Buscar

Lista de exercicios Numeros inteiros, divisibilidade, primeiras propriedades, maximo divisor comum, algoritmo de Euclides, fatoracao unica em Z

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 5 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica – IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 3 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Nu´meros inteiros, divisibilidade, primeiras propriedades, ma´ximo
divisor comum, algoritmo de Euclides, fatorac¸a˜o u´nica em Z.
(1) Ache quociente e resto nas diviso˜es entre os seguintes pares de nu´meros
inteiros. Depois, para cada divisa˜o, calcule uma identidade de Be´zout, ou
seja, encontre x, y ∈ Z tais que ax + by = MDC(a, b).
a) a = 25, b = 7;
b) a = −25, b = 7;
c) a = 25, b = −7;
d) a = −25, b = −7;
e) a = 8, b = 10;
f) a = −8, b = 10;
g) a = 8, b = −10;
h) a = −8, b = −10.
(2) Sejam a, b ∈ Z tais que MDC(a, b) = 1. Se a|c e b|c, prove que ab|c.
(3) Use o item (2) para provar que 6|n(2n + 7)(7n + 1), ∀n ∈ Z.
(4) Sejam a, b ∈ Z tais que MDC(a, b) = 1 e a|bc. Prove que a|c. [Dica: use a
identidade de Be´zout].
(5) Sejam a, b ∈ Z. Supondo que existem x, y ∈ Z tais que ax + by = 1, prove
que a e b sa˜o coprimos.
(6) Prove que MDC(a, b) = MDC
(
a + bc, a + b(c− 1)), ∀a, b, c ∈ Z.
(7) Mostre que o conjunto dos nu´meros inteiros primos positivos e´ infinito. [Dica:
use a fatorac¸a˜o u´nica em Z].
(8) Ache o erro na ”demonstrac¸a˜o”da seguinte afirmac¸a˜o obviamente falsa: To-
dos os nu´meros inteiros positivos sa˜o iguais, ou seja, para todo n ∈ N e´
verdadeira a asserc¸a˜o P (n) : 1 = · · · = n.
(i) P (1) e´ verdadeira, pois 1 = 1;
(ii) Suponha P (n) verdadeira, logo 1 = · · · = n− 1 = n. Somando 1 a cada
membro na u´ltima igualdade, segue que n = n+ 1 e portando P (n+ 1)
e´ verdadeira.
Pelo Princ´ıpio da Induc¸a˜o Matema´tica, segue que P (n) e´ verdadeira para
todo n ∈ N.
(9) Seja f : Z → Z uma func¸a˜o tal que quaisquer que sejam a e b, f(a + b) =
f(a) + f(b).
a) Mostre que f(0) = 0;
b) Mostre por induc¸a˜o que f(n) = n · f(1) para todo n ∈ Z+;
c) Mostre que f(−n) = −f(n);
1
2
d) Conclua que f(n) = n · f(1) para todo n ∈ Z.
(10) Uma Progressa˜o Aritme´tica (P.A.) com primeiro termo a1 e raza˜o r e´ uma
sequeˆncia de nu´meros cujo primeiro elemento e´ a1 e tal que cada elemento,
a partir do segundo, e´ igual ao anterior mais a raza˜o. Em s´ımbolos, se
n ≥ 2, an = an−1 + r.
a) Prove por induc¸a˜o sobre n que an = a1 + (n− 1)r;
b) Se Sn = a1 + a2 + · · ·+ an, prove por induc¸a˜o sobre n que
Sn =
n(a1 + an)
2
.
(11) Uma Progressa˜o Geome´trica (P.G.) com primeiro termo a1 e raza˜o q (q 6=
0, q 6= 1) e´ uma sequeˆncia de nu´meros cujo primeiro elemento e´ a1 e tal que
cada elemento, a partir do segundo, e´ igual ao anterior multiplicado pela
raza˜o. Em s´ımbolos, se n ≥ 2, an = an−1 · q.
a) Prove por induc¸a˜o sobre n que an = a1 · qn−1;
b) Se Sn = a1 + a2 + · · ·+ an, prove por induc¸a˜o sobre n que
Sn =
an · q − a1
q − 1 .
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica – IE
A´lgebra 1 – Turma C
Semana 3 – Soluc¸o˜es
Temas abordados: Nu´meros inteiros, divisibilidade, primeiras propriedades, ma´ximo
divisor comum, algoritmo de Euclides, fatorac¸a˜o u´nica em Z.
