Análise Real - 1ª lista de exercícios (Soluções do 2, 11 e 16)

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MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
1a Lista de Exerc´ıcios
Para entregar: exerc´ıcios 2, 11 e 16.
1-) Exerc´ıcios dos cap´ıtulos 1 e 2 do livro-texto.
2-) (a) Sejam X e Y conjuntos, e denote por F(X,Y ) o conjunto de todas as func¸o˜es de X em Y . Prove
que, se X for finito e Y enumera´vel, enta˜o F(X,Y ) e´ enumera´vel.
(b) Dada f : N → N, seja Af .= {n ∈ N | f(n) 6= 1}. Seja X o conjunto formado por todas as func¸o˜es
f : N → N tais que Af e´ finito. Prove que X e´ enumera´vel.
3-) Sejam (K,+, ·) um corpo e a ∈ K \ {0}. Defina a aplicac¸a˜o n ∈ N 7→ an indutivamente por (i) a1 = a
e (ii) an+1 = a · an. Mostre que (∀ a, b ∈ K \ {0}, ∀n,m ∈ N) :
1. am+n = aman
2. (am)n = amn
3. (ab)n = anbn
Dados a ∈ K \ {0} e n ∈ N, define-se a0 .= 1 e a−n .= (an)−1. Mostre que as propriedades acima
tambe´m valem para n,m ∈ Z.
4-) Sejam K, L corpos. Uma func¸a˜o f : K → L diz-se um homomorfismo de corpos se (∀x, y ∈ K) f(x+
y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
(a) Dado um homomorfismo f : K → L, prove que f(0) = 0
(b) Prove que, ou f(x) = 0 para todo x ∈ K, ou f(1) = 1 e f e´ injetiva.
Observac¸a˜o. Muitos autores exigem f(1) = 1 na definic¸a˜o, i.e. exclui-se da definic¸a˜o o caso em que
o homomorfismo e´ nulo.
5-) Seja f : Q → Q um homomorfismo de corpos, f 6= 0. Mostre que (∀x ∈ Q) f(x) = x.
6-) Sejam A e B subconjuntos de um corpo K. Definimos −A .= {z ∈ K | z = −x, x ∈ A}, A+ B .= {z ∈
K | z = x+ y onde x ∈ A, y ∈ B} e A ·B .= {z ∈ K | z = x · y onde x ∈ A, y ∈ B}.
Seja (K,+, ·,6) um corpo ordenado. Seja P = {x ∈ K | x > 0} o conjunto dos positivos de K.
Enta˜o P satisfaz:
1. P + P ⊂ P e P · P ⊂ P
2. P ∩ (−P ) = ∅ e K = P ∪ {0} ∪ (−P )
1
Reciprocamente, mostre que, num corpo (K,+, ·), dado P ⊂ K satisfazendo as duas propriedades
acima, existe uma u´nica relac¸a˜o de ordem 6 em K que o torna um corpo ordenado e tal que P seja o
conjunto dos positivos de (K,6).
Observac¸a˜o. Sejam K e K ′ corpos ordenados. Uma aplicac¸a˜o f : K → K ′ diz-se um homomorfismo
de corpos ordenados se for um homomorfismo de corpos e se for crescente, i.e. se satisfizer
(∀x, y ∈
K
)
x 6 y ⇒ f(x) 6 f(y). Se P ⊂ K e P ′ ⊂ K ′ forem os conjuntos de elementos positivos de K e K ′,
respectivamente, e´ imediata a verificac¸a˜o de que f : K → K ′ e´ um homomorfismo de corpos ordenados
se, e somente se, for um homomorfismo de corpos e satisfizer f(P ) ⊂ P ′.
7-) Num corpo ordenado K, prove que a2 + b2 = 0⇔ a = b = 0.
8-) Considere em R2 as operac¸o˜es:
(x1, y1) + (x2, y2)
.
