AULA 1

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AULA 01
Márcio Santos Dominato
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Conjunto
 Amplamente utilizado nos demais ramos da
matemática.
 Noções básicas:
 Conjunto;
 Elemento;
 Pertinência;
2
Conjunto
 A ideia de conjunto é a mesma de coleção.
 Representação de um Conjunto:
 Tabular;
 Diagrama de Venn;
 Propriedade comum
 Exemplos:
 Coleção de revistas  revista é um elemento.
 Time de futebol  jogador é um elemento.
3
Conjunto
4
Representação tabular
 Podemos representar um conjunto sob forma
de tabela, escrevendo seus elementos entre
chaves { } e separados por vírgula.
 Exemplos:
 A = {a, e, i, o, u}
 B = {1, 2, 3, 4}
Conjunto
5
Representação através de diagramas de Venn
 Os elementos do conjunto são representados
por pontos interiores a uma região plana,
limitada por uma linha fechada simples.
 Exemplos:
Conjunto
6
Representação através de uma propriedade
 Se uma propriedade p é comum a todos os
elementos de um conjunto A, e somente esses
elementos têm a propriedade p, então o
conjunto A pode ser descrito por:
A = {x | x tem a propriedade p}.
 Lê-se: "A é o conjunto formado por todos os
elementos x tal que x tem a propriedade p".
Conjunto
7
Representação através de uma propriedade
 Exemplos:
 A = {x | x é país da Europa}
 B = {x | x é mamífero}
Relação de Pertinência
8
 ∈ = Pertence
 ∋ = Não Pertence
 Exemplo:
 A = {a, e, i, o, u}
 B = {1, 2, 3, 4}
u é elemento do conjunto A e não é elemento do
conjunto B.
 Tais fatos serão respectivamente indicados por:
u ∈ A (lê-se "u pertence a A") e u Ï B (lê-se "u não
pertence a B")
Tipos de Conjunto
9
Conjunto unitário
 Conjunto unitário é aquele formado por um
único elemento.
 Exemplos:
 C = {5}
 B = { x | x é estrela do sistema solar}
Tipos de Conjunto
10
Conjunto vazio
 Conjunto vazio é o conjunto que não possui
elemento algum. Representa-se o vazio por Ø
ou { }.
 Exemplos:
 D = {x | x é número e x . 0 = 5} = Ø
 E = {x | x é computador sem memória} = { }
Tipos de Conjunto
11
Conjunto finito
 Conjunto finito é aquele que conseguimos
chegar ao "fim" da contagem de seus
elementos.
 Exemplos:
B = {1, 2, 3, 4}
D = {x | x é brasileiro}
H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
Tipos de Conjunto
12
Conjunto infinito
 Conjunto infinito é aquele que, se contarmos
seus elementos um a um, jamais chegaremos
ao "fim" da contagem.
 Exemplos:
 N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
 A = { x E N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
Tipos de Conjunto
13
Conjuntos Iguais
 Dois ou mais conjuntos são iguais quando
possuem os mesmos elementos.
 Exemplos:
 A = {a, r, t, e}
 B = {r, e, t, a}
Obs.: Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se
"A é diferente de B")
Tipos de Conjunto
14
Conjunto Universo (U)
 Conjunto universo de um estudo é um conjunto
ao qual pertencem todos os elementos desse
estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos
os elementos com os quais se deseja trabalhar.
 Exemplos:
 Quais são os números naturais menores que 5?
 U = {0, 1, 2, 3, 4}
Tipos de Conjunto
15
Conjunto Disjuntos
 Dois conjuntos que não possuem nenhum
elemento em comum.
 Exemplos:
 A = {x | x é país da Europa}
 B = {x | x é mamífero}
 A e B são disjuntos
Subconjunto
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 A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto
de B se, e somente se, todo elemento de A
pertence a B.
 Indica-se que A é subconjunto de B por: A ⊂ B
(lê-se “A está contido em B”), ou ainda, por B ⊃
A (lê-se “B contém A”).
Subconjunto
17
 Exemplos:
 A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t,
u, v, x, y, z}
 V = {a, e, i, o, u}
 C = { b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, x, y, z}
 V ⊂ A ( lê-se: V está contido em A)
 A ⊃ V (lê-se: A contém V)
Subconjunto
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 Para indicar que um conjunto A não é
subconjunto de B, escreve-se:
 A ⊄ B ( lê-se “A não está contido em B”) ou
 B A ( lê-se “B não contém A”)
Subconjunto
19
Propriedades
1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer
conjunto: ∅ ⊂ A, ∀ A.
 Exemplos:
 ∅ ⊂ {1, 2, 3}
 ∅ ⊂ ∅
Subconjunto
20
Propriedades
2. O conjunto A está contido no próprio A, isto é,
todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
A ⊂ A, ∀ A.
3. Todo conjunto é um subconjunto do conjunto
Universo, no contexto considerado.
Conjunto cujos elementos são conjuntos
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 Podemos ter um conjunto cujos elementos
podem também ser conjuntos.
