MATEMATICA PARA NEGOCIOS AULAS

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NOTAS DE AULA. 
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1. FUNÇÕES MATEMÁTICAS APLICADAS 
 
1.1. FUNÇÃO CUSTO 
 
Em uma empresa, é importante que se conheça bem os custos fixos e variáveis de modo a 
que estes sejam gerenciados de forma eficaz. 
 
1.1.1. CUSTOS FIXOS 
Os Custos Fixos, também chamados de despesas, são aqueles custos que não se alteram se 
aumentarmos ou diminuirmos a produção. Independem, portanto, do nível de atividade, 
conhecidos também como custo de estrutura. 
 
Como exemplos de Custos Fixos podemos citar: 
 Aluguéis de Equipamentos e Instalações. 
 Salários da Administração. 
 Limpeza e Conservação 
 Segurança e Vigilância 
 
1.1.2. CUSTOS VARIÁVEIS 
Quando variações na produção afetam os gastos da fabricação de um produto, estes gastos 
são chamados de custos variáveis. 
Os custos variáveis ou despesas variáveis são aqueles que variam proporcionalmente de 
acordo com o nível de produção ou atividades. Os custos variáveis dependem diretamente do 
volume produzido ou do volume de vendas realizado em um determinado período de tempo. 
Como exemplos de Custos Variáveis podemos citar: 
 Gastos em Matérias-Primas 
 Comissões de Vendas 
 Insumos produtivos (Água, Energia) 
 
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Se uma empresa não tem produção, não tem vendas. Ainda assim, a empresa precisa arcar 
com os custos do aluguel das suas instalações, com a energia consumida nas atividades não-
produtivas, com a manutenção dos equipamentos, com a segurança e vigilância, dentre 
outros. Estes são os custos fixos. 
Quando a empresa começa a produzir, terá de arcar com custos de matérias-primas, com a 
mão-de-obra da produção, com os consumíveis utilizados na produção dos bens, dentre 
outros gastos. Quando a empresa começa a vender, terá outros gastos, outros custos variáveis, 
que dependem da distribuição dos produtos. 
 
1.1.3. CUSTO TOTAL 
A função custo ou custo total diz respeito aos gastos de uma empresa na produção ou mesmo 
aquisição de um produto. 
Considerando x como a quantidade produzida de um produto, a função custo total é 
determinada como: 
Ct(x) = Cf + Cv(x) 
onde Cf: custo fixo e Cv:custo variável. 
 
1.1.4. CUSTO MÉDIO 
O custo médio de produção ou custo unitário é o custo total dividido pela quantidade, isto é: 
𝐶𝑚(𝑥) =
𝐶𝑡(𝑥)
𝑥
 
 
1.2. FUNÇÃO RECEITA 
 
A função receita diz respeito ao faturamento bruto de uma empresa, dependendo do número 
de vendas de determinado produto. 
Considere que x unidades de um produto sejam vendidas. 
A função receita, que relaciona receita com quantidade, depende de x. 
A receita total pode ser expressa através da função demanda como: 𝑅(𝑥) = 𝑝 ∙ 𝑥 
Onde p é o preço unitário e x é o número de mercadorias vendidas. 
Receita = Quantidade x preço 
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1.3. FUNÇÃO LUCRO 
 
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro este que é o resultado da 
diferença entre a função receita e a função custo. 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶𝑡(𝑥) 
Lucro = Receita – Custo 
 
Exemplo. 
O custo para produção de uma determinada mercadoria tem custo fixo mensal de R$ 1440,00 
inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários e impostos e um custo de R$ 
50,00 por peça produzida. Considerando que o preço de venda da unidade de cada produto 
seja de R$ 140,00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro. 
Resolução. 
Função Custo total mensal: 
C(x) = 1440 + 50x 
Função Receita total mensal: 
R(x) = 140x 
Função Lucro total mensal: 
L(x) = 140x – (1440 + 50x) 
L(x) = 140x – 1440 – 50x 
L(x) = 90x – 1440. 
 
1.4. PONTO DE EQUILÍBRIO 
 
1.4.1. PONTO DE EQUILIBRIO: DEFINIÇÃO 
O ponto de equilíbrio representa o nível de produção no qual a receita total é igual ao custo 
total e a partir do qual a empresa passa a gerar lucros. O ponto de equilíbrio é também 
chamado de break-even point, ou ponto de ruptura. 
 
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Em tempos competitivos como os de hoje, uma questão importante a ser respondida pelas 
empresas é em que nível de produção esta empresa escolhe operar. O ponto de equilíbrio é 
alcançado no nível no qual as receitas totais se igualam aos custos totais (RT=CT). Neste 
ponto o lucro é igual a zero. 
 
1.4.2. ANÁLISE GRÁFICA DO PONTO DE EQUILÍBRIO 
Considere uma lavanderia especializada em ternos que possui um custo fixo mensal 
referentes a aluguel, energia elétrica, telefone, salários, etc, de R$ 4.000,00. 
Além das despesas fixas, a lavanderia tem custos variáveis – entre eles os custos de produção, 
como a compra de detergente e amaciantes e a conta de água, que dependem da quantidade 
de ternos que é lavada a cada mês, de forma que o custo de produção para cada terno seja de 
R$ 1,50. Supondo que o cliente pague R$ 17,50 pela lavagem de um terno, determine as 
funções custo total, receita e lucro da lavanderia e construa os gráficos. 
Resolução. 
Custo mensal total da lavanderia: soma dos custos fixos e variáveis. 
Ct(x)= 4.000+ 1,5x 
Receita da lavanderia: depende do número de ternos lavados e do preço cobrado por lavagem. 
R=17,50x 
Lucro: diferença entre a receita (R) e os custos (C) 
L(x)=R(x)-C(x) 
L(x)= 17,50x - 4.000 - 1,5x 
L(x)= 16,00x-4.000 
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Construindo os gráficos das funções Custo e Receita em um mesmo sistema cartesiano: 
 
O ponto de interseção destas duas funções Receita e Custo ocorre quando estas funções são 
iguais. 
Quando se lava 250 unidades, teremos um custo igual ao rendimento de 4375. 
Assim, o ponto de equilíbrio será (250,4375). 
Construindo o gráfico da função lucro L = 16,00.x – 4000. 
 
