Lista de Exercicios Defnicao de semi grupo, monoide e grupo, Grupos abelianos

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica – IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 6 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Definic¸a˜o de semi-grupo, mono´ide e grupo. Grupos abelianos.
Va´rios Exemplos de grupos. Grupos de permutac¸o˜es. Subgrupos e subgrupos gera-
dos por um conjunto. Grupos c´ıclicos.
1) Seja G um grupo e x ∈ G. Prove que:
a) xm · xn = xm+n ∀m,n ∈ Z
b) (xm)n = xmn ∀m,n ∈ Z
2) Seja G um grupo e x, y, z ∈ G. Prove que:
a) xy = xz ⇒ y = z
b) yx = zx⇒ y = z
c) (xy)−1 = y−1 · x−1
d) (x−1)−1 = x
3) Seja G um grupo. Prove a unicidade do elemento neutro de G.
4) Seja G um grupo, G diz-se c´ıclico se ∃ x ∈ G tal que G = 〈x〉, e o elemento x
chama-se um gerador de G. Prove que:
a) Todo grupo c´ıclico e´ abeliano.
b) (Z,+) e´ um grupo c´ıclico tendo 1 e −1 como geradores.
c) (Z/pZ = {0, 1, . . . , p− 1},+) com p primo e´ um grupo c´ıclico tendo 1, 2, . . . , p− 1
como geradores.
5) Seja G um grupo abeliano. Prove que: Se x, y ∈ G e m ∈ Z ento (xy)m = xn ·ym.
6) Seja G um grupo tendo e como elemento identidade. Prove que: Se x2 = e ∀ x ∈
G enta˜ G e´ um grupo abeliano.
7) Determine f, g ∈ S3 tais que:
a) (f ◦ g)3 6= f3 ◦ g3
b) (f ◦ g)2 6= f2 ◦ g2
8) Determine:
a) Todos os elementos f ∈ S3 tais que f2 = e com f 6= e.
b) Todos os elementos f ∈ S3 tais que f3 = e com f 6= e.
9) Seja V = {e, f, g, h} o seguinte subconjunto do grupo S4:
e =
(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
; f =
(
1 2 3 4
2 1 4 3
)
g =
(
1 2 3 4
3 4 1 2
)
; h =
(
1 2 3 4
4 3 2 1
)
a) Prove que (V, ◦) e´ um grupo com 4 elementos onde ◦ e´ a operac¸a˜o.
b) Prove que (V, ◦) e´ um grupo abeliano na˜o-c´ıclico.
1
2
10) Quais dos seguintes subconjuntos G de Z/13Z = {0, 1, . . . , 12} sa˜o grupos com
a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o?
a) G = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
b) G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
c) G = {1, 3, 5, 8, 9}
11) Mostre que (R,∆) e´ um grupo abeliano, quando ∆ e´ definida por
x∆y =def
3
√
x3 + y3
12) Considere o conjunto dos nu´meros reais R munido da operac¸a˜o ∗ definida por
x ∗ y =def x + y − 3
Mostre que (R, ∗) e´ um grupo abeliano.
13) Verifique se Z× Z e´ um grupo em relac¸a˜o a alguma das seguintes leis:
a) (a, b)× (c, d) = (a + c, b + d)
b) (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)
14) Mostre que o conjunto das func¸o˜es f : R −→ R tais que f(x) = ax + b, com
a 6= 0, e´ um grupo com a operac¸a˜o de composic¸a˜o de func¸o˜es.
15) Mostre que cada uma das ta´buas abaixo define uma operac¸a˜o que confere ao
conjunto E = {e, a, b, c} uma estrutura de grupo.
e a b c e a b c
e e a b c e e a b c
a a e c b a a e c b
b b c e a b b c a e
c c b a e c c b e a
(grupo de Klein) (grupo c´ıclico de ordem 4)
16) Construa a ta´bua do grupo G = {e, a, b, c, d, f}, de ordem 6, sabendo que:
I. G e´ abeliano
II. e e´ o elemento neutro
III. a ∗ f = b ∗ d = e
IV. a ∗ d = b ∗ c = f
V. a ∗ c = b ∗ b = d
VI. c ∗ d = a
17) Verifique se sa˜o subgrupos:
a) {x ∈ Q | x > 0}, de (Q∗, ·)
b)
{
1+2m
1+2n | m,n ∈ Z
}
, de (Q∗, ·)
c) {0,±2,±4, . . .} do grupo (Q− {1}, ∗), onde ∗ esta´ definida como
x ∗ y = x + y − xy
18) O conjunto Rn,∀ n ∈ Z, n ≥ 1, e´ definido como: Rn = {(a1, . . . , an) | ai ∈ R}.
