CAP SIMPLES E DESCONTO

Prévia do material em texto

FACULDADE DE OLINDA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Roberto 
21/02/2017 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 2 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
EMENTA 
Capitalização Simples; Desconto Simples; Capitalização Composta; Taxa Equivalente, Taxa Nominal e 
Efetiva, Taxa Real e Aparente; Equivalência de Capitais na Capitalização Composta; Série Financeira; 
Sistema de Amortização, PRICE, SAC e SAM. 
 
CARGA HORÁRIA 
72 horas/aula 
 
OBJETIVOS 
Permitir ao aluno: 
• Conhecer e compreender as definições e simbologias empregadas nas práticas do mercado 
financeiro. 
• Visualizar a importância dos métodos quantitativos no processo decisório financeiro. 
• Praticar os cálculos utilizados na obtenção dos parâmetros que dão sustentação às tomadas de 
decisão no dia-a-dia do mercado. 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
1. Capitalização Simples 
2. Desconto Simples 
3. Capitalização Composta 
4. Equivalência de Capitais 
5. Taxas 
6. Série Financeira 
7. Sistema de Amortização 
METODOLOGIA 
O conteúdo programático será desenvolvido através de aulas expositivas participativas e de aulas práticas 
(discussão, resolução e correção de exercícios em sala de aula). 
 
CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO 
O desenvolvimento do aluno será medido de forma contínua, cumulativa e objetiva, ao longo do período, 
através de aplicações de provas escritas e trabalhos individuais e/ou em grupo, considerando-se também 
o índice de assiduidade do aluno e sua participação nas aulas. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 3 
 
BIBLIOGRAFIA 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 11ª. Ed. São Paulo: Atlas, 2009. 
FARO, Clovis de. Fundamentos da Matemática Financeira: uma introdução ao cálculo financeiro e à 
análise de investimento de risco – São Paulo: Saraiva, 2006. 
FERREIRA, Roberto Gomes. – Matemática Financeira Aplicada: mercados de capitais – 6º. Ed. São Paulo: 
Atlas, 2008. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada – São Paulo: Saraiva, 1999. 
KUHNEN, Osmar Leonardo. Matemática Financeira Empresarial – São Paulo: Atlas, 2006. 
LAPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira usando o Excel – São Paulo: Laponi Treinamento e Editora, 
2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 4 
 
 
 
ÍNDICE 
 
1. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ......................................................................... 10 
1.1 Juros Simples ............................................................................................................................10 
1.2 Homogeneização entre Taxa de Juro e Prazo de Capitalização ..................................................13 
1.3 Taxa de Juro Proporcional .........................................................................................................13 
1.4 Taxas Equivalentes na Capitalização Simples .............................................................................14 
1.5 Juros Comerciais e Juros Exatos ................................................................................................14 
1.6 Equivalência de Capitais na Capitalização Simples .....................................................................16 
1.7 Taxa Média e Prazo Médio ........................................................................................................17 
2. OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES ........................................................................... 22 
2.1 Desconto Simples Racional ou Por Dentro.................................................................................22 
2.2 Desconto Simples Comercial ou Por Fora ..................................................................................23 
2.3 Desconto Bancário ....................................................................................................................24 
2.4 Cálculo da Taxa Efetiva no Desconto Comercial ........................................................................24 
2.5 Desconto Simples Comercial X Desconto Simples Racional ......................................................25 
2.6 Cálculo da Taxa Efetiva no Desconto Bancário ..........................................................................26 
2.7 Taxa média e prazo médio para operações de Desconto Simples Comercial .............................27 
2.8 Equivalência de Títulos no Desconto Simples Comercial ............................................................28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 5 
 
INTRODUÇÃO 
 
 A Matemática Financeira surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheiro no 
tempo. 
 Mas o que é o "valor do dinheiro no tempo"? 
 Intuitivamente, sabemos que R$ 1.000,00 hoje "vale" mais que esses mesmos R$ 1.000,00 daqui 
a um ano. 
 Isso ocorre por causa dos juros. 
 R$ 1.000,00, hoje, vale mais do que os R$ 1.000,00 daqui a um ano porque esse capital poderia 
ficar aplicado em um banco e render juros que seriam somados aos R$ 1.000,00, resultando numa quantia 
maior que esse capital. 
 Suponha que um banco pague R$ 50,00 de juros ao ano caso aplique o capital hoje. Daqui a um 
ano o valor recebido será de R$ 1.050,00, e não somente os R$ 1.000,00 iniciais. 
 Isso mostra que receber os R$ 1.000,00 hoje seria equivalente a receber R$ 1.050,00 daqui a um 
ano, a uma determinada taxa de juro, e não os mesmos R$ 1.000,00. 
 Os juros de R$ 50,00 referentes ao prazo de um ano funcionariam como uma recompensa por 
termos de esperar todo esse tempo para ter o dinheiro em vez de tê-lo hoje. 
 É esse o sentido do valor do dinheiro no tempo. 
 Os juros fazem com que uma determinada quantia, hoje, seja equivalente a outra no futuro. 
Apesar de diferentes nos números, os valores R$ 1.000,00 hoje e R$ 1.050,00 daqui a um ano seriam 
equivalentes para juros de R$ 50,00, considerando a aplicação de uma determinada taxa de juros. 
 Um capital de R$ 1.000,00 só será equivalente a R$ 1.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda 
de a taxa de juros ser considerada igual a 0 (zero). 
 A Matemática Financeira, portanto, está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que 
por sua vez está ligado à existência da taxa de juros. 
 Veja algumas definições dadas por diferentes autores. 
 “A Matemática Financeira pode ser definida como uma ciência que procura aliar métodos 
matemáticos aos fenômenos econômico-financeiros na construção de todo um instrumental de modelos 
e processos, para fornecer respostas compatíveis a uma eficiente alocação de recursos escassos entre 
atividades competitivas.” (Roberto Gomes Ferreira, 1999). 
 “Sob o enfoque teórico, poderemos defini-la como o estudo da evolução do dinheiro ao longo do 
tempo, visando estabelecer relações formais entre quantias expressas em datas distintas. Sob uma visão 
mais aplicada, iremos apresentá-la como o conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, 
com o objetivo específico de avaliar as operações de investimento e empréstimo.“ (Zentgraf). 
 “O objeto da Matemática Financeira é o estudo das relações formais que ligam quantidades 
monetárias que são trocadas em distintos pontos no tempo. Seu objetivo pode ser descrito como sendo o 
estudo da evolução do dinheiro ao longo do tempo.” (Clóvis de Faro). 
 “A Matemática Financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no 
tempo.” (Shinoda). 
 Além de modelos e processos, a Matemática Financeira se ocupa na interpretação e 
representação das principais variáveis monetárias, financeiras e reais do sistemaeconômico. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 6 
 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS NA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
a) CAPITAL ( C ) ou VALOR PRESENTE ( PV ) 
 Qualquer valor expresso em moeda disponível em determinada época é geralmente conhecido 
como: CAPITAL, VALOR PRESENTE, VALOR INICIAL de uma operação. 
 CAPITAL é a quantidade monetária envolvida em uma transação, referenciada geralmente na data 
inicial. 
 
