119_AP1-MetDet1-2009-1-gab

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP1 - 2009.1
Questa˜o 1 (1 ponto). Em uma pesquisa realizada com 350 pessoas que praticam esporte
em seus momentos de lazer foram obtidos os seguintes dados:
191 jogavam futebol;
210 jogavam volei;
137 jogavam basquete;
123 jogavam futebol e volei;
82 jogavam volei e basquete;
80 jogavam futebol e basquete;
42 jogavam futebol, volei e basquete;
Determine:
a) Quantas pessoas entrevistadas na˜o praticam nenhum dos treˆs esportes mencionados
acima?
b) Quantas pessoas entrevistadas praticam apenas um dos treˆs esportes mencionados
acima?
Desenhe diagramas de Venn e explique como voceˆ chegou a`s respostas.
Soluc¸a˜o:
Primeiro vamos montar os diagramas de Venn. Conforme fizemos no EP1, iniciaremos
pelas intersec¸o˜es.
• 42 pessoas praticam os treˆs esportes. Marcamos isto na intersec¸a˜o dos treˆs conjuntos;
1
• 80 jogam futebol e basquete. Como ja´ temos 42 na intersec¸a˜o dos treˆs conjuntos,
marcamos 38 na intersec¸a˜o de futebol e basquete;
• 82 jogam volei e basquete. Como ja´ temos 42 na intersec¸a˜o dos treˆs conjuntos, mar-
camos 40 na intersec¸a˜o de volei e basquete;
• 123 jogam futebol e volei. Como ja´ temos 42 na intersec¸a˜o dos treˆs conjuntos, marcamos
81 na intersec¸a˜o de futebol e volei;
• 137 jogam basquete. Ja´ temos 38 + 40 + 42 = 120 que jogam basquete e algum outro
esporte. Logo 137− 120 = 17 jogam apenas basquete;
• 210 jogam volei. Ja´ temos 81 + 40 + 42 = 163 que jogam basquete e algum outro
esporte. Logo 210− 163 = 47 jogam apenas volei;
• 191 jogam futebol. Ja´ temos 38 + 81 + 42 = 161 que jogam futebol e algum outro
esporte. Logo 191− 161 = 30 jogam apenas futebol;
• 350 pessoas foram entrevistadas. Na unia˜o dos treˆs conjuntos temos 42+38+40+81+
17 + 47 + 30 = 295. Logo 350− 295 = 55 na˜o praticam nenhum destes treˆs esportes.
.
2
Agora podemos responder a`s perguntas:
a) 55 pessoas na˜o praticam nenhum dos treˆs esportes.
b) 30 + 47 + 17 = 94 pessoas praticam apenas um destes treˆs esportes.
Questa˜o 2 (1,5 pontos). Considere os conjuntos X = {1, 2, {1}} e Y = {{3, 4, 5}}. Deter-
mine se cada item e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta (para que a resposta seja
considerada correta e´ necessa´rio que a justificativa esteja correta).
a) {1} ⊂ X
Verdadeiro. O conjunto {1} e´ um subconjunto de X, pois todos os seus elementos
tambe´m sa˜o elementos de X (ja´ que 1 ∈ X).
b) {1} ∈ X
Verdadeiro. O conjunto {1} pertence a X, pois ele e´ um elemento de X (os elementos
de X sa˜o 1, 2 e {1}).
3
c) {3} ⊂ Y
Falso. O conjunto {3} na˜o e´ um subconjunto de Y , pois seu elemento 3 na˜o e´ um
elemento de Y (o u´nico elemento que ha´ em Y e´ {3, 4, 5}).
d) {3} ∈ Y
Falso. {3} na˜o pertence a Y , pois na˜o e´ um elemento de Y . O u´nico elemento que ha´
em Y e´ {3, 4, 5}.
e) Y tem apenas 1 elemento.