No ponto de equilíbrio, o lucro é zero. 
 
1.5. FUNÇÃO DEMANDA 
 
 A demanda ou procura de um produto ou de um bem depende de vários fatores, 
dentre os quais podemos citar preço, qualidade, concorrência, renda do consumidor, gostos, 
clima. Consideraremos todos os fatores constantes, exceto o preço. Assim, podemos 
expressar a quantidade demandada em função do preço através de uma função de primeiro 
grau. 
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De maneira geral, a demanda de um produto diminui à medida que o preço desse produto 
aumenta. Em termos de gráfico, a reta da função demanda é uma reta com declividade 
negativa (a < 0). 
Trabalharemos apenas com valores de x no primeiro quadrante, pois não estamos 
interessados em quantidades negativas. 
 
Exemplo. 
A função demanda x(p) = - 5.000p + 75.000 considera preço como variável independente, 
seus valores são apresentados no eixo das abscissas. 
A quantidade procurada depende do preço - x(p)- que será vendido o produto, assim x é 
a variável dependente e seus valores são apresentados no eixo das ordenadas. 
 
 
 
Função demanda: x(p) = - 5.000p + 75.000 
Quantidade procurada (x) depende do preço (p). 
 
 
1.6. FUNÇÃO OFERTA 
 
Observamos que há uma relação entre a demanda e o preço, a qual depende do consumidor. 
Há uma relação entre oferta e preço, no entanto, a oferta depende do fabricante. Dependendo 
do preço do produto, pode haver, maior ou menor interesse em ofertá-lo. Assim como a 
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demanda, a oferta também pode ser expressa por uma função, relacionando-se preço e 
quantidade oferecida de uma mercadoria. 
A função oferta é crescente, pois quando o preço sobe, existem mais produtores interessados 
em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, quando o preço caí, 
essa oferta diminui. 
 
Exemplo. 
Considere a função oferta 𝑥(𝑝) = 8849,56𝑝 − 44955,76 
Seu gráfico será: 
 
A quantidade ofertada cresce linearmente com o preço até atingir a capacidade máxima de 
produção 
A oferta linear tem coeficiente angular (declividade) positiva pois a oferta, ou ainda, a 
“vontade de vender” de um produto cresce com o aumento do preço. 
 
 
1.7. EQUILÍBRIO DE MERCADO 
 
Pensando em termos de função demanda, uma elevação no preço geralmente corresponde a 
uma redução na quantidade demandada. Já no caso da função de oferta, uma elevação no 
preço corresponde a uma elevação na quantidade ofertada. 
O consumidor deseja preços sempre menores enquanto o produtor deseja preços sempre 
maiores. Como ficará então o preço se há este conflito de interesses? Levando-se em 
consideração esse preço, quais serão as quantidades demandadas e ofertadas? 
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 Em termos de quantidade, o preço que satisfará tanto aos consumidores e produtores 
é o que chamamos de "preço de equilíbrio". Dizemos que existe equilíbrio de mercado em 
relação a determinado produto, quando a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada 
dessem produto. 
A quantidade produtos de equilíbrio e o preço de equilíbrio destes produtos correspondem às 
coordenadas do ponto de interseção das curvas de oferta e de demanda. 
 
De modo prático, calculamos o ponto de equilíbrio igualando a equações de oferta e 
demanda: OFERTA = DEMANDA 
 
Exemplo. 
Gráfico: demanda e oferta 
Demanda: x(p) = - 5.000p + 75.000 
Oferta: x(p)= 8.849,56 p – 44.955,76 
 
Demanda: x(p) = - 5.000p + 75.000 
Oferta: x(p)= 8.849,56 p – 44.955,76 
x demanda = x oferta 
- 5.000p + 75.000 = 8.849,56 p – 44.955,76 
8.849,56 p – 44.955,76 = - 5.000p + 75.000 
8.849,56 p + 5.000p = 75.000 + 44.955,76 
13.849,56 p = 119.955,76 
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p equilíbrio mercado = 8,66 
Demanda: x(8,66) = - 5.000(8,66) + 75.000 = 31.700 
Oferta: x(8,66)= 8.849,56 (8,66) – 44.955,76  31.700 
Ponto de equilíbrio e mercado: (8,66 , 31.700) 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. 
 
1. As funções de oferta e demanda para um certo produto são O(p) = 3p + 240 e D(p) = –2p 
+ 480, respectivamente. 
Determine: 
a) o preço de equilíbrio, em reais. 
b) o número correspondente de unidades vendidas. 
c) desenhe as curvas de oferta e demanda no mesmo gráfico. 
Resolução. 
(a) O preço de equilíbrio ocorre quando a oferta é igual a demanda, assim: 
O(p) = D(p) 
3p + 240 = –2p + 480 
3p + 2p = 480 – 240 
5p = 240 
p = 240 / 5 
p = 48 
Assim, o preço de equilíbrio é de R$ 48,00. 
 
b) Para se obter o número correspondente de unidades vendidas tanto faz usar a função 
oferta como a função demanda. 
O(p) = 3p + 240 
O(48) = 3 . 48 + 240 
O(48) = 144 + 240 
O(48) = 384. 
 