Exerc´ıcios:
(1) Ache quociente e resto nas diviso˜es entre os seguintes pares de nu´meros
inteiros. Depois, para cada divisa˜o, calcule uma identidade de Be´zout, ou
seja, encontre x, y ∈ Z tais que ax+ by = MDC(a, b).
a) q = 3, r = 4 com MDC(25, 7) = 1, x = 2, y = −7. De fato, temos que
25 · 2 + 7 · (−7) = 1;
b) q = −4, r = 3 com MDC(−25, 7) = 1, x = −2, y = −7;
c) q = −3, r = 4 com MDC(25,−7) = 1, x = 2, y = 7;
d) q = 4, r = 3 com MDC(−25,−7) = 1, x = −2, y = 7;
e) q = 0, r = 8 com MDC(8, 10) = 2, x = −1, y = 1;
f) q = −1, r = 2 com MDC(−8, 10) = 2, x = 1, y = 1;
g) q = 0, r = 8 com MDC(8,−10) = 2, x = −1, y = −1;
h) q = 1, r = 2 com MDC(−8,−10) = 2, x = 1, y = −1.
(2) Sejam a, b ∈ Z tais que MDC(a, b) = 1. Se a|c e b|c, prove que ab|c.
Prova: Como MDC(a, b) = 1, pela identidade de Be´zout existem x, y ∈ Z
tais que 1 = ax+ by. Enta˜o temos que c = c(ax+ by) = cax+ cby.
Como c = ak para algum k ∈ Z e c = bh para algum h ∈ Z, enta˜o temos:
c = cax+ cby = (bh)ax+ (ak)by = ab(hx) + ab(ky) = ab(hx+ ky),
ou seja ab|c, como desejado.
(3) Use o item (2) para provar que 6|n(2n+ 7)(7n+ 1), ∀n ∈ Z.
Prova: Pelo item (2) e´ suficiente provar que 2|n(2n+ 7)(7n+ 1), ∀n ∈ Z
e que 3|n(2n+ 7)(7n+ 1), ∀n ∈ Z, ja´ que MDC(2, 3) = 1.
Se n e´ par, enta˜o 2|n e portanto 2|n(2n + 7)(7n + 1). Se n for ı´mpar,
temos que n = 2k+1, para algum k ∈ Z. Segue que 7n+1 = 7(2k+1)+1 =
2(7k + 4), assim 2|7n+ 1 e portanto 2|n(2n+ 7)(7n+ 1).
Se 3|n, enta˜o segue que 3|n(2n+7)(7n+1). Se 3 - n, enta˜o ou n = 3h+1,
ou n = 3l + 2, com h, l ∈ Z.
Se n = 3h + 1, enta˜o temos que 2n + 7 = 2(3h + 1) + 7 = 3(2h + 3), de
onde segue que 3|2n+ 7 e portanto 3|n(2n+ 7)(7n+ 1).
Se n = 3l+ 2, note que 7n+ 1 = 7(3l+ 2) + 1 = 3(7l+ 5) Assim 3|7n+ 1
e em particular 3|n(2n+ 7)(7n+ 1).
(4) Sejam a, b ∈ Z tais que MDC(a, b) = 1 e a|bc. Prove que a|c.
Prova: Usando mais uma vez a Identidade de Be´zout, temos que existem
x, y ∈ Z tais que 1 = ax+ by. Enta˜o c = cax+ cby = cax+ bcy. Como a|bc,
enta˜o bc = al, para algum l ∈ Z. Portanto temos que
c = cax+ bcy = cax+ (al)y = a(cx+ ly)
1
2
ou seja a|c.
(5) Sejam a, b ∈ Z. Supondo que existem x, y ∈ Z tais que ax + by = 1, prove
que a e b sa˜o coprimos.
Prova: Seja d = MDC(a, b). Vamos provar que d = 1. Como d|a e d|b,
enta˜o em particular d|ax + by, ou seja d|1. Segue (pelo visto em aula) que
d e´ um elemento invers´ıvel em Z, ou seja ou d = 1 ou d = −1. Pore´m,
pela definic¸a˜o de MDC, necessariamente temos que d = 1; assim a e b sa˜o
coprimos.
(6) Prove que MDC(a, b) = MDC
(
a+ bc, a+ b(c− 1)), ∀a, b, c ∈ Z.
Prova: Seja m ∈ Z tal que m|a e m|b. Enta˜o m|a + bc e tambe´m m|a +
b(c− 1). Agora, em particular MDC(a, b)|a + bc e MDC(a, b)|a + b(c− 1)
e pela definic¸a˜o de ma´ximo divisor comum temos que
(•) MDC(a, b)|MDC(a+ bc, a+ b(c− 1)).
