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Integrais Duplas • Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros. Exemplo 1 Exemplo 2 dx Exemplo 3 2/32 3/2 2 2 1 3 1 3 u - du 2 1 2 1 -dr 2 1 dr .1 r u dur dudrr ur rr Exemplo 4 Exemplo 5 Exemplo 6 Exemplo 7 Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ]. R dAxyysen )( R dAxyy )sin( dydxxyy 2 1 0 )sin( dxxyyd x 2 1 0 ))(cos(1 dxdyxyxyy xx 2 1 00 ])cos(|)cos([ 11 dxxyx xx 2 1 02 ]|)sin()cos([ 11 dxx xx x 21 2 ][ )cos()sin( 2 1 2 1 2 )cos()sin( dxdx x x x x 2 1 2 1 2 )sin()sin( x xd x x dx 2 1 2 2 1 2 )sin(2 1 )sin()sin( dxdx x x x x x x 0 2 1 )sin( x x Exemplo 8 Calcule a integral Iterada 1 1 2 0 sin x y dy dx D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1} 1 1 2 2 0 sin sin x D y dy dx y dA Exemplo 8 Calcule a integral Iterada 1 1 2 0 sin x y dy dx D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y} 1 1 2 2 0 sin sin x D y dy dx y dA Exemplo 8 Calcule a integral Iterada 1 1 2 0 sin x y dy dx 1 1 2 2 0 1 2 0 0 1 2 00 1 2 0 121 2 0 1 2 sin sin sin sin sin cos (1 cos1) x D y x y x y dy dx y dA y dx dy x y dy y y dy y Exercícios 1) Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. dA x x R sen 2) Resolver a integral dupla . 2 0 2 2 )24(. x x dydxx 3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. . Propriedades das Integrais Duplas Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares Múltiplo constante: Soma e diferença: Aditividade: (R = R1 + R2) RR dxdyyxfkdxdyyxfk ),(),(. RRR dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()],(),([ 21 ),(),(),( RRR dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf Cálculo de Integrais Duplas Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada. a b x y c d x y b a d c d c b aR dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),( fixo fixo Cálculo de Integrais Duplas a b x y h(x) g(x) x b a xg xhA dydxyxfdAyxf )( )( ),(),( A Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x) y g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada. Cálculo de Integrais Duplas d x y d c yg yhR dxdyyxfdAyxf )( )( ),(),( c h(y) g(y) y A Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y) x g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada. Cálculo de Integrais Duplas b a b a xg xg dxdyyxfdxxAV )(2 )(1 ]),(.[)( b a d c yh yh dydxyxfdyyAV )(2 )(1 ]),(.[)( Integrais Duplas para Domínios Não Retangulares b a b a xg xg dxdyyxfdxxAV )(2 )(1 ]),(.[)( Cálculo de Integrais Duplas Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares b a d c yh yh dydxyxfdyyAV )(2 )(1 ]),(.[)( Cálculo de Integrais Duplas Integrais Iteradas – Definição d c b a b a d cR dydx)y,x(f dxdy)y,x(fdA)y,x(f Exercícios Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. D dA)y2x( dxdyyxx x 1 1 1 2 2 2 )2( dxyxy xy xy 2 2 1 2 1 1 2 dxxxxxx 1 1 43222 42)1()1( dxxxxx 1 1 234 123 1 123 2 45 3 345 x xxxx 15 32 Exercícios Resposta: 36 Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. D xydA Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. D xydA 21 2 21 2 4 1 2 3 12 4 2 3 4 2 2 21 1 2 22 5 4 3 21 2 2 46 3 4 21 2 2 2 ( 1) ( 3) 4 2 8 4 2 4 36 24 3 y y D x y x y xydA xy dx dy x y dy y y y dy y y y y dy y y y y Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. D xydA 1 2 6 5 2 6 3 2 6 1 1 x x x x D xydA xy dy dx xy dy dx Exercícios Exercícios )4( 2 0 2 3 2 dydxyx x x dx y yx x x 2 0 2 2 3 2) 2 4 ( dxxxxxxx 2 0 22323 )(2.)2(22 )8( 2 0 52 dx -xx 2 0 63 63 8 x - x 3 32 6 64 6 64 3 64 - Exercícios )4( 4 0 2 3 dxdyyx y y dyxy x y y 2 4 0 4 4 4 dyy y y yy y 4 0 4 . 2 4 4 2.4 4 28 4 64 4 0 22 32 dyy y y y 4 0 322 5 3 3 2 8.2 2 5 4 64.3 yyyy Exercícios 4 0 322 5 3 3 2 8.2 2 5 4 64.3 yyyy 4 0 322 5 3 3 2 165 8 192 yyyy 3 4.2 16 4 5 4.8 192 4 322 5 3 3 32 3 128 1 5 4.128 3 1 3 4.2 16 4 5 4.8 192 4 322 5 3 Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R b a d c b a d c R dydx dydxyxf dxdyyxf Rdeàrea VM ),( ),( .. 1 Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R Exemplo: Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no retângulo 0 x e 0 x /2.
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