1. Considera-se toda treliça como um corpo rígido, o que 
permite observar que RA é vertical e pode-se, então, 
determinar os módulos de RA e RB; 
 2. Nó A: Tem-se que 2 incógnitas neste nó e estas serão 
obtidas pelo equilíbrio em A. A reação RA e as forças FAC e 
FAD formam o seguinte triângulo de forças: 
 
Diagrama 
de corpo-
livre 
 
RA 
FAC 
FAD FAD 
FAC 
RA 
Triângulo 
de forças 
 
FAC: Compressão; FAD: Tração 
 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.2 Análise de Treliças pelo Método do Nó 
3. Nó D: Apresenta como incógnitas as forças de FDC e FDB já 
que o peso P é conhecido e a força FDA=-FAD. Portanto, estas 
quatro forças originam o seguinte polígono de forças: 
 
Quando mais de três forças estão envolvidas, é conveniente 
determinar as incógnitas FDC e FDB a partir das equações de 
equilíbrio, 
 
Polígono 
de forças 
 
D 
FDC 
FDB 
FDC e FAD: Tração 
 
FDA 
FDC 
P 
P 
FDB 
FDA 
Diagrama 
de corpo-
livre 
 
0=∑ XF e 
 
0=∑ YF
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.2 Análise de Treliças pelo Método do Nó 
4. Nó C: Traz como incógnitas somente FCB já que FCA=-FAC e 
FCD=-FDC. Desta forma, o respectivo triângulo de forças é 
dado por: 
 
Triângulo 
de forças 
 
C 
FCB 
FCD FCA 
FDC 
FCB 
FCA 
Diagrama 
de corpo-
livre 
 
FCB : Compressão 
 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.2 Análise de Treliças pelo Método do Nó 
5. Nó B: Todas as forças já foram determinadas, uma vez que 
FBC = -FCB, FBD =-FDB e a reação RB foi obtida considerando-se 
toda a treliça num só diagrama de corpo-livre. Ainda assim, 
observa-se o seguinte triângulo de forças: 
 
Triângulo 
de forças 
 
B 
FBC 
FBD 
RB 
Diagrama 
de corpo-
livre 
 
FBC 
RB 
FBD 
Os polígonos de forças mostrados até aqui não são únicos, 
ou seja, podem ser substituídos por configurações 
alternativas. Entretanto, a construção do chamado diagrama 
de Maxwell permite ajustar todos os polígonos num diagrama 
único e facilita a análise gráfica de problemas envolvendo 
treliças. 
 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.3 Treliças Espaciais 
São aquelas obtidas quando várias barras retas são unidas 
por suas extremidades e originam uma configuração 
tridimensional. 
 Treliças espaciais elementares consistem de seis barras 
unidas pelas extremidades formando o tetraedro ABCD 
abaixo, 
 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.3 Treliças Espaciais 
Treliças espaciais simples são obtidas quando se adicionam 
três barras à configuração anterior, ou seja, 
 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.3 Treliças Espaciais 
Treliças espaciais completamente vinculadas e reações 
estaticamente determinadas: Presença de vínculos como 
esferas, roletes e rótulas. As reações são calculadas por 
equações de equilíbrio. 
 0=∑ XF ; 
 
0=∑ YF 0=∑ ZFe 
 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.3 Análise de Treliças : Método das Seções 
Ø  Método do Nó: 
ü  Indicado para cálculo de forças em todas as barras da 
treliça. 
Ø  Método das Seções: 
ü  Utilizado quando é preciso determinar a força em uma 
única barra ou em poucas barras. 
Ø  Aplicação do método das Seções: 
ü  Considere a treliça abaixo na qual se deseja calcular a 
força na barra BD. 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.3 Análise de Treliças : Método das Seções 
Desta forma, 
 