b) FLUXO DE CAIXA 
 Denominamos Fluxo de Caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro no caixa de uma 
empresa, ao longo de um determinado período de tempo. 
 Podemos representar fluxo de caixa pelos diagramas abaixo. 
 Recebimentos 
 
 0 1 4 5 n Pagamentos 
 
c) JUROS ( J ) 
 A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus bens no 
presente e não no futuro, neste caso, tendo preferência para consumir hoje, as pessoas querem uma 
compensação pelo fato de não usar o dinheiro no presente. Abaixo algumas definições de juros: 
• É uma complementação financeira para uma aplicação de recursos monetários por certo 
período de tempo; 
• É a remuneração do capital empregado num determinado período de tempo; 
• É o aluguel recebido ou pago pelo uso do dinheiro durante um determinado período de 
tempo; 
• Remuneração pelo direito do uso de determinado capital durante certo período de tempo; 
• É a remuneração aos serviços prestados pelo capital financeiro, proveniente de uma 
atividade estritamente financeira. 
Do ponto de vista do tomador de empréstimo, o juro é o preço do capital e do ponto de vista do 
investidor é a renda do capital investido. 
 
d) TAXA DE JURO ( i ) 
 Na determinação do valor do juro, que é cobrado em qualquer transação financeira, é utilizado 
um coeficiente denominado “taxa de juro”. 
 
 
2 3 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 7 
 
Então taxa de juro é: 
✓ Um coeficiente monetário aplicado ao capital por um determinado período de tempo para 
remunerar o capital; 
✓ É o índice que determina a remuneração do capital financeiro num determinado tempo; 
✓ É a proporção existente entre o recurso financeiro aplicado e sua remuneração; 
✓ É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de certo período de tempo e o capital 
aplicado; 
✓ É a relação percentual existente entre a remuneração do principal e o próprio capital. 
Portanto, é o percentual que aplicado ao principal define o valor do juro a ser pago ou 
recebido. 
 
A taxa de juro se expressa de duas formas: 
1. Forma percentual: Nesta forma a taxa é acompanhada do símbolo % e de um período de 
aplicação. 
Exemplo: 
12% ao mês; 20% ao ano; 10% ao dia; 120% ao semestre etc. 
 
2. Forma unitária: Nesta forma a taxa percentual é dividida por 100. 
 Exemplo: 
a) 12% a.m. a taxa unitária correspondente (
12%
100
) é 0,12; 
b) 20% a.a. a taxa unitária correspondente (
20%
100
) é 0,20; 
c) 120% a.t. a taxa unitária correspondente (
120%
100
) é 1,20; 
A taxa unitária é a forma utilizada nas expressões algébricas. 
 
e) PRAZO ( n ) 
 Duração, período de tempo existente entre datas dos fluxos de caixa de uma operação. Prazo de 
aplicação, normalmente refere-se ao prazo total de uma aplicação. 
 
f) PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO 
 É a unidade de tempo em que à taxa de juro e o prazo da operação se expressam. É utilizado na 
conversão da taxa de juro, com a finalidade de se calcular juro, capitalizar (acumular ou ajuntar dinheiro, 
com vista à formação de um capital) valores e comparar taxas. 
O período de capitalização é expresso em unidade de tempo (dia, mês, ano...) e se refere à taxa de juro 
e ao prazo em que os juros são recebidos ou pagos. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 8 
 
g) MONTANTE ( M ) ou VALOR FUTURO ( FV ) 
 Montante é o Capital acrescido dos Juros, ao fim de um período de capitalização. É o valor 
monetário resultante de uma transação financeira, sendo, portanto um valor futuro. O montante é igual 
ao capital inicial mais o juro num determinado período de tempo. 
 J 
 
 
 C M 
 
h) CAPITALIZAÇÃO 
É a forma de como são formados os juros e agregado ao capital (as formas de juntar valores). 
 
i) PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO 
É o período de tempo compreendido entre a apuração dos juros de dois capitais. 
 
j) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
 É o processo das diferentes formas como os rendimentos (juros) são gerados e agregados ao 
recurso financeiro aplicado. 
a) Regime de Capitalização Simples: se os juros, nos vários períodos, forem calculados 
sempre sobre o capital inicialmente empregado, dizemos que a capitalização é feita no 
regime de juros simples. Neste tipo de capitalização somente o capital inicial rende juros. 
b) Regime de Capitalização Composta: o juro de cada período de capitalização da operação 
decorre da aplicação da taxa de juro sobre o último saldo (capital + juros) do período 
anterior. 
Em função do tempo de geração de rendimentos, a capitalização simples e composta, podem ocorrer 
em processos continuo ou descontínuos. 
a) Processo contínuo de capitalização: caracteriza-se por uma agregação dos juros ao capital 
aplicado de uma forma instantânea ou sem interrupção. É quando o juro é formado a cada 
instante e incorporado ao capital, sem interrupção. 
 
 
 
 
 
 
 
M = C + J 
Capital Capital 
Tempo Tempo 
Capitalização Simples Capitalização Composta 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 9 
 
 Capitalização Continua Composta Capitalização Continua Simples 
 
 
 
 
 
 
b) Descontinuo: Foi convencionado que o rendimento ou juro só será formado e agregado 
ao capital no fim de cada período de tempo. Neste processo o rendimento se dá no final 
de cada período (poupança). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado o capital inicial, C0, a função 
continua com crescimento exponencial, 
fornece em qualquer tempo “t”, o 
capital acumulado, Ct. 
𝐶𝑡 = 𝐶0×𝑒
𝛿𝑡 
 
Dado o capital inicial, C0, a função 
continua com crescimento linear, 
fornece em qualquer tempo “t”, o 
capital acumulado, Ct. 
𝐶𝑡 = 𝐶0(1 + 𝑖×𝑡) 
 
Capital 
Tempo 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 10 
 
1. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 É empregado em operações típicas de curto prazo. No regime de capitalização simples, a taxa de 
juro de cada período, incide sempre sobre o capital inicial para formação dos juros. Os juros produzidos 
em cada período são constantes e proporcionais ao capital inicial aplicado 
 