= (x1 + x2, y1 + y2)
(x1, y1) · (x2, y2) .= (x1 · x2 − y1 · y2, x1 · y2 + x2 · y1)
(a) Mostre que estas duas operac¸o˜es definem em R2 uma estrutura de corpo, no qual o elemento
neutro da adic¸a˜o e´ (0, 0) e o elemento neutro da multiplicac¸a˜o e´ (1, 0). Ale´m disso, definindo i
.
= (0, 1),
verifique que i2 = −(1, 0).
Definic¸a˜o: O corpo (R2,+, ·) acima e´ chamado de corpo dos nu´meros complexos e denotado
por C.
(b) Mostre que a aplicac¸a˜o R → C dada por x 7→ (x, 0) e´ um homomorfismo injetivo de corpos
(portanto a sua imagem e´ um subcorpo de C, isomorfo ao corpo dos reais; assim sendo, podemos
identificar tal imagem com o corpo dos reais, o que nos permite escrever R ⊂ C e dizer que o corpo dos
reais e´ subcorpo dos complexos).
Observac¸a˜o. Denota-se (x, 0) ∈ R ⊂ C por x. Usando-se esta notac¸a˜o, tem-se, para todo (x, y) ∈ C,
(x, y) = x+ i · y.
(c) Mostre que C na˜o admite estrutura de corpo ordenado (i.e. na˜o existe relac¸a˜o de ordem em C
que o torne um corpo ordenado).
9-) Seja b ∈ R, b > 1.
(a) Sejam m,n, p, q inteiros, n > 0, q > 0 e r = m/n = p/q. Prove que n
√
bm = q
√
bp. Assim, faz
sentido definir br
.
= n
√
bm.
(b) Mostre que
(∀ r, s ∈ Q) br+s = brbs.
(c) Mostre que a func¸a˜o r ∈ Q 7→ br e´ estritamente crescente.
Sugesta˜o. Mostre que
(∀ r ∈ Q) br > 1 e use o item anterior.
(d) Dado x ∈ R, define-se B(x) .= {bt | t ∈ Q, t 6 x}. Mostre que B(x) e´ limitado e que, se x for
racional, supB(x) = bx. Assim, faz sentido definir, para todo x ∈ R, bx .= supB(x).
(e) Mostre que
(∀x, y ∈ R) bx+y = bxby.
10-) Um subconjunto X ⊂ R diz-se denso em R se todo intervalo aberto de R conte´m algum ponto de X.
Um nu´mero real diz-se alge´brico se for raiz de algum polinoˆmio na˜o identicamente nulo e com coeficientes
inteiros, e diz-se transcendente se na˜o for alge´brico. Mostre que: (a) o conjunto dos nu´meros alge´bricos
e´ enumera´vel e denso em R; (b) o conjunto dos nu´meros transcendentes e´ na˜o-enumera´vel e denso em R.
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11-) Seja p ∈ R, p > 1. Mostre que e´ enumera´vel e denso em R o conjunto dos nu´meros reais da forma
m/pn, com m ∈ Z e n ∈ N.
Sugesta˜o.
(a) Seja mais persistente e tente fazer o exerc´ıcio sem ler os demais ı´tens. Se na˜o conseguir, volte
para ca´.
(b) Mostre que
(∀x ∈ R, x > −1,∀n ∈ N) (1 + x)n > 1 + nx (desigualdade de Bernoulli).
(c) Use a desigualdade de Bernoulli para mostrar que, para todoM > 0, existe n ∈ N tal que pn > M .
Ou, equivalentemente, para todo ǫ > 0 existe n ∈ N tal que 1/pn < ǫ.
(d) Seja (a, b) ⊂ R um intervalo aberto. Aplique o item anterior com ǫ = b−a para mostrar que existe
algum nu´mero da forma m/pn no referido intervalo (e se ainda tiver du´vidas sobre como se completa o
argumento, veja como o Elon demonstra que Q e´ denso em R).
12-) Seja f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn um polinoˆmio com coeficientes inteiros.
