resolução fluidos

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CAPÍTULO 1 
INTRODUÇÃO, DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
 
 
Este capítulo introduz a experiência das duas placas para que o leitor perceba de forma lógica 
que, diferentemente de um sólido, um fluido não pode atingir o equilíbrio estático quando é 
submetido a uma força resultante do efeito tangencial. Entretanto, deve-se ressaltar o fato de 
que é possível se atingir o equilíbrio numa determinada velocidade, isto é, um equilíbrio 
dinâmico.Por meio dessa discussão aparecem em seqüência lógica as idéias de Princípio da 
Aderência, construção de diagrama de velocidades, deslizamento entre as camadas do fluido e 
o conseqüente aparecimento de tensões de cisalhamento entre elas. 
A lei de Newton da viscosidade, simplificada para escoamento bidimensional, introduz de 
forma simples as idéias de gradiente de velocidades e de viscosidade dinâmica, para o cálculo 
da tensão de cisalhamento. 
Além da viscosidade dinâmica, são apresentadas as definições de massa específica ou 
densidade, peso específico e viscosidade cinemática, propriedades dos fluidos usadas ao longo 
deste livro. 
Apesar da utilização quase que exclusiva do Sistema Internacional de Unidades, é necessário 
lembrar a existência de outros sistemas, já que, na prática, o leitor poderá se defrontar com os 
mesmos, e alguns dos exercícios referem-se à transformação de unidades, de grande utilidade 
no dia a dia. 
 
Solução dos exercícios 
 
Exercício 1.1 
Objetivo: manuseio das propriedades e transformação de unidades. 
 
Lembrar que ao transformar a unidade utiliza-se a regra seguinte: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Transformar 3 m em cm. 
 
cm300cm1003
m
100cmm3m3 =×=××= 
 
Solução do exercício. νρ=μ 
2
3
33r
m
s.kgf38,285028,0
m
utm85
10
850
g
m
kgf850
m
kgf000.185,0
O2H
=×=μ
==γ=ρ
=×=γγ=γ
 
Valor da grandeza 
na unidade nova =
Valor da grandeza 
na unidade velha X
Unidade nova x Fator de 
transformação 
 Unidade velha 
 
222 m
s.N3,23
m
s.
kgf
8,9Nkgf
38,2
m
s.kgf38,2 =
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×
==μ 
 
poiseou
cm
s.dina233
m
10cmm
s.
N
10dinaN
3,23
m
s.N3,23
2
2
42
2
5
2
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×
==μ 
 
Exercício 1.2 
 
Stou
s
cm106
s
m
10cmm
106
s
m106
82
105
m
utm82
10
820
g
m
kgf820000.182,0
2
22
42
2
6
CGS
SI
2
6
4
S*MK
S*MK
S*MK
3
3O2Hr
−−
−−
×=
××
×=ν
ν=×=×=ρ
μ=ν
==γ=ρ
=×=γγ=γ
 
 
Exercício 1.3 
 
V = 3 dm3 = 3x10-3 m3 
2
4
2
3
2
3
S*MK
2
2
2
42
2
5
3
2
3
CGS
2
2
35
SISI
3
33
m
s.kgf108
m
s.
8,9N
kgfN
1083,7
m
s.N1083,7
poiseou
cm
s.dina1083,7
m
10cmm
s.
N
10dinaN
1083,7
m
s.N1083,7
s
m
Nkgqueesquecernão
m
s.N1083,73,78310
m
kg3,783
10
7833
g
m
N7833
103
5,23
V
G
−−−
−−−
−−
−
×=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
××=×=μ
×=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×
×=×=μ
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=×=×=νρ=μ
==γ=ρ
=×==γ
 
2
62
2
2
3
2
3
2km
min.N km
min.N5,130
10m
kmm
60s
mins.N
1083,7
m
s.N1083,7 =
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
×
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
××=×=μ −− 
É preciso deixar claro que esta última unidade só foi considerada para que se pratique a 
transformação. 
 
 
Exercício 1.4 
 
23
3
2
35
2
5
2
4
2
0
m
N6,16
102
4103,8
m
s.N103,883010
s
m10
s
m101,0
s
cmouSt1,0
v
=×××=τ
×=×=νρ=μ
=×==ν
εμ=τ
−
−
−−
−−
 
 
Exercício 1.5 
 
Sendo constante a velocidade da placa, deve haver um equilíbrio dinâmico na direção do 
movimento, isto é, a força motora (a que provoca o movimento) deve ser equilibrada por 
uma força resistente (de mesma direção e sentido contrário). 
t
o F30senG = 
 
2
2
o3o
o
o
m
s.N10
112
30sen20102
vA
30senG
Av30senG
A30senG
−− =××
×××=ε=μ
εμ=
τ=
 
 
Exercício 1.6 
 
s
m1,22
05,009,008,0
105,0105,0v
m
s.N08,0
10
000.810
g
;cm5,0
2
910
2
DD
DL
mgvDL
v
mgAG
2
0
2
4
ie
0
0
=××π×
×××=
=×=νγ=μ=−=−=ε
μπ
ε=⇒πεμ=⇒τ=
−
−
 
 
Exercício 1.7 
 
Para o equilíbrio dinâmico, a força de tração será igual ao peso do esticador somada à 
força tangencial provocada pelo lubrificante na fieira. 
m.N1,0
2
2,01
2
DTM
m
s.N1,0
1,0105,0314,0
1,01005,0
dLv
F
vA
F
s
m314,02,0
60
30nDv
mm05,0
2
5,06,0AvAF
N1,09,01GTF:Logo
GFT
23
3
tt
t
t
t
máx
=×==
=
×××π×
××=π
ε=ε=μ
=××π=π=
=−=εεμ=τ=
=−=−=
+=
−
−
 
 
Exercício 1.8 
 
32
2
2
1221
2
2
2
1
t21
m
N800.16
1,01005,0
2108000.20
cm05,0
2
101,10
D
v8v8DDDLv2L
4
DL
4
D
F2GG
=××
××−=γ
=−=ε
ε
μ−γ=γ⇒εμ+γ=γ⇒πεμ+
πγ=πγ
+=
−
−
 
 
Exercício 1.9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v1 
v2 
v3 = 0,5m/s 
G 
rpm12360
1,02
29,1
R2
v
nRn2v
s/m29,12525,004,1vvv
s/m2525,0
2,0
101,05,0
R
R
vv
s/m04,1
101,03,021,0
101,02,010
LR2
GR
v
cm1,0101,10RR
GRLRR2v
MM)a
1
1
1111
21
3
2
32
2
2
2
2
3
12
322
G
=××π×=π=π=
=+=+Δ=
=×==
=××π××
×××=πμ
ε=Δ
=−=−=ε
=πε
Δμ
=
→
−
τ
 
 
m.N21,03,0
101,0
04,11,02M
LRv2LRR2vRAM)b
2
2e
2
11111e
=×××××π×=
ε
Δπμ=πε
Δμ=τ=
−
 
 
Exercício 1.10 
 
( )
( ) ( ) cm5,3m035,013,315,33,0208,0
101,010
vvR2
Mh
vv
hR2
hRR2
v
hRR2
v
M
m
s.N08,080010
cm1,0301,30
s
m15,3301.0
60
1002nR2v
cm1,09,2930RR
s
m13,3299,0
60
1002nR2v
2
2
ie
2
2
ie
2
2
22
e
e
22
i
i
2
4
e
3e
12i
1i
==+××π××
××=+πμ
ε=
+ε
πμ=πεμ+πεμ=
=×=νρ=μ
=−=ε
=××π×=π=
=−=−=ε
=××π×=π=
−
−
 
 
Exercício 1.11 
 
rpm531.40
05,1205,1556,1
12000.120
DD56,1
nD
n
56,1
Dn
DnnD
56,1
05,12
05,15
D
D
v
vv
mm025,0
2
05,151,15
2
DD
mm025,0
2
1205,12
2
DD
2
D
LD
v
2
D
LD
vv
MM)a
23
1
3
21
22
2
3
3
21
34
4,3
12
2,1
3
3
4,3
32
2
2,1
21
extint
=+×
×=+=′
=′π
′π−π
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=−
=−=−=ε
=−=−=ε
πεμ=πε
−μ
= ττ
 
( )
( )
m.N14,0
60
531.4001205,0
60
000.120012,0
10025,0
012,002,0108M
nDnD
LD
M
nDnD
LD
2
D
LDv2M)b
3
232
21
2
1
2
21
2
11
1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×−××
××××π=
′−ε
μπ=
′π−πε
πμ=πε
Δμ=
−
−
 
 
Exercício 1.12 
 
).motor(movimentodofavoram.N1,04,25,2M
m.N5,2
2
5,025,0
101,0
1010M
s
m10
2
5,040
2
Dv
s
rd40
1,0
22
d
v2
2
DLDvM
m.N4,2
2
1,048
2
dFM
N48250FGF
N225,0
101,0
210F
cm1,0
2
502,50
2
DDLDvF
2
3
res
i
1
i
i
1
res
motmot
mot
2
3
ie
i
=−=
=×π××π×××=
=×=ω=→=×==ω→πεμ=
=×==
=−=−=
=π××π×××=
=−=−=ε→πεμ=
−
−
τ
−
−
τ
τ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1.13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) r.rdr2rr.rdr2vvdArdM 2121t πε
ω−ωμ=πε
−μ=τ=
( )
( )
( )
( )
4
t
21
4
21
t
4
21
t
R
0
321tM
0 t
321
t
D
M32
164
D2M
2
DR,mas
4
R2M
drr
2
dM
drr
2
dM
πμ
ε=ω−ω
×ε
ω−ωπμ=
=ε
ω−ωπμ=
ε
ω−ωπμ=
ε
ω−ωπμ=
∫∫
 
 
Exercício 1.14 
 
2
m05,0y
m05,0y
1
m05,0y
2
0y
0y
1
0y
2
2
cm
dina100254
dy
dvs25
dy
dv
cm
dina200504
dy
dvs50
dy
dv
50y500
dy
dvy50y250v
50be250aa02,0a01,05,2)1(em)2(
)2(a2,0bba2,00bay2
dy
dv0
dy
dvm1,0ypara
)1(b1,0a01,05,2
s
m5,2vm1,0ypara0c0v0ypara
cbyayv
=×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−=⇒+−=
=−=⇒−=
−=⇒+=⇒+=→=→=
+=⇒=→=
=⇒=→=
++=
=
=
−
=
=
=
−
=
 
 
004
dy
dv0
dy
dv
m1,0y
m1,0y
m1,0y
=×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
=
=
 
 
r 
r+dr 
Exercício 1.15 
 
N2,348,0AF
m
N8,08010
dy
dv
s80v20
dy
dv
s8042,0200420yv200v20
dy
dv
vy100yv20v
2
2
0y
0y
1
máx
0y
1
máxmáx
m2,0y
máx
2
máx
=×=τ=
=×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ
==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=××−×=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=
−
=
=
−
=
−
=
 
 
Exercício 1.16 
 
2
2
0y
0y
1
0y
2
2
m
N103
dy
dvs33y5,1
dy
dv)b
2y3y75,0v75,0
4
3a;3b
0ba4ba40bay2
dy
dv0
dy
dv2ypara
3b2a42b2a45
s
m5v2ypara
2c
s
m2v0ypara
cbyayv)a
−
=
=
−
=
×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ⇒=+−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++−=⇒−=−==
=+⇒+=⇒+=→=→=
=+⇒++=⇒=→=
=⇒=→=
++=
 
 
Exercício 1.17 
 
2
1
2
2
112
23
2
1
11
m
N50
2
100
A
F
N1002150400AFF)b
m
N150
10
5103v)a
===τ
=×−=τ−=
=××=εμ=τ −
−
 
Y000.5v:Logo
000.5A10A55v10Ypara
0B0v0Ypara
BAYv)c
33
=
=⇒×=⇒=→=
=⇒=→=
+=
−− 
2
2
m
N505,0ypara
5,0b25,0a55v5,0ypara
0c0v0ypara
cbyayv)d
=τ→=
×+×=⇒=→=
=⇒=→=
++=
N60230AR
m
N305,74
dy
dv
5,7y10
dy
dv)e
y5,7y5v:olog
5,7be5a:dotanresul
5,12ba
5b5,0a25,0
:sistemaoresolversedeve
5,12b5,0a2
dy
dventãobay2
dy
dvcomo
5,12
4
50
dy
dv
dy
dv
0y
2
0y
20y
0y
2
5,0y
1
1
5,0y5,0y
22
=×=×τ=
=×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+=
==
=+
=+
−
=+×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+=
==μ
τ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛→⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ
=
=
=
=
=
==
 
 
Exercício 1.18 
 
( )
( ) %5,17100
27320
27350
000.200
000.1501%
100
T
T
p
p
11001100%
RT
p
;
RT
p
2
1
1
2
1
2
1
21
2
2
2
1
1
1
=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+×−=ρΔ
×⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=×⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ρ
ρ−=×ρ
ρ−ρ=ρΔ
=ρ=ρ
 
 
Exercício 1.19 
 
Ks
m479
28871,0
108,9
T
pR
m
kg71,0
8,9
7
gm
N762,116,0
m
N62,118,9186,1g
m
kg186,1
288287
108,9
RT
p
2
24
33arr
3arar3
4
ar
=×
×=ρ=
==γ=ρ⇒=×=γγ=γ
=×=ρ=γ⇒=×
×==ρ
 
Exercício 1.20 
 
3arar
3
3
ar
ar
m
N4,491094,4g
m
kg94,4
311287
10441
TR
p
=×=ρ=γ
=×
×==ρ
 
 
Exercício 1.21 
 
)abs(kPa046.1
2
103,133
V
V
pp
Adiabático
)abs(kPa5,666
2
103,133
V
V
pp
VpVp
Isotérmico
28,1k
2
1
12
2
1
12
2211
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
=×==
=
 
Capítulo 2 
 
ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
A ausência de movimento elimina os efeitos tangenciais e conseqüentemente a presença de 
tensões de cisalhamento. A presença exclusiva de efeitos normais faz com que o objetivo 
deste capítulo seja o estudo da pressão. Nesse caso são vistas suas propriedades num fluido 
em repouso, suas unidades, as escalas para a medida, alguns instrumentos básicos e a equação 
manométrica, de grande utilidade. Estuda-se o cálculo da resultante das pressões em 
superfícies submersas, o cálculo do empuxo, que também terá utilidade nos problemas do 
Capítulo 9, a determinação da estabilidade de flutuantes e o equilíbrio relativo. 
É importante ressaltar, em todas as aplicações, que o fluido está em repouso, para que o leitor 
não tente aplicar, indevidamente, alguns conceitos deste capítulo em fluidos em movimento. 
Para que não haja confusão, quando a pressão é indicada na escala efetiva ou relativa, não se 
escreve nada após a unidade, quando a escala for a absoluta, escreve-se (abs) após a unidade. 
 