 Exemplos:
 P = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
 ∅ ∈ P, {a} ∈ P, {b} ∈ P, {a, b} ∈ P.
 Subconjuntos com nenhum elemento: Ø
 Subconjuntos com um elemento: {a}, {b}
 Subconjuntos com dois elementos: {a,b}
Operações com Conjuntos
22
Interseção de conjuntos (∩)
 Dados dois conjuntos A e B, definimos a
intersecção de A com B como o conjunto
formado pelos elementos comuns ao conjunto
A e ao conjunto B.
 A ∩ B (le-se ”A interseção B”)
 A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}Exemplos:
Operações com Conjuntos
23
Interseção de conjuntos (∩)
 Exercício 1:
 A = {2, 3, 5, 6, 8}
 B = {3, 5, 8, 9}
 A ∩ B = ?
 Exercício 2:
 A = {3, 5}
 B = {2, 3, 4, 5, 6}
 A ∩ B = ?
Operações com Conjuntos
24
Interseção de conjuntos (∩)
 Exercício 1:
 A = {2, 3, 5, 6, 8}
 B = {3, 5, 8, 9}
 A ∩ B = {3, 5, 8}
 Exercício 2:
 A = {3, 5}
 B = {2, 3, 4, 5, 6}
 A ∩ B = {3, 5} = A
Operações com Conjuntos
25
Interseção de conjuntos (∩)
 Exercício 3:
 A = {2, 3, 5}
 B = {4, 6}
 A ∩ B = ?
Operações com Conjuntos
26
Interseção de conjuntos (∩)
 Exercício 3:
 A = {2, 3, 5}
 B = {4, 6}
 A ∩ B = ∅
Operações com Conjuntos
27
Interseção de conjuntos (∩)
 Propriedades:
I. B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B, ∀ A, B
II. A ∩ B = B ∩ A, ∀ A, B
III. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ∀ A, B, C
Operações com Conjuntos
28
União de conjuntos (∪)
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se união
(ou reunião) de A com B o conjunto formado
pelos elementos que pertencem a A ou a B.
 A ∪ B (lê-se ”A união B”)
 A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Operações com Conjuntos
29
União de conjuntos (∪)
 Exercício 1:
 A = {2, 3, 5, 6, 8}
 B = {3, 5, 8, 9}
 A ∪ B = ?
 Exercício 2:
 A = {3, 5}
 B = {2, 3, 4, 5, 6}
 A ∪ B = ?
Operações com Conjuntos
30
União de conjuntos (∪)
 Exercício 1:
 A = {2, 3, 5, 6, 8}
 B = {3, 5, 8, 9}
 A ∪ B = {2, 3, 5, 6, 8, 9}
 Exercício 2:
 A = {3, 5}
 B = {2, 3, 4, 5, 6}
 A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} = B
Operações com Conjuntos
31
União de conjuntos (∪)
 Exercício 3:
 A = {2, 3, 5}
 B = {4, 6}
 A ∪ B = ?
Operações com Conjuntos
32
União de conjuntos (∪)
 Exercício 3:
 A = {2, 3, 5}
 B = {4, 6}
 A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}
Operações com Conjuntos
33
União de conjuntos (∪)
 Propriedades:
I. B ⊂ A ⇔ A ∪ B = A, ∀ A, B
II. A ∪ B = B ∪ A, ∀ A, B
III. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ∀ A, B, C
Operações com Conjuntos
34
Diferença de conjuntos (–)
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se
diferença entre A e B ao conjunto formado
pelos elementos de A que não pertencem a B.
 A – B (lê-se ”A menos B”)
 A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Operações com Conjuntos
35
Diferença de conjuntos (–)
 Exercício 1:
 A = {2, 3, 5, 6, 8}
 B = {3, 5, 8, 9}
 A - B = ?
 B - A = ?
Operações com Conjuntos
36
Diferença de conjuntos (–)
 Exercício 1:
 A = {2, 3, 5, 6, 8}
 B = {3, 5, 8, 9}
 A – B = {2, 6}
 B – A = {9}Operações com Conjuntos
37
Diferença de conjuntos (–)
 Exercício 2:
 A = {3, 5}
 B = {2, 3, 4, 5, 6}
 A – B = ?
 B – A = ?
Operações com Conjuntos
38
Diferença de conjuntos (–)
 Exercício 2:
 A = {3, 5}
 B = {2, 3, 4, 5, 6}
 A – B = { } = ∅
 B – A = {2, 4, 6}
Operações com Conjuntos
39
Diferença de conjuntos (–)
 Exercício 3:
 A = {2, 3, 5}
 B = {4, 6}
 A – B = ?
 B – A = ?