D(p) = –2p + 480 
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D(48) = –2 . 48 + 480 
D(48) = –96 + 480 
D(48) = 384 
Assim, no ponto de equilíbrio são vendidas 384 unidades do produto. 
 
c) O gráfico das funções em um mesmo plano: 
 
 
2. O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função 
L(x) = -5x
2
 + 100x -80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro 
em reais. Determine: 
(a) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos. 
Resolução. 
Como a função que determina o lucro da fábrica, L(x) = -5x
2
 + 100x -80, é uma função do 
2º grau, percebemos que a = -5 < 0. Isso implica que a parábola que representa essa função 
tem a concavidade voltada para baixo, tendo, portanto, um ponto de máximo absoluto, que é 
o vértice da parábola. O lucro máximo da empresa será dado pelo Yv (coordenada y do 
vértice). 
 
Portanto, o lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00. 
 
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(b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo. 
Resolução. 
O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pelo 
Xv(coordenada x do vértice). 
 
Concluímos que a fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado 
(R$ 420,00). 
 
3. Considere o custo da fabricação de um produto como a função da quantidade produzida 
Ct(x) = 4,42x + 19.800. Pede-se traçar o gráfico no plano cartesiano desta função custo, 
identificando no gráfico quem é o custo variável e quem é o custo fixo. 
Resolução. 
 
Custo variável: interseção com o eixo y. 
Custo fixo: Coeficiente angular da reta, inclinação. 
 
4. Ainda considerando a função custo do exercício anterior Ct(x) = 4,42x + 19.800, determine 
o custo médio da fabricação de 2.000 produtos e de 20.000 produtos. 
Resolução. 
Cm(x)= Ct(x)/ x 
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Ct(2.000) = 4,42 (2.000) + 19.800 
Ct(2.000) = 8.840 + 19.800 
Ct(2.000)= 28.640 
 
Cm(2.000)= 28.640/2.000 
Cm(2.000)= 14,32 
 
Ct(20.000) = 4,42 (20.000) + 19.800 
Ct(20.000) = + 19.800 
Ct(20.000)= 88.400 +19.800 
Ct(20.000)= 108.200 
 
Cm(20.000)=108.200/20.000 
Cm(20.000)= 5,41 
 
5. Considere uma siderúrgica que fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. 
Sabe-se que o custo fixo mensal de R$ 950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, 
impostos, salários e etc. Existe ainda um custo variável que depende da quantidade de pistões 
produzidos, sendo o custo por unidade de R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão 
no mercado seja de R$ 120,00, determine as funções que representam o Custo Total, Receita 
e Lucro. Calcule ainda o valor do lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no 
mínimo, precisam ser vendidas para que a empresa tenha lucro. 
Resolução. 
Função Custo total mensal: C(x) = 950 + 41x 
Função Receita: R(x) = 120x 
Função Lucro: L(x) = 120x – (950 + 41x) 
Lucro líquido na produção de 1000 pistões 
L(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000) 
L(1000) = 120.000 – (950 + 41000) 
L(1000) = 120.000 – 950 - 41000 
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L(1000) = 120.000 – 41950 
L(1000) = 78.050 
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00. 
Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo. 
 
R(x) > C(x) 
120x > 950 + 41x 
120x – 41x > 950 
79x > 950 
x > 950 / 79 
x > 12 
Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças. 
 
6. Considere uma lavanderia especializada em ternos que possui um custo fixo mensal 
referentes a aluguel, energia elétrica, telefone, salários, etc, de R$ 4.000,00. 
Além das despesas fixas, a lavanderia tem custos variáveis – entre eles os custos de produção, 
como a compra de detergente e amaciantes e a conta de água, que dependem da quantidade 
de ternos que é lavada a cada mês, de forma que o custo de produção para cada terno seja de 
R$ 1,50. Supondo que o cliente pague R$ 17,50 pela lavagem de um terno,determine as 
funções custo total, receita e lucro da lavanderia. 
Resolução. 
O custo mensal total da lavanderia, então, será a soma dos custos fixos e variáveis: 
Ct(x)= 4.000+ 1,5x 
 
A receita da lavanderia depende do número de ternos lavados e do preço cobrado por 
lavagem: 
R=17,50x 
O lucro é a diferença entre a receita (R) e os custos (c): 
L(x)=R(x)-C(x) 
L(x)= 17,50x - 4.000 - 1,5x 
L(x)= 16,00x-4.000 
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7. No exercício anterior, da lavanderia, trace o gráfico das funções receita e custo em um 
mesmo plano cartesiano e em outro plano cartesiano, trace a função lucro. 
Resolução. 
Construindo os gráficos das funções Custo e Receita num mesmo sistema cartesiano 
 
 
Construindo o gráfico da função lucro L = 16,00.x - 4000: 
 
 
8. O custo fixo de fabricação de um bem é de R$ 120,00 e são gastos R$ 5,00 por unidade 
produzida. Se o preço de venda é de R$ 8,00 e, sendo x a quantidade produzida, pede-se: a) 
a função custo total e gráfico; 
b) a função receita total e o gráfico; 
c) a função lucro; 
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d) o ponto de nivelamento; 
e) o custo na produção de 120 unidades do bem; 
f) a receita na venda de 200 unidades do bem; 
g) a produção para um custo de R$ 600,00; 
h) o lucro com a venda de 300 unidades do produto; 
i) a quantidade vendida para um lucro de R$ 1 200,00; 
j) o gráfico da função lucro, destacando a área de lucro e a área de prejuízo. 
Resolução 
a) O custo é de R$ 5,00 por unidade produzida, logo por x unidades produzidas se gastará 
5x, que somada ao fixo nos dá : C(x) = 5x + 120. 
 
 
b) Se o preço de venda é de R$ 8,00 por unidade, por x unidades, se arrecadará 8x, então: 
R(x) = 8x, e seu gráfico é: 
 
c) O lucro é a venda subtraída do custo logo: L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 8x – ( 5x + 120) 
∴ L(x) = 3x – 120 
d) O ponto de nivelamento é a produção que anula o lucro [L(x)=0] , ou a produção x tal 
que R(x) = C(x). Desta forma: R(x) = C(x) ⇒ 8x = 5x + 120 ∴ x = 40 
 
e) Neste caso, queremos C(120) então: C(x) = 5x + 120 ⇒ C(120) = 5 . 120 + 120 ∴ 
C(120) = 720 
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f) Queremos R(200) R(x) = 8x ⇒ R(200) = 8 . 200 ∴ R(200) = 1600 
g) Queremos x para o qual C(x) = 600 
5x + 120 = 600 ∴ x = 96 
h) Queremos L(300) L(x) = 3x – 120 ⇒ L(300) = 3 . 300 – 120 ∴ L(300) = 780 
i) Queremos x tal que: L(x) = 1200 3x – 120 = 1200 ∴ x = 440 
 