Exercício 2.1 
 ( )
N13510101035,1G
Pa1035,1
20
5104,5
A
A
pp
Pa104,5
210
5,21072,21010500
AA
ApAp
p
ApG
ApAp
Pa1072,22000.136hp
ApAApAp
45
55
IV
III
34
5
53
HII
II2I1
3
V4
IV4III3
5
Hg2
II2HII3I1
=×××=
×=××==
×=−
××−××=−
−=
=
=
×=×=γ=
+−=
−
 
 
Exercício 2.2 
 
kN10N000.10
5
25400
D
D
FF
4
D
F
4
D
F
N400
1,0
2,0200F
1,0F2,0F
2
2
1
2
2
BO2
2
2
1
BO
BO
BOAO
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⇒π=π
=×=
×=×
 
 
 
Exercício 2.3 
 
mm3681000
000.136
5000.10h
hh
Hg
OHOHHgHg 22
=××=
γ=γ
 
 
Exercício 2.4 
)abs(mmHg3400)abs(
cm
kgf62,4)abs(MPa453,0)abs(
m
kgf200.46)abs(atm47,4p
mca10atm97,0MPa098,0Pa108,9
cm
kgf1
m
kgf000.1074,0600.13hp
mca2,36
000.1
200.36ph
bar55,398,0
cm
kgf62,310
m
kgf200.36p
MPa355,0108,9
m
kgf200.3666,2600.13hp
mmHg2660
1
5,3760p
patm5,3
mmHg760atm1
22abs
4
22HgHgatm
O2H
O2H
2
4
2
6
2HgHg
=====
===×≅=≅×=γ=
==γ=
=×=×=
=××=×=γ=
=×=
→
→
−
−
 
Exercício 2.5 
 
kPa35,13Pa350.13025,0000.101,0000.136p
01,0025,0p
1
HgOH1 2
==×−×=
=×γ−×γ+
 
 
Exercício 2.6 
 
kPa1,132Pa100.1321000.13625,0000.108,0000.8pp
p8,0125,0p
BA
BOHgO2HA
−=−=×−×−×=−
=×γ−×γ+×γ+
 
 
 
Exercício 2.7 
 
kPa6,794,20100p
kPa4,20Pa400.2015,0000.13615,0p
p100p
m
HgA
Am
=−=
==×=×γ=
−=
 
 
Exercício 2.8 
 
kPa55,36103,0500.834p
p3,0p)b
)abs(kPa13410034ppp
kPa100Pa000.10074,0000.136hp
kPa34Pa000.348,0500.83,0000.136p
07,03,07,08,0p)a
3
M
MOar
atmarabsar
HgHgatm
ar
O2HHgO2HOar
=××+=
=×γ+
=+=+=
≅≅×=γ=
==×−×=
=×γ−×γ−×γ+×γ+
−
 
)abs(kPa55,13610055,36ppp atmMabsM =+=+= 
 
 
Exercício 2.9 
 
( )
( ) )abs(mca12,17
000.10
000.171ph
)abs(Pa200.171200.95000.76ppp
Pa200.95000.1367,0p
Pa000.76p000.57
4
p
p
000.57pp000.30p000.27p
000.27pppap
000.30pp
p4p4
A
A
A
A
A
A
ApApAApApAp
2
A
A
kPa30pp
OH
absB
OH
atmBB
atm
B
B
B
ABAB
BCBC
AC
AB
H
2
H
1
1
2
HB2AH1B1B2A
1
2
AC
2
2
efabs
==γ=
=+=+=
=×=
=→=−
=−→=−−
−=→=γ+
=−
=→==×
=→−−=
=
=−
 
 
Exercício 2.10 
 
)abs(kPa991001ppp
kPa1Pa000.12,010500ghp
m
kg500
2,0
1,0000.1
h
hhh0ghp
0ghp
atm0abs0
AA0
3
A
B
BABBAABB0
AA0
=+−=+=
−=−=××−=ρ−=
=×=ρ=ρ⇒ρ=ρ⇒=ρ+
=ρ+
 
 
Exercício 2.11 
 
( ) ( )
( ) ( )
3324
3
o
OH
OHo
OHo
cm833.47m107833,41043,0
6
45,0xA
6
DV)c
m45,03,05,0
000.8
6,04,0000.10x5,0
x2y
D
m3,0
2
4,01
2
yyxyyx2
x2yx5,0D)b
m4,0
000.10
5,0000.8y
y5,0)a
2
2
2
=×=××+×π=+π=
=−−+=−−γ
+γ=
=−=−′=→′=+
+γ=++γ
=×=
×γ=×γ
−−
 
Exercício 2.12 
 ( )
( ) ( )
m105
5,11sen
5,4
1000.8
10
sen
D
d
pL0Lsen
D
dLp
D
dLH
4
DH
4
dL
Pa10001,010001,0p
0LsenHp
3
o
22
x
2
x
222
4
O2Hx
x
−×=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ α+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛γ
−=⇒=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ α+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛γ+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒π=π
−=−×=−×γ=
=α+γ+
Exercício 2.13 
 
( )
( )
( )
( )
( )
mca7,3
000.10
000.37p
Pa000.37000.17000.20000.17pp)b
absmmHg831684147p
mmHg147m147,0
000.136
000.20Pa000.20p
000.17p10331p104:)1(nadoSubstituin
p000.17p
p4,0000.104,0000.5005,0000.102p
m05,0
4,71
7,35
2
4,0
D
d
2
hh
4
d
2
h
4
Dh
phhh2p
1p10331p104
0357,00714,0
4
p31
4
0714,0p
dD
4
pF
4
Dp)a
2
12
abs1
1
1
21
21
2221
21
21
21
ar
arar
ar
ar
ar
3
ar
3
arar
arar
2222
arOHmOHar
ar
3
ar
3
22
ar
2
ar
22
ar
2
ar
==
=+=+=
=+=
====
+×=+×
=+
=×−×+×××
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Δ→π=πΔ
=γ−γ+Δγ+
×=+×−π=+×π
−π=+π
−−
−−
 
 
Exercício 2.14 
( )
1
2
11
22
222
111
arar
21
ar
HgO2Har
T
T
Vp
VpmRTVp
mRTVp)c
Pa050.12p0000.1361,0000.10155,0p
cm5
1
105,0hA.hA.y)b
Pa200.25000.10000.1362,0p
02,02,0p)a
=⇒=
=
=′⇒=×−×+′
=×=Δ⇒Δ=Δ
=−=
=×γ−×γ+
 
C44K317
100
95
200.125
050.112373T
cm95105,01010V
050.112000.100050.12p
)abs(Pa200.125000.100200.25p
o
2
3
2
abs2
abs1
==××=
=×−×=
=+=
=+=
 
 
 
Exercício 2.15 
 
 
3A
A
A
atmAAabs
atm
OH
A
OH
A
2222
A
212A
m
kg12,1
293287
576.94
RT
p
)abs(Pa576.94200.95624ppp
Pa200.95000.1367,0p)b
mca0624,0
000.10
624ph
Pa6240015,02000.8600p
m0015,0
40
4
2
3,0
D
d
2
hh
4
d
2
h
4
Dh
h2000.83,0000.103,0000.8p
0hhh2p)a
2
2
=×==ρ
=+−=+=
=×=
−=−=γ=
−=××−−=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Δ→π=πΔ
Δ×−×−×=
=γ−γ+Δγ+
 
 
Exercício 2.16 
 
3
1
2
2
1
12
1
2
11
22
absgásO2Hgás
O2Hgás
absgás
atm
gásO2HHggás
m16,2
293
333
100
952
T
T
p
pVV
T
T
Vp
Vp
)abs(kPa1001090pkPa10Pa000.101000.10z.p)c
m5,0
000.10
000.5zz.p)b
)abs(kPa95590p
kPa90Pa032.90662,0000.136p
Pa500016,0000.10025,0000.136p16,0025,0p)a
=××==⇒=
=+=′⇒==×=′γ=′
==⇒γ=
=+=
==×=
=×+×=⇒×γ+×γ=
 
 
 
Exercício 2.17 
 
 
( ) ( ) 232222123322212211
32
21
3,0p1,05,0p5,0p
4
DpDD
4
p
4
Dp
000.22,0000.10pp
000.10pp
×+−×=×→π+−π=π
=×=−
=−
 
( )
( )
kPa5,43Pa500.43p3480p08,0
180000.10p33,0p25,0
180p33,0p25,0
000.2p09,0p24,0p25,0
11
11
21
221
==→=
−−=
−=
−+=
 
 
Exercício 2.18 
 
3222
2
ct
c
t
t
pGt
o
G
p
22
c
22p
22
c
11p
m
kg993.10
183,05,010
950.34
LDg
G4
L
4
Dg
G
gV
G)c
m183,0
5,0210
5,110005,0L
m0005,0
2
5,0501,0
2
DD
Dv
FLDLvF)b
N5,11FFF
desce196319755,0395030GsenF
cimaparaN196378549817F
N7854
4
5,0000.40
4
DpF
N9817
4
5,0000.50
4
DpF)a
=××π×
×=π=π==ρ
=×π××
×=
=−=−=ε
πμ
ε=⇒πεμ=
=−=
>=×==
=−=
=×π×=π=
=×π×=π=
−
 
 
Exercício 2.19 
( ) ( )
( ) ( )
cm8,127m278,1278,01L
m278,0ym0278,0x0600.36x10098,1x000.908000800
2
600.552
0200.735,0x15000.10x98,0800
A
F2
x10yy2,0x2
0200.7330ysen30sen1y000.10y25,0x55,0000.81,0
A
F2
m
N200.73
30sen1
8,0000.101,0000.8
2
600.55
30Lsen
8,01,0
A
F
030Lsen8,01,0
A
F
6
oo
3oo
21
3
o
321
==+=′
=⇒=⇒=−×−+++×
=×+−×+++
=⇒=
=×+×+−×++−+×+
=×
×+×+
=
×γ+×γ+
=γ
=γ−×γ+×γ+
 
Exercício 2.20 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
kPa50109,39ppp)c
)abs(kPa1,60)abs(Pa100.6039908000.100p
Pa908.39
103,50
150102013,50000.10100
A
FAApGp
FApAApAApG
cm3,50
4
8
4
DA;cm201
4
16
4
DA)b
N15005,008,016,0
001,0
58,0DDvF
s
m.N8,0
10
000.810
g
)a
abm
absb
4
4
2
t12a
b
t2bH1aH2a
2
22
2
2
2
22
1
1
21t
2
3
−=−−=−=
==−+=
−=×
−×−×+=−−+=
++−=−+
=×π=π==×π=π=
=×+×π××=+πεμ=
=×=μγ=ν
−
−
−
l
 
 
 
Exercício 2.21 
 
2
3
p
p
p
p
p
p
2
p
p
pp2
12
m
s.N8,0
10
000.810
g
m001,0
2
998,01
2
DD
D
vL4pLv
4
D
p
LD
4
D
p
pistãonomédiapressãopondephp
000.10pp
=×=νγ=μ
=−=−=ε
ε
μ=→εμ=
τπ=π
==γ+
=−
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2.22 
 
N33933,0
4
2,1000.10b
4
RF
N160.23,02,16,0000.10AhF
22
y
x
=××π×=πγ=
=×××=γ=
 
 
 
kPa23,25Pa230.25000.10230.15000.10pp
m
N230.152000.85,769hpp
Pa5,769
998,0001,0
2,02,18,04p
21
2p2
p
−=−=−−=−=
=×−=γ−=
=×
×××=
Exercício 2.23 
 
m4,02,06,0b
m2,0
6
h
h
2
hAh
Ihh
N920.252,1
2
2,1000.30hhApF
m2,14,06,0
000.30
000.804,06,0h
6,0.4,0.h
2
12
4h
CG
cp
22
p
m
m
=−=
==
×
==−
=××=γ==
=−×=−×γ
γ=
γ=γ+γ
 
