Apostila Matematica Financeira Ajustada 2012

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Introdução
MATEMÁTICA FINANCEIRA visa abranger os principais tópicos da Matemática Financeira, fazendo uma análise sobre o Regime de Capitalização Simples e introduzindo os conceitos fundamentais do Regime de Capitalização Composta.
Todos os tópicos abordados são seguidos de exemplos, onde são desenvolvidas as etapas de solução, passo a passo.
No tópico Regime de Capitalização Composta os exemplos são seguidos de dois tipos de resolução:
algébrica, utilizando as equações para resolução;
utilizando a calculadora HP-12C, poderosa ferramenta para desenvolvimento de problemas ligados à Matemática Financeira.
Se você não possui uma calculadora HP-12C poderá acompanhar perfeitamente todos os tópicos desenvolvidos, com o auxílio de uma máquina de calcular científica ou, em último caso, poderá utilizar a calculadora existente no Microsoft Windows, no assistente Acessórios.
Não foram efetuadas profundas demonstrações das equações, visando a facilidade de assimilação e aplicação direita dos conceitos.
As equações gerais estão indicadas através de caixas em vermelho 	, e as respostas dos exemplo em caixas em preto 
Os exercícios propostos apresentam grau crescente de dificuldade, às vezes necessitando da aplicação de mais de um conceito para o desenvolvimento. Não esmoreça, dedique-se ao estudo. Lembre-se que os conceitos de Matemática Financeira estão presentes em nosso dia a dia, sendo de fundamental importância conhecê-los, visando resguardar nossos direitos e, principalmente nosso dinheiro.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática Financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro no tempo, quer nas aplicações, ou nos pagamentos.
No estudo da Matemática Financeira tem-se, inicialmente, que levar em consideração 3 (três) conceitos básico: o capital, a taxa de juros e o prazo.
CAPITAL ( P ) - é a quantia monetária que se transaciona. O capital pode ser indicado diretamente através de unidades monetárias ( $ ), ou estar expressando o valor de um bem ou de um serviços ( um automóvel com valor de x unidades monetárias ). Para as pessoas o capital normalmente estará associado à renda.
TAXA DE JUROS ( i ) – é o valor do retorno esperado pela disponibilização de capital em uma determinada data, para recebimento futuro. Na realidade a taxa de juros é formada por dois elementos importante:
a taxa pura de juros ( i0 ) – é a taxa na qual não ocorrerá a incidência de risco. Equivale à taxa utilizada pelo Governo na remuneração de investimentos sem risco, como no caso da Caderneta de Poupança.
a remuneração pelo risco ( i1 ) – é a remuneração que o mercado adiciona à taxa pura de juros, como sendo um seguro que o ofertante cobra para disponibilizar o capital que o tomador necessita.
Desta forma, pode-se afirmar que a taxa de juros ( i ) é igual à soma da taxa pura de juros e a remuneração pelo risco.
i = i0 + i1
 i
 remuneração pelo
risco
 i0
taxa pura de juros
	
 risco
	No gráfico, pode-se visualizar que quanto maior o risco, maior será a taxa de juros.
	Na realidade, nas operações no mercado, o custo real é obtido somando-se a taxa de juros pura, o custo pelo risco, o custo de impostos e dos serviços. De maneira genérica, a taxa de juros será considerada como sendo o resultado a soma de todos estes elementos.
PRAZO ( n ) – será o tempo decorrido entre o momento em que se disponibiliza o capital e a data do efetivo retorno a sua origem.
	O prazo estará indicado em ano ( a ) ou seus submúltiplos – semestre (s), quadrimestre (q), trimestre (t), bimestre (b), mês (m) ou dia (d).
JURO ( J )
	Sendo conhecidos os três conceitos anteriores, pode-se indicar o mais importante conceito da Matemática Financeira – o juro.
	JURO é a remuneração de um capital, sobre o qual incidiu uma taxa de juros, durante um determinado período de tempo.
	Ora, a definição de juro permite a formulação da equação fundamental da Matemática Financeira:
J = P i n
	Entretanto, algumas consideração são necessárias antes da utilização direta da equação.
1 – A taxa de juros normalmente estará indicada na forma percentual, ou seja, será indicada por um número, seguido do símbolo de porcentagem ( % ) e de um elemento indicativo do tempo de incidência da taxa ( por exemplo, aa – ao ano ). É o caso de 12 % aa.
Para a utilização da taxa na equação, deve-se transformar a taxa percentual em taxa unitária. Para tanto, basta que se divida a taxa percentual por 100 ( cem )
	Forma Percentual
	Transformação
	Forma Unitária
	 20 % aa
	
	0,20 aa
	15 % a s
	
	0,15 as
	2,5 % ad
	
	0,025 ad
Na transformação é mantida a unidade de tempo da taxa.
2 – O prazo (n) deverá estar no mesmo período da taxa.
	Por exemplo: se a taxa for 12 % aa e o prazo de 24 meses, deve-se proceder a transformação do prazo, de meses para anos.
	1 ano 12 meses
	x anos		24 meses logo x = 2 anos.
Estes cuidados serão FUNDAMENTAIS para o perfeito desenvolvimento do estudo da Matemática Financeira.
Exemplo :
 Qual será o juro produzido por um capital de $ 2.000,00, durante 6 meses, considerando uma taxa de juros de 12 % aa ?
Tem-se: P = $ 2.000,00
 n = 6 meses	( 0,5 anos ( transformar meses em ano )
 i = 12 % aa ( 0,12 aa ( da forma percentual para a forma unitária )
J = P i n
J = 2.000,00 x 0,12 x 0,5
Forma unitária prazo em meses
J = $ 120,00
O MONTANTE ( S )
	Quando há a incidência de taxa de juros sobre um capital, durante um determinado período de tempo, verifica-se a formação de juro. 
	Entretanto, quando paga-se uma prestação sobre a qual incidiu uma taxa de juros, não há a discriminação do que seja o valor do capital ( principal ), e do que seja o juro. O que se observa é um valor total, resultado da soma do capital com o juro. 
	Este resultado é denominado de MONTANTE.
	Logo, utilizando o conceito pode-se afirmar que:
S = P + J
Exemplo:
 Qual o montante verificado ao se incidir uma taxa de 10 % am, durante 6 meses, em um capital de $ 3.000,00 ?
	P = $ 3.000,00
	i = 10 % am ( 0,1 am
	n = 6 meses
	S = ?
J = Pin
J = 3.000,00 x 0,1 x 6
J = $ 1.800,00
S = P + J
S = 3.000,00 + 1.800,00
S = $ 4.800,00
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
A incorporação do juro ao capital para a formação do montante poderá ocorrer de duas formas distintas:
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Neste caso, os juros gerados são iguais em cada período, pois a taxa de juros incidirá somente no capital inicial, durante todo o período de capitalização. Os juros produzidos somente serão adicionados ao capital ( principal ), após o término do período de capitalização. Isto equivale afirmar que somente o capital inicial rende juros.
O regime de capitalização simples é também denominado de forma linear de capitalização.
Exemplo: 
 Determinar qual será o montante gerado por um capital de $ 1.000,00, aplicado durante 4 meses à taxa de 10 % am , em regime de capitalização simples .
P = 1.000,00
i = 10 % am ( 0,1 am
n = 4 meses 
S = ?
Utilizando um quadro esquemático, podemos identificar:
	Mês
	Capital
	Taxa de Juros
	Juro Gerado
	1
	1.000,00
	0,1
	100,00
	2
	1.000,00
	0,1
	100,00
	3
	1.000,00
	0,1
	100,00
	4
	1.000,00
	0,1
	100,00
	Juro Total
	400,00
	
J = 100,00 + 100,00 + 100,00 + 100,00
J = $ 400,00
Logo,
S = P + J
S = 1.000,00 + 400,00
S = $ 1.400,00
Desta forma, pode-se identificar uma forma direta de determinar o MONTANTE,sem que seja necessário o cálculo dos juros.
S = P + J
J = P i n , então
S = P + P i n 
 colocando-se P em evidência, têm-se que:
S = P ( 1 + i n )
Que é a equação geral para determinação do montante, no regime de capitalização simples.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Um capital cresce segundo o regime de capitalização composta quando o juro gerado em cada período de tempo se agrega ao principal, formando um novo valor, sobre o qual incidirá a taxa de juros no período seguinte.
O regime de capitalização composta é também denominado de forma exponencial de capitalização.
Exemplo: 
 Determinar qual será o montante gerado por um capital de $ 1.000,00, aplicado durante 4 meses à taxa de 10 % am , em regime de capitalização composta .
P = 1.000,00
i = 10 % am ( 0,1 am
n = 4 meses 
S = ?
Utilizando um quadro esquemático, pode-se identificar como ocorre a formação do montante no regime de capitalização composta.
	
	Mês
	Capital
	Taxa de Juros
	Juro Gerado
	Novo Capital
( P + J )
	1
	1.000,00
	0,1
	100,00
	1.100,00
	2
	1.100,00
	0,1
	110,00
	1.210,00
	3
	1.210,00
	0,1
	121,00
	1.331,00
	4
	1.331,00
	0,1
	133,10
	1.464,10
	MONTANTE FINAL
	1.464,10
O que caracteriza o regime de capitalização composta é o fato de que o juro gerado em cada período é somado ao capital, formando um “novo capital”, sobre o qual, no período subseqüente, incidirá a taxa de juros. É o denominado “juros sobre juros”. 
A equação geral para a determinação do montante, pelo regime de capitalização composta será:
Maiores considerações sobre as equações serão efetuadas no decorrer do texto.
Pode-se observar que o crescimento do capital no regime de capitalização composta é maior do que no regime de capitalização simples. 
Nosso estudo será dividido em duas grandes partes:
o estudo do regime de capitalização simples, e
o estudo do regime de capitalização composta.
O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Conforme foi apresentado, o juro é o resultado da incidência da taxa de juros sobre um capital, durante um determinado período de tempo, logo:
J = P i n
Desta forma, pode-se determinar qualquer dos termos da equação, se forem apresentados 3 (três) valores:
	
			
	
J = Pin 
	
	
	
Não há a necessidade de “decorar” todas as equações. A prática e a adoção de critérios algébricos permitirão a assimilação.
Exemplo: 
Que capital proporcionará a formação de juros de $ 250,00, transcorridos 2 meses de aplicação, considerando uma taxa de juros simples de 4 % am ?
	J
	N
	i
	P
	250,00
	2 meses
	4 % am
( 0,04 am
	?
	