(a) Mostre que, se
p
q
∈ Q, com p, q ∈ Z primos entre si, for raiz de f , enta˜o p divide a0 e q divide an.
(b) Conclua que, se an = 1, as ra´ızes de f sa˜o inteiras ou irracionais. Em particular, dado a ∈ N,
tomando f(x) = xn − a conclui-se que, se a na˜o possui raiz n-e´sima inteira, enta˜o n√a e´ irracional.
(c) Mostre que
√
2 + 3
√
2 e´ irracional.
13-) Um corte de Dedekind e´ um par ordenado (A,B) onde A e B sa˜o subconjuntos na˜o-vazios de Q, tais
que A na˜o tem elemento ma´ximo, A ∪B = Q e (∀x ∈ A,∀y ∈ B)x < y.
(a) Prove que, num corte de Dedekind (A,B), tem-se supA = inf B.
(b) Seja D o conjunto dos cortes de Dedekind. Prove que existe uma bijec¸a˜o D → R.
14-) Seja K um corpo ordenado completo. Indique com 0′ e 1′ os elementos neutros da adic¸a˜o e da multi-
plicac¸a˜o em K, respectivamente. Considere f : Q → K dada por (∀ p
q
∈ Q) f(p
q
) =
p · 1′
q · 1′ . Estenda esta
func¸a˜o para os reais, tomando F : R → K dada por (∀x ∈ R)F (x) .= sup{f(r) | r 6 x}. Mostre que f
e´ um isomorfismo de corpos ordenados de R sobre K.
15-) Seja f : R → R um isomorfismo de corpos ordenados. Mostre que f e´ a identidade dos reais. Conclua
que, se K e L sa˜o corpos ordenados completos, existe um u´nico isomorfismo de corpos ordenados de K
sobre L (use o exerc´ıcio anterior).
16-) Um conjunto G de nu´meros reais chama-se um grupo aditivo quando 0 ∈ G e x, y ∈ G ⇒ x − y ∈ G.
Enta˜o x ∈ G⇒ −x ∈ G e x, y ∈ G⇒ x+ y ∈ G.
Seja G um grupo aditivo de nu´meros reais, e denote por G+ o conjunto dos elementos positivos de
G. Suponha G 6= {0}, de modo que G+ seja na˜o-vazio. Prove que:
(a) se infG+ = 0, enta˜o G e´ denso em R;
(b) se infG+ = a > 0, enta˜o a ∈ G+ e G = {0,±a,±2a, . . . }.
Sugesta˜o. Para provar a segunda parte, verifique inicialmente que, se a 6∈ G+, existiriam g, h ∈ G+
tais que a < g < h < a +
a
2
, donde h − g < a/2, uma contradic¸a˜o. A seguir, prove que todo g ∈ G se
escreve sob a forma a · q + r, com q inteiro e 0 6 r < a, e portanto r = g − a · q ∈ G.
(c) Conclua que, se α ∈ R e´ irracional, os nu´meros reais da forma m + nα, m,n ∈ Z, formam um
subconjunto denso de R.
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MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
1a Lista de Exerc´ıcios - Resoluc¸a˜o dos Exerc´ıcios 2, 11 e 16
2-) (a) Sejam X e Y conjuntos, e denote por F(X,Y ) o conjunto de todas as func¸o˜es de X em Y . Prove
que, se X for finito e Y enumera´vel, enta˜o F(X,Y ) e´ enumera´vel.
(b)Dada f : N→ N, seja Af
.
