Integral - Texto 1 - Introduo A Integral Indefinida

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1 
UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: Cálculo Integral 
Curso: Engenharias 
Texto elaborado pelos professores Adelmo R. de Jesus / Ilka R. Freire 
 
A Integral de Uma Função 
 
Introdução 
 
Os dois problemas fundamentais do Cálculo – o cálculo da reta tangente e o cálculo de 
áreas – dividem esta matéria em duas partes: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. 
Veremos como estes dois problemas estão intimamente relacionados. 
As idéias básicas do Cálculo Integral têm origem bem remota e começaram com o 
problema de calcular a área de uma figura plana ou o volume de um sólido. Estas foram 
questões centrais da matemática na Grécia antiga, desde cerca de 4 séculos A.C. Arquimedes 
( 287 – 212 A.C. ) se ocupou intensamente com estes problemas calculando áreas e volumes de 
diversas figuras geométricas. O procedimento usado nesses cálculos empregava o chamado 
“método da exaustão” que consistia em “exaurir” ou “esgotar” a figura dada por meio de outras 
de áreas e volumes conhecidos. Este método é atribuído a Eudoxo ( 406-355 A.C. ), que foi 
quem primeiro deu uma prova satisfatória de que o volume de um cone é um terço do volume de 
um cilindro de mesma base e altura. O método da exaustão foi desenvolvido e aperfeiçoado por 
Arquimedes, que é considerado juntamente com Newton e Gauss como um dos três grandes 
matemáticos da história. Certamente é o maior matemático da Antiguidade. Arquimedes usou 
técnicas para encontrar áreas de regiões limitadas por parábolas, espirais e várias outras curvas. 
(C. Boyer , História da Matemática) 
 
 
O Problema da Área 
 
As fórmulas para as áreas das figuras geométricas básicas, datam dos primeiros registros 
sobre matemática. Os egípcios por exemplo – denominados “estiradores de cordas” , ou 
“agrimensores” – devido às cheias anuais do Rio Nilo, tinham que recalcular freqüentemente as 
áreas de suas terras. No Papiro Ahmes (1.650 A.C) são encontrados problemas que envolvem 
cálculos de áreas de retângulos, triângulos, trapézios e até aproximações de áreas circulares (C. 
Boyer , História da Matemática) 
 
 
Vamos considerar o problema de encontrar a área da 
região limitada pelo gráfico de uma função y = f(x), 
não negativa, num intervalo [a,b], o eixo OX e as 
retas x = a e x = b. 
 
 
 
 
Vamos usar o método de soma de áreas de retângulos, para calcular a área dessa região. 
O método consiste em dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais e em cada subintervalo 
construir um retângulo que se estende desde o eixo OX até algum ponto sobre a curva y = f(x). 
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1
2
3
x
y
 2 
O retângulo tem base igual ao comprimento do subintervalo e altura igual a f() sendo  um 
ponto qualquer do subintervalo ( em geral é tomado como uma das extremidades do subintervalo 
ou o ponto médio). 
 Para cada subintervalo Si consideremos a base como xi = xi – xi-1 e altura f(i), onde i  
[xi-1, xi] 
A área total dos retângulos, que escrevemos 



n
1i
ii x)(f
, pode ser vista como uma aproximação 
da área exata da figura sob a curva no intervalo [a,b]. Fica intuitivamente evidente que quando n 
cresce essas aproximações vão ficando cada vez melhores e tendem à área exata, como um 
limite. 
Assim, a área da região corresponde a S =
)x)(f(
n
1i
ii
n
lim 


. 
 