	
	P = $ 3.125,00
Exemplo:
Considerando o regime de capitalização simples, a que taxa de juros deve-se aplicar um capital de $ 3.000,00, para após 5 meses, obter-se um rendimento de $ 900,00 ?
- o rendimento de uma aplicação é o juro gerado.
	J
	N
	P
	i
	900,00
	5 meses
	3.000,00
	?
	
	
	i = 0,06 a m ou i = 6 % am
quando se calcula a taxa de juros, o resultado pode ser indicado através da forma unitária ou da forma percentual;
o período da taxa, deve ser o mesmo do período do prazo, salvo indicação contrária.
Exemplo:
Durante quanto tempo deve-se aplicar um capital de $ 50.000,00, considerando uma taxa de juros simples de 5 % am, para serem auferidos juros de $ 4.000,00 ?
	
	J
	i
	P
	n
	5.000,00
	5 % am
( 0,05 am
	50.000,00
	?
	
	
	n = 2 meses
como o período da taxa é mensal ( am ), o prazo deve acompanhar o mesmo período, logo será indicado em mês.
Da mesma forma, pode-se, através da interpretação da equação do montante, pelo regime de capitalização simples, determinar qualquer um dos termos, sendo indicados os outros 3 :
	
	
	
S = P( 1 + in )
	
	
	
Exemplo:
Que capital deve ser aplicado durante 6 meses, considerando uma taxa de juros simples de 4,5 % am , se for desejado um resgate de $ 18.600,00 ?
resgate é o resultado final, somando-se o juros e o capital, logo é o Montante.
	S
	i
	n
	P
	18.600,00
	4 % am
( 0,04 am
	6 meses
	?
	
	
	
	
	
	
	
	S = $ 15.000,00
	
Exemplo:
Gastaldo efetuou um empréstimo no valor de R$ 4.000,00, comprometendo-se pagar $ 5.280,00 após 4 meses. Qual foi a taxa de juros simples contratada por Gastaldo ?
	S
	n
	P
	i
	5.280,00
	4 meses
	4.000,00
	?
	
	
	
	
	
	
	
	i = 0,08 am ou 8 % am
	
como o prazo está indicado em mês, o período da taxa deve acompanhar o mesmo período, sendo, portanto, mensal.
Exemplo:
Durante quanto tempo deve-se manter um capital de $ 3.500,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 4,5 % am , se o objetivo for efetuar um resgate de $ 4.130,00 ?
	S
	i
	P
	n
	4.130,00
	4,5 % am
( 0,045 am
	3.500,00
	?
	
	
	
	
	
	
	
	n = 4 meses
	
TAXA PROPORCIONAL
Considere-se duas taxas de juros i1 e i2, associadas, respectivamente aos períodos n1 e n2.
As taxas serão proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ou seja:
Lembrando que em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, tem-se que:
i1n2 = i2n1
Exemplo:
Verificar se as taxas de 4 % am e 48 % aa são proporcionais.
neste caso, temos que lembrar que a taxa incide sobre o capital em períodos unitários de tempo, que deverão estar no mesmo período da taxa. Logo, o prazo da taxa de 4 % am será de 1 mês e a da taxa de 48 % aa, será de 1 ano.
Então:
i1 = 4 % am ( 0,04 am
i2 = 48 % aa ( 0,48 aa
n1 = 1 mês
n2 = 1 ano ( 12 meses 
Como foi visto, i1n2 = i2n1
Logo: 0,04 x 12 = 0,48 x 1 
Como o resultado é verdadeiro, pois 0,48 = 0,48, pode-se afirmar que a taxa de 4 % am é proporcional à taxa de 48 % aa.
TAXA EQUIVALENTE
Duas taxas de juros são equivalentes no regime de capitalização simples, se aplicadas em um mesmo capital, durante um mesmo intervalo de tempo ( múltiplos dos tempos a que se referem as taxas ), produzirem juros iguais.
Considere-se i1 e i2 as taxas de juros e n1 e n2 os períodos de tempo. Deve-se lembrar que n1 e n2 devem ser múltiplos.
Então, como os juros produzidos devem ser iguais, e sabendo-se que J = Pin, tem-se que:
P x i1 x n1 = P x i2 x n2
Como os capitais (P) são iguais, tem-se que:
i1 x n1 = i2 x n2
Como n1 e n2 devem ser múltiplos, pode-se atribuir a um deles o valor 1. 
No caso, n1 = 1.
Então, tem-se que: i1 x 1 = i2 x n2
			 i1 = i2 x n2 , ou 
Exemplo:
Um capital de $ 1.000,00 poderá ser aplicado à taxa de 24 % aa, ou à taxa de 2 % am. Verificar se as taxas são equivalentes, considerando que o prazo de aplicação será de 2 anos.
Tem-se dois grupos de dados distintos que devem ser observados:
P = $ 1.000,00		P = $ 1.000,00
i1 = 24 % aa ( 0,24 aa		i2 = 2 % am ( 0,02 am
n = 2 anos		n = 2 anos ( 24 meses
J1 = P x i1 x n		J2 = P x i2 x n
J1 = 1.000,00 x 0,24 x 2		J2 = 1.000,00 x 0,02 x 24
J1 = $ 480,00		J2 = $ 480,00
J1 = J2
Como os capitais são iguais e os prazos também, verifica-se que as taxas são equivalentes.
JURO EXATO e JURO COMERCIAL
É muito comum verificar-se certas operações financeiras que ocorrem por um dia ou por alguns dias apenas. Como no processo de curto prazo o regime geralmente adotado é o de juros simples, é conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente.
O cálculo poderá ser realizado de duas maneiras, dependendo do número de dias adotado para o ano:
ano civil = 365 dias ( ou 366 ) e os meses com o número real de dias;
ano comercial = 360 dias e o mês comercial com 30 dias.
Utilizando-se o ano civil são obtidos os juros exatos.
Utilizando-se o ano comercialsão obtidos os juros comerciais.
Exemplo:
Um capital de $ 15.000,00 é aplicado à taxa de 13,5 % aa, durante 6 dias. Calcular o juro exato e o juro comercial.
Juro Exato ( Je )
P= $ 15.000,00				Je = Pin
i = 13,5 % aa ( 0,135 aa	 		Je = 15.000,00 x 0,135 x 0,016	
n = 6 dias ( 6 / 365 = 0,016 d		Je = $ 32,40
 Juro Comercial ( Jc )
P = $ 15.000,00				Jc = Pin
I = 13,5 % aa ( 0,135 aa			Jc = 15.000,00 x 0,135 x 0,017
N = 6 dias ( 6 / 360 = 0,017 		Jc = $ 34,43
	
O resultado, nas mesmas condições ( capitais, prazos e taxas iguais ), apresentará sempre um valor maior para o critério do juro comercial.
VALOR NOMINAL ( FV ) e VALOR ATUAL ( PV )
Assim como em outras disciplinas, a Matemática Financeira possui nomenclaturas próprias, adequadas para situações distintas.
Quando se aplica um capital, o valor constatado na data do resgate ( principal acrescido de juros ), é denominado de montante.
Entretanto, quando se aplica um capital, por exemplo com uma taxa pré-fixada ( já se sabe antecipadamente quanto será o valor do rendimento ), o valor esperado na data do resgate é denominado de VALOR NOMINAL, ou seja é o valor do compromisso em uma data futura. A simbologia FV, expressa bem a idéia – future value ( valor futuro, em inglês ).
Porém, em certos casos ocorrem resgates dos investimentos antes da data do vencimento, ou então, deseja-se quitar uma dívida antes da data do vencimento. O valor da dívida ou do investimento na data do vencimento, como já foi visto, é denominado de valor nominal. O valor antes do vencimento é denominado de VALOR ATUAL. A simbologia em inglês PV significa present value ( valor presente ).
O entendimento de Valor Nominal e de Valor Atual será de fundamental importância para que se possa desenvolver os conceitos de prestações e anuidades, em módulos posteriores.
 O conceito de VALOR NOMINAL é extremamente semelhante ao de MONTANTE.
Nas relações financeiras é fundamental a incidência de uma taxa de juros, sobre um capital. Considerando como 0 (zero) a data inicial de uma transação financeira e como n o prazo decorrido entre a data inicial e seu efetivo cumprimento, pode-se definir que:
FV = PV ( 1 + in )
PV ( valor presente ), neste caso, será o capital inicial na data zero, o que pode ser facilmente entendido se for considerado uma taxa de juros i e um prazo igual a zero. Lembre-se de que PV é o valor antes da data do vencimento, logo, se o prazo foi igual a zero, PV na data zero será igual ao capital ( P );
A parcela ( 1 + in ) é também denominada de fator de atualização de capital ( fac ).
A determinação de uma equação para definição do Valor Atual é conseqüência direta da equação de determinação de Valor Nominal.
Deve-se tomar muito cuidado no momento em que se for utilizar as equações de determinação de Valor Nominal e de Valor Atual.
Quando se calcula o Valor Nominal, o valor de n ( prazo), se refere ao prazo total transcorrido entre a data zero e a data do vencimento.
Quando se calcula o Valor Atual, o valor de n ( prazo ), se refere ao prazo de antecipação, ou seja o período transcorrido entre a data do vencimento e a data que se está observando ( data focal ).
	
