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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Resolução da Terceira Avaliação Presencial – AP3 1ª Questão (2,0 pts) U A B C D Sabendo-se que: n (U) = 100, n (A) = 30, n (B) = 20, n (C) = 15, n (A∪∪∪∪B) = 40, n (C∪∪∪∪D) = 35 e n (A∩∩∩∩B) = 2.n(C∩∩∩∩D). Determine: (a) n(A∩∩∩∩B) (b) n(D) (c) n(U – (A∪∪∪∪B∪∪∪∪C∪∪∪∪D)) Solução: (a) Como n (A∪∪∪∪B) = n (A) + n (B) - n(A∩∩∩∩B), 40 = 30 + 20 - n(A∩∩∩∩B). Logo, n(A∩∩∩∩B) = 10. (b) Da equação n (A∩∩∩∩B) = 2.n(C∩∩∩∩D), concluímos que n(C∩∩∩∩D) = 5. Preenchendo o diagrama: U A B C D 20 10 10 10 5 20 Concluímos que n(D) = 20. (b) Como n (A∪∪∪∪B) = 40 e n (C∪∪∪∪D) = 35 e são uniões disjuntas, temos que n(U – (A∪∪∪∪B∪∪∪∪C∪∪∪∪D)) = 100 – 75 = 25. 2ª Questão (2,0 pts) (a) Esboce o gráfico da função ≥+− <+ = 254 21)( 2 xsexx xsex xf . (b) Calcule, se existirem, )(lim)(lim),(lim 222 xfexfxf xxx →→→ −+ . (c) f é contínua em x = 2? Justifique sua resposta. Solução: (a) O gráfico é dado por: −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y (b) 3)1(lim)(lim 1)54(lim)(lim 22 2 22 =+= =+−= −− ++ →→ →→ xxf xxxf xx xx → o limite )(lim 2 xf x→ não existe. (c) Podemos concluir pelo gráfico ou pelos limites acima que f é não é contínua em x = 2. 3ª Questão (2,0 pts) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 1 1 + − x x em 00 =x . Solução: O coeficiente da reta tangente ao gráfico no ponto ( ))0(,0 f é dado por )0('f . Para calcular a derivada da função, temos que utilizar a regra do quociente: 1 1)( + − = x x xf .)1( 2 )1( 11 )1( 1).1()1.(1)´( 1)('1)(' 1)(1)( 222 + = + +−+ = + −−+ = == +=−= xx xx x xx xf xvxu xxvxxu De 2 1 2 )10( 2)0(' 2 ==+=f vem que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (0 , -1) é 2. Assim a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 1 1 + − x x em 00 =x é 12)( −= xxy . 4ª Questão (2,0 pts) Considere a função 2012 2 7 3 )( 2 3 ++−= xx x xf .Determine: a) A derivada primeira. b) A derivada segunda. c) Os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento de f, fazendo o estudo do sinal da derivada primeira. d) Os intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para cima e os intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para baixo, fazendo o estudo do sinal da derivada segunda. e) Máximos, mínimos e ponto de inflexão, se houver. Solução: O domínio da função 2012 2 7 3 )( 2 3 ++−= xx x xf é ).,( +∞−∞=ℜ a) )3).(4(12701.122. 2 7 3 .3)´( 2 2 −−=+−=++−= xxxxx x xf . b) 72)´´( −= xxf . c) Pontos críticos: f ´(x) = 0 → (x-3).(x-4) =0 → x = 3 ou x = 4. -∞ 3 4 +∞ f´(x)=x2-7x+12 + - + f (x) ↑ ↓ ↑ Logo, do estudo do sinal acima podemos concluir que: f é crescente em (-∞ , 3) ∪ (4 , ∞) e f é decrescente em (3 , 4). d) Estudo do sinal da segunda derivada: 5,3 2 70)´´( 72)´´( ==⇔= −= xxf xxf - ∞ 3,5 +∞ f ’’(x) = 2x-7 - + f (x) ∩ ∪ A função é côncava no intervalo (- ∞ , 3.5) e a função é convexa no intervalo (3.5 , +∞). e) f possui um ponto de inflexão em (3.5 , f (3.5)) = (3.5 , 33.4166). f possui um máximo local em x = 3, dado por f (3) = 5.332 67 = . f possui um mínimo local em x = 4, dado por f (4) = 3.333 100 = . 5ª Questão (2,0 pts) a) Resolva a integral definida ( )∫ 1 0 32-t dt . b) Resolva a integral indefinida ∫ xdxln , para x > 0. Solução: a) Para resolver vamos fazer uma substituição de variáveis: dtdu dt du ttu =↔= −= 1 2)( . Fazendo a substituição de variáveis na integral obtemos: . 4 )2( 4 )2( 44 33 ∫ ∫ + − =+==− CtCuduudtt ( ) 4 15 4 16 4 1 4 )20( 4 )21( 4 )2(2-t 441 0 41 0 3 −=−= − − − = − =∫ tdt . b) Para resolver a integral indefinida ∫ xdxln vamos utilizar a técnica de integração por partes: ∫∫ −= vduvudvu .. . Sejam, dx x du xdx du xxxu 11 0,ln)( =↔= >= dxdv dx dv xxv =↔= = 1 )( Assim, CxxCxxxdxxxdx x xxxxdx +−=+−=−=−= ∫ ∫∫ )1(lnlnln 1 .lnln .
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