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Capítulo 1 Estática dos Pontos Materiais Mecânica Geral Copyright (c) 2010 by John Wiley & Sons, Inc Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM Mecânica Geral I. L. Ferreira, N. Medeiros Decomposição de forças com auxílio de vetores unitários. 1.1 Introdução � Força: � É a ação de um corpo sobre outro; Força Ponto de Aplicação Intensidade Direção Sentido Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais � Ponto Material: �Conceito abrangente que não se restringe à pequenas partes do sólido considerado; Sentido Força Solução (Sólido) Independe das Independe das dimensões e forma do sólido � Forças atuantes tem o mesmo ponto de aplicação; 1.2 Intensidade, Direção e Sentido da Força � Intensidade de uma Força: � Definida por um número de unidades; Ex: Newton, kilograma-força, grama-força e dina. � Direção de um Força: � Definida pela linha de ação, a qual é a reta ao longo do qual a força atua, formando um dado ângulo com qualquer eixo; Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais qualquer eixo; � A força é representada por um segmento da linha de ação, cujo comprimento fornece sua intensidade; � Sentido de uma Força: � Representado por uma seta. O sentido oposto de duas forças pode produzir efeitos contrários sobre o ponto material ainda tenha a mesma direção e intensidade; 1.2 Intensidade, Direção e Sentido da Força α Linha de ação Eixo α Linha de ação Eixo direção Mesma eintensidad Mesma , 21 FF Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais A≡ Ponto material A≡ Ponto material direita a para e cima Para :SENTIDO (eixo) horário-anti sentido no medidos graus :DIREÇÃO segumento do oCompriment :EINTENSIDAD 1 αF esquerda a para e baixo Para :SENTIDO (eixo) horário-anti sentido no medidos graus :DIREÇÃO segumento do oCompriment :EINTENSIDAD 2 αF 1.3 Escalares e Vetores � Escalar: � Quantidade física representada por um número; Ex.: Massa [kg], comprimento [m] e volume [m3]. � Vetor: � Quantidade física que possui intensidade e direção; Ex.: Força, momento e direção. Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 1.4 Operações com Vetores � Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar: � A multiplicação de um vetor A por um escalar a resulta num vetor aA definido como o vetor intensidade |aA|; � Para escalar a positivo: Sentido de aA é o mesmo de A; � Para escalar a negativo: Sentido de aA é oposto a A; � A divisão de um vetor A por um escalar a segue as leis da multiplicação, ou seja, .( )AA aa 1= Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais da multiplicação, ou seja, .( )AA aa 1= � Exemplos de operações de escalar com vetores: 1.4 Operações com Vetores � Adição entre dois Vetores: � Considere os vetores A e B; � Adição pela regra do paralelogramo: União entre os vetores e suas origens obtendo um vetor resultante R = A + B a partir de retas paralelas construídas em um Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais R = A + B a partir de retas paralelas construídas em um ponto comum de interseção dos vetores, formando um paralelogramo. R = A+B 1.4 Operações com Vetores � Adição entre dois Vetores: � Adição pela regra do triângulo: O vetor B é somado ao vetor A unido-se as a origem de A à extremidade de B. Assim, o vetor resultante R é dado por: R = A+B � Pode-se obter o vetor resultante R adicionando-se A e Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais � Pode-se obter o vetor resultante R adicionando-se A e B, R = A+B 1.4 Operações com Vetores � A adição de vetores é comutativa: Os vetores A e B podem ser somados em qualquer ordem, ABBAR +=+= � Adição entre três ou mais Vetores: � Considere os vetores A, B e C. A soma entre estes vetores e realizada em duas etapas. Primeiramente, realiza-se a soma entre A e B e, em seguida, o vetor C é Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais realiza-se a soma entre A e B e, em seguida, o vetor C é adicionado a resultante R1 = A+B. Esta configuração fornece um segundo vetor resultante R2 = R1 + C = A + B + C; 1.4 Operações com Vetores � Geralmente a adição de três ou mais vetores não- coplanares requer a regra do paralelogramo. Entretanto, para vetores coplanares, utiliza-se a regra do triangulo, conforme mostrado anteriormente; � O exemplo anterior poderia ser resolvido numa única etapa a partir da regra do polígono, ou seja, A ordem que os Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais A ordem que os vetores são somados não altera o resultado! A adição vetorial entre três vetores é associativa! 