 
9. Considere a fabricação de determinado produto, cuja função representativa do custo 
total é CT(x)= 6,54 x + 19.800 e cuja função rendimento é R(x)= 8,47x. Pede-se: 
(a) Determinar o ponto de equilíbrio. 
(b) Traçar os dois gráficos (da função custo total e da função rendimento) em um mesmo 
plano cartesiano, identificando o ponto de equilíbrio. 
(c) Traçar a função Lucro em novo sistema cartesiano. 
Resolução. 
(a) 
R(xeq) = CT(xeq) 
8,47x=6,54x+19.800 
xeq= 10.259,07 
 
R(10.259,07)=CT(10.259,07)= 
=86.894,32 Reais 
 
(b) 
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(c) 
L(x)=1,93x – 19.800 
 
10. Quando o preço de um bem é R$ 35,00; 25 unidades são oferecidas e, quando o preço é 
R$ 45,00; 40 unidades são oferecidas. Achar a equação de oferta, supondo-a linear para x 
unidades do bem a um preço p. 
Resolução 
Equação do tipo p = a x + b 
Temos 
(25, 35) → 25 a + b = 35 
(40, 45) → 40 a + b = 45 
Resolvendo o sistema, temos: a = 2/3 e b = 55/3 , então p = 2/3 x +55/3. 
 
11. Quando o preço é de R$ 60,00; 10 canetas são vendidas, porém, quando o preço é de R$ 
50,00 , são vendidas 16 canetas. Achar a equação de demanda linear para a quantidade x de 
canetas a um preço p. 
Resolução 
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A equação é do tipo p = a x + b 
Temos 
(10, 60) → 10 a + b = 60 
(16, 50) → 16 a + b = 50 
Ao resolver o sistema, temos: a = - 5/3 e b =230/3 , assim p = -5/3 x +230/3 
 
12. Considerando a equação de oferta p = 2/3 x +55/3 e de demanda p = -5/3 x +230/3, 
determine algebricamente o preço de equilíbrio de mercado e encontre-os graficamente. 
Resolução 
O preço de equilíbrio é obtido pela solução do sistema formado pelas equações de oferta e 
demanda, ou seja, as equações s: p = 2/3 x +55/3 e d: p = -5/3 x +230/3. 
Ao resolver o sistema, temos: x = 25 e p = 35. Logo, o preço de equilíbrio é de R$ 35,00. 
Graficamente 
 
 
13. Considerando a função demanda x = f(p) = −80 p + 1200, cujo gráfico está abaixo, 
determine a função preço para esta demanda. 
 
Resolução. 
x = −80 p + 1200 
80p = -x + 1200 
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p=-1/80 x +15 
 
 
14. Quando o preço de mercado de certo produto atinge US$ 300 por unidade, a fábrica não 
produz este produto; quando o preço do produto aumenta US$ 20 a fábrica disponibiliza 600 
unidades do produto no mercado. Determine a função de oferta se ela for afim e esboce seu 
gráfico. 
Resolução. 
A função deve ser afim: p = f(x) = ax+b. 
Para x = 0, temos que 300 = b e então p = ax+ 300; 
Quando o preço for 300 + 20 = 320, a fabrica disponibiliza 600 unidades. Assim, temos 320= 
600a + 300, logo 600a = 20 , ou ainda, a=1/30 
Então a curva de oferta é: p(x) = x /30 + 300. 
 
 
15. O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 2 000,00 
e um custo variável de R$ 40,00 por unidade produzida. 
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Expresse o custo total C(x) em função do número "x" de unidades e obtenha o custo para a 
fabricação de 200 unidades. 
Resolução. 
O custo total é dado por: 
C(x) = 2000 + 40x 
O custo para fabricar 200 unidades: 
C(200) = 2000 + 40 . 200 
C(200) = 2000 + 8000 
C(200) = 10000. 
Assim, para se fabricar 200 unidades serão gastos R$ 10 000,00. 
 
16. O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 4 580,00 
e um custo variável de R$ 80,00 por unidade produzida. 
a) Expresse o custo total C(x) em função do número "x" de unidades produzidas. 
b) Qual o nível de produção que gera um custo de R$ 9 060,00? 
Resolução. 
a) C(x) = 4580 + 80x 
b) Como já se sabe o custo total, tem-se: 
9060 = 4580 + 80 x 
9060 – 4580 = 80 
4480 = 80 x 
4480 / 80 = x 
x = 56. 
Para gerar um custo de R$ 9 060,00 deve ser produzidas 56 unidades. 
 