A B D G 
n 
n 
C E 
P1 P2 P3 
Para tanto, é preciso a força exercida pela barra BD sobre os 
nós B e D. Assim, pode-se escolher como corpo livre uma 
porção da treliça composta por vários nós e barras, desde 
que inclua a incógnita em questão. 
 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.3 Análise de Treliças : Método das Seções 
A parte escolhida deve conter um máximo de três forças e a 
partir de equações de equilíbrio, tais incógnitas serão 
obtidas. 
 O procedimento para o emprego do método das seções se 
baseia na divisão da treliça em duas partes por meio de uma 
linha divisória. Assim, as três barras escolhidas contém a 
barra desejada, ou seja, a seção nn intercepta as barras BD, 
BE e CE. A porção ABC é escolhida como corpo-livre, 
conforme mostrado abaixo. 
 A B 
n 
n 
C E 
P1 P2 
FBD 
FCE 
FBE 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.3 Análise de Treliças : Método das Seções 
O plano de divisão, ou seja, a linha nn não deve interceptar 
mais de três barras. 
 As forças que atuam no corpo-livre são: 
ü  P1 e P2 nos pontos A e B; 
ü  FBD, FBE e FCE supostamente trativas. 
Ø  Se a força FBD for de interesse: É necessário apenas uma 
equação de equilíbrio que não contenha FCE e FBE. 
 
0=∑ EM , fornece FBD 
 
Positiva: Tração, suposição correta 
Negativa: Compressão, suposição errada 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.3 Análise de Treliças : Método das Seções 
Ø  Se a força FCE for de interesse: Apenas uma equação de 
equilíbrio sem as forças FBD e FBE. 
 
0=∑ BM , fornece FCE 
 
Positiva: Tração, suposição correta 
Negativa: Compressão, suposição errada 
Ø  Determinação da força FBE : Novamente, apenas uma 
equação de equilíbrio. 
 
0=∑ YF , fornece FBE 
 
Positiva: Tração, suposição correta 
Negativa: Compressão, suposição errada 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.4 Estruturas e Máquinas 
Em análise de estruturas são consideradas barras 
submetidas a três forças ou mais que não atuam ao longo 
das barras e, portanto, têm direções desconhecidas e são 
representadas por componentes incógnitas. 
 ü  Definição de Estrutura: São sistemas projetados para 
supor ta r ca rgas e têm como caracte r ís t i cas a 
estacionariedade e a completa vinculação. 
ü  Definição de Máquinas: São sistemas projetados para 
transmitir e modificar forças. Podem ou não ser estacionárias 
e apresentam partes móveis. 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.4 Estruturas e Máquinas 
Ø  Análise de Estruturas: Considere um guindaste que 
suporta uma carga P, conforme Figura, 
 
G 
D 
A 
B 
E F 
C 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.4 Estruturas e Máquinas 
Ø  O diagrama de corpo-livre, abaixo, permite determinar as 
forças externas que agem sobre a estrutura. A soma dos 
momentos em relação a A fornece a força T enquanto a soma 
entre as componentes x e y permite obter as componentes Ax 
e Ay da reação promovida pela articulação A. 
 D 
A 
B 
E F 
P 
AX 
AY 
T 
C 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.4 Estruturas e Máquinas 
Ø  As forças internas são determinados quando se constroem 
os diagramas de corpo-livre, para cada parte da estrutura, ou 
seja, 
 CY 
A 
B 
E F 
P 
AX 
AY 
T 
C 
-FBE 
FBE 
-CY 
-CX 
FBE CX 
-FBE 
B 
E 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.4 Estruturas e Máquinas 
ü  A barra BE experimenta as forças FBE e –FBE de mesmos 
intensidade e direção mas sentidos opostos. As soluções de 
equações de equilíbrio permitirão corrigir a hipótese adotada 
para os sentidos das mesmas. 
 ü  Peças submetidas a várias forças: A força exercida pela 
barra BE sobre o ponto B da barra BD é igual e oposta à 
força FBE exercida por AD sobre BE. 
 ü  A força exercida pela barra BE sobre o ponto E de CF é 
igual e oposta à força –FBE exercida por CF sobre BE. 
 ü  Em C, as forças atuantes têm direção e módulo 
desconhecidos e serão representados pelas componentes Cx 
e Cy direcionadas, arbitrariamente, para a direita e para cima, 
respectivamente, ao longo da barra AD (ponto C). Então, as 
forças exercidas pela barra CF sobre AD serão –Cx e –Cy. 
 
Capítulo 6 – Análise de Estruturas 
6.4 Estruturas e Máquinas 
A partir destes diagramas de corpo-livre individuais, tem-se 
que: 
 
0MC =∑ , fornece FBE 
 
Os p inos das ar t icu lações , são 
considerados partes integrantes de uma 
barra que ligam. 
0=∑ EM , fornece CY 
 
0=∑ XF , fornece CX