Transformada de Laplace

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Transformada de Laplace
Transformada de Laplace - Tabela
Observac¸a˜o Domı´nio do Tempo Domı´nio da Frequ¨eˆncia condic¸a˜o
constante k
k
s
s > 0
eat
1
s− a
s > a
eat × func¸a˜o(t) eatf(t) L{f(t)}|s=s−a dependente de F (s)
n ∈ N tn
n!
sn+1
s > 0
p > −1 tp
Γ(p+ 1)
sp+1
s > 0
sen(at)
a
s2 + a2
s > 0
cos(at)
s
s2 + a2
s > 0
senh(at)
a
s2 − a2
s > |a|
cosh(at)
s
s2 − a2
s > |a|
eatsen(bt)
b
(s− a)2 + b2
s > a
eatcos(bt)
s
(s− a)2 + b2
s > a
n ∈ N tneat
n!
(s− a)n+1
s > a
convoluc¸a˜o
∫ t
0
f(t− τ)g(τ)dτ F (s)G(s)
d
dt
f(t) f (n)(t) snF (s)− sn−1f(0)− . . .− f (n−1)(t)
d
ds
F (s) (−t)nf(t) F (n)(s)
Fa´bio Pereira Benjovengo 2o. semestre de 2006 1
Transformada de Laplace
1 Definic¸a˜o
A transformada de Laplace unilateral de um sinal x(t) e´ definida como
X(s) = L{x(t)} =
∫
∞
0
x(t)e−stdt, (1)
sendo que t ∈ R e s ∈ C (s = σ + jω). Existe uma transformada de Laplace bi-lateral obtida substituindo o
limite de integrac¸a˜o inferior de (1) por −∞. Pore´m, como estamos interessados em analisar apena sistemas
causais (um sistema e´ dito causal se sua resposta a` entrada do tipo degrau na˜o comec¸a a ocorrer antes da aplicac¸a˜o da
entrada), usamos a transformada unilateral.
2 Existeˆncia da Transformada de Laplace
E´ possı´vel encontrar a transformada de Laplace de um sinal x(t) sempre que este apresentar ordem exponen-
cial. Assim, existe um nu´mero real B <∞ tal que
lim
t→∞
∣∣x(t)e−Bt∣∣ = 0.
Como um exemplo, considere o sinal x(t) = Aeαt (observe que este sinal apresenta transformada de
Laplace para qualquer A e α). A transformada de Laplace da func¸a˜o exponencial (causal) x(t)
x(t) =
{
Aeαt, para t ≥ 0
0, para t < 0
,
e´ dada por
X(s) =
∫
∞
0
x(t)e−stdt =
∫
∞
0
Aeαte−stdt = A
∫
∞
0
e(α−s)tdt =
A
α− s
e(α−s)t
∣∣∣∣
t=∞
t=0
=
=
A
α− s
e(α−σ−jω)∞ −
A
α− s
Portanto
X(s) =


A
s− α
, para σ > α,
(indeterminado), para σ = α,
∞, para σ < α.
(2)
Observac¸a˜o: se a parte real da frequ¨eˆncia complexa s for menor do que α, diz-se que este s na˜o pertence ao
domı´nio da func¸a˜o. Portanto, como a aplicac¸a˜o do Teorema do Valor Final necessita fazer s = 0 (σ = 0), e´ importante
verificar o domı´nio da func¸a˜o antes de sua aplicac¸a˜o. Exemplo: o Teorema do Valor Final na˜o pode ser aplicado, por
exemplo, para o sinal x(t) = e2t; neste caso, o ponto s = 0 esta´ fora do domı´nio da func¸a˜o (s > 2).
O domı´nio de uma func¸a˜o em s sa˜o os valores de s para os quais a func¸a˜o X(s) e´ analı´tica.
Para func¸o˜es fracionais polinomiais (como as transformadas de Laplace consideradas neste curso), o ca´lculo do
domı´nio de s e´ facilitado. Para tais func¸o˜es, basta calcular os po´los do sinal transformado em Laplace (X(s)) e
encontrar o po´lo com maior parte real (maior σ - na˜o em mo´dulo). Caso o maior σ (chamado de σmax) seja maior do
que 0, o domı´nio de s e´ s > σmax; caso σmax < 0, o domı´nio de s e´ s ≥ 0.
Fa´bio Pereira Benjovengo 2o. semestre de 2006 2