17. Um fabricante produz uma fita de vídeo virgem a um custo de R$ 2,00 a unidade. As fitas 
vêm sendo vendidas a R$ 5,00 a unidade, por esse preço são vendidas 4000 fitas por mês. 
O fabricante pretende aumentar o preço da fita e calcula que para cada R$ 1,00 de aumento 
no preço, menos 400 fitas serão vendidas por mês. 
a) Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda. 
b) Para que preço o lucro é Máximo? 
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Resolução. 
a) Sendo "x" o número de fitas vendidas, tem-se que: 
aumentando R$ 1,00; o preço será de R$ 6,00 (5 + 1) e o número de fitas vendidas 
será 4000 – 400 = 3600 
aumentando R$ 2,00; o preço será de R$ 7,00 (5 + 2) e o número de fitas vendidas 
será 4000 – 800 = 3200 (800 = 400 . 2) 
aumentandoR$ 3,00; o preço será de R$ 8,00 (5 + 3) e o número de fitas vendidas 
será 4000 – 1200 = 2800 (1200 = 400 . 3) 
Assim, aumentando "x" reais, o preço será de "5 + x" e o número de fitas vendidas 
será 4000 – 400 . x 
Portanto, o custo, que é o número de peças vendidas pelo valor do preço de custo unitário, 
será de: 
C(x) = (4000 – 400x) . 2 = 8000 – 800x 
 
A receita, que é o número de peças vendidas pelo preço de venda, será de: 
R(x) = (4000 – 400x) . (5 + x) = 20000 + 4000x – 2000x – 400x2 = 20000 + 2000x – 400x2 
 
Assim, o lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, será de: 
L(x) = 20000 + 2000x – 400x2 – (8000 – 800x) 
L(x) = 20000 + 2000x – 400x2 – 8000 + 800x 
L(x) = – 400x2 + 2800x + 12000 
 
b) A função tem ponto de máximo em seu vértice, então para o lucro ser máximo, encontra-
se o xV. 
xV = – b / 2a 
xV = – 2800 / 2 . (–400) 
xV = 2800 / 800 
xV = 3,5. 
Assim, para se ter o lucro máximo deve-se vender a R$ 3,50. 
 
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18. O valor V (em R$), de um equipamento sofre uma depreciação linear com o tempo (em 
"x" em anos) de acordo com o gráfico abaixo: 
a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos? 
b) Qual a depreciação total daqui a 3 anos? 
c) Daqui a quanto tempo o valor do equipamento será zero? 
 
Resolução. 
Observando o gráfico nota-se que trata-se de uma função linear e que V(0) = 500 e que 
V(9) = 200 
Assim, V(x) = ax + b 
V(0) = a . 0 + b 
500 = 0 + b 
500 = b. 
 
Assim, V(x) = ax + 500 
V(9) = a . 9 + 500 
200 = a . 9 + 500 
200 – 500 = 9 . a 
– 300 = 9a 
– 300 / 9 = a 
– 100/3 = a. 
 
como, V(x) = a . x + 500, então: 
V(x) = (– 100/3) . x + 500 
 
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a) O valor do equipamento daqui a três anos se obtem substituindo o "x" por 3. 
V(3) = (– 100/3) . 3 + 500 
V(3) = – 100 + 500 
V(3) = 400. 
 
b) 500 – 400 = 100 
A depreciação total daqui a três anos será de R$ 100,00. 
 
c) como, V(x) = a . x + 500, então: 
0 = (– 100/3) . x + 500 (multiplicando tudo por 3) 
0 = – 100x + 1500 
100x = 1500 
x = 1500/100 
x = 15 
Daqui a 15 anos o valor do equipamento será zero. 
 
19. Um produtor pode fabricar fogões de cozinha ao custo de R$ 140 cada. Os números de 
venda indicam que, se os fogões forem vendidos a "x" reais cada, aproximadamente (850 – 
x) serão vendidos por mês. 
a) Expresse o lucro mensal do produtor em função do preço de venda "x". 
b) Qual o preço ótimo de venda, ou seja, o preço para o qual o lucro é máximo? 
c) Qual é o lucro máximo? 
Resolução. 
O custo total para se fabricar "850 – x" fogões ao custo unitário de R$ 140,00, é: 
C(x) = 140 . (850 – x) = 119000 – 140x 
 
A receita total na venda de "850 – x" fogões com preço de venda unitário a "x" reais, é: 
R(x) = x . (850 – x) = 850x – x2 
 
a) O lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, é: 
L(x) = 850x – x2 – (119000 – 140x) 
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L(x) = 850x – x2 – 119000 + 140x 
L(x) = – x2 + 990x – 119000 
 
b) O preço para o qual o lucro é máximo é igual ao vértice de "x" da função, mas também é 
o valor para o qual a derivada é nula. 
Pelo vértice, tem-se: 
xV = – b / 2a 
xV = – 990 / 2 . (– 1) 
xV = 990 / 2 
xV = 495 
 
Pela derivada, tem-se: 
L(x) = – x2 + 990x – 119000 
L'(x) = – 2x + 990 
0 = – 2x + 990 
2x = 990 
x = 495 
Assim, o preço ótimo de venda é de R$ 495,00. 
 
c) O lucro máximo é obtido pelo vértice de "y" da função ou substituindo o vértice de "x" 
na função. 
L(x) = – x2 + 990x – 119000 
L(495) = – 4952 + 990 . 495 – 119000 
L(495) = – 245025 + 490050 – 119000 
L(495) = – 245025 + 490050 – 119000 
L(495) = 490050 – 360025 
L(495) = 130025 
Assim, o lucro máximo é de R$ 130 025,00. 
 
20. Durante um verão, um grupo de estudantes constrói caiaques em uma garagem adaptada. 
O preço do aluguel da garagem é de R$ 1 500,00 para o verão inteiro e o material necessário 
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para construir cada caiaque custa R$ 125,00. 
Sabendo que os caiaques são vendidos por R$ 275,00 cada. 
a) Escreva as equações da receita e do custo em função do número "x" de caiaques 
produzidos. 
b)Encontre a equação do lucro (em função de x). 
c) Quantos caiaques os estudantes precisam vender para não ter prejuízo? 
Resolução. 
a) O custo total para "x" caiaques produzidos ao preço unitário de R$ 125,00 com custo 
fixo de R$ 1 500,00, é de: 
C(x) = 125x + 1500 
A receita total com a venda dos "x" caiaques ao preço de venda de R$ 275,00, é de: 
R(x) = 275x 
 
b) Dessa forma o lucro será de: 
L(x) = 275x – (125x + 1500) 
L(x) = 275x – 125x – 1500 
L(x) = 150x – 1500 
 
c) Para não ter prejuízo, o lucro é zero, assim: 
L(x) = 150x – 1500 
0 = 150x – 1500 
150x = 1500 
x = 1500/150 
x = 10. 
Assim, para não se ter prejuízo é necessário que seja vendido 10 caiaques. 
 