Verdadeiro. Y tem apenas o elemento {3, 4, 5}.
f) ∅ ∈ X
Falso. O conjunto vazio na˜o e´ um elemento de X, pois os elementos de X sa˜o 1, 2 e
{1}.
Questa˜o 3 (0,5 ponto). Desenvolvendo a expressa˜o, decida se a desigualdade a seguir e´
verdadeira ou falsa.
−5
4
+
1
3
< −1 + 11
23
Soluc¸a˜o:
−5
4
+
1
3
< −1 + 11
23
⇔ −15
12
+
4
12
< −23
23
+
11
23
⇔ −11
12
< −12
23
⇔ −11× 23 < −12× 12
⇔ −253 < −144
que e´ uma desigualdade verdadeira. Logo a desigualdade inicial e´ verdadeira.
4
Questa˜o 4 (0,5 ponto). Calcule:(
1
2
− 1
4
)
÷ 7
6
+
1
7
(
3
4
− 3
2
)
Soluc¸a˜o: (
1
2
− 1
4
)
÷ 7
6
+
1
7
(
3
4
− 3
2
)
=
(
2
4
− 1
4
)
÷ 7
6
+
1
7
(
3
4
− 6
4
)
=
1
4
÷ 7
6
+
1
7
×
(
−3
4
)
=
1
4
× 6
7
− 1
7
× 3
4
=
6
28
− 3
28
=
3
28
Questa˜o 5 (1,5 pontos). Considere o enunciado abaixo:
Se Beth na˜o e´ bio´loga, enta˜o Ana e´ administradora. Se Beth e´ bio´loga, enta˜o Carla e´
contadora ou Daniela e´ doutora. Se Daniela e´ doutora, Elisa e´ escritora. Mas Elisa e´ escritora
se e somente se Fabiana e´ filo´sofa. Ora, Fabiana na˜o e´ filo´sofa e Carla na˜o e´ contadora.
a) Escreva todas as proposic¸o˜es elementares que aparecem neste enunciado, identificando
cada uma delas com uma letra de nosso alfabeto.
b) Usando as letras que voceˆ escolheu no item acima para identificar as proposic¸o˜es,
reescreva as premissas do enunciado com os s´ımbolos da lo´gica.
c) Analisando as premissas, decida se cada uma das proposic¸o˜es elementares e´ verdadeira
ou falsa.
5
Soluc¸a˜o: a) Proposic¸o˜es:
a: Ana e´ administradora;
b: Beth e´ bio´loga;
c: Carla e´ contadora;
d: Daniela e´ doutora;
e: Elisa e´ escritora;
f : Fabiana e´ filo´sofa;
b) Premissas:
1) ∼ b ⇒ a
2) b ⇒ (c ∨ d)
3) d ⇒ e
4) e ⇔ f
5) ∼ f∧ ∼ c
c) Pela premissa 5, temos que f e´ falsa e c e´ falsa. Como f e´ falsa, a premissa 4 nos
garante que e e´ falsa. Como e e´ falsa, a premissa 3 implica que d e´ falsa. Como c e´ falsa e d
tambe´m, a premissa 3 nos da´ que b e´ falsa. Como b e´ falsa, ∼ b e´ verdadeira, donde podemos
concluir, usando a premissa 1, que a e´ verdadeira. Logo a proposic¸a˜o a e´ verdadeira (isto
e´, Ana e´ administradora) e todas as outras sa˜o falsas.
Questa˜o 6 (2 pontos). Complete a tabela verdade a seguir.
6
p q ∼ p ∧ ∼ q ∼ (p ⇔ q) ∼ p ∨ ∼ q p ⇒∼ q
V V
V F
F V
F F
Soluc¸a˜o:
p q ∼ p ∧ ∼ q ∼ (p ⇔ q) ∼ p ∨ ∼ q p ⇒∼ q
V V F F F F
V F F V V V
F V F V V V
F F V F V V
Questa˜o 7 (1 ponto). Considere o argumento formado pelas premissas e pela conclusa˜o
dadas a seguir:
Premissas:
1) Se a a´gua e´ igual ao fogo, a Terra e´ o Sol
2) A a´gua e´ igual ao fogo.