1.1 Juros Simples 
 Os juros simples são formados a partir da aplicação da taxa de juro, de cada período, sobre o 
capital inicial.I. Cálculo dos Juros Simples 
a) Cálculo dos juros simples para taxas diferentes 
 Suponha que um determinado capital “C” foi aplicado em “n” períodos e recebeu certo 
rendimento “Jt “ proporcional a uma taxa variável “ it “ período a período. 
Vejamos no diagrama abaixo: 
 
 
Na data 1  o cálculo do juro simples  J1 = C x i1 
Na data 2  o cálculo do juro simples  J2 = C x i2 
Na data 3  o cálculo do juro simples  J3 = C x i3 
 
Na data n  o cálculo do juro simples  Jn = C x in 
 
Denominando de “J” o rendimento total: J = J1 + J2 + J3 + J4 + J5 + .......... + Jn 
 
Substituindo J = C x i1 + C x i2 + C x i3 + C x i4 + C x i5 + ........ + C x in 
 
Colocando C em evidencia teremos a seguinte equação: 
𝐉 = 𝐂(𝐢𝟏 + 𝐢𝟐 + 𝐢𝟑 + 𝐢𝟒 + … … … . +𝐢𝐧) 
 
A expressão, acima, fornece o total de juros simples ao final de “n” períodos de aplicação, quando se 
investe um único capital e taxas variáveis em cada período. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 11 
 
Exemplo: Uma pessoa deposita em uma instituição financeira a quantia de R$ 2.000,00 para receber 
durante um ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples: 
1o. trimestre: 10% ; 
2o. trimestre: 12%; 
3o. trimestre: 15%; 
4o. trimestre: 18%. 
Calcular os juros simples totais ao fim do prazo de aplicação. 
 
Resolvendo: 
J = 2.000(0,10 + 0,12 + 0,15 + 0,18) 
J = 2.000×0,55 
𝐉 = 𝟏. 𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
b) Cálculo dos Juros Simples para taxas iguais 
 Admitindo que i1 = i2 = i3 = i4 = i5 =...... = in = i, ou seja, as taxas de juros simples são iguais em todos 
os períodos da aplicação, neste caso a expressão (1), acima, ficará: J = C( i + i + i + ... + i ) resultando na 
expressão: 
𝐉 = 𝐂×𝐢×𝐧 
Esta expressão permite calcular os juros simples totais de uma aplicação quando as taxas de juros forem 
fixas, iguais em todos os períodos de aplicação. 
 
Exemplo: Qual a remuneração obtida por um capital de R$ 2.000 aplicados durante dois anos à taxa de 
juro simples igual a 10% ao mês? 
 
Resolvendo: 
J = 2.000×0,10×24 
𝐉 = 𝟒. 𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
Calculando os Juros Simples para taxas iguais na HP 12 C 
1. Digite o prazo em dias e pressione a tecla [ n ] 
2. Digite a taxa anual e pressione a tecla [ i ] 
3. Digite o valor aplicado e pressione [CHS] [PV] 
4. Pressione [ f ] [INT] para calcular os juros bancários 
 
Teclas No visor Observações 
24 [ENTER] 30 [ x ] [ n ] 720 Prazo transformado em dias 
10 [ENTER] 12 [ x ] [ i ] 120 Taxa de juros anuais 
2.000 [CHS] [PV] -2.000 Capital inicial 
[ f ] [INT] 4.800 Juros 
 
(
2
) 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 12 
 
II. Cálculo do montante 
Montante é o soma do capital inicial mais os juros ganhos: M = C + J . 
 
a) Montante Simples para taxas variáveis de juro simples 
 M = C + C ( i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + ......... + in ), colocando C em evidência: 
 
𝐌 = 𝐂(𝟏 + 𝐢𝟏 + 𝐢𝟐 + 𝐢𝟑 + 𝐢𝟒 + … … … . +𝐢𝐧) 
 
Exemplo: Calcular o montante simples de R$ 2.000 aplicados durante um ano com as seguintes taxas 
trimestrais: 10%; 12%; 15% e 18% respectivamente. 
 
Resolução: 
M = 2.000(1 + 0,10 + 0,12 + 0,15 + 0,18) 
M = 2.000×1,55 
M = 3.100,00 
 
b) Montante Simples para taxas fixas de juro simples 
 Admitindo que i1 = i2 = i3 = i4 = i5 = ...... = in = i , ou seja, as taxas de juros simples são 
iguais em todos os períodos da aplicação, a expressão (3), acima, será igual a: M = C + C x i x n 
𝐌 = 𝐂(𝟏 + 𝐢×𝐧) 
 
Exemplo: Calcular o montante simples de um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 
5% ao mês durante 90 dias. 
Resolução: 
𝑀 = 500(1 + 0,05×3) 
M = 5.000×1,15 
M = 5.750,00 
 
Calculando do Montante Simples para taxas iguais na HP 12 C 
OBS: Calcula-se do mesmo modo para o cálculo dos juros e clica na tecla + 
Teclas No visor Observações 
5.000 [CHS] [PV] -5.000 Capital inicial 
90 [ n ] 90 Prazo em dias 
5 [ENTER] 12 [ x ] [ i ] 60 Taxa de juros anual 
[ f ] [INT] 750 Juros 
[ + ] 5.750 Montante 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 13 
 
1.2 Homogeneização entre Taxa de Juro e Prazo de Capitalização 
 Para a resolução de problemas relativos à análise financeira exige-se que a taxa de juro e o prazo 
de capitalização estejam na mesma unidade de tempo. 
 
Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 1 ano à taxa de juro simples de 2% ao mês. 
Calcular os juros simples. 
C = R$ 1.000,00 C = R$ 1.000,00 C = R$ 1.000,00 
i = 2% ao mês i = 12% ao semestre i = 24% ao ano 
n = 12 meses n = 2 semestres n = 1 ano 
𝐉 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎×𝟎, 𝟎𝟐×𝟏𝟐 = 𝟐𝟒𝟎 𝐉 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎×𝟎, 𝟏𝟐×𝟐 = 𝟐𝟒𝟎 𝐉 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎×𝟎, 𝟐𝟒×𝟏 = 𝟐𝟒𝟎 
 
Em toda aplicação financeira a unidade de tempo da taxa de juros tem que ser igual à unidade de tempo do período 
de capitalização, portanto, devemos transformar a taxa de juros ou o prazo de aplicação para que fiquem com a 
mesma unidade de tempo. 
 
1.3 Taxa de Juro Proporcional na Capitalização Simples 
 A taxa de juro simples pode ser expressa em qualquer unidade de tempo e pode ser convertida 
para qualquer outra unidade sem alterar seu valor intrínseco. 
Portanto, duas taxas de juros quaisquer são ditas proporcionais se houver proporcionalidade 
entre as mesmas e seus respectivos prazos. 
 
