Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
���������� � ���������� � Estado de Tensões e Deformações ������������� � ���� ��������� ��� ������ ����� ������ ����� � �� ����� �� ������� ���������� � Estado de Tensão • Corpo genérico submetido a várias forças ���������� � � �� ����Tensão • Plano de corte A F A ∆ ∆ = →∆ lim 0 σ ���������� � � �� ����Tensão • As componentes da tensão podem ser decompostas em um sistema cartesiano cuja origem está no ponto em estudo • Um dos eixos ( ) normal a plano de corte • σ é a tensão normal que atua segundo o eixo – Tração: positiva – Compressão: negativa n n ( ) A F ∆ ∆ = θ σ cos ���������� � ���������� � � �� ����Tensão • τ é a tensão de cisalhamento que corresponde a componente de σ que atua dentro do plano de corte ( ) A senF ∆ ∆ = θ τ ���������� � Exercício: Estado de Tensão Plano de referência Para a situação da figura anterior, atua em P uma força de 15 kN, aplicada uniformemente em uma área de 2 cm2. O ângulo θ = 30°, calcular σ e τ. ��������� �������� ���� ���������� � � �� ����Tensão • A distribuição das tensões dependem do plano de corte ���������� � �������� ��� �� ���� �� ! Planos de referência no cilindro �" �����#! �$�%�&'����(��� ���" � ���)'��*+�,� *�� �θ���-�" (���)'��*+�.���/�������'" �����0 ���'1 � ��� �" �� ��.���2" � � �� �������� ����������� ������ �� ���� ���������� � ���������� 3 �������� ��� �� ���� �� ! ����'� �� �� �� �'����������� ��#! 4�������� ��(��� � �" �'" �� �#! � ��� 5�� ���������" " � .�� /� ���� ��� � � " �'" ��% �#�������� 6 � ��7�8���'" �� �(�������σ ��τ��5������ �θ �� ����9 � .����9��� " �0� ���� ��9�� (�7�8���'" �&�/%�� �σ:τ �σ ����( �� ����τ ��� ��������� ��; '�� � �2�&'� �θ �" � � ���" �τ" /� ��τ" �� ��σ" /�< ��������� �������������� ���� ���������� �� Estado de Tensão • Planos principais – τ é nula – Os planos principais são ortogonais entre si • Tensões principais – σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ���������� �� Estado de Tensão • Consideremos um elemento contínuo submetido a um sistema de forças exteriores que ocupam em um certo momento um região espacial V • Se S é a superfície de V, o estado de tensão é a representação quantitativa da interação entre o material exterior e interior a S • O estado de tensão é representado por um conjunto de forças de tração, compressão e cisalhamento ���������� �� Estado de Tensão • Tensor ���������� � ���������� �� Estado de Tensão • Tensor ���������� �� Estado de Tensão • Tensor ���������� �� Estado de Tensão • Estado de tensão em uma chapa fina ���������� �� Estado de Tensão • Equações do estado plano – Ponto A e E mesma magnitude com sinais opostos ���������� � ���������� �� Exercício: Estado de Tensão � �� �0��� ���� �� =� >�" � ����� ��)'�#=� �' ��� � ��)'���(�� �� � ��2�&'� ��(��� � *��,�*?�� �α� �?�,*?