a) Mostre que Rn tem uma estrutura de grupo em relac¸a˜o a` adic¸a˜o:
(a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn)
b) Verifique se sa˜o subgrupos de (Rn,+):
i) H1 = {(a1, . . . , an) ∈ Rn | a1 + · · ·+ an = 0}
ii) H2 = {(a1, . . . , an) ∈ Rn | a1 ∈ Z}
iii) H3 = {(a1, . . . , an) ∈ Rn | a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an}
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica – IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 6 – Soluc¸o˜es
Temas abordados: Definic¸a˜o de semi-grupo, mono´ide e grupo. Grupos abelianos.
Va´rios Exemplos de grupos. Grupos de permutac¸o˜es. Subgrupos e subgrupos gera-
dos por um conjunto. Grupos c´ıclicos.
1) a) Prove por induc¸a˜o sobre n considerando os seguintes subcasos:
1. para m ≥ 0 e n ≥ 0 (use induc¸a˜o de primeira forma sobre n);
2. Pegando os inversos e usando o subcaso 1, verifique que a igualdade vale quando
m < 0 e n < 0.
3. Para o caso quando m e n possuem sinais opostos notamos o seguinte:
Sejam r, s ≥ 0 tais que r ≤ s. Enta˜o xs = xrxs−r e xs = xs−rxr. Segue dessas
igualdades que x−rxs = xs−r e que xsx−r = xs−r. Considerando os inversos temos
tambe´m que xr−s = x−sxr e que xr−s = xrx−s. Agora aplicamos essas fo´rmulas
com r = |m| e s = |n|, no caso que |m| ≤ |n|, ou com r = |n| e s = |m|, no caso que
|n| ≤ |m|, quando m e n possuem sinais opostos e o resultado segue.
b) Por induc¸a˜o sobre n. Notamos que a igualdade vale por definic¸a˜o quando n ∈
{0, 1,−1}. Supondo que xm(n−1) = (xm)n−1, enta˜o temos que para n > 0
xmn = xm(n−1+1) = xm(n−1)+m = (xm)n−1xm = (xm)n,
onde usamos a hipo´tese indutiva e o item (a). Se n < 0, enta˜o o resultado segue
considerando os inversos.
2) (a) Como xy = xz, multiplicando ambos lados a´ esquerda por x−1 temos que
x−1(xy) = x−1(xz) e por associatividade isso implica que (x−1x)y = (x−1x)z ou
seja que y = ey = ez = z, como quer´ıamos.
(b) use a mesma ideia a` direita (contas deixadas ao leitor)
(c) Provamos que (xy)−1 = y−1x−1. Por definic¸a˜o (xy)−1 e´ o u´nico elemento de
G tal que
xy(xy)−1 = (xy)−1xy = e.
Notamos que
xy(y−1x−1) = x(yy−1)x−1 = xex−1 = xx−1 = e,
e tambe´m que
(y−1x−1)xy = y−1(x−1x)y = y−1ey = y−1y = e,
assim o elemento y−1x−1 satisfaz e definic¸a˜o de inverso de xy e portanto pela uni-
cidade do elemento inverso ha´ de ser
(xy)−1 = y−1x−1.
(d) prova ana´loga ao item (c) (contas deixadas ao leitor)
3) Vamos supor que existam dois elementos neutros em G, digamos e1 e e2, ou seja
que
e1g = ge1 = g, ∀ g ∈ G,
e que
e2g = ge2 = g, ∀ g ∈ G.
1
2
Em particular temos que
e1 = e1e2 = e2,
onde na primeira igualdade usamos o fato de e2 ser um elemento neutro em G, e
na segunda igualdade usamos o fato de e1 ser um elemento neutro em G, assim
concluimos que e1 = e2, como quer´ıamos provar, ou seja que o elemento neutro de
G e´ u´nico.
4) a) Seja G = 〈x〉, um grupo c´ıclico. Notamos que ∀ a, b ∈ G temos que a = xi e
b = xj para alguns i, j ∈ Z. Portanto usando o exerc´ıcio 1 (a) temos que
ab = xixj = x(i+j) = x(j+i) = xjxi = ba,
e portanto G e´ abeliano.
b) e (c): as verificac¸o˜es sa˜o deixadas ao leitor.