N640.8
2,1
4,025920
h
bFFbFhF pp =×==→×=× 
 
Exercício 2.24 
 
N948.59100.115,42,1F
N668.7
2
100.11100.5100.52,16,0F
N755.285,46,0
2
100.11100.55,46,0
2
100.5FFF
Pa100.116,0000.10100.56,0pp
Pa100.56,0500.86,0p
f
B
21A
212
11
=××=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++××=
=××++××=+=
=×+=×γ+=
=×=×γ=
 
 
Exercício2.25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N500.225,121500.7AhF
m0833,10833,01
m0833,0
5,124AhAh
Ihh
N102,15,124000.10AhApF
F2FF
2o2
1
12
325,1
1
12
3bh
1
CG
11CP
5
1O2H11
22B11
=×××=γ=
=+=
=××===−
×=×××=γ==
+×=
×
l
ll
 
m333,1333,01
m333,0
5,121Ah
hh
2
12
325,1
2
12
3bh
22CP
=+=
=××==−
×
l
N105F
333,1500.222F0833,1102,1
4
B
B
5
×=
×+×=××
F
Fp 
h hcp 
b 
h 
5m 
2 m 
A 
B 
1l 2l 
3 m 
F1 F2 
FB 
Exercício 2.26 
 
m736,0
634.7
680.42,1
F
FyxxFyF
N634.73,0
4
8,1000.10b
4
RF
m2,18,1
3
2R
3
2y
N860.43,0
2
8,1000.10bR
2
RF
y
x
CPCPCPyCPx
22
y
c
2
x
=×==⇒=
=××π×=πγ=
=×==
=×=••γ=
 
 
 
Exercício 2.27 
 
m65,230cos75,02h
AhApF
o =×+=
γ==
 
 
 
kN4,991075,365,2000.10F
m75,35,25,1A
3
2
=×××=
=×=
− 
 
Exercício 2.28 
 
( )
( )
( ) ( )
3
oO2H
2
O2H
22
oinfsup
2
2
O2Hinf
2
osup
m
N000.35
6,0
5,2000.86,05,3000.10
6,0
h6,0h
4
D6,0h6,0
4
D
4
DhFGF
6,0
4
DG
4
D6,0hF
4
DhF
=×−+×=γ−+
′γ=γ
π+′γ=×πγ+πγ⇒=+
×πγ=
π+′γ=
πγ=
 
 
 
Exercício 2.29 
 
 
 
 
 
 
 
 
xCG CG 
γ1
γ2 
R 
R 
O 
Fx1 F2 
Fy1 
21 ll = 
2
bRRb
2
RF
AhF
FxFF
2
1
11x
1111x
22CG1y11x
γ=γ=
γ=
=+ ll
 
 
6
R
Rb
2
RAh
Ihh 12
3bR
CG
11CP ===− 
3
1
22
3
R
2
bR
3
R4
4
bR
3
R
2
bR
b
4
RVF
2
bR
Rb
2
RAhF
3
R
6
R
2
R
2
12
1
1
2
2
2
1
2
1
2
11y
2
2
22222
21
1
=γ
γ→γ=γ+γ
×γ=π×
πγ+×γ
πγ=γ=
γ=γ=γ=
==−= ll
 
 
Exercício 2.30 
 
( )
( )
N3,465
1
579,0300.14583,0000.15
BA
brFbrF
FBAFMM
m579,0079,05,0br
m079,0
5,106,1
125,0
Ay
Iyy
m06,156,05,0y
m56,0
000.9
032.5ph
N300.145,11532.9ApFPa532.9
2
032.14032.5
2
pp
p
Pa032.141000.950321pp
Pa032.5037,0000.136037,0pp
m583,0083,05,0br
m083,0
5,11
125,0yy
m125,0
12
15,1
12
bI
Ay
Iyy)b
N000.155,11000.10ApFPa000.10
2
000.15000.5
2
pp
p
Pa000.155,1000.105,1p
Pa000.55,0000.105,0p)a
esqesqdirdir
BBesqdir
esq
esq
CG
esqCP
esq
o
ar
areq
esqesq
esqBesqA
esq
oesqAesqB
HgaresqA
dir
dirCP
4
33
CG
CG
CP
dirdir
dirBdirA
dir
O2HdirB
O2HdirA
=×−×=−=⇒×+=
=+=
=×==−
=+=
==γ=
≅××==⇒=+=+=
=×+=×γ+=
=×=×γ==
=+=
=×=−
=×==→=−
=××==⇒=+=+=
=×=×γ=
=×=×γ=
l
 
 
 
 
Exercício 2.31 
 
( ) ( ) N6363,06,0
4
3,0000.103,0D
4
hApF
N107,1
4
6,06,0000.10
4
D
hApF
2222
MMMMM
3
22
F
FFFF
=−π××=−πγ==
×=×π××=πγ==
 
 
Exercício 2.32 
 
N230.76
2
083,1000.1205,0000.45F083,1F5,0F2F
m083,0
412
2
y12by
12/b
Ay
Iyy
N000.1205,12000.40ApFPa000.40
2
000.50000.30p
Pa000.505000.105p
m3
000.10
000.30ph
N000.455,11000.30ApF
Pa000.304,0000.1025,0000.1364,025,0p
BCAB
223
CG
CP
BCBCBCBC
O2HC
O2H
AB
ABABAB
O2HHgAB
=×+×=⇒×+×=×
=×====−
=××=×=⇒=+=
=×=×γ=
==γ=
=××==
=×−×=×γ−×γ=
l
l
l
 
 
 
Exercício 2.33Exercício 2.34 
 
m1CBMM
2
CBbCB3M
3
3b3
2
3M
BCAB
BCAB
=⇒=
γ=→γ=
 
 
 
F1 F2 
1l 2l 
( )
( ) ( )
( ) ( )
m27,6z
5,1108,225,6z5,2
5,11
5,2z
08,25,25,2z
5,2106,4
5,2z
08,25,25,2z10
m5,2
N106,4251046pAF
5,2z
08,25,2
55
2
53
2
1
=
=+−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−
××=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−
=
×=×××==
−+=
l
l
Exercício 2.35 
 
 
2
1
h
xh
3
x6h
3
x
2
xhxb
3
xb
2
x
2
x
hxbF
3
x
xb
2
xAhF
FF
2
1
2
2
1
2
22
1
1111
2211
=→=→=γ
γ
×γ=×γ
=
γ=
=
γ=γ=
=
l
l
ll
 
 
Exercício 2.36 
 
kN204H880.218015H
m.kN1805,1120MkN120
000.1
134000.10V
m.kN880.2
000.1
41126000.10M
V
x
=⇒+=×
=×=⇒=×××=
=××××=
 
 
Exercício 2.37 
 
O ferro estará totalmente submerso. 
N2183,0
4
3,0300.10h
4
DVE
22
flfl =××π×=πγ=γ= 
A madeira ficará imersa na posição em que o peso seja igual ao empuxo. 
 
sub
2
fl
22
mad
h
4
DE
N1593,0
4
3,0500.7h
4
DGE
πγ=
=××π×=πγ==
 
 
 
m218,0
3,0300.10
1594
D
E4h
22
fl
sub =×π×
×=
πγ
= 
 
Exercício 2.38 
 
N625023,0000.25500VGG conconcil =×+=γ+= 
F1 
F2 
1l 
2l 
( )
m3,02,05,0h
m5,0
1
23,0
000.10
62504
D
V/G4H
H
4
DVGEG
22
con
2
con
=−=
=×π
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −×
=π
−γ=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×π+γ=⇒=
 
 
 
Exercício 2.39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) m7,29,08,1BAx:Logo
m9,0
270
6,0080.13,0350.1
F
GE
m6,0
3
8,1
3
BA
m3,0
3
9,0
3
IH
N270080.1350.1GEF:Logo
N080.11
2
6,08,1000.2b
2
CBBAVG
N350.11
2
9,03,0000.10b
2
IHCHVE
2
BAIH
FGE
EGF
2F
21
3
2
1
ccc
OHsubOH
321
22
=−−=−=
−=×−×=−=
===
===
=−=−=
=×××=××γ=γ=
=×××=××γ=γ=
=
+=
=+
l
lll
l
l
lll
 
A força deverá ser aplicada à direita do ponto B, fora da plataforma AB. 
 
Exercício 2.40 
 
( )( )
( )( ) 22dd444
3
odo
3
m1036,3A02,0A3,031055103,002,010
12
6,0
AARhGRA
26
D
−×=⇒−+×+=××−××π
−+γ+=γ−γ××
π
 
A B
C 
I H
E 
G 
F 
1l 
2l 
3l 
 
Exercício 2.41 
 
Supondo o empuxo do ar desprezível: 
3c
ccc
3
fl
fl
ap
m
N670.26
03,0
800
V
GVG
m03,0
000.10
300EVVE
N300500800EEGG
===γ→γ=
==γ=→γ=
=−=→+=
 
 
Exercício 2.42 
 
mm2,7m102,7
005,0
104,14
d
V4hh
4
dV
m104,11068,21082,2V
m1068,2
200.8
102,2GVVEG
m1082,2
800.7
102,2GVVEG
3
2
7
2
2
3766
36
2
2
2222
36
2
1
1111
=×=×π
××=π
Δ=Δ⇒Δ×π=Δ
×=×−×=Δ
×=×=γ=⇒γ==
×=×=γ=⇒γ==
−−
−−−
−−
−−
 
 
Exercício 2.43 
 ( )
( )
( )
( )
m8,0hh000.16000.40h000.6000.32
h5,2000.16h000.6000.32
h5,14hp
m
N000.324000.8p4AApGAp
2Situação
m
N000.1622A4A
EG1Situação
ooo
oo
ooobase
2basebasecbasebasebasebase
3cbbc
=→−+=
−+=
−−γ+γ=
=×=→×γ=→=
=γ→γ=γ→×γ=×γ
=→
l
lll
 
 
Exercício 2.44 
 
m6
000.61009,2
2105,4x
N1009,2
12
210
26
DE
N105,4135,110AhF
GE
2FxxE3
3
2FxG
4
4
4
3
4
3
44
=−×
××=
×=×π×=×
πγ=
×=×××=γ=
−
×=⇒•=××+•
 
 
 
E 
G F 
Exercício 2.45 
 ( )
( )
( )
3B
B
BAbase
2b
bc
b
base
bbase
3cAbAbc
m
N000.25
4,02,0000.15000.13
2,06,02,0p
m
N000.13
1
000.1016,0000.5
A
FA6,0
A
FGp
FGAp
2Situação
m
N000.15000.5332,0A6,0AEG
1Situação
=γ
×γ+×=
−×γ+×γ=
=+××=+××γ=+=
+=
=×=γ=γ→×γ=×γ→=
 
 
Exercício 2.46 
 
( ) ( ) N171.10
6
121085,7132,110
6
DgG
1085,7
293400.41
200.95
TR
p
m
kg132,1
293287
200.95
TR
p
Pa200.957,0000.1367,0p
3
3
3
2Har
3
2H
2H
2H
3
ar
ar
ar
Hgatm
=×π××−×=πρ−ρ=
×=×==ρ
=×==ρ
=×=×γ=
−
− 
 
Exercício 2.47 
79,0x
21,0x
62
16466x:Raízes
01x6x6
0
2
x
2
1
x12
1xFazendo0
22
1
12
0
2
b
2
b
b
2
b
2
b0
V
I
r
bhbhbEG
2
2
cc
c
c
3
c
12
b
c
c
y
c
sub
2
sub
3
c
4
=′′
=′→×
××−±=
>+−
>+−→=γ
γ→>γ
γ+−γ
γ
>⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
γ
γ−−
γ
γ
γ
γ−=→>−γ
γ=
γ
γ=→γ=γ→=
ll
l
l
l
l
l
l
l
ll
179,021,00 cc <γ
γ<<γ
γ<
ll 
Exercício 2.48 
 
 
estável0m037,00467,0
5,2
103,083.2000.10r
cm3,083.2
12
1025
12
bLI0
G
I
r
cm67,433,05cm5yCG
cm33,05,0
3
2yCC
cm5,0
10
5,2
L
Vh
hL
2
bh2V
m105,2
000.10
5,2GV
GVEG
8
4
33
y
yf
im
2
im
im
im
34
f
im
imf
⇒>=−××=
=×==→>−γ=
=−=⇒=→
=×=→
===
==
×==γ=
=γ⇒=
−
−
l
l
l
 
 
Exercício 2.49 
( )
( )
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
γ
γ−γ
γ<→−<
<−−→>+−
=γ
γ
>γ
γ+−γ
γ→>γ
γ+−γ
γ→>⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
γ
γ−−
γπ
πγ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
γ
γ−=−=π=γπ=
>−γ=
γ
γ=
γπ=πγ
=
ll
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
12
1
R
H
x1x2
1
R
H
01x2x2
R
H0
R
H2.x
R
H2
x
1
:RportudodividindoexFazendo
0H2H2R0
2
H
2
H
H4
R
0HH
2
1
HR4
R
HH
2
1
2
h
2
H
4
RIHRG
0
G
I
r
Hh
HRhR
GE
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
2
4
sub
4
y
2
y
sub
2
sub
2
 