� ���α� -�" (����)'�� ��������� �������� ���� ���������� �� Círculo de Mohr • Três dimensões • Tensão máxima de cisalhamento 2 31 max σσ τ − = ���������� �3 Círculo de Mohr • Exemplos ���������� �� Círculo de Mohr • Tração pura ���������� � ���������� �� Círculo de Mohr • Trefilação ���������� �� Círculo de Mohr • Torção ���������� �� Exercício: Círculo de Mohr Esboço do círculo de Mohr: ����'������" /��" �� �� ! ������ ��@�" �� �τ" /� �� ��0�� �� ��� �����'� ����A @��0���� � �&'�� � � � �� ���� �� =� �� σ� ,����B ���σ� ,���B ����σ� ,���B � σ� ,����B&�" " ���σ� ,���B&�" " � ��σ� ,�:��B&�" " � σ� ,�:���A C���σ� ,�:����A C����σ� ,�:����A C� ��������� ���3���� ���� ���������� �� Estado de deformação • Deformação por cisalhamento – Ângulos pequenos ( ) ( )21 21 θθγ tgtg h b h a +=+= 21 θθγ += ���������� � ���������� �� Estado de deformação • Deformações principais – γ é nula – e1 ≥ e2 ≥ e3 • As deformações principais são colineares as tensões principais para materiais isotrópicos • Círculo de Mohr – Abscissa • Deformação linear (e) – Ordenadas • Deformação por cisalhamento ou angular (γ/2) ���������� �� Deformação Volumétrica • Volume inicial • Volume final • Deformação volumétrica – Pequenas deformações • A variação do volume é considerada zero na deformação plástica 3210 lllV = ( )( )( )321321 111 eeelllVf +++= 0 0 V VV V f − =∆ 321 eee ++≅∆ ���������� �� �������� ��>�% �" �#! �D �'" . ���� Relação entre tensão convencional e verdadeira: Demonstre a relação abaixo que é valida para a região de deformação uniforme da �x�, desprezando a componente elástica. E�&�" ����/ �� • No regime elástico um corpo retorna as suas dimensões originais quando o esforço cessa – Retorno depende do tempo (viscoelástico) • -������F B� – σ,�� – ���" G�'� ������� �������� '�" G�'� ����H '�& ���������� �� ���������� � �������� ��E�&�" ����/ �� >� ��('�#! ����� % �# � * ��'� �(���� ��(��� � ! � '(" � ��� ���'" ��% �#������B6 �� %���� � �" � " ��� �&�" �� ��* �/��� ���� '� � �#=� � ��� 5�� �� � ! ��&'�� ��; '�����0�� ��������&��.� '0 � ����0�� � �'���)'���0�� �*�< ��' ,�����A C� �*�,����A C� ��������� �������� ���� ���������� �3 E�&�" ����/ �� • I" �(�����0�� " / �������� �#! � ��� 5�� ��� 0�)'�����" �����#! �� �� " 0��" �� �� '�&�" � � � ��#=� ����% �" �#=� ���&� �5� ���� � ' �� ��'� �����#=� • �� ,�� ,�:ν�� • ν��� �%����� �����C � � – ≅ ����" � �� • 4( ���σ� ,�σ� ,�� ���������� �� E�&�" ����/ �� • J'0��0 �#! �� ��%�� ��" �" � ����� � � �G0�� ���������� �� ������� � ������ � ����� � ������ σ� σ��� −νσ��� −νσ��� σ� −νσ��� σ��� −νσ��� σ� −νσ��� −νσ��� σ��� ( )[ ]3211 1 σσνσ +−= Ee ( )[ ]3122 1 σσνσ +−= Ee ( )[ ]2133 1 σσνσ +−= Ee E�&�" ����/ �� • >�% �" �#! �5 �'" . ������ ���&�" ����/ �� • � � ������� • ∆ ��% �" �#! �5 �'" . ���� • ∆ ��/��'� � ��ν % ��K ���������� �� ( ) �� � �� � ++− =++ 3 213 321 321 σσσν E eee 3 321 0 σσσ σ ++ = ( ) 0 213 σ ν E − =∆ ���������� 3 E�&�" ����/ �� • J��σ���σ� ��σ� % ��" �0 � �5 ��σ4 �" (." � ��/ • � " 0 ��� ���� 5��� �� – 4� �����0��� �" '���#�����% �" � • σ�:σ�Lσ�:σ�Lσ�:σ�,���� & �∆,� ���������� �� E�&�" ����/ �� • 4� �� ��.