= {n ∈ N | f(n) 6= 1}. Seja X o conjunto formado por todas as func¸o˜es
f : N→ N tais que Af e´ finito. Prove que X e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o:
(a) Os casos em que X e´ vazio ou Y e´ finito sa˜o triviais (nestes casos F(X,Y ) seria finito, sendo
um subconjunto do conjunto finito 2X×Y ). Suponha, pois, que X seja finito com n elementos e Y seja
infinito enumera´vel. Tomando bijec¸o˜es φ : In → X e ψ : N→ Y , a aplicac¸a˜o f ∈ F(X,Y ) 7→ ψ
−1 ◦ f ◦ φ
e´ uma bijec¸a˜o F(X,Y ) → F(In,N); por meio desta bijec¸a˜o, a demonstrac¸a˜o fica reduzida a provar que
F(In,N) e´ enumera´vel. Ora, F(In,N) = N
n (i.e. produto cartesiano de n fatores N) e´ enumera´vel (isto
foi provado em aula para n = 2; o caso geral segue por induc¸a˜o sobre n. Ou diretamente, pelo seguinte
argumento: tome p1, . . . , pn ∈ N primos distintos, e F : N
n → N dada por F : (x1, . . . , xn) 7→
∏n
i=1 p
xi
i ;
enta˜o F e´ injetiva, pela unicidade da decomposic¸a˜o em fatores primos).
(b) Para cada Y ⊂ N finito, denotemos por AY o conjunto {f ∈ X | Af = Y }. Enta˜o X e´ a
reunia˜o da famı´lia {AY | Y ⊂ N finito}. Verifiquemos que esta famı´lia e´ enumera´vel e que cada AY e´
enumera´vel; enta˜o seguira´ que X e´ enumera´vel, sendo a reunia˜o de uma famı´lia enumera´vel de conjuntos
enumera´veis. Com efeito, dado Y ⊂ N finito, a aplicac¸a˜o F(Y,N) → AY dada por f 7→ f˜ , onde f˜
e´ a extensa˜o de f que e´ constante e igual a 1 em N \ Y , e´ uma bijec¸a˜o; ora, ja´ foi demonstrado no
item anterior que F(Y,N) e´ enumera´vel. Resta mostrar que {Y ⊂ N | Y finito} e´ enumera´vel. Tal
conjunto e´ a reunia˜o da famı´lia enumera´vel {Y ⊂ N | Y tem n elementos}n>0. Ora, para cada n ∈ N,
An
.
= {Y ⊂ N | Y tem n elementos} e´ enumera´vel, pois a aplicac¸a˜o f ∈ F(In,N) 7→ f(In) ∈ An e´
sobrejetiva e ja´ demonstramos que F(In,N) e´ enumera´vel. Enta˜o segue-se que {Y ⊂ N | Y finito} e´
enumera´vel, sendo a reunia˜o de uma famı´lia enumera´vel de conjuntos enumera´veis.
�
11-) Seja p ∈ R, p > 1. Mostre que e´ enumera´vel e denso em R o conjunto dos nu´meros reais da forma
m/pn, com m ∈ Z e n ∈ N.
Demonstrac¸a˜o:
(i) Seja X o conjunto dos nu´meros reais da forma m/pn, com m ∈ Z e n ∈ N. Enta˜o (m,n) ∈
Z×N 7→ m/pn ∈ X e´ sobrejetiva, portanto X e´ enumera´vel, uma vez que Z×N e´ enumera´vel, por
ser o produto cartesiano de dois conjuntos enumera´veis. Resta mostrar que X e´ denso em R.
(ii) ∀ǫ > 0, ∃n ∈ N tal que pn > 1
ǫ
⇔ 1
pn
< ǫ; isto ja´ foi demonstrado em aula, usando a
desigualdade de Bernoulli.
(iii) Seja (a, b) um intervalo aberto; queremos mostrar que existe um elemento de X neste intervalo.
Tomando-se, no item anterior, ǫ = b− a, conclui-se que existe n ∈ N tal que 1
pn
< b− a.
1
(iv) Suponha b > 0. Como R e´ arquimediano, existe m ∈ N tal que m · 1
pn
> b, de modo que o
conjunto A
.