5) Seja G um grupo abeliano. Para m = 0 a igualdade e´ clara. Seja m ∈ Z, com
m ≥ 1. Temos que:
∀ x, y ∈ G xmym = x · · ·x︸ ︷︷ ︸
m
y · · · y︸ ︷︷ ︸
m
,
como G e´ abeliano usando va´rias vezes a propriedade xy = yx obtemos que
x · · ·x︸ ︷︷ ︸
m
y · · · y︸ ︷︷ ︸
m
= xy · · ·xy︸ ︷︷ ︸
m
= (xy)m.
Se m e´ um inteiro negativo na˜o nulo, e´ suficiente considerar os inversos.
6) Seja (G, ·) um grupo multiplicativo tal que ∀ x ∈ G, x2 = xx = e, onde e e´ o
elementro neutro de G. Prove que G e´ um grupo abeliano.
Prova: Notamos que, por hipo´tese, ∀ x ∈ G, e = x2 = xx. Em particular,
∀ x, y ∈ G observamos que xyxy = e e isso implica que (yx)xyxy = yxe = yx,
mas (yx)xyxy = y(xx)yxy = (yy)xy = xy, ou seja, concluimos que xy = yx, como
quer´ıamos.
7) (a) Por exemplo f =
(
1 2 3
2 3 1
)
e g =
(
1 2 3
1 3 2
)
. Verifique!
(b) Pode considerar os mesmos elementos do item (a), verifique!
8) (a) Sa˜o os seguintes elementos:(
1 2 3
1 3 2
) (
1 2 3
3 2 1
) (
1 2 3
2 1 3
)
.
(b) Sa˜o os seguintes elementos:(
1 2 3
2 3 1
) (
1 2 3
3 1 2
)
.
9) Seja V = {e, f, g, h} ⊆ S4 onde
e =
(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
f =
(
1 2 3 4
2 1 4 3
)
g =
(
1 2 3 4
3 4 1 2
)
h =
(
1 2 3 4
4 3 2 1
)
.
a) Provamos que (V, ◦) e´ um grupo contendo 4 elementos. Podemos usar duas
formas: ou provamos de forma direita que (V, ◦) e´ um grupo usando a de-
finic¸a˜o de grupo, ou provamos que (V, ◦) e´ um grupo provando que (V, ◦) e´
um subgrupo de (S4, ◦) ja´ que V ⊆ S4. Deixado ao leitor.
b) Provamosque (V, ◦) e´ um grupo abeliano e na˜o c´ıclico. Observe que σ(e) = 1
e σ(f) = σ(g) = σ(h) = 2, de fato temos que f ◦ f = g ◦ g = h ◦ h = e.
Portanto 〈f〉 = {f, e}, 〈g〉 = {g, e}, 〈h〉 = {h, e}, Como V contem so´ esses
3
quatro elementos na˜o existe um elemento em V de ordem 4 que possa gerar
todo o grupo, assim V na˜o e´ c´ıclico. Note que (V, ◦) e´ abeliano ja´ que
conferindo de forma direita (fazendo as contas) temos que
e ◦ f = f ◦ e = f, e ◦ g = g ◦ e = g, e ◦ h = h ◦ e = h,
f ◦ g = g ◦ f = h, g ◦ h = h ◦ g = f, h ◦ f = f ◦ h = g.
Assim, resumindo, para quaisquer elementos a, b ∈ V , temos que a◦b = b◦a
e portanto V e´ abeliano.
10) As justificativas dos itens sa˜o deixadas ao leitor:
(a) na˜o
(b) sim
(c) na˜o
11) Considere (R,∆), onde a operac¸a˜o ∆ e´ definida assim:
∀x, y ∈ R x∆y = 3
√
x3 + y3.
Notamos que (R,∆) e´ um grupo [As contas sa˜o deixadas ao leitor]. So´ notamos
que o elemento neutro com respeito a` operac¸a˜o ∆ e´ 0 ja´ que o elemento neutro,
chamamos ele de e, tem que ter a propriedade que
∀x ∈ R x∆e = e∆x = x,
ou seja que x∆e = 3
√
x3 + e3 = x e que e∆x = 3
√
e3 + x3 = x. Assim temos que e3
tem que ser 0 e portanto e = 0. Provamos que o grupo G = (R,∆) e´ abeliano. Para
todos x, y ∈ G temos que
x∆y = 3
√
x3 + y3 = 3
√
y3 + x3 = y∆x,
como quer´ıamos. (Estamos usando que x3 + y3 = y3 + x3, ou seja implicitamente
que o grupo (R,+) e´ abeliano!!)