1.4 Operações com Vetores � Para vetores colineares, ou seja, na mesma linha de ação; A B R = A + B � Subtração entre Vetores: � É um caso particular da adição de vetores, no qual o vetor resultante é expresso por, Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais vetor resultante é expresso por, ( ) BABAR −=−+=′ � Na subtração vetorial são válidas as regras do paralelogramo e do triângulo, 1.4 Operações com Vetores � Regra do Paralelogramo; A -B � Regra do Triangulo; -B Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais � Na subtração vetorial são válidas as regras do paralelogramo e do triângulo, A -B 1.4 Operações com Vetores � Regra do Paralelogramo: A lei do paralelogramo permite a decomposição de um vetor R em dois componentes desde que tenham linha de ação e direção conhecidos. Desta forma, a a A Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais b b A B Após a decomposição 1.4 Forças � Decomposição de uma força em componentes: � A composição e a decomposição de forças é realizado segundo os seguintes critérios; Duas ou mais forças Resultante (Produz mesmo efeito) Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais Componentes Uma única força Decomposição Duas ou mais forças (Mesmo efeito sobre o ponto material) � A decomposição apresenta dois casos de interesse. 1.4 Forças � Decomposição de uma força em componentes: � Um componente é conhecida: Aplica-se a regra do triângulo para a determinação da outra componente; F Intensidade e Direção Métodos Gráficos ou Relações Trigonométricas Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais F 1.4 Forças � Ex.: Um automóvel é puxado por meio de duas cordas no ponto A. Considerando-se que a resultante das forças é paralela ao eixo do carro, determine: a) A tração em cada corda para que α = 30o; b) O valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima. Solução: Esquema geral do problema: Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais α 20o eixoA 1.4 Forças a) A tração em cada corda para que α = 30o; Pela lei do triângulo utilizando a solução trigonométrica, tem-se, α T2 R = 1500 N 20o Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais Utilizando a lei dos senos, ( )50180sin 1500 20sin30sin o 2 o 1 − == TT ( ) N 06.97950180sin 30sin.1500 o 1 = − =T ( ) N 71.66950180sin 20sin.1500 o 2 = − =T 1.4 Forças b) O valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima. As possibilidades para T2 são: R = 1500 N T2 20o α Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais Utilizando a lei dos senos, R = 1500 N T2 20o α ooo 701809020 =∴=++ αα N 03.51320sin.1500 o2 ==T 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força y � Vetores Unitários: � Uma dada força F pode ser decomposta em suas componentes vetoriais Fx e Fy, utilizando-se a regra do paralelogramo da seguinte forma,F Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais θ x xF yF 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Vetores Unitários: � Entretanto, as componentes vetoriais são obtidas pelo produto entre dois escalares, ou seja, Fx e Fy denominados de componentes escalares de F, e os respectivos vetores unitários i e j. Desta forma, y Quando Fx,y tem sentidos oposto de i F Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais θ x jF yy F= yx FFF += jiF yx FF += iF xx F= iF xx F= Quando Fx,y tem o mesmo sentido de i e j iF xx F−= sentidos oposto de i e j 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Vetores Unitários: � Uma vez conhecidas a intensidade F da força F e o ângulo θ, as componentes escalares Fx e Fy são calculadas de acordo com as expressões, = = θ θ sin cos FF FF y x Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Ex.: Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. Determine as componentes vertical e horizontal da força, conforme esquema abaixo: 35o Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais Solução: Basta compor através da resultante e da direção as componentes da força em x e y, logo 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força 35o yF xF j i x− x y i− O módulo das componentes da força em x e y são, Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais N 32.65535cos80035cos −=−=−= FFx N 86.45835sin80035sin === FFy As componentes da força em x e y são, iF 32.655−=x jF 86.458=ye 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Adição de Forças no Plano: � Considere o caso de várias forças concorrentes atuando sobre o ponto A, P S P S S,j P,i P,j R,j R,i R,j R θ Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais Analisando