 
 
CG 
CC 0,5cm 
Exercício 2.50 
 
z6
g
g51z
g
a
1zp yz Δγ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δγ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ±Δγ=Δ 
 
 
Exercício 2.51 
 
h
km2,646,3
s
m83,17557,3tav)b
s
m57,320tg8,9a20tgga
g
a
x
z)a
x
2
o
x
o
x
x
=×=×==
=×=→=→=Δ
Δ
 
 
Exercício 2.52 
 
oo
o
x 4130tg
30cos8,9
45,2tg
cosg
atg =θ⇒+×=α+α=θ 
 
 
Exercício 2.53 
 
( )
2x
3
x
3
Hg
s
m72,1
5,1
257,010
x
zga
m257,0
000.136
10140175z
g
a
x
z)b
m29,1
000.136
10175ph)a
=×=Δ
Δ=
=×−=Δ→=Δ
Δ
=×=γ=
 
 
Exercício 2.54 
 
)abs(kPa106
10
6,010000.1100ghpp
)abs(kPa7,125
10
6,010000.17,119ghpp
)abs(kPa7,119100106,0
2
5,10000.1p
s
rd5,10
60
1002n2pr
2
p
3atmC
3AB
32
2
A
atm
2
2
A
=××+=ρ+=
=××+=ρ+=
=+×⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ××=
=×π×=π=ω→+Δωρ=
−
 
 
Exercício 2.55 
 
 2x
x
s
m78,2
10
6,3
100
t
va
g
atg)a ===→=α 
140 
175 Pa 
zΔ
( ) ( )
( ) ( ) Pa600.314,05,0000.10h5,0p
Pa400.614,05,0000.10h5,0p
m14,0278,05,0h
5,0
htg)b
5,15278,0
10
78,2tg
O2HB
O2HA
o
=−×=Δ−γ=
=+×=Δ+γ=
=×=Δ→Δ=α
=α→==α
 
 
Exercício 2.56 
 
2
o
x
xo
oo
o
4
3
dir
dir
4
3
esq
esq
s
m8,530tg10a
g
a30tg
m73,1
30tg
1
30tg
hL
L
h30tg
m11011hm11
10
10110ph
m10
10
10100ph
=×=⇒=
==Δ=⇒Δ=
=−=Δ⇒×=γ=
=×=γ=
 
 
Exercício 2.57 
 
s5
4
6,3
72
a
vt
t
va
s
m4
5,0
2,010a
g
a
tg
x
x
2x
x
===→=
=×=
=α
 
 
Exercício 2.58 
 
( ) kN6,13N600.131010006,31000GmaFmaGF
s
m6,31
000.10
200.27600.13g1
z
ppa
g
a
1zpp
Pa600.131,0000.1361,0p
Pa200.272,0000.1362,0p
2
12
y
y
12
Hg2
Hg1
−=−=×−−×=−=⇒=+
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δγ
−=⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δγ=−
=×=×γ=
=×=×γ=
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 
 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Neste capítulo pretende-se, implicitamente, estabelecer a visão euleriana do estudo dos fluidos 
em movimento. É interessante lembrar que o estudante, acostumado com a visão lagrangeana 
estabelecida pela Mecânica Geral e pela Física, tem muita dificuldade para focalizar o fluido 
como um contínuo e observar as suas propriedades em diversospontos no mesmo instante. 
Insiste-se na idéia do regime permanente, já que a eliminação da variável tempo simplifica o 
estudo e a solução dos problemas e, de certa forma, resolve a maioria dos problemas práticos. 
Procura-se fixar as idéias de campos de propriedades e de diagramas de velocidades, típicas 
do estudo de fluidos. Evita-se propositadamente a denominação “volume de controle”, porém 
seu conceito está utilizado implicitamente quando se trata de tubo de corrente. O 
aprofundamento do estudo será feito no Capítulo 10, quando o leitor já tiver uma melhor 
compreensão do assunto, com as limitações impostas nos primeiros capítulos. 
Exercício 3.1 
 
∫=
A
m vdAA
1v
 
Mostrar claramente a facilidade de se utilizar uma coordenada polar quando se trabalha com 
seções circulares. Mostrar que a área elementar é calculada por 2πrdr. 
( )
máxm
44
4
máx
m
R
0
422
4
máxR
0
32
4
máx
m
R
0 2
22
2
máx
m
2R
0 máx2m
v5,0v
4
R
2
R
R
v2
v
4
r
2
rR
R
v2
drrrR
R
v2
v
rdr
R
rR
R
v2
v
rdr2
R
r1v
R
1v
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
π⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
π
=
∫
∫
∫
 
 
Exercício 3.2 
 
( )
dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança
rdrrR
R
v2rdr2
R
r1v
R
1v
vdA
A
1v
R
0
7
1
7
15
máx7
1
R
0 máx2m
m
−=−=−=
−=π⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π=
=
∫∫
∫
 
( )( )
máx
7
15
7
15
7
15
máx
R
0
7
15
7
8
7
15
máx
m
R
0
7
8
7
1
7
15
máx0
R
7
1
7
15
máx
m
v
60
49R
15
7R
8
7
R
v2
15
x7
8
Rx7
R
v2
v
dxxRx
R
v2
dxxRx
R
v2
v
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−−= ∫∫ 
 
Exercício 3.3 
 
s/m10
15,010
510
A
gQ
v
s/m20
15,05
510
A
gQ
A
Q
v
BB
m
m
AA
m
AA
m
m
B
A
=××
×=γ=
=××
×=γ=ρ=
 
 
Exercício 3.4 
 
s
N10110gQQ
s
kg110000.1QQ
s
m10
60100
6
t
VQ
mG
3
m
3
3
=×==
=×=ρ=
=×==
−
−
 
 
Exercício 3.5 
 
s
m2
105
10
A
Qv
s
N10110gQgQQQ
s
kg110000.1QQ
s
L1
s
m1010101AvQ
4
3
2
2
mG
3
m
3
34
11
=
×
==
=×==ρ=γ=
=×=ρ=
==××==
−
−
−
−−
 
 
Exercício 3.6 
 
s
m1067,2
9,0
104,2QQ
s
m102
2,1
104,2QQ
s
kg104,210200102,1AvQ
3
2
2
2
m
2
3
2
2
1
m
1
24
111m
−−
−−
−−
×=×=ρ=
×=×=ρ=
×=×××=ρ=
 
s
m267
1010
1067,2
A
Q
v
s
N24,0104,210gQQ
4
2
2
2
2
2
mG
=×
×==
=××==
−
−
−
 
 
Exercício 3.7 
 
Supondo o regime permanente, já que o enunciado não dá nenhuma indicação de variação 
com o tempo, pode-se utilizar a Equação da Continuidade correspondente. 
3
2211
3
332211
Q
QQ
QQQ
ρ+ρ=ρ
ρ=ρ+ρ
 
Sendo os fluidos incompressíveis e o reservatório rígido, pode-se utilizar também a equação 
para fluido incompressível. 
s/m10
1030
1030
A
Q
v
m/kg933
30
1080020000.1
QQQ
4
3
3
3
3
3
3
213
=
×
×==
=×+×=ρ
+=
−
−
 
 
Exercício 3.8 
 
s500
1010
552,0
Q
hA
Q
Vt
s
m104
55
1010
A
Qv
3
tan
4
3
tan
=×
××===
×=×
×==
−
−−
 
 
Exercício 3.9 
 
s
m14,4
1
25,34
D
Q4v
s
m25,3
500
10
100
5
t
V
t
V
Q
22
333
2
2
1
1
=
×π
×=
π
=
=+=+=
 
 
Exercício 3.10 
 
s
m01,0
2
02,0
2
v
v
D
DvDvv
4
Dv
4
Dv
4
Dv
1máx
1
2
3
2
22
2
11
3
2
3
3
2
2
2
2
1
1
===
−=
π+π=π
 
 
s
m064,0
5
5,2106,01501,0v
s
m106,013,0
60
49v
60
49v
2
22
2
3máx2
=×−×=
=×== 
 
Exercício 3.11 
 
Seja: Qe = vazão de entrada 
 QF = vazão filtrada 
 QNF = vazão não filtrada 
∫=
+=
ANF
NFFe
vdAQ
QQQ
 
Por semelhança de triângulos: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=→−= R
rRvv
rR
v
R
v
máx
máx 
 
 ( )
( )
s
L8,82,110QQQ
s
L2,1
s
m102,1
3
1014,63,0Q
cm14,620tg105,2R
3
Rv
3
R
2
R
R
v2
3
r
2
Rr
R
v2
Q
drrRr
R
v2
rdr2
R
rRvQ
NFeF
3
3
22
NF
o
2
máx
33
máx
R
0
32
máx
NF
R
0
2máxR
0 máxNF
=−=−=
=×=×××π=
=×+=
π=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −π=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −π=
−π=π⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
−−
∫∫
 
Aproveitar este exercício para mostrar que a vazão coincide geometricamente com o volume 
do diagrama de velocidades. No caso do diagrama cônico, o volume do cone é: 
3
vR
3
alturaBase máx
2 ×π=× 
 
Exercício 3.12 
 
s
m8,02,01QQQ
s
m1111AvQ
s
m2,0
5
1
t
V
Q)b
s
m1
3
y3dyy3bdyy3
11
1v
vdA
A
1v)a
3
Bcalha
3
mcalha
3
B
B
B
31
0
21
0
2
m
m
=−=−=⇒=××==
===
===×=
=
∫∫
∫
 
s
m86,1332,11
49
60v
49
60v104,3
10
3,032,11Re
s
m32,11
3,0
8,04
D
Q4vvDRe)c
mmáx
6
6
22
=×=⇒×=×=
=×π
×=π=→ν=
−
 
 
 
Exercício 3.13 
 
( )
( )
( )
m099,0
10810
624,04
Re
Q4
D
D
D
Q4
Re
D
Q4
v
Dv
Re
s/m624,0
09,1
68,0QQ
s/kg68,073,441,5QQQ
s
m021,5
942,0
73,4QQs/kg73,4
4
8,010942,0
4
D
vQ
s/m10
8,0
10108
D
Re
v
Dv
Re
s/kg41,55,4201,1QQ
m
kg201,1
27317287
10100
RT
p
m
kg942,0
27397287
10100
RT
p
m
kg09,1
27347287
10100
RT
p
s
m5,4
3600
1
h
m16200Q
55
1
1
1
1
2
1
1
12
1
1
1
11
1
3
1
1m
1
2m0m1m
3
2
2m
2
22
2
222m
55
2
2
2
22
2
000m
3
3
0
0
0
3
3
2
2
2
3
3
1
1
1
33
0
=×××π
×=νπ=
νπ=→π=→ν=
==ρ=
=−=−=
==ρ=→=
×π××=πρ=
=××=ν=→ν=
=×=ρ=
=+×
×==ρ
=+×
×==ρ
=+×
×==ρ
=×=
−
−
 
 
Exercício 3.14 
 
h
0
32h
0
2
m
2
3
0y
0y
1
0y
1
cm2y
2
3
52
5
2
3
y
2
y30
h
1bdy)yy30(
bh
1vdA
A
1v)c
m
N189,030103,6
dy
dvs30
dy
dv)b
s262230
dy
dvy230
dy
dv)a
m
s.N103,6
10
900107
gs
m107
s
cmouSt7,0cSt70
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−==
=××=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ→=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=×−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⇒−=
×=××=νγ=μ⇒×==
∫∫
−
=
=
−
=
−
=
−−−
 
 
s
kg75,025,005,0107,66
10
900AvQ)d
s
cm7,66
3
5515
3
hh15
3
hh15
h
1v
2
mm
223
2
m
=××××=ρ=
=−×=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
−
 
 
Exercício 3.15 
 
2
2
4
2
cm5,1r
3
0G
1der0
der
der2431
3
22
m3
3
2m2
322
4m4
322
1m1
máx
m
4
4m
4
m
4
1m
1
m
m
N7,66
015,0
101,0
m
s.N1,0000.110v)g
s/m12,5
5,2
5,118v)f
s/N199109,1910000.1gQQ
s
L9,199,188,38QQQ)e
forapara
s
L8,3838,71,159,18Q
QQQQQ
s
L1,15s/m0151,0
4
08,03
4
D
vQ
s
L3s/m003,002,003,05AvQ)d
s
L8,7s/m0078,0025,04RvQ
s
L9,18s/m0189,0035,09,4RvQ)c
s/m5
2
10
2
v
v)b
2000
10
025,024DvRe
s
m4
2
8v
3430
10
035,029,4DvRe
s
m9,46
60
49v)a
3
3
2
4
1
2
2
4
4
1
1
=×=τ
=×=νρ=μεμ=τ
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
=×××=ρ=
=−=−=
=−++=
+=++
==×π×=
π
=
==××==
==×π×=π=
==×π×=π=
===
=××=ν=
==
=××=ν=
=×=
−
=
−
−
−
 