Exemplo:
O investimento de $ 5.000,00, durante 5 meses, considerando uma taxa de juros anual de 24 % aa, possibilitará ao investidor que resgate ?
 5.000,00 FV
 
 0 i = 24 % am 5 m
	
	PV
	n
	i
	FV
	$ 5.000,00
	5 m
( 0,417 a
	24 % aa
( 0,24 aa
	?
FV = PV ( 1 + in )
FV = 5.000,00 ( 1 + 0,24 x 0,417 )
FV = 5.000,00 ( 1 + 0,1 )
FV = $ 5.500,00
		( Ao investidor será possível um resgate de $ 5.500,00
Se desejar efetuar o resgate 1 mês antes da data do vencimento, qual será o valor resgatado, se na época do resgate a taxa de juros de mercado for de 26 % aa , considerando o resultado do exemplo anterior ?
( observe que neste caso houve mudança da taxa de juros )
						PV 	 5.500,00
 0 4 5
 n = 1 m
 i = 26 % aa
	FV
	n
	i
	PV
	$ 5.500,00
	1 m
( 0,083 a
	26 % aa
( 0,26 aa
	?
 
PV = $ 5.381,60
O valor resgatado será de $ 5.381,60
Exemplo:
Mévio efetuou a compra de uma geladeira, cujo valor à vista é de $ 1.000.00. Como optou por um parcelamento, pagou $ 250,00 de entrada, comprometendo-se a pagar o restante 2 meses após, contratando uma taxa de juros de 5 % am. Entretanto, 15 dias antes do vencimento, resolve quitar seu débito. Quanto deverá pagar se na data da quitação a taxa de juros de mercado for de 6 % am ? 
 i = 5 % am
 
	
 $ 1.000,00	 PV				FV
 i = 6 % am
 0 2 m
 $ 250,00 15 d
 
a resolução do exercício deve ser feita em duas etapas:
primeiro deve-se calcular o valor do débito na data original de vencimento ( FV );
depois, calcula-se o valor em razão da antecipação ( PV ).
a) Valor Total da Dívida ( na data zero ) = $ 1.000,00
 Valor Financiado = $ 1000,00 - $ 250,00 = $ 750,00 ( será o PV na data zero )
	PV
	n
	i
	FV
	$ 750,00
	2 m
	5 % am
( 0,05 am
	?
FV = PV ( 1 + in)
FV = 750,00 ( 1 + 0,05 x 2 )
FV = 750,00 ( 1 + 0,1 )
FV = 825,00
b) 
	FV
	N
	i
	PV
	$ 825,00
	15 d
( 0,5 m
	6 % am
( 0,06 am
	?
PV = $ 800,97
optando pelo pagamento antecipado, pagará $ 800,97, que será o valor necessário, considerando a taxa de juros de mercado, que deveria aplicar, pelo prazo da antecipação ( 15 dias ), para obter o valor integral do seu débito.
S = P ( 1+in )
S = 800,97 ( 1 + 0,06 x 0,05 )
S = 800,97 ( 1 + 0,03 )
S = $ 825,00
Em muitos casos um valor atual (PV) na data zero, pode ser desdobrado em diversos vencimentos (FV), que serão os valores das prestações. 
Exemplo: 
Tício resolve comprar um aparelho de som, cujo preço à vista é $ 1.000,00. Opta pelo financiamento, em 3 (três) parcelas iguais, com vencimentos mensais, a primeira vencendo um mês após a compra, sem entrada. Considerando que a loja utiliza uma taxa de financiamento de 5 % am, qual será o valor das prestações ?
 1.000,00 FV FV FV
 0 1 i=5 % am 2 3
nestes casos, a soma dos valores nominais ( FV ), descapitalizados, ou seja, sem a incidência da taxa de juros, deverá ser igual ao valor atual (PV), na data zero.
Utilizando um esquema geral, pode-se indicar que:
Onde, n1, n2, n3, nn, são as datas dos diversos vencimentos, ou seja o prazo compreendido entre a data zero e o vencimento da parcela. A taxa está sendo mantida constante e considera-se os valores das parcelas ( prestações) iguais.
No exemplo, temos:
	PV
	n1
	n2
	n3
	i
	FV
	1.000,00
	1 m
	2 m
	3 m
	5 % am
( 0,05 am
	?
Colocando-se FV em evidência, tem-se que:1.000,00 = FV ( 0,952 + 0,909 + 0,870 )
1.000,00 = 2,731 FV
FV = $ 366,17
o valor das prestações será de $ 366,17. 
Nos problemas de Matemática Financeira, quase sempre é possível verificarmos a exatidão dos resultados, substituindo os valores encontrados, na fórmula. No caso do exemplo, substituindo os valores de FV, mantendo-se os prazos e a taxa, deve-se encontrar o valor de PV:
PV = 348,73 + 332,88 + 318,41
PV = 1.000,02
( a diferença de $ 0,02 é em razão dos arredondamentos, sendo plenamente desprezada )
Pode acontecer das prestações, nos casos dos financiamentos, não serem iguais. O exemplo abaixo irá demonstrar o fato:
Exemplo:
Sévio resolver adquirir uma motocicleta, cujo valor à vista é $ 5.000,00. A concessionária possibilita a compra através de financiamento, em 3 (três) parcelas, mensais e sucessivas, a primeira vencendo um mês após a compra, sem entrada, nas seguintes condições: a segunda parcela será o dobro a primeira, e a terceira parcela será o triplo da primeira. Considerando que a taxa de juros do financiamento é de 6 % am , qual será o valor das parcelas, nos vencimentos ?
o valor das parcelas no vencimento pode ser indicado por FV
 5.000,00 FV 2FV 3FV
 0 1 i=6 % am 2 3 m
colocando-se FV em evidência,
5.000 = FV ( 0,943 + 1,786 + 2,542 )
5.000 = 5,271 FV
FV = 948,59
o valor encontrado refere-se a FV, ou seja, o valor da primeira prestação. O cálculo das demais será através da proporção indicada:
2ª parcela = 2 FV ( 2 x 948,59 = 1.897,18
3ª parcela = 3 FV ( 3 x 948,59 = 2.845,77
Desta forma, o financiamento será nas seguintes condições:
	
	1ª parcela
	$ 948,59
	2ª parcela
	$ 1.897,18
	3ª parcela
	$ 2.845,77
Observe que nos exercícios envolvendo VALOR ATUAL e VALOR NOMINAL, a soma dos valores nominais na data zero ( descapitalizados ) deverá ser igual ao valor atual na data zero.
DESCONTOS
Quando se faz uma operação financeira, normalmente recebe-se um documento, comprovando o crédito ( no caso de investimentos ) ou o débito ( no caso de compras a prazo ). Entretanto, como foi visto, ao investidor ou ao devedor é facultada a possibilidade de efetuar o resgate ou realizar o pagamento antes da data do vencimento.
Viu-se que um título no vencimento possui VALOR NOMINAL ( FV ) e que seu valor antes do vencimento será caracterizado por um VALOR ATUAL ( PV ), sendo o caso extremo o valor atual na data zero..
Quando se efetua o resgate de um título antes do vencimento, o resultado será inferior ao valor registrado como Valor Nominal.
A diferença entre o valor nominal e o valor pago no ato do resgate ( antecipado ), é denominado de DESCONTO, e o valor efetivamente pago denominado de VALOR DESCONTADO. A operação de resgatar um título antes do vencimento é denominada de desconto do título.
O cálculo do desconto é feito segundo dois critérios:
DESCONTO RACIONAL ou “por dentro”;
DESCONTO COMERCIAL ou “por fora”
DESCONTO RACIONAL ou “por dentro” 
É o resultado da diferença entre o valor nominal (FV) e o valor atual (PV) de um compromisso, saldado n períodos antes do seu vencimento.
Será utilizada a seguinte simbologia:
FV – valor nominal ou montante
PVr – valor atual ou valor descontado racional
n – número de períodos antes do vencimento ( prazo de antecipação )
ir – taxa de desconto racional
Dr – valor do desconto racional
Viu-se que:
De maneira análoga:
Pela própria definição: Dr = FV - PVr	
Então: 
Onde,
que é a equação geral para determinação do valor do desconto racional simples.
De maneira semelhante, considerando-se que PVr = N – Dr, chega-se a:
que é a equação geral para determinação do valor descontado racional simples.
( observe que o valor descontado racional é o próprio valor atual )
Exemplo: 
Uma pessoa possui uma dívida, representada por uma nota promissória, no valor de $ 3.000,00 e pretende quita-la 3 (três) meses antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5 % am , qual o desconto que obterá e quanto irá pagar na quitação de sua dívida ?
( observe que não há a necessidade de indicar a data da origem do débito )
 PVr 3.000,00
		
 
 n = 3 meses
 ir = 5 % am 
cálculo do DESCONTO ( Dr )
	FV
	N
	ir
	Dr
	3.000,00
	3 meses
	5 % am
( 0,05 am
	?
	
