Buscar

Cálculo 2 - Integrais Duplas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 37 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 37 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 37 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Integrais Duplas 
• Integral dupla é uma extensão natural do conceito 
de integral definida para as funções de duas 
variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas 
situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, 
determinação de grandezas físicas e outros. 
 
 
 
Exemplo 1 
 
 
 
Exemplo 2 
dx 
 
 
 
Exemplo 3 
  2/32
3/2
2
2
1
3
1
3
u
-
du 
2
1
2
1
-dr 
 2
1
dr .1
r
u
dur
dudrr
ur
rr








 
 
 
 
Exemplo 4 
 
 
 
Exemplo 5 
 
 
 
Exemplo 6 
 
 
 
Exemplo 7 
Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ]. 

R
dAxyysen )(
 R dAxyy )sin( dydxxyy 
2
1 0
)sin(

 dxxyyd
x  
2
1 0
))(cos(1
 dxdyxyxyy
xx 
2
1 00
])cos(|)cos([ 11

dxxyx
xx 
2
1 02
]|)sin()cos([ 11  dxx xx x  21 2 ][ )cos()sin( 

2
1
2
1 2
)cos()sin(
dxdx
x
x
x
x 

2
1
2
1 2
)sin()sin(
x
xd
x
x
dx

 
 2
1 2
2
1 2
)sin(2
1
)sin()sin( dxdx
x
x
x
x
x
x  0
2
1
)sin(  

x
x
 
 
 
Exemplo 8 
Calcule a integral Iterada 
 
1 1
2
0
sin
x
y dy dx 
D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1} 
   
1 1
2 2
0
sin sin
x
D
y dy dx y dA  
 
 
 
Exemplo 8 
Calcule a integral Iterada 
 
1 1
2
0
sin
x
y dy dx 
D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y} 
   
1 1
2 2
0
sin sin
x
D
y dy dx y dA  
 
 
 
Exemplo 8 
Calcule a integral Iterada 
 
1 1
2
0
sin
x
y dy dx 
   
 
 
 
 
1 1
2 2
0
1
2
0 0
1
2
00
1
2
0
121
2 0
1
2
sin sin
sin
sin
sin
cos
(1 cos1)
x
D
y
x y
x
y dy dx y dA
y dx dy
x y dy
y y dy
y




   

  
 
  
 


 
 
 
Exercícios 
1) Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy 
 limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. 
dA
x
x
R

sen
2) Resolver a integral dupla . 
  
2
0
2
2
)24(.
x
x
dydxx
3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido 
 pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. . 
 
 
 
Propriedades das Integrais Duplas 
 
 
 
Integrais Dupla para 
Domínios Não Retangulares 
 Múltiplo constante: 
 
 Soma e diferença: 
 
 
 Aditividade: (R = R1 + R2) 
  RR dxdyyxfkdxdyyxfk ),(),(.
  RRR dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()],(),([
  21 ),(),(),( RRR dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf
 
 
 
Cálculo de Integrais Duplas 
Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral 
dupla é igual a integral iterada. 
a b 
x 
y 
c 
d 
x 
y 
   
b
a
d
c
d
c
b
aR
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(
fixo fixo 
 
 
 
Cálculo de Integrais Duplas 
a b 
x 
y 
h(x) 
g(x) 
x 
  
b
a
xg
xhA
dydxyxfdAyxf
)(
)(
),(),(
A 
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x)  y  g(x)}, 
a integral dupla é igual a integral iterada. 
 
 
 
Cálculo de Integrais Duplas 
d 
x 
y 
  
d
c
yg
yhR
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
),(),(
c 
h(y) g(y) 
y 
A 
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y)  x  g(y)}, 
a integral dupla é igual a integral iterada. 
 
 
 
Cálculo de Integrais Duplas 
  
b
a
b
a
xg
xg
dxdyyxfdxxAV
)(2
)(1
]),(.[)(   
b
a
d
c
yh
yh
dydxyxfdyyAV
)(2
)(1
]),(.[)(
 
 
 
Integrais Duplas para 
Domínios Não Retangulares 
  
b
a
b
a
xg
xg
dxdyyxfdxxAV
)(2
)(1
]),(.[)(
 
 
 
Cálculo de Integrais Duplas 
 
 
 
Integrais Dupla para 
Domínios Não Retangulares 
  
b
a
d
c
yh
yh
dydxyxfdyyAV
)(2
)(1
]),(.[)(
 
 
 
Cálculo de Integrais Duplas 
 
 
 
Integrais Iteradas – Definição 
 
 


















d
c
b
a
b
a
d
cR
dydx)y,x(f
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
 
 
 
Exercícios 
 Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas 
y = 2x2 e y = 1 + x2. 
 
D
dA)y2x(
 dxdyyxx
x   
1
1
1
2
2
2 )2(
  dxyxy
xy
xy
2
2
1
2
1
1
2

 
 dxxxxxx  
1
1
43222 42)1()1(
 dxxxxx  
1
1
234 123
1
123
2
45
3
345







 x
xxxx
15
32

 
 
 
Exercícios 
Resposta: 36 
 Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 
e pela parábola y2 = 2x + 6. 

D
xydA
 
 
 
Exercícios 
 Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 
e pela parábola y2 = 2x + 6. 

D
xydA
21
2
21
2
4 1
2 3
12
4
2
3
4
2 2 21 1
2 22
5
4
3 21
2 2
46 3
4 21
2
2
2
( 1) ( 3)
4 2 8
4
2 4 36
24 3
y
y
D
x y
x y
xydA xy dx dy
x
y dy
y y y dy
y
y y y dy
y y
y y

 
 

 




 
  
 
     
 
     
 
 
      
 
  



 
 
 
Exercícios 
 Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 
e pela parábola y2 = 2x + 6. 

D
xydA
1 2 6 5 2 6
3 2 6 1 1
x x
x x
D
xydA xy dy dx xy dy dx
  
    
     
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
Exercícios 
  )4(
2
0
2
3
2
dydxyx
x
x
dx
y
yx x
x 
2
0
2
2
3
2)
2
4
(
 dxxxxxxx 
2
0
22323 )(2.)2(22
 )8(
2
0
52 dx -xx 2
0
63
63
8 x
 -
x
3
32
 
6
64
 
6
64
3
64
 -
 
 
 
Exercícios 
  )4(
4
0
2
3 dxdyyx
y
y
dyxy
x y
y
2
4
0
4
4
4 





 
dyy
y
y
yy
y












4
0
4
.
2
4
4
2.4
4









 28
4
64
4
0
22
32
dyy
y
y
y
4
0
322
5
3
3
2
8.2
2
5
4
64.3
yyyy

 
 
 
Exercícios 
4
0
322
5
3
3
2
8.2
2
5
4
64.3
yyyy

4
0
322
5
3
3
2
165
8
192
yyyy

3
4.2
16
4
5
4.8
192
4 322
5
3

3
32
3
128
1
5
4.128
3
1
 
3
4.2
16
4
5
4.8
192
4 322
5
3

 
 
 
Exercícios 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R 
 
 
  b
a
d
c
b
a
d
c
R
dydx
dydxyxf
dxdyyxf
Rdeàrea
VM
),(
),(
..
1
 
 
 
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R 
Exemplo: 
Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no 
retângulo 0  x   e 0  x  /2.

Outros materiais