Exemplo: Vamos calcular a área da região limitada pela curva y = x2 no intervalo [0,1]. 
Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos, cada subintervalo tem comprimento 1/n e os 
extremos dos subintervalos ocorrem em 
1,
n
1n
,...,
n
3
,
n
2
,
n
1
,0

. Vamos construir retângulos em 
cada um desses intervalos cuja altura pode ser o valor da função em qualquer ponto do intervalo. 
Vamos escolher nesse caso os extremos direitos. Assim, as alturas dos retângulos serão 
1 ,
n
1n
 ..., ,
n
3
,
n
2
,
n
1
2222





 


















. Uma vez que cada intervalo tem comprimento 1/n, a área total 
dos intervalos será A(n) = 
n
1
)1
n
1n
,...,
n
3
n
2
n
1
(
2222





 


















 
Ou melhor, 
33
22222
3 n6
)1n2)(1n(n
6
)1n2)(1n(n
n
1
 )n ... 4321(
n
1
)n(A




 
Usando a fórmula acima, temos por exemplo que se n = 4, a soma das áreas dos quatro 
retângulos será A(4)=
46875,0
32
15
4
1
)1
4
3
4
2
4
1
(
222


















 
 
Vejamos os resultados para alguns valores crescentes de n: 
n 4 10 100 1.000 10.000 100.000 
A(n) 0,46875 0,38500 0,338350 0,333834 0,333383 0,333338 
 
Vejamos alguns exemplos de divisões feitas no intervalo [0,1] (Gráficos construídos no 
Winplot) 
 
 10 subintervalos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
 3 
 
20 subintervalos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 subintervalos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 subintervalos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
20 sub-intervalos
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
40 sub-intervalos
1.0
1.0
x
y
y = x^2
 4 
Na maioria das vezes o limite que expressa a área tem cálculo difícil e trabalhoso. Neste 
caso particular não é difícil calcular este limite. Vejamos: 
 
Vimos que a soma das áreas dos retângulos é dada por 
 
3
3
3 n6
.........n2
n6
)1n2)(1n(n
)n(A




 . Fazendo n  

, temos que A(n)  
3
1
 . 
 
Mais precisamente, 
3
1
6
2
n6
.........n2
lim)n(AlimA
3
3
nn




 
 
 
 Existe um outro método para o cálculo dessa área que tem conexão com a diferenciação. 
Sabemos que a derivada de 
3
x
)x(F
3

 é f(x) = x
2
 . Calculando a diferença dos valores dessa 
função nos extremos do intervalo considerado, ou seja, F(1)  F(0), obtemos 
 
 F(1) – F(0) = 
3
1
– 0 = 
3
1
 que é igual à área obtida pelo limite acima. Coincidência ?? 
 
 
 O que tem essa função y= F(x) de especial e qual a ligação dela com a função y = x
2 
? Como 
vimos, derivando–se F(x) obtemos f(x), ou seja, 
2
3
x
3
x









 . Como será explicitado abaixo, há 
uma forte ligação entre os conceitos de área (integral) e tangente (derivada). 
 
 
Os gênios Newton e Leibniz 
 
Historicamente os conceitos básicos da integral foram usados pelos gregos muito tempo 
antes do Cálculo Diferencial ter sido descoberto. No século XVII vários matemáticos 
descobriram como obter áreas mais facilmente usando limites. O maior avanço em relação a um 
método geral para o cálculo de áreas foi feito independentemente por Newton e Leibniz, os quais 
descobriram que as áreas poderiam ser obtidas revertendo–se o processo da diferenciação. Esta 
descoberta vista como o começo do Cálculo, foi veiculada por Newton em 1679 e publicada em 
1711 num artigo intitulado “Sobre a Análise Através de Equações com Infinitos Termos”, e foi 
descoberto por Leibniz em cerca de 1673 e declarado num manuscrito não publicado, datado de 
11 de novembro de 1675. 
 O limite 
))((lim
1
 

n
i
ii
n
xf 
 vai receber uma notação especial, a saber 
))((lim
1
 

n
i
iin
xf 
=

b
a
dxxf )(
 e será chamado de integral definida da função y=f(x). O símbolo 
 ( na forma da letra “s” alongada ) foi utilizado pela primeira vez por Leibniz em 1675. 
Posteriormente Leibniz utilizou ainda mais sua notação escrevendo  [ ] dx . (Anton, pg. 383) 
 
 
 