 Dr = $ 391,30
Cálculo do valor descontado (PVr)
O valor descontado pode ser cálculo utilizando-se diretamente a definição do desconto reacional simples:
	Dr = FV – PVr , logo PVr = FV – Dr
Então : PVr = 3.000,00 – 391,30 ( PVr = 2.608,70
Ou então, utilizando-se a equação geral para determinação do valor descontado racional:
	FV
	ir
	n
	PVr
	3.000,00
	5 % am
( 0,05 am
	3 meses
	?
PVr = $ 2.608,70
DESCONTO COMERCIAL ou “por fora”
O DESCONTO COMERCIAL simples é o valor que que se encontra incidindo a taxa de desconto, durante o prazo de antecipação, sobre o valor nominal do título.
Desta forma, pode-se verificar que o conceito de DESCONTO COMERCIAL simples é análogo ao de juros simples.
Dc = FV x ic x n
Onde:
Dc = desconto comercial
FV = valor nominal do título no vencimento
n = prazo de antecipação
ic = taxa de desconto comercial
A expressão para determinação do VALOR DESCONTADO COMERCIAL é obtida utilizando o conceito básico de que o valor descontado é igual ao valor nominal menos o desconto. Desta forma, tem-se que:
PVc = FV – Dc
PVc = FV – FV ic n
PVc = FV ( 1 – ic n )
O valor descontado comercial também pode ser denominado de valor atual comercial.
Exemplo:
Uma pessoa possui uma dívida, representada por uma nota promissória, no valor de $ 3.000,00 e pretende quita-la 3 (três) meses antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5 % am , qual o desconto que obterá e quanto irá pagar na quitação de sua dívida, se for adotado o critério do desconto comercial simples ?
( observe que não há a necessidade de indicar a data da origem do débito )
inicialmente, calcula-se o valor do Desconto Comercial (Dc)
	FV
	n
	ic
	Dc
	3.000,00
	3m
	5 % am
( 0,05 % am
	?
Dc = FV x ic x n
Dc = 3.000,00 x 0,05 x 3
Dc = $ 450,00
Cálculo do Valor Descontado Comercial ( PVc )
	FV
	n
	ic
	PVc
	3.000,00
	3m
	5 % am
( 0,05 % am
	?
PVc = FV ( 1 – ic n )
PVc = 3.000,00 ( 1 – 0,05 x 3 )
PVc = 3.000,00 ( 1 – 0,15 )
PVc = $ 2.550,00
O valor descontado comercial poderia ser calculado utilizando o próprio conceito, onde o valor descontado é igual ao valor nominal menos o desconto.
Desta forma, ter-se-ia:
PVc = FV – Dc
PVc = 3.000,00 – 450,00
PVc = $ 2.550,00
Observe que o valor do desconto comercial é superior ao valor do desconto racional.
No critério do desconto racional, aplicando a taxa de desconto no valor descontado racional, durante o prazo de antecipação, encontra-se o valor do desconto racional. Considerando o exemplo:
	FV
	n
	I
	3.000,00
	3m
	5 % am
( 0,05 % am
No critério do desconto racional, verificou-se que:
PVr = $ 2.608,70 , e que Dr = $ 391,30
O valor do desconto será, na realidade, o juros simples auferido pelo valor descontado racional, fazendo-se incidir sobre ele a taxa de desconto racional, durante o período de antecipação:
Dr= PVr x ir x n 
Dr = 2.608,70 x 0,05 x 3
Dr = 391,31
Entretanto, no critério do desconto comercial, tal circunstância não é evidenciada. Desta forma, é necessário que se estabeleça uma relação entre uma taxa de juros simples e a taxa de desconto comercial.
A relação pode ser indicada por:
Onde: 
i = taxa de juros simples
ic = taxa de desconto comercial
n = prazo de antecipação
Ou que:
Utilizando o exemplo, pode-se verificar qual seria a taxa de juros simples para fazer com que o resultado da aplicação do valor descontado comercial gerasse o valor nominal do título.
	FV
	n
	ic
	PVc
	Dc
	3.000,00
	3 m
	5 % am
( 0,05 am
	2.550,00
	450,00
i = 0,0588 am ou 5,88 % am
Verificando:
J = Pin
J = 2.550,00 x 0,0588 x 3
J = 449,82
a diferença encontrada é em razão de arredondamento, pois o valor da taxa seria de 0,05882353 am ( para critérios práticos, pode-se efetuar o arredondamento para três casas decimais, estando-se ciente de que haverá a existência de diferença final )
Então, conclui-se que seria necessária uma taxa de juros para investimento de 5,88 % am para que fosse indiferente ao comprador antecipar o pagamento de seu título, considerando uma taxa de desconto comercial de 5 % am .
A taxa de 5,88 % am é a taxa efetiva ( if ) para o desconto comercial e pode, também, ser determinada sem a necessidade de verificar-se qual foi a taxa de desconto utilizada.
	FV
	n
	PVc
	Dc
	3.000,00
	3 m
	2.550,00
	450,00
			 if = 0,0588 am ou 5,88 % am
�
O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Conforme já foi visto, no regime de capitalização composta, os juros gerados em cada período se agregam ao montante do período anterior, passando este resultado a ser o novo montante, que produzirá juros no período seguinte.
A equação geral para determinação do montante, pelo critério do regime de capitalização composta foi indicada como:
Entretanto, o montante pode ser interpretado como sendo o valor futuro de um capital ( valor presente ), sobre o qual incide uma taxa de juros, durante determinado período de tempo.
Desta forma, pode-se expressar a equação para determinação do montante, pelo regime de capitalização composta como:
Assim como no regime de capitalização simples, os seguintes cuidados devem ser tomados:
a taxa de juros , que normalmente é indicada através da notação percentual ( % ), deve ser transformada para taxa unitária, ou seja, deve-se dividir a taxa percentual por 100, mantendo-se, entretanto, o período da taxa.
O prazo e a taxa devem estar no mesmo período de tempo. ( será visto adiante o critério para determinação da taxa equivalente, no regime de capitalização composta .)
No transcorrer do capítulo de REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, serão apresentados dois critérios para resolução dos exercícios:
utilizando o processo algébrico;
utilizando a máquina de calcular HP-12C.
Exemplo:
Qual será o valor do resgate de um investimento de $ 2.000,00, após 5 meses, considerando uma taxa de juros de 3,5 % am ?
resolução algébrica
 
	PV
	i
	n
	FV
	2.000,00
	3,5 % am
( 0,035 am
	5 m
	?
 FV = 2.000,00 x 1,188
 FV = $ 2.375,37
o valor do resgate será de $ 2.375,37.
utilizando a HP-12C
	PV
	
	i
	
	n
	
	PMT
	
	FV
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-2.000,00
	
	3,5
	
	5
	
	0,00
	
		2.375,37
	O esquema utilizado para demonstrar a resolução através da HP-12C seguirá os seguintes passos:
na parte superior, em negrito, estarão as teclas referentes aos parâmetros que deverão ser pressionadas;
na parte inferior, estarão os valores de cada um dos parâmetros;
deve-se seguir a ordem, inicialmente digitando os valores, em seguida pressionando a tecla correspondente;
o parâmetro PMT, não participa, por enquanto da solução dos problemas, porém deve ter seu valor igual a zero;
a última tecla que deve ser pressionada estará indicada na célula em azul, e terá o resultado indicado na célula em amarelo ( é o valor que deverá aparecer no visor da máquina após o processamento), após ser pressionada a tecla correspondente.
	O procedimento a ser seguido, passo a passo é o seguinte:
	
	Digitar
	Visor
	Significado
	f CLX
	0.00
	Zera as memórias
	f 2
	0.00
	Mantém o visor com 2 dígitos
	2000.00 CHS PV
	- 2,000.00
	Armazena o valor presente
	5 n
	5.00
	Armazena o número de períodos
	3.5 i
	3.50
	Armazena a taxa
	0 PMT
	0.00
	Torna o parâmetro PMT ( payment ) igual a zero
	FV
	2,375.37
	Cálculo do valor futuro
Exemplo: 
Se um investidor desejar efetuar um resgate no valor de $ 1.000,00 após 12 meses, considerando uma taxa de juros de 1 % am, quanto deverá aplicar hoje, considerando o regime de capitalização composta ?
resolução algébrica
	FV
	n
	i
	PV
	1.000,00
	12 m
	1 % am
( 0,01 am
	?
então, 
PV = $ 887,45
utilizando a HP-12C
	FV
	
	I
	
	n
	
	PMT
	
	PV
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-1.000,00
	
	1,0
	
	12
	
	0,00
	
		887,45
Exemplo:
Durante quanto tempo um investidor deve manter um capital de $ 3.000,00 aplicado a uma taxa de 5 % am, para obter um resgate de $ 3.828,84 ?
para a resolução deste exercício, pelo processo algébrico, será necessário o conhecimento prévio de logarítmos 
	
	Utilizando as propriedades fundamentais de logaritmos, tem-se que : 
	
	PV
	I
	FV
	n
	3.000,00
	5 % am
( 0,05 am
	3.828,84
	?
	
	
	
n = 5,048 m ou
( na maioria das máquinas de calcular, para a determinação do logaritmo, procede-se da seguinte maneira:
digita-se o número ( por exemplo 3000,00 )
pressiona-se a tecla LOG
(sugestão, utilize a calculadora do Microsoft Windows, em acessórios)
b) utilizando a HP-12C
	PV
	
	i
	
	FV
	
	PMT
	
	n
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-3.000,00
	
	5,00
	
	3.828,84
	
	0,00
	
		5,00
Como a taxa foi indicada em meses, o prazo estará também em mês.
Exemplo:
A que taxa de juros mensal deve ser aplicado um capital de $ 1.000,00, para que após 3 meses, seja possível efetuar um resgate de $ 1.076,89 ?
	
	Utilizando as propriedades fundamentais de logaritmos, tem-se que : 
	
	
	
	
	PV
	n
	FV
	i
	1.000,00
	3 meses
	1.076,89
	?
	
	
	
	i = 0,0249 i ( 0,025 am ou i = 2,5 % am
como o prazo foi indicado em meses, a taxa deverá estar em mês.
	b) utilizando a HP-12C
	PV
	
	n
	
	FV
	
	PMT
	
	i
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-1.000,00
	
	3
	
	1.076,89
	
	0,00
	
		2.50
TAXAS DE JUROS
Os conceitos de taxas de juros e suas diversas denominações, são de vital importância nos estudos da Matemática Financeira, em especial quando se evidencia o regime de capitalização composta. 
Taxa de juros pode ser considerada como “a maestrina da sinfônica Matemática Financeira”.
O estudante, o pequeno investidor, a pessoa que vai realizar uma compra a prazo, ao lerem contratos ou enunciados, defrontam-se com diversas terminologias, tais como: taxa nominal, taxa efetiva, taxa equivalente, taxa bruta, taxa líquida, taxa real, taxa real líquida, taxa prefixada, taxa pós-fixada, etc. Uma verdadeira “sopa de letrinhas”.
	