 
 
 
Exercício 3.16 
 
s
m66,233,12v2v
QQ)d
s
m33,1
3
2,05
2
2,0200)yv100yv20(
bh
1v)c
N8,024,0AF
m
N4,04010
dy
dv)b
s402,02200220
dy
dv
yv200v20
dy
dv
yv100yv20v)a
mmáx
21
32
2,0
0
2,0
0
2
máxmáxm
22
0y
0y
1
m2,0y
máxmáx
2
máxmáx
=×==
=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=
=×=τ=⇒=×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ
−=××−×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=
−=
∫
−
=
=
−
=
 
 
Exercício 3.17 
 
s/m730
2,05,0
13,02002,1
A
QAv
v
AvQAvQQQ
22
m111
2
222m111mmm
3
3231
=×
+××=ρ
+ρ=
ρ=+ρ→=+
 
 
Exercício 3.18 
 
2
43
2
311m
1
1m
1
1
2
11m1
33
3m
3m
2m1m3m
2
2m
2
2máx
2m
2
22m22m
111m
m
s.N1077,66,010128,1
s
m10128,1
000.2
564,022000.2
R2v
000.2Re)c
m564,0
2
2
v
Q
RRvQ)b
s
m15
5,04,0
3
A
Q
v
s
kg38,12,1QQQ
s
kg88,14,032,1Q
m4,0R;
s
m3
3
9
3
v
vRvQ
s
kg2,126,0QQ)a
−−
−
×=××=νρ=μ
×=××=ν⇒=ν⇒≤
=×π=π=⇒π=
=×=ρ=
=+=+=
=×π××=
====→πρ=
=×=ρ=
 
 
 
 
 
Exercício 3.19 
 
s/L57,1s/m1057,1102,05,2DvQ
s/m5,2
2
5
2
v
v
s/m5
22,01052
4
2,0000.5052010
DL2
4
pD520
v
4
pD520
DLv2
520
DLv2
4
Dp
520DL
2/
v
4
Dp
333
m
máx
m
3
2
3
2
máx
2
máxmáx
2
máx
2
=×=××π×=επ=
===
=
××××
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−
=μ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −ε
=
−=ε
μ→=ε
μ+
π=πεμ+
π
−−
−
−
 
 
Exercício 3.20 
 
( )
2
22
x
yx
yy
z
y
y
y
xy
2x
x
xx
xx
z
x
y
x
xx
s
m6)4;3(a
s
m2,12212)4;3(v
s
m12434;3v
2v;y3v)c
0
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
s
m632a
y
v
va
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va)b
permanente)a
=
=+=
=×=
==
=∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
=×=
∂
∂=⇒∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
 
 
Exercício 3.21 
 
yx9x3.xy3
y
v
va
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
0
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va)b
.Permanente)a
2y
yy
yy
z
y
y
y
xy
xx
z
x
y
x
xx
==∂
∂=
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
=∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
 
72229aa
12223vv)c
2
y
y
=××==
=××== 
 
Exercício 3.22 
 
( )
2
22
2y
2x
22
y
x
y
x
yx
s
m6,211812)3;2(a
s
m1836)3;2(a
s
m1226)3;2(a
s
m5,86)6()3;2(v
s
m623)3;2(v
s
m632)3;2(v)c
y63y2a
x62x3
y
v
va)b
=+=⇒−=×−=
−=×−=
=+−=⇒=×=
=×−=
−=×−=
−=−=∂
∂=
 
 
Exercício 3.23 
 ( )
( )
( )
4,5432a
4
t
v
a
3
t
v
a
2
t
v
a
2,161296v
12214v
9213v
6212v
222
z
z
y
y
x
x
222
z
y
x
=++=
=∂
∂=
=∂
∂=
=∂
∂=
=++=
=+×=
=+×=
=+×=
 
 
Exercício3.24 
 
2x
xx
z
x
y
x
xx
222
y
2
x
s
m32258221712107a
t8x217y2107
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
s
m10817107v
s
m175312v
s
m107541223v
=×+××+××=
+×+×=∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
=+=⇒=×+×=
=×+××+=
 
2
22
2
2
y
2
y
yy
z
y
y
y
xy
s
m368178322a
s
m1783122171107a
3xy217y107a
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
=+=⇒=+×××+×=
+×+=
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
 
Capítulo 4 
 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 
Neste capítulo o livro diferencia-se bastante de todos os outros sobre o assunto. Como já foi 
feito em relação à equação da continuidade no Capítulo 3, restringe-se a equação a aplicações 
em regime permanente. Novamente, a ausência de variações com o tempo permite simplificar 
a compreensão dos fenômenos e a solução de problemas importantes, sem restringir muito as 
aplicações, já que a maioria dos problemas práticos aproxima-se dessa hipótese. No Capítulo 
10, a equação é generalizada para permitir a solução de problemas mais complexos. 
Inicialmente, apresentam-se as energias mecânicas associadas a um fluido, excluindo-se 
efeitos térmicos. O leitor deve perceber que, sendo as energias entidades da mesma espécie, 
podem-se, por meio delas, associar entidades heterogêneas como velocidades, cotas e 
pressões. Graças às seis hipóteses estabelecidas inicialmente é possível deduzir a equação de 
Bernoulli para um tubo de corrente, que relaciona de forma elementar essas entidades em duas 
seções do escoamento. O desenvolvimento da equação de Bernoulli conduz a energias por 
unidade de peso, denominadas cargas, e por coincidência, as cargas podem ser medidas em 
unidade de comprimento, o que permite interpretações interessantes em certas aplicações. 
Nos itens seguintes as hipóteses de Bernoulli são retiradas aos poucos, o que permite resolver 
problemas sem restrições práticas, com exceção da hipótese de regime permanente. 
Após a retirada de todas as hipóteses simplificadoras chega-se à equação mais geral, que nada 
mais é do que a primeira lei da Termodinâmica para volume de controle, em regime 
permanente. 
A grande vantagem desse tratamento é a separação dos efeitos térmicos dos efeitos 
mecânicos, o que possibilita uma concentração maior nos tipos de problemas que podem ser 
resolvidos. Assim, o professor de Termodinâmica pode dedicar sua atenção a problemas em 
que os efeitos térmicos são predominantes e o de Mecânica dos Fluidos pode se dedicar 
àqueles em que os efeitos são desprezíveis. Apesar de se perder inicialmente na generalidade, 
ganha-se na compreensão e na facilidade de absorver os conceitos e visualizar os fenômenos 
físicos. Observa-se no fim do capítulo a interpretação da perda de carga. 
 
Exercício 4.1 
 
 
 
 
 
 
 
Ressaltar as hipóteses de Bernoulli: 
1) R.P. Reservatório de grandes dimensões. 
2) S.M. Visual. Não há bombas nem turbinas no trecho (1)-(2). 
3) S.P. Dado do enunciado: fluido ideal. 
4) F.I. Líquido. 
5) P.U.S. Jato livre. Não vale o princípio da aderência. 
6) S.T.C. Visual. 
 
O leitor deve ser hábil na escolha dos pontos (1) e (2). Como regra, o ponto (1) deve ser 
escolhido numa seção onde v, p e z sejam conhecidos, e o ponto (2), onde estiver a incógnita, 
ou vice-versa. 
v2
(1) 
(2) PHR 
h 
 
 
gh2v
g2
v
h
PHRnoponto0z
efetivaescalanap0p
incógnitaaév
PHRdopartiraacothz
efetivaescalanap0p
ioreservatórnofluidodonível0v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
2
2
2
2
atm2
2
1
atm1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
=→=
→=
→=
→
→=
→=
→=
+γ+=+γ+
 
Observa-se que o PHR é arbitrário. Ao ser mudado alteram-se z1 e z2, mas a solução da 
equação permanece a mesma. 
 
Exercício 4.2 
 
( )
( )
( ) ( ) ( ) 2122
11
2
1
xxbaa4
g
a2bag2
g
a2bag2
g
y2vx
baa4ay4
g
y2ga2
g
y2ga2
g
y2vxAlcance
bag2v
ga2v
=⇒+=×+=+==
+==×===
+=
=
 
 
Exercício 4.3 
 
m3,6
10
1075
20
9,4zz
p
g2
v
zzz
p
g2
v
z
kPa7510025ppp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)b
s/m9,42,120gz2v
g2
v
z
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)a
4
32
AS
S
2
S
ASS
s
2
S
A
atmSS
S
S
2
S
A
A
2
A
AB
2
B
A
B
B
2
B
A
A
2
A
absef
=×−−−=−
γ−−=−→+γ+=
−=−=−=
+γ+=+γ+
=×==→=
+γ+=+γ+
 
 
Exercício 4.4 
 
( )
( )
s
m8,7
20
6,3
45
g2
v
hHhH
g2
v
Hhp
Hp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
==⇒γ
+γ=γ
γ+
+γ=
γ=
+γ+=+γ+
 
 
Exercício 4.5 
 
4vv2,0
g2
vv
2,0
p
comoez
p
g2
v
z
p
g2
v
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
1
2
1
0
0
2
0
=−→=−
=γ+γ+=+γ+
 
 
 
s
N211,210gQQ
s
kg1,20026,0
10
000.8Q
g
QQ
s
L6,2
s
m0026,0
4
08,052,0Q
4
D
vQ
s/m52,0v4vv16:anteriornadoSubstituin
v4v40v80v
4
D
v
4
D
v
mG
m
322
0
0
0
2
0
2
0
01
2
1
2
0
2
1
1
2
0
0
=×==
=×=γ=ρ=
==×π×=→π=
=→=−
=→×=×→π=πExercício 4.6 
 
( )
( )
s
L40
s
m104AvQ
s
m4
10
10308,320
p
8,3g2v
kPa3010106
000.1
2,020p
2,0ppp2,02,0p
8,3
p
g2
v
p
g2
vp
g2
v
3
2
14
3
1
1
44
1
O2Hm212mO2H1
1
2
1
0
2
01
2
1
=×==⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−×=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
γ−=
=−×+=
γ−γ+=⇒=×γ−×γ+
=γ+
γ+=γ+
−
 
 
 
Exercício 4.7 
cm3
16,3
07,72
v
v
DD
4
D
v
4
D
v
s
m16,35,020v
m5,0
10
1020
20
07,7p
g2
v
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)b
s
N2,22
4
02,007,710
4
D
vQ
s
m07,75,2102gh2vh
g2
v
:PitotdetuboNo)a
1
2
21
2
2
2
2
1
1
1
4
32
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
4
2
2
2G
2
2
2
=×==→π=π
=×=
=×−=γ−=→+γ+=+γ+
=×π××=πγ=
=××==→=
 
 
Exercício 4.8 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
cm7,5m107,5
43,12
1014,34
v
Q4D
4
D
vQ
s
m43,1246,138v
6,13816,1355,020vv
155,0g2vvzz155,0
pp
pzz55,055,0p
zz
pp
g2
v
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)c
0
101036,1
10187101052pzphpzhhp
kPa181017101052zzppz
p
g2
v
z
p
g2
v
)b
s
N3141014,310QQ
s
m1014,3
4
1,04
4
D
vQ
s
m410
10
10521620z
p
Hg2vz
p
g2
v
H)a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
Hg2
1
2
212
Hg21
212Hg1
21
12
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
45
343
Hg
31
131Hg11
34
31133
3
2
3
1
1
2
1
24
G
3
2
22
1
1
4
3
1
1
111
1
2
1
1
=×=×π
××=π=⇒
π=
=+=
=−××=−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −γ
γ××=−⇒−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −γ
γ=γ
−
=−γ−×γ−×γ+
−+γ
−=−
+γ+=+γ+
=−×
×+×−×=γ−γ
−Δγ−=⇒=Δγ−γ−γ+
−=×−+=−γ+=⇒+γ+=+γ+
=××=γ=⇒×=×π×=π=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×−×=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −γ−=⇒+γ+=
−−
−
−−
 
 
 
 
 
Exercício 4.9 
 
s
kg14,8
4
072,02
10
000.10
4
D
v
g
Q
s
m2v84,59vv16
anteriornadosubstituinv4v
4
D
v
4
D
v
84,59
10
920.2920vv
p
g2vvz
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa920.2922,0000.136hp
22
1
1m
1
2
1
2
1
12
2
1
1
2
2
2
4
2
1
2
2
22
1
2
21
1
2
1
2
2
2
2
Hg2
=×π××=πγ=
=⇒=−
→=→π=π
=−×−=−
γ−=−→+γ+=+γ+
−=×−=γ−=
 
 
Exercício 4.10 
 
0565,0
109,5
1033,3
Q
Q
s
kg109,5
4
025,01201
4
D
vQ
s
kg1033,3
4
00115,045,4720
4
D
vQ
s
m45,401,0
7200
720020z
p
g2v
0z
p
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
:gasolinaNa
pPa7200
2
1201
2
v
g2
v
p
p
g2
vp
g2
v
:arNo
2
3
am
gm
2
22
a
aama
3
22
g
gggm
g2
g
g2
g2
g2
g
g2
2
g2
g2
g
g2
2
g2
g1
g
g1
2
g1
g2
22
a2
a
2
a2
aa2
a
a2
2
a2
a
a1
2
a1
=×
×=
×=×π××=πρ=
×=×π××=πρ=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +γ−=
=+γ+⇒+γ+=+γ+
=−=×−=ρ−=γ−=⇒γ+=γ+
−
−
−
−
 