Exemplo: Verificar se as taxas de 3% a.m. e 36% a.a. são proporcionais. 
36%
3%
= 12 (divisão das taxas) 
12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
1 𝑚ê𝑠
= 12 (divisão dos prazos) 
O resultado da divisão das taxas é igual ao resultado da divisão dos prazos, portanto, são taxas 
proporcionais. 
 
Exemplo: Dada à taxa de 30% a.t. determinar as taxas proporcionais: 
a) Mensal, 
b) Semestral e 
c) Anual. 
Resolução: 
a) 
30%
x
=
3
1
 → encontrando o valor de X, tem-se que X = 10% a.m. 
b) 
30%
x
=
3
6
 → o valor de X será: 30%×6
3
= 60% 𝑎. 𝑠. 
c) 
30%
x
=
3
12
 → o valor de X será: 30%×12
3
= 120% 𝑎. 𝑎. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 14 
 
1.4 Taxas Equivalentes na Capitalização Simples 
 Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período 
de tempo, produzem os mesmos juros. 
 
Exemplo: Verificar se as taxas de 4% a.m. e 12% a.t. são equivalentes. 
Resolução: 
Vamos aplicar as taxas ao mesmo capital durante o mesmo período de tempo e verificar se os juros 
produzidos são iguais ou não. 
 Admitindo que as taxas foram aplicadas ao capital de R$ 20.000,00 durante dois anos. 
a) Para a primeira taxa (4% a.m.), temos: J = 20.000 x 0,04 x 24 = 19.200,00 
b) Para a segunda taxa (12% a.t.), temos: J = 20.000 x 0,12 x 8 = 19.200,00 
Como os juros são iguais, podemos dizer que as taxas são equivalentes. 
 
Exemplo: Verificar se as taxas de 2% a.m. e 20% a.a. são equivalentes. 
Resolução: 
a) No primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,02 x 24 = 9.600,00 
b) No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,20 x 2 = 8.000,00 
Como os juros são diferentes, podemos dizer que 2% a.m. e 20% a.a., não são taxas equivalentes. 
Nota: Na capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes. 
𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 4% 𝑎. 𝑚. 𝑒 12% 𝑎. 𝑡. 
12%
4%
= 
3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
1 𝑚ê𝑠
 𝑠ã𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 
 𝑁𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 2% 𝑎. 𝑚 𝑒 20% 𝑎. 𝑎. 
20%2%
 ≠ 
12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
1 𝑚ê𝑠
 𝑛ã𝑜 𝑠ã𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 
 
1.5 Juros Comerciais e Juros Exatos 
 Nas operações de curto prazo, no regime de capitalização simples, os prazos (período de 
aplicação) costumam ser expressos em dias. No caso da taxa de juros apresentada o período de tempo 
seja anual, para utilizarmos as expressões de juros simples, é necessário colocar o prazo também na 
unidade ano. Para isso têm-se duas formas: 
 
1. Juros comerciais levam em consideração o ano comercial com 360 dias e, 
consequentemente, os meses, indistintamente, têm 30 dias. 
Exemplo: Um capital de R$ 560,00 foi aplicado durante 120 dias à taxa de juros simples de 240% a.a. 
Calcular os juros simples dessa aplicação. 
𝐉 = 𝟓𝟔𝟎×𝟐, 𝟒×
𝟏𝟐𝟎
𝟑𝟔𝟎
= 𝟒𝟒𝟖, 𝟎𝟎 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 15 
 
2. Juros exatos consideram o ano civil de 365 dias ou 366 se bissexto, com os meses se 
apresentado com as quantidades de dias normais, 28, 29, 30 ou 31 dias. 
Exemplo: Um capital de R$ 560,00 foi aplicado no dia 21.04.2010 à taxa de juros simples de 240% a.a. e 
resgatado no dia 19.08.2010. Calcular os juros simples dessa aplicação. 
𝐉 = 𝟓𝟔𝟎×𝟐, 𝟒×
𝟏𝟐𝟎
𝟑𝟔𝟓
= 𝟒𝟒𝟏, 𝟖𝟔 
3. Regra dos banqueiros 
 Os bancos geralmente utilizam uma combinação entre os conceitos de juros comerciais e 
exatos, denominado juros pela regra dos banqueiros. Sendo que para calcular o número de 
dias entre duas datas, utiliza-se o conceito de juros exatos, ou seja, calendário civil, já para 
calcular o número total de dias de um ano ou mês, utiliza-se o conceito de juros comerciais, 
ou seja, um mês têm 30 dias e um ano têm 360 dias. Este conceito é geralmente empregado 
em transações financeiras de curto prazo. 
Exemplo: Um capital de R$ 560,00 foi aplicado no dia 21.01.2016 à taxa de juros simples de 240% a.a. e 
resgatado no dia 19.07.2016. Calcular os juros simples dessa aplicação. 
𝐉 = 𝟓𝟔𝟎×𝟐, 𝟒×
𝟏𝟖𝟎
𝟑𝟔𝟎
= 𝟔𝟕𝟐, 𝟎𝟎 
OBS: Os dias entre as datas foram os efetivos (Exatos) e o ano (360) comercial. 
 
Roteiro para cálculo dos juros Exatos e Bancário na HP 12C 
5. Digite o prazo em dias e pressione a tecla [ n ] 
6. Digite a taxa anual e pressione a tecla [ i ] 
7. Digite o valor aplicado e pressione [CHS] [PV] 
8. Pressione [ f ] [INT] para calcular os juros bancários 
9. Pressione [R!] [XY] para calcular os juros exatos 
10. Para obter o valor futuro ou montante pressione a tecla [ + ] 
 
Exemplo: Um capital de R$ 560,00 foi aplicado durante 120 dias à taxa de juros simples de 240% a.a. 
Calcular os juros simples comerciais e exatos dessa aplicação. 
Teclas No visor Observações 
560 [CHS] [PV] -560 Capital inicial 
120 [ n ] 120 Prazo em dias 
240 [ i ] 240 Taxa de juros anual 
[ f ] [INT] 448 Juros comerciais 
 [R!] [XY] 441,86 Juros exatos 
 
Outro Exemplo: Calcular os juros bancários, exatos e comercial de uma aplicação de R$ 300,00 realizado 
em 15 de março de 2003 com vencimento em 24 de outubro de 2003, sabendo-se que a taxa de juros é 
de 20% ao ano. 
Teclas No visor Observações 
[ g ] [D.MY] 0 Modo dia, mês e ano 
15,032003 [ENTER] 24,102003 [ g ] [DYS] 223 Dias exatos e bancários 
[XY] 219 Dias comerciais 
[XY] [ n ] 223 Prazo em dias exatos e bancários 
20 [ i ] 20 Taxa de juros anual 
300 [CHS] [PV] -300 Capital inicial 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 16 
 