21. Um buffet estima que se ele tem "x" clientes em uma semana, então as despesas serão de 
C(x) = 550x + 6 500 dólares e o seu faturamento será, aproximadamente, R(x) = 1200x 
dólares. 
a) Expresse o lucro semanal em função do número "x" de clientes. 
b) Determine o lucro que a empresa obterá em uma semana quando tiver 24 clientes. 
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Resolução. 
a) L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = 1200x – (550x + 6500) 
L(x) = 1200x – 550x – 6500 
L(x) = 650x – 6500 
 
b) L(x) = 650x – 6500 
L(24) = 650 . 24 – 6500 
L(24) = 15600 – 6500 
L(24) = 9100 
O lucro da empresa para 24 clientes é de 9 100,00 dólares. 
 
22. Um produtor pode fazer estantes ao custo de 20 dólares cada. Os números de venda 
indicam que, se as estantes forem vendidas a "x" dólares cada, aproximadamente (120 – x) 
serão vendidas por mês. 
a) Encontre as funções custo total, C(x), e receita, R(x) em função do preço de venda "x". 
b) Expresse o lucro mensal do produtor em função do preço de venda "x". 
c) Qual é o lucro do produtor se o preço de venda for de 110 dólares? 
d) Qual o preço de venda que gera um lucro de 4 560 dólares? 
Resolução. 
a) O custo total para se fabricar "120 – x" estantes ao custo unitário de R$ 20,00, é: 
C(x) = 20 . (120 – x) = 240 – 20x 
A receita total na venda de "120 – x" estantes com preço de venda unitário a "x" dólares, é: 
R(x) = x . (120 – x) = 120x – x2 
b) O lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, é: 
L(x) = 120x – x2 – (240 – 20x) 
L(x) = 120x – x2 – 240 + 20x 
L(x) = – x2 + 140x – 240 
c) O lucro para o preço de venda ser de 110 dólares. 
L(x) = – x2 + 140x – 240 
L(110) = – 1102 + 140 . 110 – 240 
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L(110) = – 12100 + 15400 – 240 
L(110) = 15400 – 12340 
L(110) = 3060. 
Assim, o lucro seria de R$ 3 060,00. 
d) O preço de venda para o lucro de 4 560 dólares, é: 
L(x) = – x2 + 140x – 240 
4560 = – x2 + 140x – 240 
4560 + x2 – 140x + 240 = 0 
x2 – 140x + 4800 = 0 
∆ = (– 140)2 – 4 . 1 . 4800 
∆ = 19600 – 19200 
∆ = 400 
x = (140 ± 20) / 2 
x'(x) = (140 + 20) / 2 = 160/2 = 80 
x''(x) = (140 – 20) / 2 = 120/2 = 60 
Assim, sendo vendidas60 ou 80 estantes o lucro será de 4 560 dólares. 
 
 
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2. LIMITE E CONTINUIDADE 
 
2.1. IDÉIA INTUITIVA DE LIMITE E DEFINIÇÃO INFORMAL. 
Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente porque está sendo 
aquecida. Se x = comprimento do lado, A = área, temos que A = x2. Quanto mais x se avizinha 
de 3, a área A tende a 9. Simbolicamente: 
2
3
lim 9
x
x


 
 
O que importa é como a função f está definida próximo de a, não importando o que acontece 
em a. 
 Se f é uma função e a é um número, escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


 
e dizemos “o limite de f(x) , quando x tende a a, é igual a L” se pudermos tornar os valores 
de f(x) próximos de L ( tão próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente 
próximos de a, mas não igual a a. 
 
Isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do número L, a medida 
que x tende ao número a ( por qualquer lado de a), mas x ¹ a . 
 Exemplo. 
2
lim ( )
x
f x

, quando 
( ) 2f x x 
 
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x*x
2( )f x x
 
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Observe pelo gráfico que, a medida de o valor de x se aproxima de 2, o valor de y=f(x) se 
aproxima de 4. Dizemos então que lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) = 4. 
Exemplo. 
2
lim ( )
x
f x

 , 2 4
( )
2
x
f x
x



. 
 
 
Observe pelo gráfico que, a medida de o valor de x se aproxima de 2, o valor de y=f(x) se 
aproxima de 4. Estamos preocupados com os valores próximos de x=2, e não no valor exato 
de x=2. Dizemos então que lim
𝑥→2
(
𝑥2+4
𝑥−2
) = 4. 
 
Exemplo. 
2
lim ( )
x
f x

 , 
2 , 2
( )
6 , 2
x x
f x
x
 
 

 
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x+2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(x*x-4)/(x-2)
Observe que a função não 
está definida para x=2 
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Observe pelo gráfico que, a medida de o valor de x se aproxima de 2, o valor de y=f(x) se 
aproxima de 4. Estamos preocupados com os valores próximos de x=2, e não no valor exato 
de x=2. Dizemos então que lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 4. 
Observe ainda que, para x=2, a função retorna como imagem o valor 6. 
 
2.2. PROPRIEDADES BÁSICAS DE LIMITES 
 
Suponha que 
lim ( )
x a
f x L


 e que 
lim ( )
x a
g x M


. Então: 
 
1) 
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
    
 
2) 
lim[ ( )] lim ( )
x a x a
cf x c f x cL
 
 
, onde c é uma constante qualquer. 
3) 
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
       
   
 
4) Se 
lim ( ) 0
x a
g x M

 
 então lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x L
g x g x M



 
 
5) 
 lim ( ) lim ( )
n
n n
x a x a
f x f x L
 
  
 
 , onde n é inteiro positivo qualquer. 
 