algebricamente as componentes da força, ou A S Q A Q S,i P,i Q,i Q,j R,i AR,iA θ 44 344 2144 344 21 y jyjyjy x ixixixyx ,,,,,, SQPSQPRRR +++++=+= ( ) ( )jSQPiSQPRRR yyyxxxyx +++++=+= 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força e � Adição de Forças no Plano: xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++= logo, exx RF =∑ yy RF =∑ Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Equilíbrio de um ponto material: � O equilíbrio de um dados ponto material ocorre quando a resultante das forças atuantes é nula. F4=1000 N Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais Solução: Gráfica e algébrica mostrada a seguir. F1=1500 N 30o F2=866 N F3=1000 N 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força Resolvendo graficamente, F1=1500 N 30o F =866 NF3=1000 N F4=2000 N F1 F2 F3 F4 Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 30o F2=866 NF3=1000 N F3 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força Resolvendo algebricamente tem-se, F1=1500 N 30o F2=866 NF3=1000 N F4=2000 N F1 30o F2 F3 F4 F4,j F4,i F3,i Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais F3,j 0=∑ xF Equacionando o equilíbrio para x e y, 05.020005.01000150030sin30sin o3o41 ≅−−=−−=∑ xxFFFFx 0=∑ yF 003.86686605.173230cos30cos o32o4 ≅−−=−−=∑ FFFFy 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Forças no Espaço: � Considere a força F aplicada na origem O de um sistema de coordenadas cartesiana x, y e z. A direção de F é dada após a obstrução do plano OBAC, no plano xy, cuja orientação é determinada pelo ângulo φ. y y hF Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais x φ z θy F hF x φ z yF zF xFOO B A C B D CE D E 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Forças no Espaço: � A força F tem direção definida por θy e pode ser decomposta em componentes escalares Fy (vertical) e Fh (horizontal) de forma que, yy FF θcos= e yh FF θsin= Além disso para a componente escalar Fz, tem-se φcosFF = e φsinFF = Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais φcoshx FF = e φsinhz FF = o que resulta em, φθ cossin yx FF = e φθ sinsin yz FF = Aplicando o teorema de Pitágoras sobre AOB e OCD, logo 222 zxh FFF += e 222 yh FFF += Resumindo, 222222 zyxyh FFFFFF ++=+= 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força Desta forma, o módulo de F será, Resumindo, 222222 zyxyh FFFFFF ++=+= 222 zyx FFFF ++= A relação entre F e suas componentes vetoriais passa a ser compreendida pela visualização dos cossenos diretores θx, θ e θ . zF yF xF Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais x θy e θz. xθx z O B A C D E x z θy O B C D E F F x z θz O B A C D xx FF θcos= yy FF θcos= zz FF θcos= 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força Ainda, podendo ser expresso como, kjiF zyx FFF ++= � Introduzindo-se o conceito de vetor unitário, ( )kjiF zyxF θθθ coscoscos ++= Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Adição de Forças Concorrentes no Espaço: � Pela decomposição da resultante R, ∑ ++== kjiFR zyx RRR Podendo-se ainda escrever, ( ) ( ) ( )kjikjiR ∑∑∑ ++=++= zyxzyx FFFRRR Desta forma, conclui-se que, Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais Desta forma, conclui-se que, ∑= xx FR , ∑= yy FR e ∑= zz FR Além disso, o módulo da resultante, pode ser escrito como, 222 zyx RRRR ++= E os cossenos diretores, R Rx x =θcos , eR Ry y =θcos R Rz z =θcos 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Força definida por seu módulo de dois pontos de sua linha de ação: � Em alguns casos, a direção de uma força é dada por dois pontos M(x1,y1,z1) e N(x2,y2,z2) localizados sobre sua linha de ação. y N(x ,y ,z ) � O vetor MN, a partir de suas componentes Vetor Unitário Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais x z O F M(x1,y1,z1) N(x2,y2,z2) dx = x2 - x1 dy = y2 - y1 λ suas componentes escalares é definido por: kjiMN zyx ddd ++= 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � O vetor unitário λ é obtido pela divisão entre MN e seu módulo MN da seguinte forma, � A força F é calculada da seguinte forma, ( )kjiMNλ dzdydx dMN ++== 1 ( )kjiλF dzdydx d FF ++== Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais � E suas componentes escalares, 222 zyx dddd ++= d dFF xx = d d FF yy = d dFF zz = onde, , e , )( 12 xxd x −= , )( 12 yyd y −= )( 12 zzd z −=e 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força Assim, podem ser calculadas as componentes escalares de F e respectivos cossenos diretores da seguinte forma, d d x x =θcos , ed d y y =θcos d d z z =θcos onde θx, θy e θz representam os ângulos formados entre F e os eixos de coordenadas x, y e z. Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força � Ex.: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A. A tração no cabo é de 2500 N. Determinar: ( a ) as componentes Fx, Fy, e Fz da força que atua sobre o parafuso, (b) os ângulos, θx, θy e θz que define a direção da força. Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 30 m 40 m 80 m 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força a. Componentes da força: A linha de ação da força que atua sobre o parafuso passa por A e B e está orientada de A para B. As componentes do vetor AB, que tem a mesma direção da força. m 40−=xd , e m 30=zdm 80=yd ( ) m 34.94308040 222222 =++−=++= dddd Logo a distância total AB pode ser calculada da forma, Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais ( ) m 34.94308040 222222 =++−=++= zyx dddd Designando por i, j e k os vetores unitários ao longo dos eixos de coordenadas, tem-se, kjikjiAB 308040 ++−=++= dzdydx Introduzindo o vetor unitário, ( ) ( ) N 79521201060308040 34.94 2500 kjikjikjiλF++−=++−=++== dzdydx d FF 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força As componentes de F são, N 1060−=xF N 2120=yF N 795=zF, e b. Direção da Força: Os cossenos diretores são calculados da seguinte forma, 424,0 2500 1060 cos −≅ − == F Fx xθ e 009.115=xθ Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 2500F e848,0 2500 2120 cos ≅== F Fy yθ 318,0 2500 795 cos ≅== F Fz zθ 001,32=yθ e 046,71=zθ 1.5 Componentes Cartesianas de uma Força A representação geométrica dos cossenos diretores, θy y Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais θx θz x z 1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço � Condição de Equilíbrio para um Ponto Material: � A resultante de todas as forças atuantes sobre o ponto material é nula. Desta forma, 0=∑ xF , � Solução para Problemas Envolvendo Equilíbrio 3D 0=∑ yF e 0=∑ zF Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais Diagrama de Corpo-Livre •Identificação das Forças Atuantes sobre o Ponto Material Equações de Equilíbrio •Balanço de Forças •Momento Determinação das Incógnitas •Componentes Espaciais da Força •Módulo das Forças Espaciais com Direção Conhecida 1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço � Ex.: Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois cabos, AB e AC, amarrados ao topo de uma parede vertical. Uma força H horizontal e perpendicular a parede, mantém o peso na posição ilustrada. Determinar a intensidade de H e a tração em cada cabo. C Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 12 m 1,2 m H 2 m200 kg B A 1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço Solução: O ponto A é escolhido como corpo-livre, este ponto está submetido a quatro forças, três das quais têm módulo desconhecido. Introduzindo os vetores unitários i, j e k a força é decomposta em cada uma das componentes cartesianas, logo TAC ( )N 2,19619,806200 jjP =−=−= xgm 12 m Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 1,2 m HP i j k λAC λAB TAC TAB A O 2 m 1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço No caso de TAB e TAC faz-se necessário determinar as componentes e os módulos dos vetores AB e AC. O vetor unitário λAB o vetor unitário segundo AB. [ ]m 8102,1 kjiAB ++−= então, [ ]m 86,128102,1 222 ≅++=AB Desta forma, o vetor unitário será, kjiABλ 622,0778,00933,0 ++−== ABAB Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais kjiλ 622,0778,00933,0 ++−== ABAB Escrevendo TAB em função do vetor unitário λAB , kjiλTAB ABABABABAB TTTT 622,0778,00933,0 ++−== 1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço Determinando o vetor unitário λAC segundo AC. [ ]m 10102,1 kjiAC −+−= então, [ ]m 19,1410102,1 222 ≅++=AC Desta forma, o vetor unitário será, kjiACλ 705,0705,00846,0 −+−== ACAC Escrevendo TAC em função do vetor unitário λAC , Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais kjiλTAC ACACACACAC TTTT 705,0705,00846,0 −+−== � Condição de Equilíbrio no ponto A, 0=∑F Desta forma, 0=+++ PHTT ACAB 1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço Escrevendo os vetores, ( ) ( ) ( ) 02,1961 705,0705,00846,0 622,0778,00933,0 =−+ +−+− +++− ji kji kji H TTT TTT ACACAC ABABAB Escrevendo os vetores em termos de suas componentes i, j e k nos respectivos eixos, ∑ Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais 0=∑ xF 0=∑ yF 0=∑ zF 00846,00933,0 =+−− HTT ACAB 02,1961705,0778,0 =−+ ACAB TT 0705,0622,0 =− ACAB TT N 83,1400≅ABT , N 96,1235≅ACT e N 26,235≅H
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