Taxas de Juros
	Variáveis
	
	
	
	
	
	
Fixas
	Prefixadas
	
	
	
	
	
	Pós-fixadas
A taxa de juros variável, conforme a própria interpretação do termo, sofre variações conforme o comportamento do mercado. São exemplos:
a taxa do CDI ( Certificado de Depósito Interbancário). É a taxa de juros média que os bancos praticam para emprestar a outros bancos. Varia diariamente.
A TJLP ( Taxa de Juros de Longo Prazo ), é utilizada pelo Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES), nos financiamentos. Varia trimestralmente.
A taxa de juros prefixada é aquelaque se contrata no início do negócio. Desde o início já se sabe qual será a taxa que incidirá sobre a transação, durante todo o período.
A taxa de juros pós-fixada é aquela que só se tem conhecimento no final do período estipulado na transação. Normalmente está associada às variações da taxa referencial (TR) ou das flutuações do câmbio. Por exemplo, um contrato por estipular que a taxa incidente será de 5 % am mais a variação cambial ( do dólar americano ) no período. Neste caso, somente após transcorrido o prazo poderá se determinar o valor da taxa, após a constatação da variação cambial. 
	
Taxa de Juros
	Nominal
	
Nominal
	Bruta
	
	
Efetiva
	
	
	
	
	
	Líquida
	
	
	
	
	
	
	
Real
	Bruta
	
	
	
	
	
	
	
	Líquida
 
A melhor forma de se entender o que vem a ser Taxa de Juros Nominal e Taxa de Juros Efetiva é através de um exemplo.
Exemplo: 
Um Banco indica, em uma operação de financiamento, que fará incidir sobre o valor, uma taxa de juros de 24 % ao ano capitalizada mensalmente.
a taxa de 24 % aa é a TAXA NOMINAL da operação;
entretanto, a capitalização será mensal, devendo-se então, determinar qual será a taxa efetiva da operação.
		Durante 1 ano, ocorrerão12 (doze) capitalizações. Para a determinação da TAXA EFETIVA, basta que se divida a TAXA NOMINAL pelo número de capitalizações. A taxa efetiva será indicada com o prazo da capitalização.
 No exemplo:
	Sendo:
	
	in = taxa de juros nominal
	if = taxa de juros efetiva
	n = número de capitalizações
	Tem-se que:
	Então:
	
if = 2 % am
Cabe lembrar que se está verificando o regime de capitalização composta, logo o fator de atualização de capital ( ou fator de acumulação de capital ) será indicado por
( 1 + i )n
Desta forma, se o valor da transação for de $ 10.000,00, considerando uma taxa de juros nominal de 24 % aa, capitalizada mensalmente, com pagamento para 1 ano, o valor a ser pago será:
	PV
	In
	If
	n
	FV
	10.000,00
	24 % aacm
	2 % am
( 0,02 am
	1 ano
( 12 meses
	?
FV = PV ( 1 + if )n
FV = 10.000 ( 1+ 0,02 )12
FV = $ 12.682,42
Quando se verifica a adoção da nomenclatura de TAXA NOMINAL, deve-se efetuar a transformação desta para TAXA EFETIVA ( aquela que realmente incidirá sobre o capital ), e verificar-se qual será o resultado final após o período de capitalização.
Considerando que seja indicada uma taxa de juros nominal de 24 % aa, com capitalizações anual, semestral, trimestral, mensal e diária ( considerando o ano comercial ), para um período de 1 ano.
O quadro abaixo indica a variação da taxa efetiva em cada uma das situações:
	Taxa de Juros Nominal
	Período de Capitalização
	Número de períodos no ano
	Taxa efetiva
	24 % aa
	Anual
	1
	24,00 % aa
	24 % aa
	Semestral
	2
	25,44 % aa
	24 % aa
	Trimestral
	4
	26,25 % aa
	24 % aa
	Mensal
	12
	26,82 % aa
	24 % aa
	diária
	360
	27,11 % aa
TAXA EFETIVA NOMINAL e TAXA EFETIVA REAL
Para o perfeito entendimento dos conceitos de TAXA EFETIVA NOMINAL e de TAXA EFETIVA REAL, é mais vantajoso a análise de um exemplo.
Exemplo: 
Um investimento com valor inicial de $ 40.000,00, após um ano, proporcionou o resgate de $ 48.000,00. No mesmo período a taxa de inflação foi de 15 %. Determinar: 
a taxa de juros efetiva nominal
a taxa de juros efetiva real.
Se:
FV = 48.000,00
PV = 40.000,00, então , J = 8.000,00 ( J = FV – PV ) ou ( J = S – P )
Como o período foi de um ano, n = 1, então
J = Pi, então 
i = 0,20 aa ou 20 % aa
A taxa determinada será a TAXA EFETIVA NOMINAL.
Entretanto, houve uma inflação de 15 %, durante o período do investimento. Desta forma, o valor final tem embutido a correção da inflação ( taxa pura de juros ) mais a cobertura pelo risco. Desta forma, os 15 % da inflação devem ser subtraídos do resgate, para se determinar qual foi o ganho real do investimento.
Sendo:
PV = 40.000,00
i (inflação ) = 15 %
n = 1 ano	
FV = 40.000 ( 1 + 0,15 )1
FV = 46.000,00
Logo, J = 46.000,00 – 40.000,00 J = 6.000,00
O valor de $ 6.000,00 correspondente à correção do capital investido, pelo índice da inflação.
O valor total dos juros auferidos no investimento foi de $ 8.000,00, logo, o juro real foi de $ 2.000,00, ou seja o rendimento acima da inflação.
Considerando:
Jr = juro real
Pva = capital corrigido pela índice da inflação
ifr = taxa efetiva real
ifr = 0,0435 aa ou 4,35 % aa
Este foi o ganho real do investimento, ou seja o quanto o investimento suplantou a inflação.
Pode-se determinar a taxa de juros efetiva real de forma direta, utilizando-se a seguinte equação:
in = taxa de juros nominal
iinf = taxa de inflação
ifr = taxa de juros real
Utilizando os dados do exemplo:
in = 20 % aa
iinf = 15 % aa
ifr = ? % aa
ifr = 4,35 % aa
TAXA DE JUROS BRUTA e TAXA DE JUROS LÍQUIDA
Na maior parte dos investimentos o valor do rendimento sofre a incidência de tributação, em especial do Imposto sobre a Renda. Desta forma, o valor bruto sofre uma redução. Surgem, então, dois valores distintos: um antes da incidência do tributo, denominado valor bruto, outro após a dedução do tributo, denominado de valor líquido. A taxa representativa do valor bruto é denominada de TAXA DE JUROS BRUTA, e a representativa do valor líquido é denominada de TAXA DE JUROS LÍQUIDA.
Exemplo:
Um investimento no valor de $ 20.000,00, em um prazo de 1 mês, proporcionou um rendimento bruto de $ 1.000,00, sendo retidos pelo banco $ 400,00, a título de Imposto sobre a Renda. Determinar a taxa de juros bruta e a taxa de juros líquida do investimento.
PV = 20.000,00
Jb = 1.000,00 ( juro bruto )
IR = 400,00
O juro líquido ( Jl ) será o valor do juro bruto menos o Imposto sobre a Renda, logo o juro líquido será de 1.000,00 – 400,00 = 600,00
Taxa bruta = 5 % am
Taxa Líquida = 3 % am
TAXA EQUIVALENTE
O conceito de taxa equivalente no regime de capitalização composta é semelhante ao visto no regime de juros simples.
Diz-se que duas taxas são equivalentes se, aplicadas em um mesmo capital (PV), durante um mesmo intervalo de tempo, produzam montantes (FV) iguais. Normalmente os intervalos de tempo considerados serão múltiplos entre si.
Considerando:
PV = valor presente ( capital )
FV = valor futuro ( montante )
i = taxa de juros original
iq = taxa de juros equivalente
n = prazo original
nq = prazo equivalente ( ou proporcional )
Então, pela definição, tem-se que:
FV ( 1+iq )nq = FV ( 1 + i ) n 
Como os capitais são iguais,
entretanto, nq e n são múltiplos, logo, pode-se considerar n = 1,
então,
	através de princípios algébricos, pode-se afirmar que:	
que é a equação geral para determinação da taxa equivalente no regime de juros compostos.
Entretanto, o conceito pode ser mais facilmente entendido, se forem verificadas duas situações distintas:
a taxa original (i) pode estar sendo indicada com um período maior do que a desejada na taxa equivalente ( iq). Neste caso, tem-se uma relação do maior para o menor.
Então, denominando-se a taxa do período maior de ima , e a taxa do período menor de ime, pode-se afirmar que:
ima = ( 1 + ime)n - 1
Exemplo: 
Considerando uma taxa de juros de 5 % am , qual será a taxa equivalente anual, no regime de capitalização composta ?
	ime = 5 % am ( 0,05 am
	n = 1 ano ( 12 meses
	ima = ? % aa
ima = ( 1 + ime)n – 1
ima = ( 1 + 0,05 ) 12 – 1 
ima = 1,7959 – 1
ima = 0,7959 aa ou 79,59 % aa
	
a taxa original (i) pode estar sendo indicada com um período menor do que a desejada na taxa equivalente ( iq). Neste caso, tem-se uma relação da menor para o maior.
Então,denominando-se a taxa do período maior de ima , e a taxa do período menor de ime, pode-se afirmar que:
Exemplo:
 Considerando uma taxa de juros de 26,82 % aa, qual será a taxa equivalente mensal, no regime de capitalização composta ?
	ima = 26,82 % aa ( 0,2682 aa
	n = 1 ano ( 12 meses
	ime = ? % am
	
	
ime = 1,02 – 1
ime = 0,02 am ou 2 % am
VALOR ATUAL e VALOR NOMINAL
O conceito de VALOR ATUAL e de VALOR NOMINAL, no regime de capitalização composta é similar ao visto no regime de capitalização simples, alterando somente a metodologia.
Por VALOR NOMINAL ( FV ), denomina-se o valor de uma aplicação, investimento, título, no vencimento. Lógico que subentende-se a existência de uma taxa de juros e de um prazo.
Por VALOR ATUAL ( PV ), denomina-se o valor de uma aplicação, investimento, título, antes da data do vencimento. O caso extremo de PV é o valor na data focal zero, ou seja, a data inicial.
Considerando o regime de capitalização composta, pode-se indicar que:
Logo,
Obs:
no cálculo do valor nominal (FV), n refere-se ao prazo total da operação; no caso do cálculo do valor atual (PV ), n refere-se ao prazo de antecipação;
o prazo e a taxa devem estar indicado no mesmo período;
a taxa, para o cálculo deve ser transformada em taxa unitária ( salvo quando da utilização da HP-12C ).
Exemplo:
 Gastaldo efetua uma compra, com valor à vista de $ 2.000,00. Considerando que optou por pagar a prazo, daqui a 2 meses, qual será o valor devido, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 6 % am ?
solução algébrica
	PV
	n
	i
	FV
	2.000,00
	2 m
	6 % am
( 0,06 am
	?
	
