Probabilidade e Dist Normal v2 (1)

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Probabilidade e Distribuição Normal
Maria Cláudia Schardosim
mariaclaudia@ufcspa.edu.br
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Medida que caracteriza uma incerteza, onde os resultados são variáveis.
Conceitualmente, é a possibilidade de um determinado evento ou fato vir a ocorrer, avaliada numericamente e em termos percentuais.
Probabilidade
Probabilidade
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Na vida real, usamos a nossa noção de probabilidade quando emitimos opiniões, mas não sabemos atribuir um valor numérico à probabilidade
A probabilidade passa pela avaliação de todas as possibilidades de um certo acontecimento.
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Onde A é um subconjunto do conjunto universal de todas as possibilidades de ocorrência (n).
Por definição, 0 ≤ P(A) ≤ 1
De modo geral, denotamos: 0 ≤ p ≤ 1 ou 0% ≤ p ≤ 100%
Probabilidade
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Suponha um lançamento de uma moeda.
Evento: cair coroa
Possibilidades: cara ou coroa (2)
P(A) = 1 / 2 = 0,50 ou 50%
Evento: cair cara
Possibilidades: cara ou coroa (2)
P(A) = 1 / 2 = 0,50 ou 50%
* Poderia calcular apenas o complementar:
 1 – P(A) = 0,50 ou 50% por que temos apenas 2 possibilidades
Exemplo
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Qual a probabilidade de um indivíduo do sexo masculino apresentar um valor de hemoglobina entre 14,5 e 15,5 ?
	 Taxa de hemoglobina em 560 homens normais.
Hemoglobina (g/100mL)
fi
12,5 |- 13,5
0,01 (1%)
13,5 |- 14,5
0,06 (6%)
14,5 |- 15,5
0,24 (24%)
15,5 |- 16,5
0,38 (38%)
16,5 |- 17,5
0,23 (23%)
17,5 |- 18,5
0,07 (7%)
18,5 |- 19,5
0,01 (1%)
Exemplo - Frequência relativa
Lei multiplicativa
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Exemplo 1
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Exercício 1
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O distúrbio de Hiperatividade com Déficit de Atenção (DHDA) é uma desordem que afeta entre 3 e 10% das crianças em idade escolar. Assumindo que essa probabilidade seja 6,6%, estimar as probabilidades:
Duas crianças escolhidas ao acaso apresentem DHDA
Uma criança escolhida ao acaso não apresente DHDA
Duas crianças escolhidas ao acaso não apresentem DHDA
Entre duas crianças escolhidas ao acaso, uma apresenta DHDA
Entre duas crianças escolhidas ao acaso, pelo menos uma apresenta DHDA 
Exercício 1 - respostas
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(0,066)2 = 0,004356 = 0,4356%
1 – 0,066 = 0,934 = 93,4%
(0,934)2 = 0,8724 = 87,24%
(0,066 x 0,934) + (0,934 x 0,066) = 0,1233 = 12,33%
1 – 0,8724 = 0,1276 = 12,76%
 ou
 0,1233 + 0,004356 = 0,1276 = 12,76%
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Qual a probabilidade de um indivíduo do sexo masculino apresentar um valor de hemoglobina entre 14,5 e 15,5 ?
Taxa de hemoglobina em 560 homens normais.
Hemoglobina (g/100mL)
fi
12,5 |- 13,5
0,01 (1%)
13,5 |- 14,5
0,06 (6%)
14,5 |- 15,5
0,24 (24%)
15,5 |- 16,5
0,38 (38%)
16,5 |- 17,5
0,23 (23%)
17,5 |- 18,5
0,07 (7%)
18,5 |- 19,5
0,01 (1%)
Exemplo 2
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Exemplo
Características da Curva Normal
Tem forma de sino
 Simétrica em relação a média (µ)
 A média, a mediana e a moda são coincidentes
 A curva tem dois pontos de inflexão ( um desvio-padrão (σ) acima e abaixo da média)
A curva é assintótica
 A área sob a curva totaliza 1 ou 100%
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Características da Curva Normal
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Características da Curva Normal
Se a distribuição dos dados for Normal:
 
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Características da Curva Normal
Se a distribuição dos dados for Normal:
 
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Características da Curva Normal
Se a distribuição dos dados for Normal:
 