 5 
O que Newton e Leibniz mostraram foi que 

b
a
dxxf )(
 = F(b) F(a) onde F(x) é uma função tal 
que F´(x) = f(x). Este é um dos resultados mais importantes do Cálculo conhecido como 
Teorema Fundamental do Cálculo ou Fórmula de Newton-Leibniz. 
A nossa questão agora será apresentar métodos para encontrar a função F(x), ou seja, dada uma 
função f(x), encontrar a função F(x) tal que F´(x) = f(x). Este processo é chamado de 
antidiferenciação. O cálculo dessa “antiderivada”, ou “primitiva” , torna bastante simples o 
cálculo de áreas de figuras planas. 
 
 
A Integral Indefinida 
 
Exercício: Para cada uma das funções f(x) dadas a seguir tente encontrar uma função F(x) tal 
que F´(x)= f(x). 
1. f(x) = x 
2. f(x) = 3x2 
3. f(x) = 1 
4. f(x) = e2x 
5. f(x) = cos(2x) 
6. f(x) = sen(3x) 
7. f(x) = 2/x 
 
 
Definição: Uma função é chamada de uma antiderivada ou uma primitiva de uma função f(x) 
em um dado intervalo I se F´(x) = f(x) para todo x no intervalo 
 
Exemplos: 
1) F(x) = x4/4 é uma primitiva de f(x) = x3 
2) F(x) = x4/4 + 1 uma primitiva de f(x) = x3 
3) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex 
4) F(x) = ex + 2 é uma primitiva de f(x) = ex 
 
Os exemplos anteriores nos mostram que a primitiva de uma função não é única!! 
 
Temos os seguintes resultados 
 
 Se F(x) for qualquer primitiva de f(x) num intervalo I, então para qualquer constante 
C, a função F(x) + C é também uma primitiva de f(x) naquele intervalo. Além disso, 
cada primitiva de f(x) pode ser escrita na forma F(x) + C, escolhendo-se 
apropriadamente a constante C. 
 Como conseqüência temos que duas primitivas de uma função diferem de uma 
constante 
 A cada primitiva está associada uma família de primitivas 
 
A integração ou antidiferenciação é o processo pelo qual a primitiva mais geral de uma função é 
encontrada.. 
Se 
  )()( xfxF
dx
d

, então integrando-se ou antidiferenciando-se f(x), obtém~se as 
antiderivadas F(x) + C 
 6 
Denotamos isso escrevendo 
  CxFdxxf )()(
 e temos a equivalência 
 
  )()( xfxF
dx
d

 
  C)x(Fdx)x(f
 
 
Observações: 
 
 O símbolo  (“S” alongado) é chamado de sinal de integração ou uma integral 
indefinida 
 A função f(x) é chamada de integrando. 
 A constante C é chamada de constante de integração. 
 f(x)dx é chamado de elemento de integração. 
 O adjetivo indefinida estabelece que não se encontra uma função definida quando se 
integra mas uma família de funções F(x) + C 
 O símbolo dx nas operações de diferenciação e antidiferenciação servem para identificar 
a variável independente. Ele será muito útil posteriormente, nas substituições de 
variáveis. 
 Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675. 
 
Exemplos 
 
1. 
  Cxdx1)x(
dx
d
 
2. 
x)
2
x
(
dx
d 2

  
  C
2
x
xdx
2 
3. 
2
3
x)
3
x
(
dx
d

  
  C
3
x
dxx
3
2
 
 
4. Generalizando: 
n
1n
x
1n
x
dx
d










  
 



C
1n
x
dxx
1n
n
 ( n   1 ) 
5. 
  Cxsenxdxcosxcos)x(sen
dx
d
 
6. 
  Cxcosxdxsenxsen)x(cos
dx
d
 
7. 
  Cedxee)e(
dx
d xxxx
 
 
Integrais imediatas; casos simples e conseqüências 
 
Através do conhecimento das derivadas das funções podemos obter as expressões de algumas 
integrais indefinidas. Por exemplo: 
a) (tgx) ´ = sec
2
x Logo, 
C x tg dx xsec2 
 
b) [arctg(x) ]´ = 
2x1
1

 Logo, 
Crctg(x)a dx
x1
1
2



 
 