���5���� ��" ��'� �� " 0 ��� � ���������� �� E�&�" ����/ �� • � " 0 ��� ��@��� / ��� – 6! ��&�" � �� =� ������ ��@�" �� • 6! � � ������% �" �#! �0�/ ��� – * ���% �" �#=� �&����� � ! ���M� ��� • ��,��,�� • 4� ����'" ��" '���#�����5 �'" �����! ����% �" � ���������� �� 3 321 0 σσσ σ ++ = E�&�" ����/ �� • � " 0 ��� ���� 5��� �� • 4� �����0��� �" '���#�����% �" � • σ�:σ�Lσ�:σ�Lσ�:σ�,���� & �∆,� ���������� �� ���������� �� �������� ��� " 0 ��� � �� � �� � � " 0 ��� � �� � �� ����� ��%���#! � 4 �� � �(��� ��0�� �� � '" � �� �� �� ! ��� � ��� �� ��%���#! �� ���" � � ����'���� � " 0 ��� � @��� / ��� � �� 5��� �� � � �� �� �� ! �(��� � E�0�� �� �� �� 0 � �" % �" � �� ����� * '������ �� " ����� . A C�� ��������� ���� �� ���� ���������� �� � � � � � � − −= 7000 0700 00200 ijσ ����&������>�% �" �#! • 4� ��(��@ �����' �� �0 ��'" ��% �#��7���� ��#! ��0���������'" ��(����������� �#! � ��� 5�� ���� � �� ��*� ��� " 0��" �� ���• ����&�����/ ��� • ����&���0 ��5 �'" � ���������� �� FdldU = 1 0 100 0 1 11 delAFdlU el l == σ 1 0 101 1 deU e = σ ����&������>�% �" �#! • A � ������)'�� (��������-������F B� ���������� �3 1101 2 1 eU σ= ����&������>�% �" �#! • *�" � ��� � '0��0 �#! �� ��%�� ����σ���σ� ��σ� • J'( � '��� �∆ ���������� �� ( ) ∆=++= 032100 2 1 2 1 σσ eeeU H ( ) ( ) ( )2321200 6 21213 2 1 σσσ ν σ ν ++ − = − = EE U H ���������� �� ����&������>�% �" �#! • ����&�����'" '����� (��#! ����σ���σ� ��σ� • J'( � '��� ���������� �� [ ]3322110 2 1 eeeU σσσ ++= ( )[ ]2211 1 σσνσ +−= Ee ( )[ ]3122 1 σσνσ +−= Ee ( )[ ]2133 1 σσνσ +−= Ee ����&������>�% �" �#! • ����&�����'" '����� (��#! ����σ���σ� ��σ� • C��" ��� � ��" �.���� " 0 ��� ��@���/'���� • J�&'�� � ��" �.�������&�����/ ������� �� �#! ���������� �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]23223122123210 616 21 σσσσσσνσσσν −+−+−++++−= EEU ��� .�� ����� � �" �� • �� �� ���� ��#! – >�% �" �#! ���� :0�/ ��� • σ�,C�*� • ��,∆���� ���������� �� ��� .�� ����� � �" �� • �� �� ���� ��#! – � � ��5�#! �� �5 �'" � – �� ,��� ,�:����� • ����&�� – 4�� " 0 � �" �� �� �" � �������! �.������� – N���� (��'�5��� ��� 0 ����������&���0 ��5 �'" � ���������� �� = f i e e deU 1 1 110 σ ���������� �� ��� .�� ����� � �" �� • ��� .�� ����� � �" �� – >�%������� ��" ���#! • ����O ���&� �" � /���� ��" �&���� • ����O ���&� �" �� ��'�� • �����O �0�����# :" �� • ����O �0������ �� ����� �� �" 0��� '�� ���������� �� 0,000 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 0 5 10 15 20 25 30 35 E σσσσy σ σ σ σ , M P a e σ , k g f / m m 2 ��� .�� ����� � �" �� • ��� .�� ���� �� �� – *���% �" �#! �0�/ �����������)'��� ��� �� ! �" /��" ����� �� ��@�" �� ��� ������� �� �� ���� �� =� ���' �� �0�� � �����&�" �� ��� ��� ��τ" ������ ��&���'" �5�� ����� �� �τ� • ��� .�� ���� �� �� – E���#! �� " � ���" � ������ � �" �� ���0���" �� �� – ��#! � �" 0�� ���������� �� 0 21 max 2 τ σσ τ = − = Y=1σ 02 τ= Y ��� .�� ����� � �" �� • ��� .�� ���� �� �� – E���#! �� " � ���" � ������ � �" �� ���0���" �� �� – *� '0��0 �#! ����� " 0 ��� ��@��� / �����! ��� ���� � 5�� ��� ���� .�� ���� �� �� ���������� �� 02 τ= Y ���������� �� Exercício: Critérios de Escoamento Critérios de escoamento e círculo de Mohr: ����'������" /��" �� �� ! ������ ��@�" �� �τ" /� �� ��0�� �� ��� �����'� ����A @��0���� � �&'�� � � � �� ���� �� =� �� σ� ,����B ���σ� ,���B ����σ� ,���B � σ� ,����B&�" " ���σ� ,���B&�" " � ��σ� ,�:��B&�" " � σ� ,�:���A C���σ� ,�:����A C����σ� ,�:����A C� ��������� ���3���� ���� ���������� �� ��� .