Operações com Conjuntos
40
Diferença de conjuntos (–)
 Exercício 3:
 A = {2, 3, 5}
 B = {4, 6}
 A – B = {2, 3, 5} = A
 B – A = {4, 6} = B
Operações com Conjuntos
41
Diferença de conjuntos (–)
 Propriedades:
I. B ⊂ A ⇔ B – A = ∅, ∀ A, B
II. A ∩ B = ∅ ⇔ B – A = B, ∀ A, B
III. A ≠ B ⇔ (A – B) ≠ (B – A) , ∀ A, B
Operações com Conjuntos
42
Conjunto complementar (C)
 O complemento de um conjunto A em relação a outro
conjunto B é um conjunto C, formado pelos elementos
que pertencem ao conjunto B, mas não ao conjunto A,
e desde que A seja um subconjunto de B.
 Assim, se A e B são conjuntos tais que A ⊂ B, então a
diferença B – A é chamada complementar de A em B.
 C�A (lê-se “complementar de A em B)
 C�A = B – A = {x | x ∈ B e x ∉ A}, onde A ⊂ B
Operações com Conjuntos
43
Conjunto complementar (C)
 Exercício 1:
 A = {2, 3, 5, 6, 8}
 B = {3, 5, 8, 9}
 C�A = ?
 Exercício 2:
 A = {3, 5}
 B = {2, 3, 4, 5, 6}
 C�A = ?
Operações com Conjuntos
44
Conjunto complementar (C)
 Exercício 1:
 A = {2, 3, 5, 6, 8}
 B = {3, 5, 8, 9}
 Como A ⊄ B, então não existe C�A
 Exercício 2:
 A = {3, 5}
 B = {2, 3, 4, 5, 6}
 Existe C�A, pois A ⊂ B. C�A = {2, 4, 6}
Operações com Conjuntos
45
Conjunto complementar (C)
 Propriedades:
I. C�A = ∅, ∀ A
II. C�∅ = A, ∀ A
Conjuntos Numéricos
46
Números Naturais (N)
 N = {0, 1, 2, 3, 4,...}
 N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
 Propriedades:
 Cada número possui um sucessor, que no
processo de contagem representa uma unidade
a mais na contagem de objetos.
 O número de elementos deste conjunto é
infinito, pois para qualquer número natural,
sempre se pode definir o seu sucessor.
Conjuntos Numéricos
47
Números Naturais (N)
 Propriedades:
 Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c)
 Comutativa da adição: a + b = b + a
 Elemento neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a
 Associativa da multiplicação: (a * b) * c = a * (b * c)
 Comutativa da multiplicação: a * b = b * a
 Elemento neutro da multiplicação: a * 1 = 1 * a = a
Conjuntos Numéricos
48
Números Inteiros (Z)
 O conjunto dos números inteiros expande os 
números naturais, incorporando números 
negativos. 
 Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
 Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
 Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
 Z*+ = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} [Z*+ = N*]
 Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjuntos Numéricos
49
Números Racionais (Q)
 todos aqueles que podem ser expressos na
forma de fração.
 Note que o conjunto dos números racionais é
um conjunto que engloba os números inteiros
(Z), números decimais finitos (por exemplo,
125,8342) e as dízimas periódicas (números
decimais infinitos periódicos), como
"14,050505...".
Conjuntos Numéricos
50
Números Racionais (Q)
 Propriedades:
 Igualdade:
�
�
=
�
�
 ↔ �� = ��
 Soma:
�
�
+
�
�
=
�����
��
 Subtração:
�
�
−
�
�
=
�����
��
 Multiplicação:
�
�
×
�
�
=
��
��
Conjuntos Numéricos
51
Números Racionais (Q)
 Frações:
 própria: Quando o numerador é menor que o
denominador. Exemplo: 2/3
 imprópria: Quando o numerador é maior que o
denominador. Exemplo: 5/3
 mista: Quando constituída por uma parte inteira e
uma fracionária. Exemplo: 2 2/3 = 8/3
 aparente: Quando o numerador é múltiplo do
denominador. Exemplo: 6/3 = 2
Conjuntos Numéricos
52
Números Racionais (Q)
 Frações:
 equivalentes: São aquelas que mantêm a mesma
proporção de outra fração. Exemplo: 2/3 = 4/6
 irredutível: Quando o numerador e o
denominador são primos entre si, não permitindo
simplificação. Exemplo: 2/3
 decimal: Quando o denominador é uma potência
de 10. Exemplo: 3/100
Conjuntos Numéricos
53
Números Racionais (Q)
 Forma Fracionária e Forma decimal:
 a) 0,5 = 5/10
 b) 0,05 = 5/100
 c) 2,41 = 241/100
 d) 7,345 = 7345/1000
 e) 0,3=3/10
 f) 0,25 = 25/100 = 1/4
 g) –0,75 = -75/100 = -3/4
Conjuntos Numéricos
54
Números Irracionais (Q)
 números decimais infinitos não-periódicos
 Exemplos:
 π = 3,14159265...
 raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2
(1,4142135...)
Conjuntos Numéricos
55
Números Reais (R)
 união do conjunto dos racionais com os
irracionais.
Atividade
56
https://goo.gl/icBrKV
Fim
Obrigado!
Márcio Santos Dominato
marciodominato@gmail.com
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