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Modelagem matemático computacional
Lista de exercícios 2 (Teórica)
Setembro de 2008
1 - Quais as condições para uma função f ser inversível? Funções injetoras são inversíveis? Justifique.
2 - Quando uma função é diferenciável? Indique três exemplos de funções diferenciáveis.
3 - Todas as funções contínuas são diferenciáveis? Justifique.
4 - Mostre que uma função periódica com período T é também periódica com período k, k ∈ R.
5 - Verifique se as seguintes funções são pares, ímpares ou não possuem paridade.
1. |x|
2. x2 sin(nx)
3. x+ x2
4. e−|x|
5. lnx
6. x
1+x2
6 - Mostre que a função seno é ímpar e a cosseno, par. Dica: use a fórmula de Euler eiθ = cos(θ)+ i sin(θ).
7 - Faça o mapeamento afim da função g(x) = sin(x), (−1 ≤ g(x) ≤ 1), a fim de obter uma nova função
h(x) tal que 0 ≤ h(x) ≤ 255.
8 - Calcule a primeira e segunda derivadas da função gaussiana:
gσ(x) =
1
σ
√
2pi
exp
[−1
2
(
x− µ
σ
)]
Esboce os respectivos gráficos no Scilab.
9 - Escreva a função round como função: (a) da função floor, (b) da função trunc.
10 - Verifique se as seguintes funções são analíticas:
1. f(x, y) = x2 − y2 + 2ixy
2. f(x, y) = ex(cos(y) + i sin(y))
11 - Se a parte imaginária de uma função analítica é 2x(1− y), determine:
1. a parte real
2. a função
12 - Determine o rank das seguintes matrizes:
1. A =
 3 0 2 2−6 42 24 54
21 −21 0 −15
 2. B =
 8 2 516 6 29
4 0 −7

13 - Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente independentes:
1
1. (3,−2, 0, 4)T , (5, 0, 0, 1)T , (−6, 1, 0, 1)T , (2, 0, 0, 3)T
2. (3, 4, 7)T , (2, 0, 3)T , (8, 2, 3)T
3. (1, 1, 0)T , (1, 0, 0)T , (1, 1, 1)T
4. (i, 2, 1)T , (−1, 4, 1)T , (−i, 8, 1)T
14 - Determine as inversas das seguintes matrizes:
1. A =
 −1 1 23 −1 1
−1 3 4
 2. B =
 0 8 00 0 4
2 0 0

15 - Para a matriz A do exercício anterior, verifique se (AT )−1 = (A−1)T .
16 - Mostre que (A−1)−1 = A.
17 - Ache as normas euclediana, city-block e chessboard do seguintes vetores:
1. (4, 2,−6)T
2. (0,−3, 3, 5, 1)T
3. (1 + 2i, 3i, 5 + 2i6)T
18 - (a) Determine as distâncias euclediana, city-block e chessboard entre os seguintes vetores
1. A = (1, 0, 2, 4)T e B = (0, 2, 4, 6)T
2. A = (i, 4 + 2i, 4)T e B = (0, 2i, 4 + 5i)T
(b) Determine d = |(A+B) · (A−B)|, se A = 2~i+ 3~j + 5~k e B = 3~i+~j − 2~k.
19 - Calcule os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
1. A =
( −5 2
2 −2
)
2. B =
(
0 1
−1 0
)
3. C =
 −2 2 −32 1 −6
1 −1 0

20 - Dado o teorema : “A transposta AT de uma matriz quadrada A tem os mesmo autovalores de A”.
Verifique-o para as seguintes matrizes:
1. A =
(
4 0
2 −4
)
2. B =
(
0 1
−1 0
)
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