�� ����� � �" �� • ��� .�� ����D ��A � � – *���% �" �#! �0�/ �����������)'��� �������&��� ��/ ��������� �#! �0 ��'����������5 �'" � �� ��" �8���� ���5�� ���'" ������&�" �� ��� ��� �� � ��&���'" ���� �5�� ����� �� ������ ��� �� � " � ������������ ���������� �3 * 0 DU DU0 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] *02322312210 6 21 DD UEU =−+−+−−= σσσσσσν ��� .�� ����� � �" �� • ��� .�� �D ��A � � – ��#! � �" 0�� – E���#! �� " � ���" � ������ � �" �� � ��0���" �� �� – *� '0��0 �#! ����� " 0 ��� ��@��� / �����! � �� ���� �5�� ��� ���� .�� ����D ��A � � ���������� �� ( ) 2* 0 26 21 Y E U D ν−= ( ) ( ) ( )[ ] Y=−+−+− 2123223122121 σσσσσσ �������� ����� .�� ����� � �" �� • ��� .�� ���� �� �� ��5 � A � � J�1��H��� �� ! ����� � �" �� �$� ��#! ����'" �" � ����; '���σ� ��5 ��0������ ��� ��" � ���0����)'������� � �������� �� �� " � ���� .�� ���� �� �� ����� 5 � A � � ��� ��� ��(��� � �� ��#! �0'����σ�P����σ�,σ�,�� (� �#! ��σ�,:σ� ��σ�,�� �� ��#! �(������� �" . ������σ�,σ��σ�,�� �� ��#! �(�������� �" . ������σ�,�σ� ��σ�,�� �� ��#! � ��������� �" . ������σ�,�σ�,�σ�� %� � " 0����� �5�� �����σ� � ������ ������% �" �#! �0���� ��� ����" �� ��������� �������������� ����� ���������� �� �� ! ��%� �5� • � �� ���� �� ! ��)'�5���� � – > � �� �� ���� �� ! �)'��0� �'8�" � �" � " � �%�� ��" �'" �" � �������� " �����#! �$� � ��M�������� � � �" �� • �� ! ��%� �5� – Q�%'�#! ��������&�������� �#! � '� �&��%���� � ���������� �� ( ) ( ) ( )[ ] 2123223122121 σσσσσσσ −+−+−=e ���������� �� >�% �" �#! ��%� �5� • ��(��@ �0�/ �� – >�" � ��: ��)'�� ���������� �� = eedU σ0 ( ) ( ) ( )[ ] 2123223122132 dededededededee −+−+−= >�% �" �#! ��%� �5� • �� ! ���% �" �#! �� ���&�" ��0�/ �� • -�" (���� �)'�� • 4( ." : �� ���������� �� ( )011 2 3 σσ σ −= e edede ( )022 2 3 σσ σ −= e edede ( )033 2 3 σσ σ −= e edede ( )�� � �� � +−= 3211 2 1 σσσ σ e edede ( )�� � �� � +−= 3122 2 1 σσσ σ e edede ( )�� � �� � +−= 2133 2 1 σσσ σ e edede 3 321 0 σσσ σ ++ = � �� �C��� ����>�% �" �#! • 4� ����0�������" �� ����'" �0��� ���� � �0��� ��:�� • 6! � � ������% �" �#! ��������#! �� ���������� �� � �� �C��� ����>�% �" �#! • � �� �0��� ������% �" �#! �� ,��� '� �1����� ,������� ,�:�� - & � ' ���������� �� ( ) 0 2 1 3122 =�� � �� � +−= σσσ σ e edede ( )312 2 1 σσσ += ���������� �� � �� �C��� ����>�% �" �#! • σ� .����� " 0�� ! ���σ� 0 ��� ����'��� �� � � �� ��� �����%����" �� ������0�#��% ��8�� � • ����������������� • *�� �� ! �.����� " 0�� ! ��������#! ��� ��5�� ��� 0 �#! �" � ������% �������#! ���� " � ��8� • -��&'��� �� �5�8� ���� 0� '�� – -�" ���#! ����0��� – 7 �1�" �� �����@�0� ����&� ���������� �� 01 =σ 32 2 1 σσ = � �� �C��� ����>�% �" �#! • ��� .�� ����D ��A � � ' ���������� �� ( ) 2 1 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 � � � � � � � � −+� � � � −+� � � � −= σσσY YY 15,1 3 2 3 ≅=σ �������� ��� �� �C��� ����>�% �" �#! 4�% �1�" �� �� ��# �J*������� ��/������8�� ��" � � �� �0��� ������% �" �#! ��4���" � ������ � �" �� �$� � " 0�� ! ��� ���# �.