[ f ] [INT] 37,17 Juros bancários 
[R!] [XY] 36,66 Juros exatos 
219 [ n ] 219 Prazo em dias comerciais 
[ f ] [INT] 36,50 Juros comerciais 
 
1.6 Equivalência de Capitais na Capitalização Simples 
 Dois ou mais capitais, com vencimento em datas distintas, são equivalentes quando levados para 
uma mesma data (data de comparação) e aplicado à mesma taxa de juros produzirem o mesmo valor. 
 A equivalência de capitais no regime de juros simples, por característica, depende da data de 
comparação. Isto é, capitais equivalentes em uma determinada data não serão em outra data distinta. 
Exemplo: Verificar se os capitais R$ 3.900,00 no prazo de 3 meses é equivalente a R$ 5.100,00 no prazo 
de 7 meses, considerando a taxa de juros simples de 10% a.m. e a data de comparação o mês 5. 
 
 A verificação consiste em levar os dois capitais para o mês cinco e averiguar se as quantias são 
iguais ou não. 
 
 
1º. Capital 
M = 3.900×(1 + 0,10×2) 
M = 3.900×1,20 
M = 4.680,00 
 
 
 
 
Vejamos o mesmo exemplo com a data de comparação no instante zero (0), hoje. 
 
 
 
 
 
O capital de 3.900 no instante (5) é igual a 4.680, enquanto o capital de 5.100 no instante (5) é igual a 4.250, portanto 
são diferentes na data de comparação, logo não são equivalentes para o instante (5) e taxa de 10% a.m. 
2º. Capital 
𝑀 = 
5.100
1 + 0,10×2
 
 
 𝑀 = 
5.100
1,20
= 4.250,00 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7 Taxa Média e Prazo Médio 
 
a) Cálculo da Taxa 
A taxa média, no juro simples, é calculada pela ponderação dos prazos e pelos valores aplicados, 
como segue: 







n
t
tt
n
t
ttt
m
nC
niC
i
1
1
 
O numerador é igual à soma do valor dos juros totais. O denominador é igual à soma dos produtos 
do capital pelo prazo de aplicação. 
 
b) Cálculo do Prazo Médio 
O prazo médio é calculado por uma ponderação simples, isto é, os prazos são ponderados 
apenas pelo valor atual das aplicações, vejamos: 






n
t
t
n
t
tt
m
C
nC
n
1
1
_
 
Exemplo: Um escritório de prestação de serviços empresta dinheiro a três pessoas diferentes, cujos 
valores, taxas de juro e prazos foram os seguintes. 
 
Op. Valor 
Emprestado 
Taxa de juro mensal 
 Cobrada 
Prazo do 
Empréstimo (Mês) 
1 12.000,00 7% 3 
2 7.000,00 8% 4 
3 10.000,00 9% 5 
O capital (1) no instante 0 é igual a 3.000,00 e o capital (2) também é igual a 3.000,00 no 
instante 0, portanto, no instante 0 os valores são iguais – neste caso os capitais são 
equivalentes para o instante 0 e taxa de juros de 10% a.m. 
Para o 1º Capital 
 
3.900 = C(1 + 0,10×3) 
3.900 = 1,30C 
C =
3.900
1,30
= 3.000 
 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 2º 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 
 
5.100 = 𝐶(1 + 0,10×7) 
5.100 = 1,70𝐶 
𝐶 =
5.100
1,70
 = 3.000 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 18 
 
Calcular a taxa média e o prazo médio correspondente a essas três operações, sabendo-se que o valor 
emprestado mais os juros serão pagos nos respectivos vencimentos, e que o regime de capitalização dos 
juros é o simples. 
Cálculo da Taxa Média 
 
𝑖𝑚 =
12.000×0,07×3 + 7.000×0,08×4 + 10.000×0,09×5
12.000×3 + 7.000×4 + 10.000×5
= 
9.260
114.000
= 0,08122 
 
 𝑜𝑢 𝟖, 𝟏𝟐𝟐% 𝐚. 𝐦. 
 
Cálculo do Prazo Médio 
 
𝑛 =
12.000×3 + 7.000×4 + 10.000×5
12.000 + 7.000 + 10.000
= 
114.000
29.000
= 𝟑, 𝟗𝟑𝟏 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
Nota: 
1. O cálculo da taxa de juro média de operações com prazos iguais: A taxa de juro média será aquela que, aplicada 
à soma dos capitais de n operações, todas com o mesmo prazo, produz juro igual à soma dos juros de cada umas 
dessas operações. 
(C1 + C2 + ⋯ + Cn)×in×n = C1×i1×n + C2×i2×n + ⋯ + Cn×in×n 
Desse modo: 
(C1 + C2 + ⋯ + Cn)×in×n = (C1×i1 + C2×i2 + ⋯ + Cn×in)×n 
 
Dividindo ambos os termos por n e solucionando para im, temos: 
𝑖𝑛 = 
C1×i1 + C2×i2 + ⋯ + Cn×in
C1 + C2 + ⋯ + Cn
 
 
Exemplo (1): Calcular a taxa de juro média das operações a seguir: 
1ª. Operação 2ª. Operação 3ª. Operação 
C = 100,00 C = 200,00C = 300,00 
n = 30 dias n = 30 dias n = 30 dias 
i = 24% ao ano i = 36% ao ano i = 48% ao ano 
 
400
600
240
300200100
480300360200240100
,
,,,
im 



 ou 40% ao ano 
 
Teste: 
𝐽1 = 100×
0,24
360
×30 = 𝟐, 𝟎𝟎 𝐽2 = 200×
0,36
360
×30 = 𝟔, 𝟎𝟎 𝐽3 = 300×
0,48
360
×30 = 𝟏𝟐, 𝟎𝟎 
 
Juros totais: 2,00 + 6,00 + 12,00 = 20,00 
 
C = C1 + C2 + C3 = 100 + 200 + 300 = 600 
n = 30 dias (para todas as operações) 
im = 40% ao ano 
 
𝐽𝑡 = 𝐶×𝑖𝑚×𝑛 = 600×0,40×
30
360
= 20 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 19 
 
Exemplo (2). Calcular a taxa de juro média das operações abaixo: 
1ª. Operação 2ª. Operação 3ª. Operação 4ª. Operação 
C = 100,00 C = 200,00 C = 300,00 C = 400,00 
n = 2 anos n = 2 anos n = 2 anos n = 2 anos 
i = 48% ao ano i = 5% ao mês i = 36% ao ano I = 2% ao mês 
 
Neste caso, convertem-se as taxas de juro para o prazo das operações (dois anos), com o objetivo de homogeneizá-
las: 
 
i1 = 48% ao ano x 2 = 96% 
i2 = 5% ao mês x 24 = 120% 
i3 = 36% ao ano x 2 = 72% 
i4 = 2% ao mês x 24 = 48% 
 
7440
400300200100
480400720300201200960100
,
,,,,
im 



  ou im = 74,40% por dois anos, ou 37,20% a.a. 
 