Com isso, podemos organizar uma tabela para uso posterior, como a apresentada a seguir: 
 
 
 7 
 
 
 
 
1) 
  Cudu
 
2) 
1α
u
duu
1α
α




 + C (
-1 constante, é 
) 
3) 
  Cu lnu
du
 
4) 
C
aln 
a
dua
u
u 
 
5) 
  Cedue
uu
 
6) 
  Cu cos duu sen 
 
 
7) 
  Cu sen du u cos
 
 
8) 
 duu tg
= - ln (cos u) + C = ln(sec u) + C 
 
9) 
Cu)(sen ln duu cotg 
 
10) 
 du u sec
= ln (sec u + tg u ) + C 
11) 
du usec2
 = tg u + C 
12) 
 duu cossec
2
 = 
Cu cotg 
 
 
13) 
  C u sec du u tgu. sec
 
 
14) 
C u cosecduu cotg u. seccos 
 
 
15) 

 2u1
du
 = 
C u sen arc 
 , 

 2u1
du-
=
C u cos arc 
 
 
16) 

 2u1
du
 = 
C u arctg 
 
17) 

 22 ua
du
= 
C )
a
u
( arctg
a
1

 
 
18

 2u1
du
= 
C 
u1
u1
 ln 
2
1



 
 
 
 
 
 8 
Justificativa da tabela de integrais 
 
Algumas integrais acima são visivelmente fáceis, e algumas não. Para comprovar que a integral 
10) da tabela está realmente correta, derivamos o resultado para chegar ao integrando. Vejamos 
este caso: 
 
Exercício: Verifique que 
 xd xsec
= ln (sec x + tg x ) + C 
 
Solução: [ ln (sec x + tg x ) ]’ = 
)xsec x tg x(sec
 x tg xsec
1 2

 = 
)x sec x tg(xsec
 x tg xsec
1


 = sec x 
 
 
A integral 18)

 2u1
du
= 
C 
u1
u1
 ln 
2
1



 vai ser feita posteriormente usando o método de 
decomposição em frações parciais. 
 
 
Interpretação Geométrica da Integral 
 
 Geometricamente a integral indefinida é um conjunto (ou família) de curvas que se obtém 
pelo deslocamento de uma delas na direção do eixo OY. 
Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas 
  Cxxdx
2
 é uma família de parábolas 
com eixo de simetria em OY. 
 
Vejamos alguns exemplos para C = , 2, 1, 0, 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma pergunta que surge naturalmente é: “Toda função y = f(x) tem uma primitiva, e 
consequentemente integral indefinida?” 
 A resposta à questão acima é negativa 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y = x^2
y = x^2+1
y = x^2-1
y = x^2-2
 
 9 
 Para funções contínuas a resposta é positiva: Pode–se demonstrar que “Toda função 
contínua em [a,b] tem integral indefinida em [a,b] ” 
 Vale observar que a derivada de uma função elementar é uma função elementar, mas a 
primitiva de uma função elementar pode não se expressar como um número finito de 
funções elementares. Por exemplo, as integrais abaixo não podem ser expressas por meio 
de funções elementares. 
 
 

 dxe 2/
2x
; 
 dx
x
xsen
 ( Existem outros exemplos ) 
 
 
 
Propriedades da Integral Indefinida: 
 
 
Suponhamos que 
  C)x(Fdx)x(f
. Temos as seguintes propriedades: 
 
P1: A derivada de uma integral indefinida é igual ao integrando. 
 