Exercício 4.11 
 
kW375,0
000.1
1
8,0
301,010QHN
s
m01,0101010AvQ
m342
20
10HH
g2
vHz
Hzp
g2
vHzp
g2
v)a
4
B
B
B
3
4
66
2
B6,1p
2
6
B1
6,1p2
2
2
2
B1
1
2
1
=××=η
γ=
=××==
=−+=→+=+
++γ+=++γ+
−
 
 
( ) ( )
( ) N1,3810101081,1102010F
Pa1081,1pm81,1
20
5,1210
10
10p
s
m5,12
108
01,0
A
Qv
g2
vvpp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa10110p
HpH
p
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
AApApFFAApAp)b
4444
4
G
22
4
4
G
4
G
G
2
G
2
44G
G
G
2
G
4
4
2
4
44
4
6,4p46,4p
4
6,4p6
6
2
6
4
4
2
4
HpGp4HpGp4
=×××−−××=
×−=→−=−+=γ
=×==
−+γ=γ→+γ+=+γ+
=×=
γ=→=γ→++γ+=+γ+
−−=→+−=
−−
−
 
 
Exercício 4.12 
 
( ) ( )
( )
kW4,410
7,0
2002,17,12QHN
m200
7,12
7341806ppH
Pa18062,1427,122,142pm2,142100
20
5,730p
H
g2
vvp
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa7348,577,128,57pm8,57100
20
5,730p
s
m5,7
4,04,0
2,1
A
Qv
s
m2,12,02,030AvQ
H
g2
vvp
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
3
v
v
v
01
v
1
22
1
A,1p
2
1
2
A1
A,1pA
A
2
A
1
1
2
1
0
22
0
0
0
3
AA
0,Ap
2
0
2
A0
0,Ap0
0
2
0
A
A
2
A
=×××=η
γ=
=−−=γ
−=
=×=×γ=⇒=+−=γ
+−=γ⇒++γ+=+γ+
−=−×=−×γ=⇒−=−−=γ
=×==⇒=××==
−−=γ⇒++γ+=+γ+
−
 
 
Exercício 4.13 
 
( ) ( ) Pa108,810102,18,0hpp phhp:amanométricEquação
ppg2vv
zp
g2
vzp
g2
v)a
445
F54
5F4
542
4
2
5
5
5
2
5
4
4
2
4
×=−×=γ−γ=−
=γ−γ+
γ
−=−
+γ+=+γ+
 
176
10
108,820vv 4
4
2
4
2
5 =××=− 
 
s
m047,0101007,4AvQ
s
m7,4
8
176v176vv9
v3vAvA3vAvAv
3
4
44
4
2
4
2
4
4555545544
=××==
==→=−
=→=→=
−
 
 
( ) kPa49Pa109,47,368,410p
HzH
p
Hz
p
H
Hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v
)c
m8,4
047,010
75,0103
Q
N
H
QH
N)b
44
6
6,1p6B
6
6,1p6
6
B
6,1p6
6
2
6
B1
1
2
1
4
3
BB
B
B
B
B
−=×−=−−×=
−−=γ→++γ=
++γ+=++γ+
=×
××=γ
η=→η
γ=
 
 
Exercício 4.14 
 
( )
( ) ( )
( )
( ) kW3102,150196,010QHN)d
m2,212,156HzzHHHHH
m2,15
10
000.765
20
9,610H
s
m9,6
6
510
D
D
vv
pp
g2
vv
H)c
Pa000.761036,1101105hppphhp)b
s
L6,19
s
m0196,0
4
05,010
4
D
vQ
s
m10251220v
z
p
Hg2vz
p
g2
v
H)a
34
B
B303,0p3,0p3B0
4
22
B
2
2
1
2
2
21
12
2
1
2
2
B
544
Hg212Hg1
322
2
22
2
2
222
2
2
2
2
=×××=γ=
=+=+−=⇒+=+
=−−+−=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
γ
−+−=
−=×−×+×=γ−γ+=⇒=γ−γ+
==×π×=π=⇒=−−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −γ−=⇒+γ+=
−
 
Exercício 4.15 
 
νπ=ν×π=→π=ν=
=×
×==→=
−
1
1
2
1
12
1
1
11
1
3
canalcanal
D
Q4D
D
Q4Re
D
Q4v;DvRe)b
s
m5,0
4,02,0
1040
bL
QvbLvQ)a
 
( ) ( )
s
m75,0
667,0
5,0
667,0
v
v667,0v
2
h10
3
h25
h
v
v
dyy10y25
h
v
Ldyyv10yv25
bL
1v
yv10yv25v:Logo
v10bev25a:sistemaosolvendoRe
b2,0a20bay2
dy
dv0
dy
dv;m2,0ypara
2,0b2,0avvv;m2,0ypara
0c0v;0ypara)d
m7,16
8000
103,0
20
4,2078,0H
s
m4,20
05,0
10404
D
Q4v
s
m78,0
255,0
10404
D
Q4v
p
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
)c
m255,0
200010
10404
Re
Q4D
m
máxmáx
23
máx
m
h
0
2máxh
0 máx
2
máxm
máx
2
máx
máxmáx
2
máxmáx
622
2,1p
2
3
2
2
2
2
3
2
1
1
1
2
2
2
1
2,1p
2,1p2
2
2
2
1
1
2
1
4
3
1
1
===⇒×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
+−=+−=
+−=
=−=
+×=→+=→==
×+×=⇒==
=⇒==
=×+−=
=×π
××=π=
=×π
××=π=
γ+
−=
++γ+=+γ+
=××π
××=πν=
∫∫
−
−
−
−
 
 
Exercício 4.16 
 
( )
( )
224
3
1
1
1,0p
1
011,0p1
1
2
1
0
3
34
22
23
2
3
2
33
2
3
32
2
3
2
2
3,2p
232
3
2
23,2p3
3
2
3
2
2
2
2
cm45,1m1045,1
9,4
1071,0
v
QA
s
m9,48,03520H
p
zg2vHz
p
g2
v
z)b
s
L71,0
s
m1071,01011,7AvQ
s
m1,7354,020v
s
m354,0v50vv400v20
A
A
vv
50235,320vv
H
pp
g2vvHz
p
g2
v
z
p
g2
v
)a
=×=×==
=−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −γ−=⇒++γ+=
=×=××==
=×=⇒=⇒=−⇒==
=+−×=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +γ−γ=−⇒++γ+=+γ+
−−
−−
 
 
W4,932,11071,010QHN
m32,1
20
9,41,7
g2
vv
H)c
34
B
222
1
2
2
B
=×××=γ=
=−=−=
−
 
 
Exercício 4.17 
 
( )
m545
20
2030
10
104,0H
p
g2
v
H
p
H
HHHH)c
mca4525
10
102,0pH
pp
z
p
g2
v
Hz
p
g2
v
)b
kW4
1000
18,025102010pQHN
m25H
m25305
10104,01510
10
1025,0H
Hz
p
HHz
p
HHHHH
)0(a)5(deEscoamentoHH
m455
10
102,0
20
20z
p
g2
v
H
s
m20
1010
1020
A
Qv
m3510
10
1025,00z
p
g2
v
H)a
2
4
6
p
2
2
2
M
5
p
p2M5
4
6
2
M
12
1
1
2
1
M2
2
2
2
34
TTT
T
4
6
4
6
M
p0
0
MM5
5
p0MM5
01
4
62
1
1
2
1
1
4
3
1
1
4
6
0
0
2
0
0
2,5
22,5
2,52
1
1
1
0,512
0,512
=−−+×=
γ−−+γ=
+=+
=−−×=γ→−γ=γ
+γ+=++γ+
=×××××=ηγ=
=
−=−−×−++×=
++γ=+++γ
+=++
→>
=+×+=+γ+=
=
×
×==
=+×+=+γ+=
−
−
−
 
 
Exercício 4.18 
 
m2,23
10
10200
20
8p
g2
v
H
s
m2
108
1016v;
s
m8
102
1016v)a
4
32
2
2
2
2
3
3
33
3
2
=×+=γ+=
=×
×==×
×= −
−
−
−
 
 
 
( )
( ) ( ) MPa362,010512,4010zHHp
HHz
p
)d
kW95,1102,12101610QHN
)turbina(m2,1213,23
10
101,0HH
p
H
HHHH)c
m173,232,40HHH)b
).1(para)4(deSentidoHHm2,40
10
10400
20
2p
g2
v
H
64
43,4p34
3,4p34
4
334
TT
4
6
1,2p2
1
M
1,2p1M2
232,3p
234
32
3
2
3
3
=×−+=−+γ=
+=+γ
=××××=γ=
−=+−×=+−γ=
+=+
=−=−=
⇒>→=×+=γ+=
−
−−
 
 
 
Exercício 4.19 
 
1,2p1
1
2
1
2
2
2
2
1,2p12
2
4
2
4
4
4
2
4
4
2
3
3
3
2
3
3
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
HHH)b
)1(para)6(deSentido
13
g2
v
49
g2
v
z
p
g2
v
H
11
g2
v
z
p
g2
v
H)a
++γ+=+γ+
+=
+=++=+γ+=
+=+γ+=
 
 
kW192,0
1000
18,0410610QHN
m4Hm4117ppH)c
s
m10610106vAQ
s
m6vm8,1728,17
g2
v
34
TTT
T
32
1M
3
34
2
2
2
=×××××=ηγ=
=→−=−=γ−γ=
×=××==
=→=−+=
−
−−
 
4,6p64
4
2
4
2M
4,6p4
4
2
4
2M6
6
2
6
4,6p42M6
Hzz
p
g2
v
H
Hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v
HHHH)d
+−+γ+=
++γ+=++γ+
+=+
 
kW59,0
1000
18,910610QHN
)bomba(m8,9239
20
6H
34
B2
2
2M
=××××=γ=
=+−+=
−
 
 
 
Exercício 4.20 
 
m7,20HH
p
HHH)c
MPa207,0Pa107,20pm7,2047,26
10
10502
20
47,4p
m7,26
1062,510
105,1
Q
NHQHN
H
p
Hz
p
g2
v
HHHH)b
s
m1062,5
4
04,047,4
4
D
vQ
s
m47,422
10
105020v
kPa5010050ppp
Hz
p
g2vHz
p
g2
v
0
HHH)a
0,3p0,3p
3
0,3p03
4
34
32
3
34
3
BB
3,2p
3
B1
1
2
1
3,2p3B1
3
3
22
1
14
3
1
atmabs1ef1
1,0p1
1
11,0p1
1
2
1
1,0p10
=⇒=γ
+=
=×=⇒=−+×−+=γ
=××
×=γ=⇒γ=
+γ=++γ+
+=+
×=×π×=π=⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++×−×−=
−=−=−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++γ−=⇒++γ+=
+=
−
−
 
 
Exercício 4.21 
 
( )
TB
32
2
3
2
2
2,1p
2,1p3
3
2
3
TB2
2
2
2
2,1p3TB2
3
4
3
TT
T
TTT
T
B
TTTB
4
6
21
B
HHpp
g2
vvH
Hzp
g2
vHHzp
g2
v
HHHHH)b
s
m04,0
75,02010
106
H
NQQHN
m20
75,02
30
2
HHQH2QH
m30
10
1003,0ppH)a
−+γ
−+−=
++γ+=−++γ+
+=−+
=××
×=ηγ=→ηγ=
=×=η=→ηγ=γ
=×−=γ
−=
 
( )
4,1p4
4
2
4
1
1
2
1
4
622
2,1p
4
2
24
3
3
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
)c
m45,02030
10
101,00
20
45H
s
m5
1080
04,0
A
Qv;
s
m4
10100
04,0
A
Qv
++γ+=+γ+
=−+×−+−=
=×===×== −−
 
 
m55,9
10
101,0
20
54p
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
)d
MPa295,0Pa1095,245,010103,0Hpp
H
pp
4
622
3
2
2
2
3
2,3p
2,3p2
2
2
2
3
3
2
3
546
4,1p14
4,1p
14
=×+−=γ+
−=
++γ+=+γ+
=×=×−×=γ−=
−γ=γ
 
 
Exercício 4.22 
 
kW4,31036,11103010QHN
m36,11H15H20H56,0HHHH
m20
103010
106
Q
N
HQHN
H56,0H8,07,0HHH
QH
QHNN
334
T
TTTpT2B1B
34
3
2B
2B2B2B
T1BTBTT1B
B
1B
TTBT
=××××=γ=
=⇒=−+⇒=−+
=××
×=γ=⇒γ=
=⇒××=ηη=⇒η
γ=ηγ⇒=
−−
−
 
Exercício 4.23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
2
24
316
24
312181216
8
R
6
R3
4
R3
2
R
R
16
drrrR3rR3rR
R
16
rdrrR
R
16rdr2
2
v
R
r1v
R
1
dA
v
v
A
1
8888
8
R
0
752346
8
R
0
322
8
3
R
0 máx
2
máx
2
3
A
m
=α
×=−+−×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−=α
−+−=α
−=π
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
π=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=α
∫
∫∫
∫
Exercício 4.24 
 