	
	 FV = $2.247,20
os conceitos de valor nominal e valor atual são, tratando-se de somente uma parcela, idênticos aos conceitos de valor presente e valor futuro.
utilizando a HP-12C
	PV
	
	n
	
	i
	
	PMT
	
	FV
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-2.000,00
	
	2
	
	6,00
	
	0,00
	
		2.247,20
	
Exemplo: 
Utilizando os dados e o resultado do exemplo anterior, qual será o valor que Gastaldo deverá pagar se efetuar o pagamento 15 dias antes do vencimento, e na época a taxa de juros de mercado for de 7 % am ?
solução algébrica
	FV
	n
	i
	PV
	2.247,20
	15 dias
( 0,5 m
	7 % am
( 0,07 am
	?
	
	
	
Logo, PV = $ 2.172,47
Antecipando o pagamento 15 dias, utilizando uma taxa de 7 % am, pagará $ 2.172,47.
utilizando a HP-12C
	FV
	
	n
	
	i
	
	PMT
	
	PV
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-2.247,20
	
	0,5
	
	7,00
	
	0,00
	
		2.172,45
( a diferença é em razão de arredondamento, sendo desprezível ).
Da mesma forma como foi demonstrado no regime de capitalização composta, um financiamento pode ser dividido em diversas parcelas, gerando, em cada um dos vencimentos, um valor que, descapitalizados e somados, serão iguais ao valor presente na data focal zero. Visando harmonizar os conceitos, os valores nos vencimentos serão representados por PMT ( payment ).
Onde estão sendo consideradas, para facilidade de compreensão, as seguintes condições:
os valores das parcelas são iguais ou, no máximo proporcionais;
inexiste o pagamento de parcelas intermediárias;
a taxa de juros é igual para todo o período de tempo considerado.
Exemplo:
 Juraldo comprou um automóvel, em 4 parcelas iguais, mensais, sem entrada, utilizando, no financiamento, uma taxa de juros de 7 % am . Sabendo-se que o valor à vista do automóvel era de $ 10.000,00, determinar o valor das parcelas, considerando que o primeiro pagamento somente ocorrerá 1 mês após a compra.
solução algébrica
	PV
	n
	i
	FV
	PMT
	10.000,00
	4
	7 % am
( 0,07 am
	0,00
	?
Obs: o valor de FV = 0 indica que não haverá saldo final
Colocando-se PMT em evidência e resolvendo os denominadores, tem-se que:
Então,
10.000,00 = PMT ( 0,9346 + 0,8734 + 0,8163 + 0,7629 )
10.000,00 = 3,3872 PMT
PMT = $ 2.952,29
pelo financiamento pagará 4 parcelas de $ 2.952,29.
Utilizando a HP-12C
	PV
	
	n
	
	i
	
	FV
	
	PMT
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	- 10.000,00
	
	4
	
	7,00
	
	0,00
	
		2.952,28
a diferença é em razão de arredondamento.
DESCONTO RACIONAL ou “por dentro” 
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é análogo ao conceito de desconto em capitalização simples. O que altera é a metodologia de cálculo.
O DESCONTO RACIONAL ou “por dentro” é a diferença entre o valor presente (PV) e o valor futuro (FV) de um título.
Sendo:
PV = valor presente de um título ( antes do vencimento ) ( valor atual )
FV = valor futuro de um título ( valor nominal )
ir = taxa de desconto racional
n = prazo de antecipação
Dr = desconto racional
Dr = FV – PV
Então
Exemplo: 
Um título no valor de $ 3.000,00, foi quitado 30 dias antes do vencimento, através de uma taxa de desconto racional de 5 % am . Determinar o valor do desconto (Dr) e o valor descontado racional ( PVr ) ( considerando o regime de capitalização composta ).
solução algébrica
	FV
	n
	i
	PVr
	Dr
	3.000,00
	30 dias
( 1 mês
	5 % am
( 0,05 am
	?
	?
	
	
	
	
	Dr = $ 142,86
	
	
	
	
	PV = $ 2.857,14
Conferindo: FV = PV + Dr
		 FV = 2.857,14 + 142,86 ( FV = $ 3.000,00
utilizando a HP-12C
para o cálculo utilizando a HP-12C, determina-se o valor presente ( valor descontado racional ) e em seguida, o valor do desconto, por subtração.
	FV
	
	n
	
	i
	
	PMT
	
	PV
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	- 3.000,00
	
	1
	
	5,00
	
	0,00
	
		2.857,14
	Determinado PV, efetua-se o cálculo de Dr:
Dr = FV – PV
Dr = 3.000,00 – 2.857,14
Dr = $ 142,86 
	
DESCONTO COMERCIAL ou “por fora” 
O conceito de DESCONTO COMERCIAL, no regime de capitalização composta, determina que este consiste na aplicação sucessiva do conceito de desconto comercial simples, ou seja, considerando um período n de antecipação ( n maior do que um ), efetua-se o desconto comercial simples no primeiro período e determina-se o valor descontado; sobre este valor descontado repete-se a operação, de maneira sucessiva, até o último instante. O resultado final é denominado de valor descontado comercial composto ( PVc) e a diferença obtida, em relação ao valor inicial, de desconto comercial composto ( Dc ).
Sintetizando o conceitos através de expressões, tem-se que:
	
Onde:
PVc = valor descontado comercial
FV = valor nominal ou valor futuro
Dc = desconto comercial
n = prazo de antecipação
ic = taxa de desconto comercial
Exemplo:
 Um título com valor de $ 5.000,00, no vencimento, é descontado 45 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 6 % am. Determinar o valor do desconto e o valor descontado comercial.
solução algébrica 
	FV
	n
	i
	PVc
	Dc
	5.000,00
	45 dias
( 1,5 meses
	6 % am
( 0,06 am
	?
	?
	PVc = FV ( 1-ic )n
	PVc = 5.000,00 ( 1 – 0,06 )1,5
	
	
	PVc = 5.000,00 x 0,9114
	PVc = $ 4.557,00
	
	
	
	
	Dc = FV [1 – (1 – ic )n ]
	Dc = 5.000,00 [ 1 – (1 – 0,06) 1,5 ]
	
	
	Dc = 5.000,00 [ 1 – (0,94)1,5 ]
	Dc = 5.000,00 [ 1 – 0,9114 ]
	
	
	Dc = $ 443,00
Efetuando a conferência:
FV = PVc + Dc
FV = 4.557,00 + 443,00
FV = 5.000,00
�
MATEMÁTICA FINANCEIRA (Parte II)
Conjuntos de Capitais Equivalentes.
A Matemática Financeira foi desenvolvida a partir do princípio financeiro de valor do dinheiro no tempo. Para apresentar este princípio, vamos considerar as seguintes alternativas:
podemos dispor de $ 100.000,00 hoje, ou
temos a receber $ 100.000,00, daqui a um ano.
A escolha racional será a alternativa A, porque podemos, por exemplo, aplicar este dinheiro a 10 % ao ano e daqui a um ano teremos $ 110.000,00.Portanto, $ 100.000,00, hoje, valem mais que $ 100.000,00 daqui a um ano.
Para entendermos com mais profundidade o princípio financeiro de valor do dinheiro no tempo, analisemos outra situação.
Temos $ 100.000,00 hoje e, além disso, temos a receber $ 100.000,00 daqui a um ano. No raciocínio contábil, podemos dizer que nosso patrimônio, nossa riqueza, é de $ 200.000,00. O raciocínio financeiro é diferente. Para medirmos nossa riqueza, temos duas alternativas:
	Alternativa A
	
	Consiste em medirmos nossa riqueza no
	VALOR FUTURO
	$ 100.000,00 x 1,10 ( 10 % de juros ao ano ) =
	$ 110.000,00
	Mais o valor que temos a receber daqui a um ano =
	$ 100.000,00
	Valor da nossa riqueza daqui a um ano =
	$ 210.000,00
	Alternativa B
	
	Consiste em medirmos nossa riqueza no
	VALOR PRESENTE
	O valor que temos disponível hoje =
	$ 100.000,00
	Mais o valor que vamos receber daqui a um ano
( $ 100.000,00 / 1,10 ) ( 10 % de juros ao ano ) =
	
$ 90.909,09
	Valor da nossa riqueza hoje
	$ 190.909,09
A implicação prática do princípio financeiro de valor do dinheiro no tempo é que, antes de efetuarmos qualquer cálculo financeiro, precisamos posicionar os valores a receber e a pagar em suas respectivas datas de recebimento e de pagamento.
Um aspecto de fundamental importância deve sempre enfocado:
	Somente é possível a análise de valores no tempo, se for adotada uma mesma data para análise ( data focal ). Devemos considerar que o princípio financeiro estará sempre condicionado a utilização de uma taxa de juros.
	Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. Também é chamada data de avaliação ou data de referência.
Nas operações de desconto, é freqüente a necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras. As vezes queremos substituir um título por outro ou por vários. Podemos também ter vários títulos que queremos substituir por um único ou por vários.
Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros.
Na prática, estas comparações são feitas utilizando-se o critério de juros compostos.
Exemplo:
Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de $ 15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disto, possui $ 20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2 % ao mês, durante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigentes no mercado, é de 2 % ao mês, pergunta-se:
Quanto possui hoje ?
Quanto possuirá daqui a um ano ?
Quanto possuirá daqui a dois anos ?
Para a resolução, vamos considerar que:
	X seja a quantia que possui na data zero ( hoje )
	Y seja a quantia que possuirá na data 12 meses ( daqui a um ano )
	Z seja a quantia que possuirá na data 24 meses ( daqui a dois anos ).
Temos então:
Hoje ( X )
X = 20.000,00 + 9.325,82
X = $ 29.325,82
Daqui a um ano ( na data 12 meses ) (Y)
Y = 25.364,84 + 11.827,40
Y = $ 37.192,24
Daqui a dois anos ( na data 24 meses ) (Z)
	
Z = 32.168,74 + 15.000,00
Z = $ 47.168,74
Desta forma, podemos afirmar que a pessoa possui hoje $ 29.325,82. Ela possuirá $ 37.192,24 daqui a um ano e $ 47.168,74 daqui a dois anos. 
EQUAÇÃO DE VALOR
A equação de valor permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada uma certa taxa de juros.
Em outras palavras,
	A equação de valor pode ser obtida igualando-se em uma data focal as somas dos valores atuais e/ou montantes dos compromissos que formam a alternativa em análise.
	