 
)x(f)x(F)C)x(F()dx)x(f( 
 
 
Observe que o resultado vem da própria definição de integral indefinida 
 
Exemplos: 
 
1. 
  C
2
x
xdx
2  
xC
2
x 2











 
2. 
  C
3
e
dxe
x3
x3
  
x3
x3eC
3
e











 
3. 
  C
2
x2sen
xdx2cos
  
x2cosC
2
x2sen









 
 
 
P2: A diferencial de uma integral indefinida é igual ao elemento de integração 
 
    dx)x(fdx)x(FC)x(Fddx)x(fd 
 
 
Exemplos: 
 
1. 
  xdxdxxd 3sen))3sen(
 
2. 
dx)1x()dx)1x((d 22 
 
 
P3: A integral indefinida da diferencial de uma função é igual à soma da função com uma 
constante arbitrária 
 
   C)x(Fdx)x(fdx)x(F))x(F(d
 
 10 
P4: A integral indefinida da soma algébrica de duas ou mais funções é igual à soma 
algébrica de suas integrais 
 
     dx)x(fdx)x(fdx)x(f)x(f 2121
 
 
P5: A integral indefinida do produto de uma constante por uma função é igual ao produto 
da constante pela integral da função 
 
    dx)x(fk dx)x(kf
 ( k  R ) 
 
 
Exemplos: 
 
1) 
   Cxxdxx
3
2
12
3
2
 
2) 
  Cx
e
dxxe
x
x 2
3
3
3
)2(
 
3) 
Cxx
xxx
dxxxxx  
2
345
234
34
3
5
)123(
 
 
 
Observação: Quando integramos uma função multiplicada por uma constante ou uma soma de 
funções englobamos as constantes de integração em uma única constante. 
 
 
Técnicas de Integração 
 
Casos simples de integrais imediatas: 
 
1. 
  dx)x2(x
3
= 
C
5
x
xC
5
x
2
x
2dx)xx2(
5
2
52
4  
 
2. 
Cxx
3
2
 Cx
3
2
C
1
x
dxx dx x 2
32
1
2
1
2
1
1





 
3. 
C
x
2
|)xln(|2
3
x
C
2
x
|)xln(|2
3
x
 dx ) x 
x
2
 x(dx
x
1x2x
2
323
 3-2
3
25


 
 
 
4. 
C
3
e
|)xln(|2dxe
x
2 x3x3 






 
 
Outras integrais (menos) imediatas: 
 
5. 
C x - x tg dx )1x(sec dx xtg 22  
 ( note que sec
2
x = 1 + tg
2
x ) 
6. 
  dx
xcos
1
xcos
dx
22
 
xd xsec2
= tg x + C 
 11 
7.
  dx)tgxx(secxsec
 = 
  dx)tgxxsecx(sec
2
 = tg x + sec x + C 
8. 
  x1
dx
 = ln(|1+x| ) + C ( a derivada de ln (1+x) dá o integrando) 
9. 
  dx)2xsen(
 = -cos(x+2) + C ( a derivada de -cos (x + 2) dá o integrando) 
10. 
  xdx2)1xcos(
2
 = sen(x
2
+1) + C ( a derivada de sen (x
2
 + 1) é igual ao integrando) 
11. 
 Cx| ) 1 (| ln x dx 
x1
1
 dx 1 dx 
x1
1
 dx 
x1
1x
 dx 
x1
11x
 dx 
x1
 x 
 

 




 




 
12 . 
C 
2
x
 arctg
2
1
 4 x dx 
x4
1
 4 dx 1 dx 
x4
4
 dx 
x4
4x
 dx 
x4
44x
 dx 
x4
 x
 
222
2
2
2
2
2


 




 




 
 
Integração por Substituição de Variáveis 
 
 Como vimos nos Exemplos 8, 9 , 10 acima, às vezes podemos “adivinhar” a primitiva de 
uma função. Nos Exemplos 11 e 12 fizemos um artifício algébrico que nos conduziu ao 
resultado. Pelo visto, resolver integrais dessa forma se resumiria a uma questão de sorte e 
esperteza. Por outro lado, existe um método que consiste em uma mudança de variável. Este 
método nos levará a transformar a integral em outra mais simples, com nova roupagem, onde nós 
poderemos utilizar a tabela de integrais imediatas. Este método é chamado de substituição de 
variáveis 
 
Consideremos o Exemplo 10) anterior, 
  xdx2)1xcos(
2
. 
 