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Considere que a glicemia tenha distribuição normal, com média igual a 90 mg e desvio-padrão 5 mg na população de pessoas sadias. Pode-se concluir que:
Aproximadamente 2/3 (68%) da população de indivíduos sadios possuem valores de glicemia entre (µ-) = 90-5 = 85 mg e (µ+) = 90+5 = 95 mg
Grande parte (95%) das pessoas sadias tem glicemia entre (µ-2) = 90-2(5) = 80 e (µ+2) = 90+2(5) = 100 mg
Praticamente todos (99,7%) os indivíduos da população tem valores entre (µ-3) = 75 e (µ+3) = 105 mg
Utilidade da Curva Normal
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A distribuição Normal tem dois parâmetros µ e σ.
Sua função densidade de probabilidade é dada por:
Pode ser mostrado que:
µ é a média de X, e varia entre ( - <  < );
σ é o desvio-padrão de X, e ( > 0).
Parâmetros da Distribuição Normal
, –  < x < .
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A distribuição Normal Padrão é uma curva de probabilidade para uma variável chamada Z, que tem média (µ) = 0 (zero) e desvio padrão (σ) = 1 (um).
Sempre é referida como N(0,1).
As áreas sob essa curva estão tabeladas.
Distribuição Normal Padrão
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As variáveis observadas na prática (x) apresentam valores cujas áreas não estão tabeladas
PODEMOS APLICAR A PADRONIZAÇÃO DE QUALQUER VARIÁVEL QUE TENHA DISTRIBUIÇÃO NORMAL, E COM ISSO TEREMOS UMA TABELA COM AS PROBABILIDADES CALCULADAS.
Transformação de X em Z
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Transformação de X em Z
Média populacional
Desvio padrão 
populacional
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Qual a área (probabilidade) correspondente a valores de z menores que 1,96?
- Sempre que buscamos uma probabilidade de ser menor que determinado valor, olhamos direto na tabela.
P(Z < z)  Ver direto na tabela
Exemplo 1
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Qual a probabilidade de Z ser maior que 1,96?
Se queremos a probabilidade de ser maior que determinado valor de Z, então podemos calcular através da probabilidade complementar:
P(Z>z)= 1- P(Z<z) 
P(Z>1,96) = 1- P(Z<1,96) 
Exemplo 2
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Qual a área (probabilidade) compreendida entre Z= -1,5 e Z= 1,0?
- Como a tabela sempre apresenta valores menores do que um ponto z, podemos usar a seguinte relação:
P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) – P(Z < z1)
P(-1,5<Z<1)= P(Z<1)-P(Z<-1,5)= 0,84134-0,06681=0,77453
Exemplo 3
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1º) Desenhar a curva da normal correspondente ao problema
2º) Transformar a variável de interesse na variável padronizada z
3º) Calcular a área sob a curva (probabilidade)
4º) Interpretar
Etapas
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Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que estão prestando serviço militar, aqueles com uma estatura de no mínimo 180 cm, para formar uma equipe de basquete. Que percentagem é esperada de jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuição normal e, nesses jovens, a média é de 175 cm e o desvio padrão, 6 cm?
Exercício 1
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Exercício 1
29
Z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,00
0
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,10
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,20
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,30
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,40
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,50
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,60
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,70
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,80
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,90
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
1,00
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
1,10
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
1,20
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
1,30
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
1,40
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
Para Z = 0,83
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O tempo que os alunos demoram para fazer uma prova de bioestatística tem distribuição Normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min.
 Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine a prova em menos de 100 minutos?
 X: tempo gasto fazendo uma prova  X ~ N(120; 15)
Exercício 2
P(Z<-1,33) = 0,09176
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Um grupo de pacientes cujas pressões arteriais foram medidas teve média 120mmHg e desvio padrão de 10mmHg.
Qual a probabilidade de um paciente estar entre 115mmHg e 140mmHg?
Exercício 3
(140 – 120) / 10 = 2
(115 – 120) /10 = -0.5
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Exercício 4
Sabe-se que a média de QI da população é de 100 pontos, com desvio padrão de 15 pontos.
Se você tem um escore de 135 pontos, qual o seu valor z?
Numa grupo de 100 pessoas que segue essa mesma distribuição, qual seria o número esperado de alunos com escore maior que o seu? 
2,33 desvio-padrão acima da média, Z = 0,4910.
100 * 0,9910 = 99,10
1 – 99,10 = 0,9
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