 
 
Teste: 
𝐽1 = 100×0,48×2 = 96 
𝐽2 = 200×0,05×24 = 240 
𝐽3 = 300×0,36×2 = 216 
𝐽4 = 400×0,02×24 = 192 
 
C = C1 + C2 + C3 + C4 = 100 + 200 + 300 + 400 = 1.000 
n = 2 anos (para todas as operações) 
im = 37,20% ao ano 
 
2. O cálculo do prazo médio de operações com taxas de juro iguais: é o período de tempo durante o qual a soma 
dos capitais de operações com diferentes prazos e mesma taxa de juro produz juro de valor igual à soma dos 
juros de cada uma dessas operações. 
nnmn niC...niCniCni)C...CC(  221121 
Desse modo: 
i)nC...nCnC(ni)C...CC( nnmn  221121
 
 
Dividindo ambos os termos por i e solucionando para nm , temos: 
n21
nn2211
m
C...CC
nC...nCnC
n



 
Total dos juros: 
96,00 + 240,00 + 216,00 + 192,00 
= 744,00 
𝐽𝑇 = 1.000×0,372×2 
 𝐽𝑇 = 744,00 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 20 
 
Exemplo (3): calcular a taxa de juro média das operações a seguir: 
1ª. Operação 2ª. Operação 3ª. Operação 
C = 100,00 C = 200,00 C = 300,00 
n = 30 dias n = 60 dias n = 90 dias 
i = 24% ao ano i = 24% ao ano i = 24% ao ano 
 
diasnm 70
300200100
903006020030100



 
C = C1 + C2 + C3 = 100 + 200 + 300 = 600 
nm = 70 dias 
i = 24% ao ano (para todas as operações) a.m 
 
Teste: 
 
18
360
90
240300
8
360
60
240200
2
360
30
240100
3
2
1



,J
,J
,J
 
 
 
Aplicação prática da Capitalização Simples 
 A Capitalização Simples é aplicada nos cálculos de juros dos cheques Especiais, contas garantidas, 
IOF das operações financeiras e nos descontos de duplicadas. 
 
Método Hamburguês para cálculo dos juros do Cheque Especial 
Para o cálculo dos juros simples e encargos dos Cheques Especiais pelo método Hamburguês 
utiliza-se a expressão para o cálculo dos juros simples aplicada aos saldos devedores a uma determinada 
taxa de juros durante o período em que os saldos estiveram devedores. 
t
m
tT n
i
SDJ 
30
 
Como o valor a ser debitado na conta corrente corresponde ao total dos juros simples, teremos: 
Jt = 
i
30
× (∑ SDt×nt) 
 
𝑆𝐷𝑡 = 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 
𝑛𝑡 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑧𝑜 
Exemplo: O banco Alfa cobra a taxa de juros simples de 8,2% a.m. e IOF a taxa de 0,0082% a.d. de seus 
clientes portadores de cheques especiais, determinar para o quadro a seguir – extrato de uma conta 
bancária – os juros dos saldos negativos tendo como data de contabilização o dia 30/03. 
 
JT = C×i×nm → 600×0,24×
70
360
= 28,00 
Total dos juros: 
2,00 + 8,00 + 18,00 = 28,00 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 21 
 
Dia/mês Histórico Valor Saldo D/C No. de dias 
02.03 Transporte - 8.000,00 C - 
10.03 Cheque 9.000,00 1.000,00 D 6 
16.03 Cheque 2.500,00 3.500,00 D 2 
18.03 Depósito 4.000,00 500,00 C - 
23.03 Débito automático 1.350,00 850,00 D 7 
30.03 Depósito 3.200,00 2.350,00 C - 
 
J =
0,082
30
×(1.000×6 + 3.500×2 + 850×7) = 51,80 
Cálculo do IOF 
É o Imposto Sobre Operações Financeiras, devido sobre a operação de crédito e é calculado da mesma 
forma que os juros. A diferença é a taxa de juros que, normalmente é dada em dias, então a equação para 
cálculo do IOF é a seguinte: 
𝐉𝐭 = 𝐢× (∑ 𝐒𝐃𝐭×𝐧𝐭) 
Calculando o IOF: 
IOF = 0,000082×(1.000×6 + 3.500×2 + 850×7) = 1,55 Portanto, o valor a ser debitado na conta 
corrente, R$ 51,80 + R$ 1,55 = R$ 53,35 referente a juros simples mais encargos de IOF. 
Exemplo adaptado extraído do Livro Perícia Contábil em Matéria Financeira, pág. 55 de uma planilha 
usada para demonstrar o valor da dívida original de R$ 23.000,00, com juros simples de 12% a.a. 
 
Datas 
Valor 
Principal 
Quantidade de 
dias decorridos 
Taxa de juros de 
1% a.m. 
Valor dos juros 
devidos 
Juros de mora 
de 1% a.m. 
Soma dos juros 
+ mora 
14.06.2016 23.000,00 
14.07.2016 23.000,00 30 1% 230,00 2,32 232,32 
14.08.2016 23.000,00 30 1% 230,00 2,32 232,32 
14.09.2016 23.000,00 30 1% 230,00 2,32 232,32 
14.10.2016 23.000,00 30 1% 230,00 2,32 232,32 
14.11.2016 23.000,00 30 1% 230,00 2,32 232,32 
29.11.2016 23.000,00 15 1% 115,00 1,16 232,32 
 1.265,00 12,77 1.277,77 
 
Dívida total = Principal + juros (R$ 23.000,00 + 1.277,77) = 
................................................................................................. 
24.277,77 
Caso seja aplicada a multa de 10% conforme prevista no contrato, teremos 
............................................................................. 
2.427,78 
Caso seja aplicada a multa de 2% como pleiteado pela empresa embargante, teremos 
............................................................. 
485,56 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 22 
 
 
2. OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES 
 Com o objetivo de estimular as vendas a prazo, foi instituído os títulos de crédito. Esses títulos 
podem ser negociados com instituições financeiras, gerando uma operação denominada de Desconto. 
A operação de desconto consiste na antecipação de recursos financeiros em contrapartida de títulos 
crédito (Duplicatas, Nota Promissórias, etc.) com prazo de vencimento futuro. 
 