Observemos que fazendo t = x
2
+1, a diferencial dt = 2x dx. Dessa forma, a integral acima pode 
ser reescrita como 
 
  xdx2)1xcos(
2
= 
  Ctsentdtcos
 . 
 
Como t = x
2
+1 , temos finalmente que 
  xdx2)1xcos(
2
 = sen(x
2
+1)+C 
 
Com a mesma substituição t = x
2
 + 1 resolvemos as integrais abaixo: 
 
   C1)(x 3
2
 C t
3
2
 dt t dt t 2xdx 1x 2
3
2
3
2
1
22
 
 
C 1) xg(t C tgtdt tsec 2xdx 1) (x sec 2222  
 
 
 
De uma maneira geral: 
 
 12 
Se temos uma integral na forma 
  dx)x(g))x(g(f
 e se sabemos que F é uma primitiva de f, temos 
que 
  dx)x(g))x(g(f
 = F(g(x)) + C 
 
De fato, fazendo t = g(x) temos dt = g´(x)dx e portanto 
 
 
  dx )x(g ) )x(g ( f
 = 
 dt )t(f 
F(t) + C = F(g(x)) + C 
 
 
Exercícios resolvidos: 
1. 
  dx)1x(
4
 Faça t = x + 1 Logo, dt = dx . Daí, 
  dx)1x(
4
= 
 dtt
4
= 
C
5
)1x(
C
5
t 55



 
 
Nos exemplos, 2, 3 e 4 faça t = x
2
 +1 e resolva as integrais 
 
2. 
  xdx2)1x(
32
 
 
3. 

 xdx2e 1
2x
 
 
4. 
  xdx2)1xcos(
2
 
 
5. Faça t = 2x , dt = 2dx e resolva a integral 
 dxe
x2
 
Solução: 
 dxe
x2
 = 
2
1
   C 2
e
 C e 
2
1
 dte
2
1
 dx 2 e 
2x
tt2x
 
 
6. Resolva as integrais 
 dx )x2cos(
e 
 dx )x2sen(
 (Multiplique e divida cada integral por 2 e 
depois faça t = 2x ) 
 
 
Pelos exemplos 6) e 7) podemos generalizar 
 
  C
k
e
dxe
kx
kx
; 
  C
k
)kxcos(
dx)kx(sen
; 
  C
k
)kx(sen
dx)kxcos(
 
 
 
7. 
 dx
x
e x
 = 2
 dx
x2
e x . ( Fazendo xt  , chega-se ao resultado) 
8. 
  dxx2 x
3 32
 ( Faça t = 2 – x3 e daí dt = – 3x2 dx . Ajuste o integrando para obter dt ) 
 
9. 
  dx1xx
2
 ( Faça t = x  1) 
 
10. 
 dxxe3
2x
3 
 dxe x
2x
 (Tente t = x
2
 e introduza o fator 2 na integral para ajustar dt ) 
 
 13 
11. 

 3
2
x2
dxx
 ( Note que a diferencial de (2 + x
3
) é 3x
2
dx . Use procedimento análogo 
para ajustar dt ) 
 
12. 

 22 xa
dx
 Esta integral é calculada fazendo inicialmente o seguinte artifício: 
 

 22 xa
dx
 = 

 )
a
x
1(a
dx
2
2
2
 =

 2
a
x2 )(1
dx
a
1
 . Fazendo t = 
a
x
 temos x = at e daí dx = a dt . 
Logo, 
 

 22 xa
dx
 = 

 2
a
x2 )(1
dx
a
1
 = 

 22 t1
adt
a
1
 = 

 2t1
dt
a
1
 = 
 )
a
x
(arctg
a
1
+ C 
 
 
Referências Bibliográficas/Internet: 
 
1. Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1) 
2. Cálculo A – Diva Fleming 
3. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski ( vol 1) 
4. História da Matemática – C. Boyer 
5. Peanut Softwares (Winplot) . R. Parris . http://math.exeter.edu/rparris