Exemplo: 
Consideremos o exemplo anterior. As expressões de primeiro grau em X, Y e Z são equações de valor.
Assim, o valor Y = 37.192,24, calculado na data focal 12, é composto de duas parcelas:
$ 25.364,84, que é o montante de $ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 2 % am. , e $ 11.827,40, que é o valor atual ou valor presente de $ 15.000,00 à taxa de juros compostos de 2 % am. 
O valor Z = 47.168,74 foi obtido através de uma equação de valor, com a qual passamos diretamente da data focal zero para a data 24.
Podemos pensar em uma nova equação de valor, em que usemos o valor Y = 37.192,24, referido à data focal 12 e, daí, passemos à data focal 24.
Nestas condições, temos:
Z’ = 47.168,74
Podemos concluir que, usando a taxa de juros compostos a que se referem as aplicações de capital, as equações de valor Z e Z’ dão resultados iguais. Logo, a solução deste problema de comparação de capitais no regime de juros compostos não depende da data focal considerada.
Lembre-se: esta propriedade não é válida para o regime de juros simples.
Uma das grandes vantagens do regime de juros compostos é nos permitir que uma comparação feita em uma data focal permaneça válida em qualquer outra data focal.
CAPITAIS EQUIVALENTES
Diz-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.
Seja um conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento:
	Capital
	Data de vencimento
	C1
	1
	C2
	2
	C3
	3
	...
	...
	Cn
			 n
A representação destes capitais no tempo é a seguinte:
 C1 C2 C3 ... Cn 
	
 
 0 1 2 3 n
Adotando-se uma taxa de juros i, estes capitais serão equivalentes na data focal zero, se:
Indicamos os valores por V, já que estes são valores atuais à taxa de juros i, na data focal zero.
Exemplo:
Consideremos os valores nominais seguintes:
	Capital ( $ )
	Datas de Vencimento ( anos )
	1.100,00
	1
	1.210,00
	2
	1.331,00
	3
	1.464,10
	4
	1.610,51
	5
Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10 % aa, verificar se os capitais são equivalentes:
na data focal zero;
na data focal 3.
Calculemos os valores atuais na data focal zero:
O que fizemos foi deslocar os capitais das suas datas de vencimento, para a data focal zero, conforme indica o fluxo abaixo:
 	
 
 C1 C2 C3 C4 C5	 
0 1 2 3 4 5 
	
Logo, podemos concluir que:
V1 = V2 = V3 = V4 = V5
Como os capitais são equivalentes a esta taxa de juros, isto quer dizer que o possuidor de dois ou mais destes capitais, ficará indiferente quanto aos valores nominais. Em outras palavras,
 a pessoa fica indiferente a possuir $ 1.100,00 em 1 ano ou $ 1.464,10 daqui a 4 anos, desde que a taxa de juros seja de 10 % aa. ( não deve ser levado em conta o custo de oportunidade ).
Calculemos os valores atuais na data focal 3
	
O que fizemos foi deslocar os capitais para a data focal 3, conforme indica o fluxo abaixo:
	
 	
 C1 C2 C3 C4 C5	 
	0 1 2 3 4 5 
Então, verificamos que:
V’1 = V’2 = V’3 = V’4 = V’5
Ou seja, os capitais dados, que se demonstrou serem equivalentes na data focal zero, também o são na data focal 3.
	Uma vez constatada a equivalência para uma certa data focal, a mesma permanecerá válida para qualquer outra data focal.
FLUXO DE CAIXA – Pagamento Único
A expressão pagamento único abrange os cálculos em que há somente um pagamento e um recebimento.Considere o seguinte exemplo:
	Uma empresa toma emprestados em uma instituição financeira $ 200.000,00, e irá devolvê-lo após três meses, tendo contratado uma taxa de juros de 4,0 % ao mês. Qual o valor que deverá pagar ao banco para quitar sua dívida ?
. Para a resolução deste tipo de problema, convém elaborarmos um diagrama do fluxo de caixa, que para o exemplo é o seguinte:
 PV = 200.000,00
 
 0 1 2 3
 FV = ?
por convenção, indicaremos com seta para cima os recebimentos, e com seta para baixo os pagamentos. Observe que não há pagamento ou recebimentos nas datas 1 e 2.
Logo, a empresa deverá pagar a importância de $ 224.972,80, para quitar sua dívida, na data do vencimento ( data 3 ).
Utilizando a HP-12C
	PV
	
	i
	
	n
	
	PMT
	
	FV
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	200.000,00
	
	4,0
	
	3
	
	0
	
	- 224.972,80
Observação:
Os cálculos financeiros que envolvem fluxos de caixa tipo pagamento único, quando utilizada a calculadora financeira ( HP-12C ), podem ser resumidos da seguinte forma: 
vamos estar trabalhando com quatro variáveis, a saber:
PV ( valor presente )
FV ( valor futuro )
n ( prazo )
i ( taxa de juros )
	Se conhecermos três das quatro variáveis, basta alimentar o programa com os dados das três variáveis e solicitar o cálculo da quarta variável, observando o seguinte:
( PV e FV – precisamos entrar com um valor positivo e outro negativo para que o programa “entenda” que um valor é recebimento e o outro é pagamento, caso contrário, o programa não consegue efetuar o cálculo, emitindo uma mensagem de erro ( error 5 )
( n e i – precisamos alimentar a calculadora com prazo e taxa de juros expressos na mesma unidade de tempo. Podemos fazer cálculos envolvendo prazos em dias e taxa diária;prazo em meses e taxa mensal; prazo em anos e taxa anual e assim por diante; mas não conseguiremos fazer um cálculo correto se alimentarmos o programa da calculadora com uma taxa anual e o prazo em meses, por exemplo. Se tivermos essa situação, devemos primeiro converter a taxa anual em mensal, utilizando o conceito de taxas equivalentes, para depois alimentarmos o programa da calculadora com prazo e taxa expressos em meses.
Exemplo:
Uma empresa toma emprestados em um banco $ 200.000,00. Para quitar o débito três meses após, a empresa irá pagar o montante de $ 224.972,80. Qual a taxa de juros praticada pelo banco ?
Utilizando a HP-12C
	PV
	
	FV
	
	n
	
	PMT
	
	i
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	CHS
-200.000,00
	
	224.972,80
	
	3
	
	0
	
	4,00
CHS – significa mudar de sinal ( change signal )
Descrevendo os passos necessários para o cálculo:
	Digitar
	Visor
	Significado
	f clear fin
	0,00
	Zera memória financeira
	f 2
	0,00
	Mantém o visor com 2 casas decimais
	200000 CHS PV
	- 200.000,00
	Armazena o valor presente
	224972,80 FV
	224.972,80
	Armazena o valor futuro
	3 n
	3,00
	Armazena o número de períodos
	i
	4,00
	Taxa de juros mensal calculada
A taxa deverá ser interpretada como sendo mensal, já que o período é indicado em meses.
FLUXO DE CAIXA TIPO UNIFORME
Em várias situações, poderá ser visualizada a condição na qual um investidor ou mesmo um devedor, efetue depósitos ou pagamento iguais, em intervalos de tempos iguais. Nestes casos, muitas vezes se faz necessário indicar qual o valor que será formado através do tempo, ou mesmo qual é o valor correspondente em uma determinada data.
Para simplificar, utilizaremos um exemplo:
Exemplo:
O Sr. Jacintus Prejus decidiu aplicar mensalmente $ 3.000,00, durante quatro meses, à taxa de juros de 3,0 % ao mês. A primeira aplicação será efetuada um mês após a decisão, que foi tomada no instante zero. Qual será o valor que o Sr. Jacintus Prejus terá no banco no instante quatro ?
neste caso, o que queremos determinar é o valor futuro da série de aplicações
Representaremos o valor da aplicação mensal de $ 3.000,00 por PMT ( payment, prestação, parcela ).
Desta forma, temos que:
PMT = $ 3.000,00
n = 3 ( onde n será o número de parcelas )
i = 3,0 % ao mês
FV = ?
Indicando o processo através de um fluxo de caixa, temos que:
 