 
Tipos de Descontos de Títulos: 
a) Desconto Racional ou Por Dentro 
b) Desconto Comercial ou Por Fora 
c) Desconto Bancário 
 
O desconto “D” é a diferença entre o valor do título de crédito (duplicata) “N” e o valor pago pelo banco 
na data que for apresentado para desconto “A”. 
 D = N – A 
 D = Desconto 
 N = Valor nominal, valor de resgate ou valor futuro (quantia declarada no título, valor de emissão) 
 A = valor atual ou valor presente (é o valor na data da apresentação) 
 
2.1 Desconto Simples Racional ou Por Dentro 
Tem como característica a aplicação da taxa de juro simples sobre o valor atual do título e pode 
ser determinado tanto em função do valor atual “A” como em função do valor nominal do título “N”. Em 
resumo, o Desconto simples racional é o juro simples no desconto. 
DR = f (A)  Equação do desconto em função do valor atual (A) 
DR = N - A Substituindo N = A ( 1 + i x n) 
Temos: 
DR = A ( 1 + i x n) - A  DR = A + A x i x n - A .: DR =A x i x n 
DR = f (N)  Equação do desconto em função do valor nominal (N) 
DR = N - A Substituindo A=
N
(1+i×n)
 
 
Ao realizar uma venda a prazo, o dono da loja vai ao banco com a duplicata do cliente recebendo certa quantia em troca. 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 23 
 
Temos: 
)ni1(
N
NDR


  








ni1
1
1NDR
  DR = 
ni1
niN


 
 
Exemplo: Calcular o desconto racional de um título no valor de R$ 5.000,00 descontado 45 dias antes do 
seu vencimento à taxa simples de desconto de 6% ao mês. 
5,106,01
5,106,0000.5
DR



 = 412,84 
 
2.2 Desconto Simples Comercial ou Por Fora 
Tem como característica a aplicação da taxa de juros simples sobre o valor nominal. É calculado 
pela seguinte equação: DC = N x i x n 
Nesta modalidade de desconto ficou arbitrado ou convencionado que, o desconto seria um 
valor resultante da aplicação de uma taxa de desconto i sobre o valor nominal do título “N” vezes a 
quantidade de dias “n“ até o seu vencimento. 
Da expressão D = N - A podemos derivar a que fornece o “valor atual descontado” ou “Valor atual 
comercial” do título submetido à operação de desconto. 
DC = N - AC .: AC = N - DC 
AC = N - N x i x n ou AC = N (1 - i x n) 
 
Exemplo: Uma Nota Promissória com valor nominal de R$ 10.000,00 é descontada comercialmente a uma 
taxa de desconto de 5% ao mês para um prazo de 63 dias, determinar: 
a) Desconto comercial; 
b) Valor atual comercial e 
Dados 
N = R$ 10.000,00; i = 5% ao mês; n = 63 dias; 
 
𝐷𝑐 = 10.000×
0,05
30
×63 = 1.050,00 
𝐴𝐶 = 10.000× (1 −
0,05
30
 ×63) = 8.950,00 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 24 
 
2.3 Desconto Bancário 
O Desconto bancário é calculado da mesma forma do Desconto comercial D = N x i x n, no entanto, 
retira-se do valor do título (N) o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), que é calculado da seguinte 
forma: IOF = N x i x n, a taxa do IOF é igual a 0,0082% a.d. 
É cobrado, ainda do portador do título, um valor denominado Taxa de Serviço, que não tem um 
padrão de cobrança. Alguns bancos têm um valor fixo por título descontado ou um percentual sobre o 
valor do título. 
 
Exemplo: Uma Nota Promissória com valor nominal de R$ 10.000,00 é descontada a uma taxa de desconto 
de 5% ao mês para um prazo de 63 dias e é cobrada uma taxa de serviço de R$ 3,20 por título descontado 
e um IOF à taxa de 0,0082% a.d., determinar o valor creditado na conta do cliente. 
Desconto: 
050.1
30
63
05,0000.10 D
 
Imposto: 
66,5163000082,0000.10 IOF
 
Valor creditado na conta do cliente: 
14,895.820,366,51050.1000.10 cV
 
 
2.4 Cálculo da Taxa Efetiva no Desconto Comercial 
Como a taxa de juro cobrada no desconto comercial é aplicada sobre “N” (valor nominal), ela não 
representa a taxa real que está sendo cobrada na operação, pois a taxa real é aquela que torna o capital 
inicial “A” no montante “N” no período “n”, a essa taxa, denominamos de taxa de juro efetiva “ie”, ou 
seja, é a taxa que realmente está sendo aplicada na operação de desconto. 
 
Exemplo: Um título com valor nominal igual a R$ 1.000,00 é descontado comercialmente 47 dias antes 
do vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês Determinar a taxa efetiva de juros simples implícita 
(para o cliente) na operação de desconto. 
 
N = R$ 1.000,00; i = 4% ao mês; e n = 47 dias 
47
30
04,0
1000DC 
  DC = 62,67 
A = N - DC  VC = 1.000 - 62,67  A = 937,33 
 
A operação no diagrama: 
 
 937,33 1.000 
 
 0 47 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 25 
 
Aplicando a fórmula de juros simples J = C x i x n para determinar a taxa de juro efetiva da operação, 
temos, Juros = 1.000 – 937,33 = 62,67 (que é igual ao DC) 
Capital inicial = 937,33 (valor creditado ou valor atual do título) e Prazo = 47 dias 
 
Utilizando a expressão de juros simples, temos: 62,67 = 937,33 x ie x 47 
4733,937
67,62
ie


 = 0,001423 ou 0,1423% a.d ou multiplicando por 30 dias, temos 4,26% a.m. 
Neste caso, podemos determinar a taxa efetiva do desconto pela expressão: iE =
Dc
A×n
 
OBS: No Desconto Racional a taxa de juro cobrada é a taxa real do desconto “i”, é a taxa efetiva do 
desconto, pois faz o capital inicial “A” no período “n” ser igual ao valor de resgate “N”. 
 