= {m ∈ N | m · 1
pn
> b} e´ na˜o-vazio; pelo princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o, A possui um
elemento mı´nimo m0. Afirmo que
m0−1
pn
∈ (a, b). Com efeito, tem-se m0−1
pn
< b, pela minimalidade
de m0; se fosse
m0−1
pn
6 a, ter-se-ia m0
pn
− m0−1
pn
= 1
pn
> b− a. Assim, m0−1
pn
> a , o que conclui a
prova da afirmac¸a˜o.
(v) Se b 6 0, tem-se −a > 0; assim, pelo item anterior existe um elemento m/pn de X no intervalo
(−b,−a), donde −m/pn ∈ (a, b).
�
16-) Um conjunto G de nu´meros reais chama-se um grupo aditivo quando 0 ∈ G e x, y ∈ G ⇒ x − y ∈ G.
Enta˜o x ∈ G⇒ −x ∈ G e x, y ∈ G⇒ x+ y ∈ G.
Seja G um grupo aditivo de nu´meros reais, e denote por G+ o conjunto dos elementos positivos de
G. Suponha G 6= {0}, de modo que G+ seja na˜o-vazio. Prove que:
(a) se infG+ = 0, enta˜o G e´ denso em R;
(b) se infG+ = a > 0, enta˜o a ∈ G+ e G = {0,±a,±2a, . . . }.
(c) Conclua que, se α ∈ R e´ irracional, os nu´meros reais da forma m + nα, m,n ∈ Z, formam um
subconjunto denso de R.
Demonstrac¸a˜o:
(a) Seja (a, b) ⊂ R um intervalo aberto; como inf G+ = 0, existe g ∈ G+ tal que g < b− a. Usando
o mesmo argumento da questa˜o anterior, com g no lugar de 1/pn, conclui-se que existe m ∈ Z tal que
mg ∈ (a, b). Como
(
∀n ∈ Z
)
ng ∈ G, e como (a, b) foi tomado arbitrariamente, segue-se que G e´ denso
em R.
(b) Afirmo que a ∈ G+. Com efeito, se a 6∈ G+, existiria h ∈ G+ tal que a < h < a+ a
2
, pois a+ a
2
na˜o e´ cota inferior de G+. Pelo mesmo argumento, existe g ∈ G+ tal que a < g < h. Portanto, g, h ∈ G+
sa˜o tais que a < g < h < a +
a
2
, donde h− g < a/2; como h − g ∈ G+, isto contraria o fato de ser a o
ı´nfimo de G+. Assim, a ∈ G+.
Seja g ∈ G+. Pelo fato de ser R arquimediano, existe m ∈ N tal que ma > g, o que mostra ser
na˜o-vazio o conjunto A
.
= {n ∈ N | na > g}. Assim, pelo princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o, A tem um
elemento mı´nimo n; tome r
.
= g − (n − 1)a. Enta˜o r > 0, pela minimalidade de n; e, se fosse r > a,
ter-se-ia g > (n − 1)a + a = na, contrariando n ∈ A. Assim, 0 6 r < a. Como r = g − (n − 1)a ∈ G,
e a = inf G+, na˜o e´ poss´ıvel 0 < r < a, donde r = 0. Isto prova que todo elemento de G+ e´ da forma
na para algum n ∈ N. Por conseguinte, todo elemento de G− e´ da forma −na para algum n ∈ N, donde
G = {na | n ∈ Z}.
(c) G
.
= {m + n · α | m,n ∈ Z} e´ um subgrupo aditivo de R. Suponha infG+ = a > 0. Enta˜o, pelo
item anterior, tem-se G = {na | n ∈ Z}. Como 1 ∈ G+, existe n ∈ N tal que na = 1, donde a = 1/n.
Enta˜o, sendo α ∈ G, existe m ∈ Z tal que α = ma = m/n, portanto α ∈ Q, o que e´ uma contradic¸a˜o.
Deste modo, na˜o podemos ter inf G+ > 0, donde inf G+ = 0 e do item anterior segue-se que G e´ denso
em R. �
2
	lista_01_ime_usp
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