12) Considere (R, ∗), onde a operac¸a˜o ∗ e´ definida assim:
∀ x, y ∈ R x ∗ y = x+ y − 3. Provamos que G = (R, ∗) e´ um grupo.
• a operac¸a˜o ∗ e´ associativa: ∀ x, y, z ∈ G, temos que
x ∗ (y ∗ z) = x+ (y + z − 3)− 3 = (x+ y − 3) + z − 3 = (x ∗ y) ∗ z,
onde estamos usando que no grupo (R,+) a operac¸a˜o de soma e´ associativa
e o grupo (R,+) e´ abeliano.
• existe o elemento neutro e com respeito a operac¸a˜o ∗ que e´ e = 3, de fato
temos que ter ∀ x ∈ G x∗e = e∗x = x, ou seja que x+e−3 = x = e+x−3
e o u´nico valor que satisfaz isso e´ e = 3.
• Dado um qualquer elemento x ∈ G, temos que provar a existeˆncia do ele-
mento inverso de x com respeito a` operac¸a˜o ∗, isso e´ procuramos um elemento
x−1 ∈ G tal que
x ∗ x−1 = x+ x−1 − 3 = e = 3
e tal que
x−1 ∗ x = x−1 + x− 3 = e = 3.
Notamos o u´nico elemento que satisfaz essas condic¸o˜es e´ x−1 = 6−x. (Obvi-
amente estamos usando que no grupo (R,+), todo elemento x possui inverso
com respeito a` operac¸a˜o +.) Por exemplo em G se x = 5, enta˜o x−1 = 1 e
temos que 5 ∗ 1 = 1 ∗ 5 = e = 3.
4
Concluimos que G = (R, ∗) e´ um grupo. A prova que G e´ um grupo abeliano e´
deixada ao leitor. Qual propriedade do grupo (R,+) precisamos usar para provar
que G e´ abeliano?
13) (a) (Z× Z,×) e´ um grupo, (contas deixadas ao leitor).
(b) (Z× Z, ·) na˜o e´ um grupo, (contas deixadas ao leitor).
14) Seja G = {f : R→ R | f(x) = ax+ b,∀ x ∈ R, a 6= 0, a, b ∈ R} e consideramos
a operac¸a˜o ◦, que e´ a composic¸a˜o de func¸o˜es, ou seja:
∀ f, g ∈ G (f ◦ g)(x) = f(g(x)), ∀ x ∈ R.
Provamos que (G, ◦) e´ um grupo.
• a operac¸a˜o ◦ e´ associativa: ∀ f, g, h ∈ G, com f(x) = a1x + b1, g(x) =
a2x + b2, h(x) = a3x + b3, onde ai 6= 0 e ai,bi ∈ R para i = 1, 2, 3. Temos
que:
∀ x ∈ R (f ◦ (g ◦ h))(x) = a1(a2(a3x+ b3) + b2) + b1 = a1a2a3x+ a1a2b3 + a1b2 + b1 =
a1a2(a3x+ b3) + a1b2 + b1 = ((f ◦ g) ◦ h)(x).
• existe o elemento neutro e com respeito a operac¸a˜o ◦ que e´ a funca˜o e(x) =
x, ∀ x ∈ R, de fato temos que ter ∀ f ∈ G f ◦ e = e ◦ f = f, ou seja que
∀ x ∈ R temos que (f ◦ e)(x) = f(e(x)) = f(x), e que (e ◦ f)(x) = e(f(x)) =
f(x) e a u´nica func¸a˜o que satisfaz isso e´ e(x) = x.
• Dado um qualquer elemento f ∈ G, da forma f(x) = ax + b com a 6= 0 e
a, b ∈ R temos que provar a existeˆncia do elemento inverso de (f)−1 com
respeito a` operac¸a˜o ◦. Notamos que a func¸a˜o inversa e´ f−1(x) = 1ax − ba
(verifique!!) que obviamente e´ um elemento de G, e temos que f ◦ f−1 =
f−1 ◦ f = e.
15) Verificac¸o˜es (usando as ta´buas) deixadas ao leitor .
16) Sabemos que G = {e, a, b, c, d, f}
• G e´ abeliano
• o elemento neutro e´ e
• a ∗ f = b ∗ d = e, a ∗ d = b ∗ c = f, a ∗ c = b ∗ b = d, c ∗ d = a.