Utilizando a Calculadora HP 12 C para calcular o valor do desconto comercial 
 
Exemplo: uma duplicata no valor R$ 7.000,00 foi resgatada 90 dias antes do seu vencimento à taxa de 7% 
ao mês. Foi cobrado um IOF a taxa de 0,0082% a.d e uma taxa de serviço de R$ 2,40. Calcular o valor do 
creditado na conta do cliente. 
Entrada Tecla função No visor 
 [ f ] [REG]  Limpa toda a memória financeira da calculadora 
7.000 ENTER 7.000,00 Entrada do valor Nominal ou da Duplicata 
7 [ % ] 490,00 Cálculo dos juros mensais 
3 [ X ] 1.470,00 Cálculo do Desconto comercial 
7.000 ENTER 7.000,00  Input do valor nominal 
0,0082 [ % ] 0,5740  Calcula o valor do IOF diário 
90 [ X ] 51,66  Calcula o valor do IOF trimestral 
1470 ENTER 1.470,00  Inserir o desconto comercial calculado anteriormente 
2,40 [ + ] 1.472,40  Soma o desconto comercial o valor da taxa de serviço 
51,66 [ + ] 1.524,06  Soma ao item anterior o valor do IOF 
7000 [ - ] -5.475,94  Calcula o valor líquido da operação 
 [CHS] 5.475,94  Inverte o sinal (valor creditado na conta do cliente) 
 
 
2.5 Desconto Simples Comercial X Desconto Simples Racional 
 
Podemos calcular a taxa efetiva utilizando a igualdade DC = DR 
ni
niN
niN d



1
  
  niNniniN d  1
 .: 
  iniid  1
 
ni
i
id


1
 ou 
iniii dd 
  
  niiiniiii dddd 1 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 26 
 
𝑖 =
𝑖𝑑
1 − 𝑖𝑑×𝑛
 
Id = taxa de desconto simples comercial e 
i = a taxa efetiva do desconto. 
 
Exemplo: Qual a taxa mensal efetiva de juros simples, equivalente a uma taxa de desconto simples de 
20% a.m.? 
𝑖 =
0,20
1 − 0,20×1
=
0,20
0,80
= 0,25 𝑜𝑢 25% 𝑎. 𝑚. 
 
2.6 Cálculo da Taxa Efetiva no Desconto Bancário 
 
Uma Nota Promissória com valor nominal de R$ 10.000,00 é descontada a uma taxa de desconto de 5% 
ao mês para um prazo de 63 dias, IOF à taxa de 0,0082% a.d. e é cobrada uma taxa de serviço de R$ 3,20 
por título descontado, determinar a taxa efetiva no desconto bancário. 
a) Desconto: 
050.1
30
63
05,0000.10 D
 
b) 66,5163000082,0000.10 IOF 
c) Valor creditado na conta do cliente: 
14,895.820,366,51050.1000.10 cV
 
O cliente recebeu R$ 8.895,14 de um título de R$ 10.000,00 
Logo, a diferença R$ 1.104,86 corresponde aos juros simples da operação, desse modo, 
 
6314,895.886,104.1  i
  
6314,895.8
86,104.1

i
  
001972,0
82,393.560
86,104.1
i
 ou 0,1972% ao dia. 
 
Multiplicando-se por 30 tem-se 5,9147% ao mês. 
 
Neste caso, podemos determinar a taxa efetiva do desconto pela expressão: 
𝐼𝐸 =
𝐷𝐶 + 𝐼𝑂𝐹 + 𝑇𝑆
𝑉𝐶×𝑛
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 27 
 
2.7 Taxa média e prazomédio para operações de Desconto Simples Comercial 
 
 Cálculo da Taxa Média 
 O cálculo da taxa de juro média de desconto utiliza-se a ponderação das taxas pelos prazos e pelos 
valores nominais dos títulos apresentados para desconto. 







n
t
tt
n
t
ttt
m
nN
niN
i
1
1
'
 
 
Cálculo do Prazo Médio 
 O prazo médio é determinado por meio de uma ponderação dupla, isto é, ponderado pelos 
valores nominais dos títulos e pelos respectivos prazos. 






n
t
t
n
t
tt
m
N
nN
n
1
1
 
 
Exemplo: Calcular a taxa média e o prazo médio correspondente a uma operação de desconto bancário 
de três títulos no valor de R$ 5.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 8.000,00, de prazos de 4, 5 e 3 meses, 
respectivamente, descontados na ordem dada, às taxas de 3%, 4% e 5% ao mês. 
 
Cálculo da taxa média 
 
04074,0
000.54
200.2
3000.85000.24000.5
305,0000.8504,0000.2403,0000.5



mi
 ou 4,074%ao mês 
 
Cálculo do prazo médio 
 
mesesnm ...60,3
000.15
000.54
000.8000.2000.5
3000.85000.24000.5




 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Página 28 
 
2.8 Equivalência de Títulos no Desconto Simples Comercial 
 
Na necessidade de se substituir um título por outro com vencimento diferente, a solução consiste 
em estabelecer uma data e comparar os valores atuais dos títulos em questão. 
No caso do desconto simples a data estabelecida para comparação será a inicial, ou seja, para que 
dois títulos sejam equivalentes é necessário que o valor atual de um título é igual ao valor atual do outro 
título. 
A1 = A2 
𝑁(1 − 𝑖×𝑛) = 𝑁′(1 − 𝑖 ×𝑛′) 
 
Exemplo: substituir um título de R$ 5.000,00 vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. 
Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% a.m. qual o valor nominal comercial do 
novo título? 
Solução: 
5.000×(1 − 0,035×3) = 𝑁′×(1 − 0,035×5) 
4.475 = 𝑁′×0,825 → 𝑁′ = 
4.475
0,825
= 5.424,24 
Exemplo: Um título de valor nominal de R$ 10.000,00, vencível em 3 meses, vai ser substituído por outro, 
com vencimento para 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados à taxa de desconto 
simples de 10% a.m. qual o valor nominal do novo título? 
 
 
 10.000 N 
 
 0 1 2 3 4 5 
Calculando os valores atuais na data focal igual a zero, dos dois títulos, têm-se: 
   
00,000.14
50,0
000.7
N50,0N000.750,0N70,0000.10
510,01N310,01000.10

 
 
Outro exemplo: Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: R$ 2.000,00 daqui a três meses e 
R$ 2.500,00 daqui a oito meses. Querendo trocar esses títulos por dois outros de valores iguais, um para 
dez meses e outro para doze meses, qual o valor desses títulos sabendo-se que a taxa de desconto simples 
cobrada é de 5% ao mês? 
Solução 
A soma dos valores atuais dos títulos terá que ser igual, então: 
2.000×(1 − 0,05×3) + 2.500×(1 − 0,05×8) = 𝑁×(1 − 0,05×10) + 𝑁×(1 − 0,05×12) 
2.000×0,85 + 2.500 ×0,60 = 𝑁×0,50 + 𝑁 ×0,40 
1.700 + 1.500 = 0,90×𝑁 → 𝑁 = 
3.200
0,90
 = 3.555,55