6) 
lim ( ) lim ( ) nn n
x a x a
f x f x L
 
 
 , onde L > 0 e n inteiro positivo qualquer ou L  0 e n inteiro 
positivo ímpar qualquer. 
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
(x*x-4)/(x-2)
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7) 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x L
 
 
 
8) 
lim
x a
c c


 , c é constante qualquer. 
9) 
lim
x a
x a


 
 
2.3. CONTINUIDADE 
O conceito de continuidade é um conceito fundamental no Cálculo Diferencial, quando 
tratamos das funções. Se contínua em alguns ou todos os pontos de seu domínio são hipóteses 
que com frequências precisamos considerar quando precisamos provar alguns resultados. 
Intuitivamente, uma função continua em um ponto P de seu domínio é uma função que não 
apresenta “salto” em P. 
 
Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições 
forem válidas: 
(i) f(a) é definido 
(ii) 
lim ( )
x a
f x L


 existe 
(iii) 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 
 
Exemplo- A função f definida por 
2( ) 3f x x 
 é contínua em 0? 
(i) f(0)=02-3=-3 
(ii) 
2
0 0
lim ( ) lim 3 3
x x
f x x
 
   
 
(iii) 
0
lim ( ) (0)
x
f x f


 
Se qualquer das condições (i), (ii) e (iii) da definição falhar, dizemos que f é descontínua no 
número a. 
Uma função f é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do intervalo. 
 
 
 
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Exemplo - A função f não é contínua . 
3 2 3
( )
5 3
x x
f x
x x
 
 
 
 
 
Observamos pelo gráfico a descontinuidade em x=3 
 
 
 
Exemplo - A função Heaviside H, que homenageia o engenheiro elétrico Oliver Heaviside 
(1850-1920), é usada para descrever uma corrente elétrica que é estabelecida quando t = 0. 
Esta função é definida por 






01
00
)(
tse
tse
tH
. 
 
Esta função não é contínua. 
 
 
Suponha que f é uma função descontínua em a, mas 
lim ( )
x a
f x

 exista. Então, ou 
( ) lim ( )
x a
f a f x


 ou f(a) não existe. Tal descontinuidade é chamada removível uma vez que 
se f for redefinida em a, de forma que 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 então f tornar-se-ia continua em a. 
Se a descontinuidade não for removível ela é chamada de essencial. 
 
2.4. LIMITES LATERAIS 
Escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


 e dizemos que o limite a esquerda de f(x) quando x tende a a ( 
ou o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda ) é igual a L se pudermos tornar os valores 
de f(x) arbitrariamente próximos de L, tornando-se x suficientemente próximo de a e x menor 
do que a. 
 
3 
7 
2 
1 
x 
y 
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Analogamente, se for exigido que x seja maior do que a, obteremos o limite a direita de f(x) 
quando x tende a a como sendo igual a L e escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


 
Se os dois limites laterais existem e têm o mesmo valor, o limite da função no ponto existe e 
todos os três limites têm o mesmo valor. 
Ou seja, Se 
lim ( )
x a
f x L


 e 
lim ( )
x a
f x L


 então temos que 
lim ( )
x a
f x L


 
Exemplo: 
A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do 
centro do planeta é 
 
 
 onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. Fé uma função 
contínua de r? 
 
Para valores de r menores que R a função é contínua e para valores maiores também. A 
questão é verificar se no ponto r=R a função é continua. 
 
Precisamos determinar os limites laterais e verificar se são iguais. 
Calculando o limite a esquerda, pensamos em valores menores do que R. 
lim
𝑟→𝑅−
𝐹(𝑟) = lim
𝑟→𝑅
𝐺𝑀𝑟
𝑅3
=
𝐺𝑀𝑅
𝑅3
=
𝐺𝑀
𝑅2
 
Calculando o limite a direita, pensamos em valores maiores do que R. 
 
lim𝑟→𝑅+
𝐹(𝑟) = lim
𝑟→𝑅
𝐺𝑀
𝑟2
=
𝐺𝑀
𝑅2
 
Como os limites laterais são iguais, a função é continua também para r=R 
 
SAIBA MAIS. 
2.5. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO: INTRODUÇÃO/MOTIVAÇÃO. 
Os limites infinitos e no infinito têm tudo a ver com crescimento, decrescimento e 
assíntotas. Com o auxílio da noção de Limite, podemos analisar o comportamento de uma 
função quando a variável cresce "muito", em valor absoluto. Podemos também observar 









Rrse
r
GM
Rrse
R
GMr
rF
2
3
)(
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NOTAS DE AULA. 
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quando a variável tende a um valor fixo e a função cresce "muito". 
As assíntotas horizontais ocorrem quando uma função se aproxima de um valor finito, 
ficando muito próxima desse valor, enquanto a variável cresce muito, em valor absoluto, 
enquanto que as assíntotas verticais ocorrem quando a função cresce muito, em módulo, 
enquanto a variável se aproxima de um valor finito. 
 
2.6. LIMITES INFINITOS 
Seja I um intervalo aberto que contém o número real a. Seja uma função definida em I-{a} . 
Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) cresce (decresce) ilimitadamente e 
escrevemos: 
lim ( )
x a
f x 

 
 
Observe 
2
1
( )f x
x

 em x=0 
 
Exemplo - 
4
( )
2 3
f x
x


 
 
 
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
-1 -0.5 0 0.5 1
1/(x*x)
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10
4/(2*x-3)
0
lim
x
 
 
3/2 
3
2
4
lim
2 3x x


 

 
 
3
2
4
lim
2 3x x


 

 
 
 
 
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Atenção: Observe que  não é um número. O limite não existe. O símbolo é apenas uma 
forma particular de expressar a não existência do limite, significa que a função pode assumir 
valores tão grandes quanto quisermos. 
 