( )
06,1
R
17
7R
10
7
R
672,3x
17
7Rx
10
7
R
672,3
dx)xRx(
R
672,3dxxRx
R
672,3
dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança
rdr)
R
rR(
R
672,3rdr2
v
60
49
R
r1v
R
1
dA
v
v
A
1
7
17
7
17
7
17
R
0
7
17
7
10
7
17
7
10
R
0
7
3
7
17
R
0
7
3
7
17
7
3
R
02
3
R
0
máx
7
1
máx
2
3
m
=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=α
−=−=α
−=−=−=
−=π
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
π=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=α
∫∫
∫∫
∫
 
 
Exercício 4.25 
 
 
m5,0
20
311,1
g2
v)e
W104985,1
2
103100011,1
2
AvC)d
11,1
58
2
58,4
3
596,0
4
5064,0
135
1
22
m
5
33
m
234
=×=α
×=×××=ρα=
=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×+×+×+×=α
 
( )dy8y8,4y96,0y064,0
135
1dy2
3
2y4,0
52
1
2y4,0v:olog
4,0C2C544v5ypara
2C2v0ypara
CyCv
dA
v
v
A
1)c
s
m30523bhvQ)b
s
m3
2
24v)a
5
0
235
0
3
11
2
21
3
A m
3
m
m
∫∫
∫
+++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
×=α
+=
=⇒+=⇒=→=
=⇒=→=
+=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=α
=××==
=+=
Exercício 4.26 
 
( )
73,1
7
55
6
305
5
700.25
4
000.27
103
1
7
hh
6
30h
5
700.2h
4
000.27
103
1
dy)yy30y700.2y000.27(
103h
1bdy)
67
yy30(
bh
1)e
h
kg135.27600.325,005,067,0900bhvQ)d
s
m67,0
3
5515v
3
hh15
3
h
2
h30
h
1bdy)yy30(
bh
1v)c
m
N9,130063,0
m
s.N063,0
10
107000.9
g
s
m107
s
m107,0St7,0cSt70;
m
N000.9
dy
dv30
dy
dv)b
s26
dy
dvy230
dy
dv)a
6
543
5
6
543
5
654h
0
3
5
3h
0
2
mm
2
m
232h
0
2
m
20y
2
5
2
5
2
4
3
0y0y
1
cm2y
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×+×−××=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−×=α
−+−××=
−=α
=××××=ρ=
=−×=
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=
=×=τ
=××=γν=μ
×=×===ν=γ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⇒−=
∫∫
∫
=
−
−−
==
−
=
 
 
Exercício 4.27 
 
s
L20
s
m02,0101002AvQ
s
m28,4
10
10409
1
20v
Hzp
g2
vzp
g2
v
HHH
NHQNHQHQ
3
4
t20
4
3
2
2,0p2
2
2
2
20
0
2
0
0
2,0p20
diss661100
==××==
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×−=
++γ+α=+γ+α
+=
+γ=+γ+γ
−
 
s
L351520QQQ 106 =+=+= 
m7H
m9H
1
0
=
=
 
kW31,1
1000
18,01640NN
W1640N
10006,010103510N71015109102010
m6,0
20
5,31H
s
m5,3
10100
1035
A
Q
v
g2
v
H
TT
343434
2
6
4
3
t
6
6
2
6
66
=××=η=
−=
+××××=+×××+×××
=×=
=×
×==→α=
−−−
−
−
 
 
Exercício 4.28 
 
m4,11234,27HHHH
m4,27HH10510310510
21010103,0105103,231051030101010
m3,0
20
5,2
g2
v
H
m3,2525
20
5,2H
v
s
m5,2
05,0
1054
D
Q4vz
g2
v
H
m3010
10
102,0z
p
H
s
L5
2
10
2
Q
QQ
HQHQHQHQHQHQ
7,6p5,4p7,4p6,5p
7,4p7,4p
3434
34343434
22
7
7
2
3
72
3
2
3
33
2
3
3
4
6
0
0
0
0
73
7,4p73,2p31,0p0773300
=−−=−−=
=⇒×××+×××+
+×××+×××+×××=×××
===
=+=
==×π
××=π=→+=
=+×=+γ=
====
γ+γ+γ+γ+γ=γ
−−
−−−−
−
 
 
Exercício4.29 
 ( ) ( )
kW75,3
8,0
3NN
kW68,05,7NN
m10H;0H;0H
HQHHQHHQHQHQNNHQ
T
T
2
BB1
760
p7pp6pp077662100 7,36,54,33,21,0
==η=
=×=η=
===
γ++γ++γ+γ+γ=−+γ
 
3
60
6
4
0
4
34
6
4
0
434
1010QQ
1050Q108Q106
21010108Q106Q101010101037506000
−
−−
×+=
=××+××
×××+××+××+×××=−
 
 Resolvendo o sistema de equações: 
 
m2,117
8,0102,310
103
Q
N
HHQN
m4,45
102,1310
8,0105,7
Q
N
H
HQ
N
s
L2,13Q
s
L2,3Q
34
3
T6
T
TTT6T
34
3
0
BB
B
B
B0
B
0
6
=
×××
×=ηγ=→ηγ=
=
××
××=γ
η=→η
γ=
=
=
−
−
 
 
Exercício 4.30 
 
( )
s
L56
s
m056,0028,02Q2Q
s
m028,0
210
8,0700
H
N
Q
HQ
N)b
bombam2H25,0125,2
2
H
7
4
2
Q
1
2
Q
1Q4
2
Q
5
2
Q
H
2
Q
7Q
m4zH
m5zH
m72
10
1050z
p
H
2
Q
QQQ2QQQ
HQHQHQHQHQHQHQ)a
3
30
3
4
B
BB
3
B
B3
B
M
M
00
0
00
M
0
0
33
22
4
3
0
0
0
0
322320
3,1p32,1p21,0p03322M300
==×==
=×
×=γ
η=⇒η
γ=
=⇒++++=+
×γ+×γ+×γ+×γ+×γ=×γ+×γ
==
==
=+×=+γ=
==⇒=+=
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
 
 
Exercício 4.31 
 
g2
v5,1H;
g2
v5H
;
g2
v
3
1H;
g2
v5H;
g2
v7H;8H;0H
H2HH3H2HH3H3
HQ2HQHQ3HQ2HQHQ3HQ3
Q3QQQQ;Q2Q
HQHQHQHQHQHQHQ
2
2
2,sp
2
1
1,sp
2
e
e,0p
2
2
2
2
1
1B0
2,sp1,spe,0p21B0
2,sp11,sp1e,0p12111B101
1021012
2,sp21,sp1e,0p02211B000
==
=+=+===
++++=+
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
=→+==
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
 
g2
v3
g2
v5
g2
v
g2
v210
g2
v783
2
2
2
1
2
e
2
2
2
1 ++++++=× 
kW15
1000
1
48,0
80897,010HQN
s
m0897,0
4
138,06
4
D
vQ
s
m6v
s
m2v140v35v9v20v6140
v2vv3v
g2
v
g2
v
5
g2
v
67
4
B
Be
B
322
e
ee
e1
2
1
2
1
2
1
2
1
121e
2
e
2
2
2
1
=×××=η
γ=
=×π×=π=
=⇒=→=→++=
==
++=
 
 
Exercício 4.32 
 
( ) kW36,210101061015104106,11101010N
HQHQHQN)c
m10
p
H;m15
p
H
m6,114,820
pp
H)b
kPa84pm4,8
p
8,15101048,11106
p
51010
m8,15
10
1015,0
20
4p
g2
v
H
m8,11
10
101,0
20
6p
g2
v
H
c5
p
g2
v
H
HQHQHQ
s
m6
1010
106
A
Q
v;
s
m4
1010
104
A
Q
v;
s
m10
1010
1010
A
Q
v
s
L6410QQQ)a
3343434
diss
6,5p64,3p42,1p1diss
5
6,5p
3
4,3p
21
2,1p
2
23323
4
62
3
2
3
3
4
62
5
2
5
5
2
2
2
2
335522
4
3
6
54
3
4
34
3
1
2
416
=××××+×××+×××=
γ+γ+γ=
=γ==γ=
=−=γ−γ=
=⇒=γ⇒×××+××=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
γ+××
=×+=γ+=
=×+=γ+=
+=γ+=
γ+γ=γ
=×
×===×
×===×
×==
=−=−=
−−−−
−−−
−
−
−
−
−
−
 
 
Exercício 4.33 
 
1212
12
2
1
2
2
M
2M1
ppevvpp
g2
vvH
HHH)a
<<→γ
−+−=
=+
 
m6,13z
104404,3026,13z44204424,3096,13
m9
10
1080
20
53,4p
g2
v
H
HQHQHQHQHQHQHQ
s
m53,4
1030
0136,0
A
Q
v
s
m0136,00304,0046,0QQQ)d
s
m046,0
2010
8,01011
H
N
Q
HQ
N)c
s
m0304,087,3
4
1,0v
4
DQ
QQ)b
m3,2615
20
87,31515
g2
v15
H
s
m87,3v12
g2
v16
3
g2
v
15
g2
v15
30:)1(nadoSubstituin
15
g2
v15pp
g2
vv16pp
g2
vv
H
v4vevv
)1(H
g2
v
Hz
HHHH
turbina0H
4
32
6
2
6
6
9,8p95,4p47,6p699BB4466
4
6
6
3
CB6
3
4
3
B
BB
B
B
BB
B
32
2
2
A
AC
22
2
T
2
2
2
2
2
2
2
2
221
2
2
2
221
2
2
2
1
T
2123
3,0p
2
3
T0
3,0p3T0
M
=
×+×+×+=×+×+×
=×+=γ+=
γ+γ+γ+γ=γ+γ+γ
=×==
=−=−=
=×
××=γ
η=→η
γ=
=××π=π=
=
=+×=+=
=⇒=
+=−−
+=γ
−+−=γ
−+−=
==
+=−
+=−
⇒<
−
 
 
Exercício 4.34 
 
m1,8
20
7,12
g2
v
H
s
m4,25v
s
m7,12
05,0
10254
D
Q4
v
NHQNHQ2NHQNHQHQ
22
1
1
32
3
2
1
1
1
diss3311diss332211
===
=⇒=×π
××=π=
+γ=+γ⇒+γ=+γ+γ
−
 
 
kW6,16
75,0
49,12NN
W490.124401,810251022,32105010N
m2,32
20
4,25H
B
B
3434
2
3
==η=
=+××××−×××=
==
−− 
 
 
Exercício 4.35 
 
kg
kJ5,7
kg
J7500qg
massa
calor
m750
20
25125
g2
vv
q
p
g2
v
q
p
g2
v
s
m125255v5v
5
2,0
1
p
ppp
v
v
AvAv
222
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
12
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
222111
===
=−=−=
γ+=+γ+
=×==
===ρ
ρ→ρ=ρ
ρ
ρ=→ρ=ρ
 
 
Exercício 4.36 
 
kW75,0
s
J7501750Q
s
kg111QQgqQQ
kg
J750
2
1040gq
s
m40
05,0
1,0
1,0
2,010
A
A
p
p
v
A
A
vvAvAv
s
m10
1,0
1
A
Q
v
g2
vv
q
11mm
22
2
1
2
1
1
2
1
2
1
12222111
1
1
1
2
1
2
2
==×=
=×=ρ=→=
=−=
=××==ρ
ρ=⇒ρ=ρ
===
−=
&
&
 
 
Exercício 4.37 
 
g
p
g2
vHqTc
g
p
g2
v
2
2
2
2
M1v
1
1
2
1
ρ+=+++ρ+ 
 
( )
s
kg1634
42,5
10001098,02
vv
NQ~2
Q
s
m2,5
4.0
52,04
A
A
vv
TTeppSe
g2
v
gQ
N
gQ
Q~
g2
v
gQ
NHgHQN
gQ
Q~qqgQQ~
pp
TT
222
1
2
2
m
2
1
12
212121
2
2
mm
2
1
m
MMm
m
m
2
2
1
1
21
=−
×+−×=−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
=×==
ρ=ρ⇒==
=++
=→=
=→=
ρ=ρ⇒=
&
&
&&
 
 
Exercício 4.38 
 
( )
kW5610
600.3
500.45,187.45gqQQ
kg
J5,187.45800.58810760.2090.2
2
60275gq
kg
J800.588
3600
4500
10736
Q
NgHgHQN
gHhh
2
vv
gqh
2
v
gqgHh
2
v
3
m
3
22
3
m
mmm
M12
2
1
2
2
2
2
2
M1
2
1
−=××−==
−=+×−+−=
=×==⇒=
+−+−=⇒+=+−+
−&
 
 
Exercício 4.39 
 
 
diss332211 NHQHQNHQ +γ+γ=+γ 
s
m6
25,0
5,1
A
Qv
s
m5
5,0
5,2
A
Qv
s
m5,115,2QQQ
s
m12,05AvQ
3
3
3
1
1
1
3
213
3
222
===
===
=−=−=
=×==
 
 
 
949,0
7,14273
273
N
N
kW273W1073,2107,1425,215,2108,315,11025,31110N
m8,31
10
103,0
20
6p
g2
v
H
m25,31
10
103,0
20
5p
g2
v
H
m25,21
10
102,0
20
5p
g2
v
H
B
B
53442
4
62
3
2
3
3
4
62
2
2
2
2
4
62
1
2
1
1
=+==η
=×=×+××−××+××=
=×+=γ+=
=×+=γ+=
=×+=γ+=
 
 
Capítulo 5 
 
Equação da Quantidade de Movimento para Regime Permanente 
 
Neste capítulo admite-se ainda a hipótese de regime permanente para simplificar o raciocínio. 
O tratamento do regime variado, como já foi dito, será feito no Capítulo 10. 
O objetivo deste capítulo é mostrar como calcular a força resultante que um fluido aplica em 
superfícies com as quais está em contato. Essa resultante deve-se ao efeito normal, criado 
pelas pressões, e ao tangencial, provocado pelas tensões de cisalhamento. 
Pelo equacionamento utilizado, é possível verificar que a integral das forças normais e 
tangenciais reduz-se a uma solução bastante simplificada. 
Na solução dos problemas despreza-se o efeito do peso do fluido, que poderia ser obtido pelo 
produto do volume pelo seu peso específico. Esse cálculo poderia causar embaraços, no caso 
de volumes de figuras complexas; entretanto, será sempre um problema geométrico, que não 
tem nenhuma relação com os objetivos do capítulo. 
 