�����A C���>���� �� �� " � � ��� .�� ����5 � A � � ��)'�����5�� ��� �5�� �����σ� 0���� )'���� 0���#! � ���������0����� �� ���#=� ��(��� < �� σ� ,����� �� ��'� ��� ���0�#����%����" �� �� (� σ� ,�:���σ� �� σ� ,����σ� ��������� ���3���� ���� ���������� �3 � �� �� �� � • �� �����C��E���F��" ����F ��7'���" �� ���� � �% �" �#! �A ��2������ �A � �� ����� ���� *E -R?�E���� ���#! ������ • �RA A ���������� �� ���������� �� �� ��������� ��� ��� ��C������ � '�#! ����%�&'����(��� ��� '���" �C�'" ��% �#�� ������B6 ���0�������'��% �" �" �� ���" �'" ��/����������" ���4�2�&'� �)�,���9�� ����'���� ��� �������������� ���� � ���������� ��� ��� ������ � �� ���" �����#! �$�%�&'����(��� ���" � ���)'�� *+�,�*�� �)���-�" (���)'��*+�.���/�������'" �����0 ���'1 ���� �" �� ��.� ��2" � � �� �������� � �� �� ����������������� �� ������� �����4�������� ��(��� � �" �'" �� �#! � ��� 5�� ���������" " � .�� /� ���� ��� �� " �'" ��% �#�������� 6 � �� 7�8���'" �� �(������� ��� ��5������ �)��� ����9 � .����9��� " �0� ������9� �� 7�8���'" �&�/%�� � �: �� �����( �� ���� ���� ��������� �� ; '�� � �2�&'� �)��" � � ���" � " /���� " ��� �� " /��<������������������� ���� -� ������������� ���������� �� � !������"������������#���>�" � ����� ��)'�#=� � �&'�� � � ' ��� � ��)'���(�� �� � ��2�&'� ���0�� �� �� ����%�&'����(��� ��� -�" (���� �)'��*��,�*?�� �α�����?�,*?� ���α��������������� ���� -� ������������� ���������� �� $� !������"������������#���>�" � ����� ��)'�#=� �' ��� � ��)'���(�� �� � ��2�&'� ��(��� ���-�" (���� �)'��*��,�*?�� �α�����?�,*?� ���α������������� �� ���� %� !����������� ��������& �' �����'������" /��" �� �� ! ������ ��@�" �� � " /�� �� ��0�� �� ��� �����'� ����A @��0���� � �&'�� � �� �� ���� �� =� � �� � ,����B ��� � ,���B ���� � ,���B � �� � ,����B&�" " ��� � ,���B&�" " � �� � ,�:��B&�" " � �� � ,�:���A C��� � ,�:����A C���� � ,�:����A C� �� �������3���� ���� (� ��) "���������������� �4� �� ���(��� ���0�� �� ��'" �� �� ���� �� ! � ��� � ��� ���� ��%���#! �������" � ������'������� " 0 ��� ��@��� / ������ �� 5��� ���� �� �� ���� �� ! ��(��� ��E�0�� �� ����� 0 ���" �% �" �� �� ������*�'����������" ������.�A 0�� -� ������������� ���������� �� *� +� ,�) ������) ��������"������������ ) ���� 4�% �1�" �� �� ��# �J*������� ��/������8�� ��" �� �� �0��� ������% �" �#! ���� �� ��'� ��� ���0�#���� %����" �� ���4���" � ������ � �" �� �$�� " 0�� ! ��� ���# �.�����A C���>�� �� �� �� " � ���� .�� ����5 ��A � � ��)'�����5�� ��� �5�� ����� � 0����)'���� 0���#! � ��������< �� σ� ,�� (� σ� ,�:���σ� �� σ� ,����σ� �������3���� ���� -� ������������� ���������� �� ���������� �� -� � �. ������� �������/���& �����J�1��ST �� �� ! ����� � �" �� �$� ��#! ���� '" �" � ����; '��� � ��5�: ���0��������� ��" � ���0����)'������� � ��' ��� � � ��� .�� ���� �� ��������5 ��A � � ��� ��� ��(��� � �� ��#! �0'����σ�P����σ�,σ�,�� �� �#! ��σ�,:σ� ��σ�,�� �� ��#! �(������� �" . ������σ�,σ���σ�,�� �� ��#! �(�������� �" . ������σ�,�σ� ��σ�,�� �� ��#! � ��������� �" . ������σ�,�σ�,�σ������������������������ ���� -� �������������
Compartilhar