 3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00 
 0 1 2 3 4
								FV = ?
O raciocínio é simples, basta que desloquemos os capitais de suas datas, para a data quatro. Cada um no valor de $ 3.000,00 representa uma parcela, na realidade é um valor presente.
Desta forma, podemos determinar três valores futuros:
Sabendo-se que 
Não haverá necessidade de calcular o valor futuro da última parcela, já que a data focal é a data do seu próprio encaixe.
Desta forma, o valor da última parcela será:
Então, o valor total será a soma dos valores futuros.
FV = 3.183,62 + 3.121,20 + 3.060,00 + 3.000,00
FV = $ 12.364,82, que será o saldo do Sr. Jacintus Prejus, na data quatro.
Esta metodologia pode ser útil quando estivermos tratando com poucas parcelas, porém será extremamente trabalhosa quando tivermos, por exemplo, 120 parcelas.
O que foi feito, pode ser representando da seguinte forma:
Utilizando princípios da álgebra, podemos obter a seguinte expressão:
Resolvendo o exemplo, utilizando diretamente a expressão, têm-se que:
Outro problema comum é a necessidade de determinarmos o valor presente de uma dívida, ou seja, quanto vale uma dívida composta por parcelas iguais, com vencimentos em prazos iguais, hoje.
Vejamos o exemplo:
O Sr. Feliz Devedor possui uma dívida representada por quatro notas promissórias de $ 6.000,00 cada uma, com vencimento para 1, 2, 3 e 4 meses. Deseja quitar integralmente sua dívida hoje, utilizando uma taxa de juros de 5 % ao mês. Qual o valor que deverá pagar ?
O que se verifica é a necessidade de determinarmos o valor presente ( PV ) da dívida.
Para uma melhor visualização, vamos indicar a dívida através de um fluxo de caixa e a 
indicação da determinação do valor presente.
 6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00
 PV
 0 1 2 3 4
Procedendo o cálculo do valor atual de cada uma das parcelas ( PMT ), teremos:
quando determinamos o valor presente (PV), n indica o prazo de antecipação
 
Logo, o valor atual (PV) da dívida será o somatório dos valores presentes de cada uma das parcelas:
PV = 5.714,29 + 5.442,18 + 5.183,03 + 4.936,21
PV = $ 21.275,71	
Então, para quitar integralmente sua dívida, o Sr. Feliz Devedor deverá desembolsar $ 21.275,71.
O que foi feito, pode ser representado pela seguinte expressão:
Utilizando processos algébricos, podemos reduzir a expressão para:
Utilizando diretamente a expressão, teremos:
PMT = 6.000,00
n = 4
i = 5 % ao mês
PV = ?
PV = $ 21.275,70
O exemplo pode, também, ser resolvido através da utilização da calculadora HP-12C
	PMT
	
	n
	
	i
	
	FV
	
	PV
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	G END
6.000,00
	
	4
	
	5,00
	
	0
	
	- 21.275,71
- o valor de PV será negativo, indicando uma saída de caixa.
G END – coloca a calculadora no modo de pagamentos postecipados
Descrevendo os passos necessários para o cálculo:
	Digitar
	Visor
	Significado
	f clear fin
	0,00
	Zera memória financeira
	f 2
	0,00
	Mantém o visor com 2 casas decimais
	g END
	0.00Coloca a calculadora no modo pagamentos postecipados
	6000 PMT
	6.000,00
	Armazena o valor da parcela
	4 n
	4,00
	Armazena o número de parcelas
	5 i
	5,00
	Armazena a taxa de juros
	PV
	-21.275,70
	Calcula o valor presente
A expressão pagamento postecipado significa que o pagamento somente será exigível no fim de cada período.
A expressão pagamento antecipado significa que o pagamento será exigível no início de cada período.
Normalmente as prestações são postecipadas, ou seja verifica-se que somente após decorrido o período contratado há a exigência do cumprimento da obrigação. É o caso dos alugueres, das prestações de financiamento.
Um caso clássico de obrigação antecipada é o pagamento de parcelas de seguro. Inicia-se o pagamento, para daí começar a correr o prazo da cobertura.
A interpretação que pode ser diretamente associada aos pagamentos antecipados, é a existência de entrada.
Vamos verificar como os termos interferem nos valores calculados, utilizando diretamente a calculadora HP-12C.
Exemplo:
Um objeto é vendido, a vista, por $ 350,00, ou em quatro prestações iguais. A taxa de juros utilizada pela loja é de 5 % ao mês. Determinar o valor das prestações:
se os pagamentos forem postecipados ( 0 + 4 ), e
se os pagamentos forem antecipados ( 1+ 3 )
Temos:
PV = 350,00
n= 4
i= 5 % ao mês
Logo, utilizando a HP-12 C, teremos:
	Digitar
	Visor
	Significado
	f clear fin
	0,00
	Zera memória financeira
	f 2
	0,00
	Mantém o visor com 2 casas decimais
	g END
	0.00
	Coloca a calculadora no modo pagamentos postecipados
	350 CHS PV
	-350,00
	Armazena o valor presente
	4 n
	4,00
	Armazena o número de parcelas
	5 i
	5,00
	Armazena a taxa de juros
	PMT
	98,70
	Calcula o valor das prestações postecipadas
	g BEG
	begin
	Coloca a calculadora no modo pagamentos antecipados
	PMT
	94,00
	Calcula o valor das prestações antecipadas
Visualizando o processo através de fluxos de caixa, teremos:
- pagamento postecipado
 98,70 98,70 98,70 98,70
 0 1 2 3 4
Para a determinação dos valores no modo antecipado, o pagamento das parcelas ocorrerá um mês antes, a partir da data zero, logo haverá o desconto da taxa de juros durante um período, em cada uma das parcelas.
 98,70 98,70 98,70 98,70
 0 1 2 3 4
Como os intervalos são iguais ( um mês ) e os valores das parcelas também são iguais, basta que se calcule um dos valores:
Logo, se houver o pagamento antecipado, o fluxo de caixa assumirá a seguinte forma:
 94,00 94,00 94,00 94,00
 0 1 2 3
 350,00
DETERMINAÇÃO DA TAXA DE JUROS NA SÉRIE UNIFORME
É comum nos defrontarmos com anúncios de lojas, da seguinte forma:
Preço a Vista = $ 1.000,00
ou
5 parcelas mensais iguais de $ 219,98
E, aí, surge a pergunta: Qual a taxa de juros praticada pela loja ?
Bem, vamos verificar os elementos que possuímos:
PV = 1.000,00
PMT = 230,97
n = 5
- se não houver entrada, estaremos diante de uma série postecipada, logo o fluxo será:
 230,97 230,97 230,97 230,97 230,97
 0 1 2 3 4 5
 1.000,00
Neste caso, o valor do produto a vista estará sendo totalmente financiado.
Então, utilizando a HP-12 C, podemos facilmente determinar a taxa de juros utilizada pela loja:
	PMT
	
	n
	
	PV
	
	FV
	
	i
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	G END
230,97
	
	5
	
	CHS
- 1.000,00
	
	0
	
	5,00
Então, neste caso, estará sendo utilizada uma taxa de juros de 5 % ao mês.
- Entretanto, se uma das parcelas for considerada como sendo entrada, passaremos a ter um novo fluxo: ( parcelas antecipadas )
 230,97 230,97 230,97 230,97 230,97
 0 1 2 3 4
 1.000,00
Então, o valor financiado passa a ser:
PV = 1.000,00 – 230,97
PV = 769,03
Para o cálculo da taxa de juros, passaremos a utilizar os seguintes dados:
PV = 769,03
n = 4
PMT = 230,97
	PMT
	
	n
	
	PV
	
	FV
	
	i
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	G END
230,97
	
	4
	
	CHS
- 769,03
	
	0
	
	7,76
Desta forma a taxa de juros utilizada no financiamento passa a ser de 7,76 % ao mês.
Uma outra forma de determinarmos o valor da taxa, através da calculadora HP-12C será adotando o modo “begin” 
Temos:
PV = 1.000,00
PMT = 230,97
n = 5 ( antecipadas ) – o que equivale dizer ( 1 + 4 )
i = ?
	PMT
	
	n
	
	PV
	
	FV
	
	i
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	g BEG
230,97
	
	5
	
	CHS
- 1.000,00
	
	0
	
	7,76
Vamos analisar um outro caso:
Um produto é vendido a vista por $ 900,00, em três parcelas iguais e mensais, postecipadas, de $ 336,70. Qual será o preço real do produto a prazo ?
Um erro comum é efetuar o somatório das parcelas para a determinação do preço final do produto. No caso, o erro nos levaria a determinar que o produto estaria sendo vendido por $ 1.010,10.
Entretanto, temos que, inicialmente, determinar qual a taxa de juros que está sendo praticada.
Temos:
PV = 900,00
n = 3
PMT = 336,70
i = ?
Utilizando a HP-12 C, teremos:
	PMT
	
	n
	
	PV
	
	FV
	
	i
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	G END
336,70
	
	3
	
	CHS
- 900,00
	
	0
	
	6,00
Desta forma, verificamos que a taxa de juros utilizada é de 6 % ao mês.
Então, o fluxo de caixa será:
 336,70 336,70 336,70 
 0 1 2 3
 900,00
Ora, o que precisamos determinar é o valor total do produto, no momento do pagamento a última parcela ( data 3 ). É importante lembrarmos que a taxa de juros deverá ser considerada, para a atualização dos valores.. Desta forma, o que iremos determinar é o valor futuro ( FV ) das parcelas, na data focal 3, conforme indicado no fluxo abaixo:
 FV= ?
 336,70 336,70 336,70 
 0 1 2 3
 900,00
Utilizando a HP-12 C, teremos:
	PMT
	
	n
	
	PV
	
	I
	
	FV
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	G END
336,70
	
	3
	
	0,00
	
	6,00
	
	-1.071,92
Logo, o valor real total pago pelo produto será de $ 1.071,92.
Uma outra forma de determinarmos o valor futuro (FV), sabendo-se o valor do produto a vista, o prazo de pagamento e a taxa utilizada, é a determinação direta do FV utilizando-se o valor presente ( PV ), ou seja, o preço a vista.
							 FV = ?	
 0 1 2 3
 900,00
Podemos determinar FV diretamente, através da expressão geral.
Sendo:
PV = 900,00
n = 3
i = 6 % am
FV = ?
O que nos leva ao mesmo valor calculado anteriormente.