Conclusa˜o:
• A Terra e´ o Sol.
Decida se cada uma das afirmativas abaixo e´ verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
7
a) A primeira premissa e´ uma proposic¸a˜o falsa;
b) A segunda premissa e´ uma proposic¸a˜o falsa;
c) A conclusa˜o e´ uma proposic¸a˜o falsa;
d) O argumento na˜o e´ va´lido.
Soluc¸a˜o:
a) A primeira premissa e´ uma proposic¸a˜o falsa;
Falso. Seja a: a´gua e´ igual a fogo. Seja t: A Terra e´ o Sol. A proposic¸a˜o na premissa
diz a ⇒ t. Como a e´ falsa (pois a´gua na˜o e´ igual a fogo) o resultado da proposic¸a˜o
composta e´ verdadeiro (sempre que temos um condicional com a primeira proposic¸a˜o
falsa, o resultado e´ verdadeiro).
b) A segunda premissa e´ uma proposic¸a˜o falsa;
Verdade. A proposic¸a˜o “A a´gua e´ igual ao fogo” e´ uma proposic¸a˜o falsa.
c) A conclusa˜o e´ uma proposic¸a˜o falsa;
Verdade. A proposic¸a˜o “A Terra e´ o Sol” e´ falsa.
d) O argumento na˜o e´ va´lido.
Falso. O argumento e´ constitu´ıdo da seguinte forma:
Premissas:
a ⇒ t
a
Conclusa˜o: t
De fato, se vale que a implica t e vale a, enta˜o podemos concluir que vale t. O argumento
8
e´ va´lido. O que faz com que cheguemos em uma conclusa˜o falsa na˜o e´ a falta de validade
do argumento, mas sim o fato de termos nas premissas uma proposic¸a˜o falsa.
Questa˜o 8 (1 ponto). Apo´s sofrer um aumento de 20%, um produto passou a custar 1.080
reais. Calcule qual era o prec¸o do produto antes do aumento. Explique sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
Seja x o prec¸o do produto antes do aumento. Enta˜o 1080 e´ x mais vinte por cento de x,
isto e´,
1080 = x + 0, 2x = 1, 2x
Logo, x = 1080/1, 2 = 900, isto e´, o produto custava 900 antes do aumento.
Questa˜o 9 (1 ponto). Resolva:
[(
−1
2
)4
÷
(
−1
2
)3](
−1
2
)
−2
+
2(a + b)√
a2 + b2 + 2ab
+ 3
√−64
9
Soluc¸a˜o: [(
−1
2
)4
÷
(
−1
2
)3](
−1
2
)
−2
+
2(a + b)√
a2 + b2 + 2ab
+ 3
√−64
=
[
1
24
÷
(
− 1
23
)](
−1
2
)
−2
+
2(a + b)√
a2 + b2 + 2ab
+ 3
√−64
=
[
− 1
24
× 2
3
1](
−1
2
)
−2
+
2(a + b)√
a2 + b2 + 2ab
+ 3
√−64
=
[
− 1
24
× 2
3
1
](
−2
1
)2
+
2(a + b)√
a2 + b2 + 2ab
+ 3
√−64
=
[
− 1
24
× 2
3
1
]
22 +
2(a + b)√
a2 + b2 + 2ab
+ 3
√−64
= −1× 2
3 × 22
24
+
2(a + b)√
a2 + b2 + 2ab
+ 3
√−64
= −2 + 2(a + b)√
a2 + b2 + 2ab
+ 3
√−64
= −2 + 2(a + b)√
(a + b)2
+ 3
√−64
= −2 + 2(a + b)
(a + b)
+ 3
√−64
= −2 + 2 + 3√−64
= 3
√−64
=
3
√
−26
= −22
= −4
10