Chamemos α = a + bc e β = a + b(c − 1). Seja n ∈ Z tal que n|α e
n|β. Sabemos que n|αx + βy,∀x, y ∈ Z. Em particular, fazendo x = 1 e
y = −1, temos que n|b. Agora usando a mesma ideia, como n|b e n|a + bc,
em particular temos que n|a+bc+(−c)b, ou seja n|a. Resumindo, provamos
que se um inteiro n divide a a + bc e a a + b(c − 1), enta˜o tambe´m vale
que n|a e n|b. Em particular temos que MDC(a + bc, a + b(c − 1))|a e
MDC
(
a + bc, a + b(c − 1))|b. E pela definic¸a˜o de ma´ximo divisor comum
temos que
(••) MDC(a+ bc, a+ b(c− 1))|MDC(a, b).
De (•) e (••) segue que MDC(a, b) e MDC(a+bc, a+b(c−1)) sa˜o associados
e portanto (pela definic¸a˜o de MDC) temos que
MDC(a, b) = MDC
(
a+ bc, a+ b(c− 1)),
como enunciado.
(7) Mostre que o conjunto dos nu´meros inteiros primos positivos e´ infinito.
[Dica: use a fatorac¸a˜o u´nica em Z e suponha que o conjunto dos nu´meros
inteiros primos positivos seja finito. Tente chegar a uma contradic¸a˜o. ]
(8) Deixado para o leitor.
(9) a) Note que f(0) = f(0+0). Como f(a+ b) = f(a)+f(b)∀a, b ∈ Z, segue
que f(0) = f(0) + f(0). Como 0 e´ o u´nico elemento neutro com respeito a`
operac¸a˜o + em Z, enta˜o f(0) = 0.
b) Provamos por induc¸a˜o (I forma) que f(n) = n · f(1), ∀n ∈ N \ 0.
Passo base: se n = 1, enta˜o f(1) = 1 · f(1) (o´bvio!). Por hipo´tese
indutiva vamos supor que f(n) = n · f(1). Lembrando que f(a + b) =
f(a) + f(b), ∀a, b ∈ Z, temos que f(n+ 1) = f(n) + f(1) = n · f(1) + f(1) =
(n+ 1)f(1), como quer´ıamos.
c) Notamos que ∀n ∈ Z temos que f(0) = f(n + (−n)) = f(n) + f(−n).
Do item (a) segue que 0 = f(n)+f(−n) e pela unicidade do elemento oposto
(com respeito a +) temos que f(−n) = −f(n).
d) Se n ∈ N pelos itens (a) e (b) e´ claro que f(n) = n · f(1). Se n ∈ Z e
n < 0, enta˜o −n e´ positivo e pelo item (c) temos que f(−n) = −f(n). Mas
3
como por (b) temos que f(−n) = (−n) · f(1), enta˜o podemos concluir que
−f(n) = (−n) · f(1), ou seja que f(n) = n · f(1).
(10) Considere a seguinte definic¸a˜o recursiva:{
a1 = a1
an = an−1 + r, ∀n ≥ 2 com r,a1 nu´meros dados.
a) Provamos por induc¸a˜o sobre n (I forma) que an = a1 + (n− 1)r.
Passo base: se n = 1, temos que a1 = a1 + (1− 1)r = a1 + 0 (o´bvio!). Por
hipo´tese indutiva, vamos supor que an = a1 + (n− 1)r. Agora temos que
an+1 = an + r = a1 + (n− 1)r + r = a1 + nr = a1 + ((n+ 1)− 1)r,
como desejado.
b) Definimos Sn = a1 + a2 + · · ·+ an e provamos por induc¸a˜o sobre n que
Sn =
n(a1 + an)
2
.
Passo base: se n = 1, enta˜o S1 = a1 =
1(a1+a1)
2 (o´bvio!). Por hipo´tese
indutiva, vamos supor que Sn =
n(a1+an)
2 . Temos que
Sn+1 = a1 + a2 + · · ·+ an + an+1 =Sn + an+1 = n(a1 + an)
2
+ an+1
=
na1 + n(a1 + (n− 1)r) + 2an+1
2
.
Note que na u´ltima igualdade usamos o item (a). Agora conclu´ımos ob-
servando que
Sn+1 =
na1 + n(a1 + (n− 1)r) + 2an+1
2
=
na1 + n(a1 + nr − r) + 2an+1
2
=
na1 + nan+1 − nr + 2an+1
2
=
na1 + nan+1 + an+1 + an+1 − nr
2
=
na1 + nan+1 + an+1 + a1
2
=
(n+ 1)(a1 + an+1)
2
.
Perceba que usamos va´rias vezes o resultado do item (a), que diz que an+1 =
a1 + nr.
(11) Deixado ao leitor. Argumente de forma ana´loga ao exerc´ıcio 10.

Outros materiais