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Estado de Tensões e Deformações
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���������� �
Estado de Tensão
• Corpo genérico submetido a várias forças
���������� �
�	
��
����Tensão
• Plano de corte
A
F
A ∆
∆
=
→∆
lim
0
σ
���������� �
�	
��
����Tensão
• As componentes da tensão podem ser 
decompostas em um sistema cartesiano cuja 
origem está no ponto em estudo
• Um dos eixos ( ) normal a plano de corte
• σ é a tensão normal que atua segundo o eixo
– Tração: positiva
– Compressão: negativa
n
n
( )
A
F
∆
∆
=
θ
σ
cos
����������
�
���������� �
�	
��
����Tensão
• τ é a tensão de cisalhamento que corresponde 
a componente de σ que atua dentro do plano 
de corte 
( )
A
senF
∆
∆
=
θ
τ
���������� �
Exercício: Estado de Tensão
Plano de referência
Para a situação da figura anterior, atua em P 
uma força de 15 kN, aplicada uniformemente 
em uma área de 2 cm2. O ângulo θ = 30°, 
calcular σ e τ.
���������
��������
����
���������� �
�	
��
����Tensão
• A distribuição das tensões dependem do plano 
de corte
���������� �
��������
���	
��
���� ��	!
Planos de referência no cilindro
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����
���������� ��
Estado de Tensão
• Planos principais
– τ é nula
– Os planos principais são ortogonais entre si
• Tensões principais
– σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
���������� ��
Estado de Tensão
• Consideremos um elemento contínuo 
submetido a um sistema de forças exteriores 
que ocupam em um certo momento um região 
espacial V
• Se S é a superfície de V, o estado de tensão é a 
representação quantitativa da interação entre o 
material exterior e interior a S
• O estado de tensão é representado por um 
conjunto de forças de tração, compressão e 
cisalhamento
���������� ��
Estado de Tensão
• Tensor
����������
�
���������� ��
Estado de Tensão
• Tensor
���������� ��
Estado de Tensão
• Tensor
���������� ��
Estado de Tensão
• Estado de tensão em uma chapa fina
���������� ��
Estado de Tensão
• Equações do estado plano
– Ponto A e E mesma magnitude com sinais opostos
����������
�
���������� ��
Exercício: Estado de Tensão
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����
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	��������
����
���������� ��
Círculo de Mohr
• Três dimensões
• Tensão máxima de cisalhamento
2
31
max
σσ
τ
−
=
���������� �3
Círculo de Mohr
• Exemplos
���������� ��
Círculo de Mohr
• Tração pura
����������
�
���������� ��
Círculo de Mohr
• Trefilação
���������� ��
Círculo de Mohr
• Torção
���������� ��
Exercício: Círculo de Mohr
Esboço do círculo de Mohr:
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σ� ,�:���A C���σ� ,�:����A C����σ� ,�:����A C�
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����
���������� ��
Estado de deformação
• Deformação por cisalhamento
– Ângulos pequenos
( ) ( )21
21
θθγ tgtg
h
b
h
a
+=+=
21 θθγ +=
����������
�
���������� ��
Estado de deformação
• Deformações principais
– γ é nula
– e1 ≥ e2 ≥ e3
• As deformações principais são colineares as 
tensões principais para materiais isotrópicos
• Círculo de Mohr
– Abscissa
• Deformação linear (e)
– Ordenadas
• Deformação por cisalhamento ou angular (γ/2)
���������� ��
Deformação Volumétrica
• Volume inicial
• Volume final
• Deformação volumétrica
– Pequenas deformações
• A variação do volume é considerada zero na deformação 
plástica
3210 lllV =
( )( )( )321321 111 eeelllVf +++=
0
0
V
VV
V f
−
=∆
321 eee ++≅∆
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��������
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����
Relação entre tensão convencional e verdadeira:
Demonstre a relação abaixo que é valida para a região 
de deformação uniforme da �x�, desprezando a 
componente elástica.
E�&�" ����/	
��
• No regime elástico um corpo retorna as suas 
dimensões originais quando o esforço cessa
– Retorno depende do tempo (viscoelástico)
• -������F
B�
– σ,��
– ���" G�'�
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����H
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( )[ ]3122 1 σσνσ +−= Ee
( )[ ]2133 1 σσνσ +−= Ee
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Exercício: Critérios de Escoamento
Critérios de escoamento e círculo de Mohr:
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