A ta´bua de (G, ∗) e´ a seguinte:
∗ e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c d f e a
c c d f e a b
d d f e a b c
f f e a b c d
Exemplo de contas: a∗a = (c∗d)∗a = c∗a∗d = (a∗ c)∗d = (b∗ b)∗d = b∗ (b∗d) =
b ∗ e = b.
17) (a) Seja H = {x ∈ Q | x > 0} e consideramos o grupo G = (Q∗, ·). Obviamente
H ⊆ G (H e´ subconjunto de G). Notamos que H 6= ∅, ∀ h, k ∈ H temos que
h · k ∈ H, ja´ que se h > 0 e k > 0 ents˜o h · k > 0 e portanto h · k ∈ H. Ale´m disso
∀ h ∈ H tambe´m h−1 = 1h ∈ H. (Lembramos que o elementro neutro e de G com
respeito a` operac¸a˜o definida e´ 1). Assim usando o crite´rio de subgrupos podemos
concluir que (H, ·) e´ subgrupo de (Q∗, ·)
5
(b) Seja H = {1+2m1+2n | m,n ∈ Z} e consideramos o grupo G = (Q∗, ·). Obviamente
H ⊆ G. Notamos que H 6= ∅ e ∀ h, k ∈ H temos que h + k ∈ H (verifique!)
Ale´m disso ∀ h ∈ H com h = 1+2m1+2n temos que h−1 = 1+2n1+2m e portanto h−1 ∈ H
(Lembramos que o elemento neutro e de G com respeito a` operac¸a˜o definida e´ 1).
Segue que H ≤ G.
(c) Notamos que o elemento neutro e do grupo G = (Q−{1}, ∗) e´ e = 0 (por que?
verifique). Seja H = {0,±2,±4, . . .}. Obviamente H ⊆ G. Notamos que H 6= ∅ e
∀ h, k ∈ H temos que h ∗ k ∈ H (verifique!) Mas na˜o e´ certo que para todo h ∈ H,
o elemento h−1 ∈ H, de fato por exemplo se h = 4, enta˜o h−1 = 43 /∈ H, e assim H
na˜o e´ subgrupo. [Note que dado x ∈ G, em geral x−1 = xx−1 , verifique.]
18) O conjunto Rn definido com a operac¸a˜o dada tem a estrutura de grupo, de fato
temos que:
• a operac¸a˜o e´ associativa: ∀ a, b, c ∈ Rn, onde a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn)
e c = (c1, . . . , cn) temos que
a+(b+c) = (a1+(b1+c1), . . . , an+(bn+cn)) = ((a1+b1)+c1, . . . , (an+bn)+cn) = (a+b)+c,
onde para todo n ≥ 2 estamos usando o fato que a operac¸a˜o de soma e´
associativa em R.
• existe o elemento neutro com respeito a operac¸a˜o que e´: e = (0, . . . , 0), de
fato temos que
∀ a ∈ Rn a+ e = (a1 + 0, . . . , an + 0) = (a1, . . . , an) = a,
e a mesma observac¸a˜o vale para e+ a.
• Dado qualquer elemento a ∈ Rn, com a = (a1, . . . , an), consideramos o
elemento −a = (−a1, . . . ,−an) e obviamente temos que
a+ (−a) = (a1 + (−a1), . . . , an + (−an)) = (0, . . . , 0) = e,
a mesma observac¸a˜o vale para (−a) +a e portanto cada elemento possui um
elemento “inverso” com respeito a` operac¸a˜o definida.
Usando o crite´rio de subgrupos notamos que H1 6= ∅, ∀ h, k ∈ H1 temos que h+k ∈
H1, e ∀ h ∈ H1 tambe´m −h ∈ H1, assim (H1,+) e´ subgrupo de (Rn,+). [As contas
sa˜o deixadas ao leitor]
Usando o crite´rio de subgrupos notamos que H2 6= ∅, ∀ h, k ∈ H2 temos que h+k ∈
H2, e ∀ h ∈ H2 tambe´m −h ∈ H2, assim (H2,+) e´ subgrupo de (Rn,+). [As contas
sa˜o deixadas ao leitor]
Notamos que H3 6= ∅, ∀ h, k ∈ H3 temos que h + k ∈ H3, mas na˜o e´ certo que
∀ h ∈ H3 tambe´m −h ∈ H3 (por que?), assim H3 na˜o e´ subgrupo de (Rn,+). [As
contas sa˜o deixadas ao leitor]