 
Exercício 5.1 
 
( )[ ]12m222111s vvQnApnApF rrrrr −++−= 
Na escala efetiva p1 = 0, p2 = 0 e é dado do enunciado que v1 = 0. 
N3,132
4
35,030
8,9
7,12
4
D
v
g
F
AvF:xSegundovQF
2
2
2
22
2s
2
2
2s2ms
x
x
=×π××−=πγ=
ρ−=→−= rr
 
kW99,1
1000
1464,37,12QHN
s
m4,3
4
38,030
4
D
vQ
m46
8,92
30
g2v
H
HHHH
B
322
2
2
22
2
B
p2B1 2,1
=×××=γ=
=×π×=π=
=×==
+=+
 
 
Exercício 5.2 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )[ ]
2,1p2
2
1
2
21
2,1p2
2
21
2
1
4
3
2
24
3
1
1
o
1m
o
11zS
o
1m
o
11zS
2
o
1m
o
11xS
o
12m22
o
11xS
Hz
g2
vvpHz
g2
vp
g2
v
s
m5,7
108
106
A
Qv;
s
m3
1020
106
A
Qv
60senvQ60senApF
60senvQ60senApF
v60cosvQ60cosApF
60cosvvQ1Ap60cosApF
++−=γ⇒++=γ+
=×
×===×
×==
+=
−−−=
−+=
−+++−−=
−
−
−
−
 
( )
N12660sen3106000.160sen1020106,63F
N285,760cos3106000.160cos1020106,63F
kPa6,63pm36,631
20
35,7p
o3o43
zS
o3o43
xS
1
22
1
=××××+××××=
≅−×××+××××=
=⇒=++−=γ
−−
−− 
 
Exercício 5.3 
 
( )[ ]12m222111s vvQnApnApF rrrrr −++−= ( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )
2
2
222s
222222s
232
3
2
233322
322222s
23223322s
AvApF
v2vAvApF
v4v
20
80v
A
A
vvAvAv
cosvvAvApF
vcosvAvcosAp1ApF
3,2x
3,2x
3,2x
3,2x
ρ−=
−ρ+=
=→==→=
θ−ρ+=
−θρ+θ+−−=
 
 
 
m5,7
000.10
1050
20
07,7h
p
g2
v
hHH
s
m07,7
8
400vv84000
1080v1000108010500
32
2
2
2
21
2
2
2
42
2
43
=×+=→γ+=→=
==→−=
×××−×××= −−
 
 
Exercício 5.4 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
N6001020102010200F
N5601020102010180F
kPa180pm1811
10
10200Hz
pp
Hz
pp
s
kg201020000.1QQ
s
m10
1020
1020
A
Qvvv
vQApF
v0Q0Ap1ApF
vQApF
0vQ1Ap0ApF
43
zS
43
xS
24
3
2,1p2
12
2,1p2
21
3
m
4
3
21
1m11zS
1m2211zS
2m22xS
2m2211xS
=×+×××=
−=×−×××−=
=⇒=−−×=−−γ=γ⇒++γ=γ
=××=ρ=
=×
×====
+=
−++−−=
−−=
−++−=
−
−
−
−
−
 
 
N820600560FFF 222zS
2
xSS =+=+= 
 
Exercício 5.5 
 
REDUÇÃO 
( )
( ) Pa500.16123
2
1000000.84p
vv
2
p
g2
vv
pp
s
m1234vv4v
15
30v
D
D
vv
4
D
v
4
D
v
p
g2
vp
g2
v
HH
22
2
2
2
2
11
2
2
2
1
12
212
2
1
2
2
1
12
2
2
2
2
1
1
2
2
21
2
1
21
=−+=
−ρ+=−γ+=
=×=→=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=→π=π
γ+=γ+→=
 
( )[ ]12m222111s vvQnApnApF rrrrr −++−= ( ) ( ) ( )[ ]
( )
( ) N740.3123212
4
15,0500.16
4
3,0000.84F
s
kg212
4
3,03000.1
4
D
vQ
vvQApApF
vvQ1Ap1ApF
22
s
22
1
1m
21m2211s
12m2211s
Rx
Rx
Rx
=−×+×π×−×π×=
=×π××=πρ=
−+−=
−+++−−=
 
 
TURBINA 
3
3
m
TT
T23
3
T
2
3T2
m
N000.1010000.1g
s
m212,0
000.1
212QQ
Q
NHQHN
Hpp
p
H
p
HHH
=×=ρ=γ
==ρ=
γ=→γ=
γ−=→γ=−γ
=−
 
( ) ( ) N242
4
15,0800.2500.16AppF
Pa800.237,1000.10500.16p
m37,1
212,0000.10
109,2H
2
32s
3
3
T
Tx
=×π×−=−=
=×−=
=×
×=
 
Exercício 5.6 
 
( )[ ]
( ) ( )[ ]
N792.810314,0000.10314,01018vQApF
vQ1ApF)b
kW7,80107,25314,010N
m7,251
20
5,210
10
10218H
s
m5,2
4,0
314,04
D
Q4v;
s
m10
2,0
314,04
D
Q4v
z
g2
vvpp
H
g2
vp
Hz
2
vp
QHN)a
4
1m11xS
1m11xS
34
22
4
4
T
22
2
222
1
1
1
2
2
2
121
T
2
22
T1
2
11
T
=××+××=+=
−+−−=
=×××=
=+−+×−−=
=×π
×=π==×π
×=π=
+−+γ
−=⇒+γ=−++γ
γ=
−
 
 
 
Exercício 5.7 
 
( )[ ]12m222111s vvQnApnApF rrrrr −++−= 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
N120430F
vQvQApvQ1ApF)2
N180630F
vQvQApvQ1ApF)1
s
m4
1075
03,0
A
Qv
s
m6
1050
03,0
A
Qv
s
m03,0Q
s
kg30101003000.1AvQ
s
m3
10
90vv10000.1090.1
10100v000.11010010100090.1
AvApF
vQ1ApF
2y
2y
1y
1y
x
x
s
2m2m222m22s
s
1m1m111m11s
42
2
41
1
3
4
00m
0
2
0
42
0
43
0
2
000s
1m00s
−=×−=
−=−−=++−=
=×=
=+=−+−−=
=
×
==
=
×
==
=
=×××=ρ=
==→+=
××−×××−=−
ρ−−=
+++−=
−
−
−
−−
 
 
Exercício 5.8 
 
 ( ) ( ) ( )[ ]o1o2mo22o11xS 30cosv60cosvQ60cosAp30cosApF +−+−+−= ( )
( )
( )
N3401,2495,231F
N1,24930sen560sen101010000.130sen1020105,137F
N5,23130cos560cos101010000.130cos1020105,137F
kPa5,137pm75,1310
20
510H
g2
vvp
H
g2
vp
g2
v
s
m10
1010
1010
A
Qv;
s
m5
1020
1010
A
Qv
)]30senv60senv(Q30senApF
)]30senv60senv(Q)60sen(Ap)30sen(Ap[F
30cosv60cosvQ30cosApF
22
S
oo3o43
yS
oo3o43
xS
1
22
2,1p
2
1
2
21
2,1p
2
21
2
1
4
3
2
24
3
1
1
o
1
o
2m
o
11yS
o
1
o
2m
o
22
o
11yS
o
1
o
2m
o
11xS
=+=
=×+×××+××××=
−=×−×××+××××−=
=⇒=+−=+−=γ
+=γ+
=×
×===×
×==
++=
−−+−+−−=
−+−=
−−
−−
−
−
−
−
 
 
Exercício 5.9 
 
( )[ ]12m222111s vvQnApnApF rrrrr −++−= ( ) ( )[ ]
( )
( ) N58958911782053,39
4
1,010150F
s
kg3,39Q
s
m0393,0
4
1,05
4
D
vQ
s
m20
5
105
D
D
vv
vvQApF
vvQ1ApF
2
3
s
m
322
1
1
22
2
1
12
21m11s
12m11s
x
x
x
=−=−+×π××=
=→=×π×=π=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
−+=
−+−−=
 
N785
4
05,020000.1AvFF
2
3
2
2
2sx =
×π××=ρ== 
 
Exercício 5.10 
 
2
h
hAghAgh2FF
AghAhF
Agh2Fgh2vAvF
2
121dirxS
22dir
1xS1j
2
jxS
=⇒ρ=××ρ⇒=
ρ=γ=
××ρ=⇒=→ρ=
 
 
Exercício 5.11 
 
( )[ ]12m222111s vvQnApnApF rrrrr −++−= ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]
N3645sen55,220F
senvQsenvQsenApF
0senvQsenAp0ApF
N9,1445cos155,220F
s
m55,2
1,0
10204
D
Q4vv
s
kg201020000.1QQ
cos1vQcosvvQcosApApF
vcosvQcosAp1ApF
o
s
2m2m22s
2m2211s
o
s
2
3
2
j
21
3
m
m21m2111s
12m2211s
y
y
y
x
x
x
−=××−=
θ−=θ−θ−=
−θ+θ+−=
=−××=
=
×π
××=
π
==
=××=ρ=
θ−=θ−+θ−=
−θ+θ+−−=
−
−
 
 
Exercício 5.12 
 
( ) kW3,25107,02,27133,010QHN s
m133,0
4
15,052,7Q
m2,27
20
5,730H
s
m5,7
15,0000.1
000.14
D
F4
v
4
DvF
g2
v
zH
g2
v
Hz
34
TTT
32
2
T
22
xS
2
2
2
2xS
2
2
1T
2
2
T1
=××××=ηγ=
=×π×=
=−=
=×π×
×=ρπ=⇒
πρ=
−=⇒=−
−
 
 
Exercício 5.13 
 
N5201020106,2F
Pa106,22,11021036,1p
022,1p
ApF
45
pistão
545
p
HgOHp
pppistão
2
=×××=
×=×−××=
=×γ−×γ+
=
 
( )[ ]12m222111s vvQnApnApF rrrrr −++−= 
( )
( ) ( ) ( )
( ) pistãoo
j
2
xs
o
j
oo
21mxs
12ms
F60cos1
A
QF
60cos1
A
QQ60cos1Qv60cosvvQF
vvQF
=−ρ=
−ρ=−ρ=−=
−−= rrr
 
( ) ( ) sm233,060cos1000.1 1052052060cos1 AFQ
3
o
4
o
jpistão =−×
××=−ρ=
− 
 
Exercício 5.14 
 ( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
s
L10
s
m01,0101010AvQ
s
m10
60cos110
60cos13010
60cos1A
60cos1A
vv
60cos1Av60cos1Av
60cos1AvF
60cos1AvF
3
4
djdj
o
o
o
dj
o
ej
ejdj
o
djd
2
j
o
eje
2
j
o
djd
2
jdxS
o
eje
2
jexS
==××==
=+
−×=+
−=
+ρ=−ρ
+ρ=
−ρ=
−
 
 
Exercício 5.15 
 
Adotando o eixo x na direção do jato do bocal: 
 
 
s
m2
1050000.1
30sen40
A
30senGv
30senGF
A
F
v
AvvQF
4
o
j
j
o
s
j
s
j
j
2
jjms
x
x
x
=
××
×=ρ=
=→ρ=
ρ==
−
 
 
Exercício 5.16 
 
( ) ( )
( ) ( )
s
m86,5
08,0000.1
8,1724vFF
D
F4
v
4
D
vF
H
g2
v
Hz
N8,17260cos1
4
1,063,6000.160cos1
4
D
vF
s
m63,68,2520Hzg2vH
g2
v
z)a
221xS2xS
2
2
2xS
2
2
22
22xS
2,0p
2
2
B0
o
2
2o
2
12
11xS
1,0p011,0p
2
1
0
=×π×
×=⇒=
ρπ=⇒
πρ=
+=+
=−××π××=−πρ=
=−×=−=⇒+=
 
 
 
N376173250299FGFF
N173
4
08,086,5000.1