Teorema Seja 
( )
( )
( )
p x
f x
q x

. Se o denominador da fração tende a zero enquanto o numerador 
tende a um número qualquer diferente de zero, a fração tenderá a ter um enorme valor 
absoluto, i.e., 
Se 
lim ( ) 0
x a
p x L

 
 e 
lim ( ) 0
x a
q x


 então 
( )
lim
( )x a
p x
q x
 
 
Ou ainda 
Se 
lim ( ) 0
x a
p x L

 
 e 
lim ( ) 0
x a
q x


 e 
 I ) se 
0
)(
)(

xg
xf
 , quando 
ax 
 então 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax
 
 II ) se 
0
)(
)(

xg
xf
 , quando 
ax 
 então 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax
 
Exemplo- 2
2
2 5 1
( ) , 3
6
x x
f x a
x x
 
 
 
 
 a esquerda 
3
( )
lim ( )
( )x
p x
f x
q x

  
 
 
 a direita 
3
( )
lim ( )
( )x
p x
f x
q x

  
 
 f não tem limite, finito ou infinito. 
 
Exemplo: 
21 )1(
23
lim


 x
x
x
 Fazendo o estudo do sinal: 
 -2/3 1 
23 x
 - + + 
2)1( x
 + + + 
)()( xgxf
 - + + 
 

 )(
)(
lim0
)(
)(
xg
xf
xg
xf
ax
 
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2.7. LIMITES NO INFINITO 
 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a,+). Dizemos que, quando x cresce 
ilimitadamente ( ou indefinidamente ), f(x) se aproxima do número L e escrevemos: 
Lxf
x


)(lim
 
Analogamente podemos definir os seguintes limites: 
 
Lxf
x


)(lim
, 


)(lim xf
x
 e 


)(lim xf
x
 
Exemplo: Observe 
1
( )f x
x

 
 
 
Teorema Se n é um número inteiro e positivo, então: 
 


n
x
xlim
 
 






 imparfornse
parfornse
xn
x
lim
 
Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então 
 
Teorema : Se 
0,)( 10  n
n
n axaxaaxf 
 é uma função polinomial, então: 
n
n
xx
xaxf

 lim)(lim
 
Exemplo : 


535 lim13lim xxxx
xx
 
 
-100
-50
0
50
100
-1 -0.5 0 0.5 1
1/x
0
1
lim
1
lim 





 nx
n
x xx
lim ( ) 0
lim ( ) 0
x
x
f x
f x




 
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Teorema: Se 
0,)( 10  n
n
n axaxaaxf 
 e 
0,)( 10  m
m
m bxbxbbxg 
 
são funções polinomiais, então: 
m
m
n
n
xx xb
xa
xg
xf

 lim
)(
)(
lim
 
Exemplo : 
5
3
5
3
lim
15
23
lim 


 x
x
x
x
xx
 
 
Exemplo: 
 
 
Exemplo: 
 
 
2.8. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 
 
Limites infinitos são úteis no traçado de gráficos pois podem ser usados para localização de 
assíntotas destes gráficos. 
Considere 
2 6
( )
5
x
f x
x



 
 
 
Da mesma maneira, a linha horizontal y = 2 é chamada assíntota horizontal do gráfico, pois 
lim ( ) 2
x
f x


 e 
lim ( ) 2
x
f x


 
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-10 -5 0 5 10
(2*x-6)/(x-5)
0
5
2
lim
5
2
lim
5
32
lim
3
2
3
2


 xx
x
x
x
xxx
0
1
limlimlim
101
100
100101
99100



 xx
x
xx
xx
xxx
x = 5 
y = 2 
Note a maneira pela qual o gráfico se 
aproxima da reta vertical x = 5. 
5
lim ( )
x
f x

 
 e 
5
lim ( )
x
f x

 
 
 
Essa reta é chamada de assíntota 
vertical do gráfico 
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A linha reta vertical x = a é chamada assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos 
uma das seguintes condições for válida: 
(i) 
lim ( )
x a
f x

 
 
(ii) 
lim ( )
x a
f x

 
 
(iii) 
lim ( )
x a
f x

 
 
(iv) 
lim ( )
x a
f x

 
 
A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo 
menos uma das seguintes condições for válida: 
(i) 
lim ( )
x
f x b


 (ii) 
lim ( )
x
f x b


 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Calcule o limite lim
𝑥→3
5𝑥2−8𝑥−13
𝑥2−5
 
 
2. Determine lim
𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3
 
Observe que não podemos substituir o valor de 3 no lugar de x pois teremos 0/0. Assim, 
precisamos transformar a fração de modo que possamos fazer a substituição. Utilizamos a 
fatoração conhecida como diferença de dois quadrados. 
 
 
 
 
3. Determine 
 
6)3(lim
3
)3)(3(
lim
3
9
lim
33
2
3







x
x
xx
x
x
xxx
3
32
lim
2
3 

 x
xx
x
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Observe que não podemos substituir o valor de 3 no lugar de x pois teremos0/0. Assim, 
precisamos transformar a fração de modo que possamos fazer a substituição. Utilizamos a 
fatoração conhecida como Produto de Stevin. 
 
 
 
4. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta: 
(a) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2 (b) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = ∞ 
(c) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) − 2 (d) lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 2 
(e) f(1)=2 
 Gabarito: C 
 
5. Observando a função abaixo podemos afirmar que: 
 
 
(a) É uma função contínua. (b) É descontínua para x=3. (c) Não é uma função. (d) Nada 
podemos afirmar. 
Resp: (b) É descontínua para x=3. 
 
6. Determine os limites abaixo 
 
4)1(lim
3
)1)(3(
lim
3
32
lim
33
2
3







x
x
xx
x
xx
xxx
3;
39
35
)( 





 a
xsex
xsex
xf
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3. DERIVADA 
 
3.1. CONCEITUAÇÃO 
Inúmeros são os exemplos nos quais observamos a necessidade do cálculo de taxas de 
variação: taxa de velocidade de um corpo em movimento, taxa de crescimento de certa 
população, taxa de crescimento econômico de um país, taxa de mortalidade infantil, taxa de 
variação de temperatura, dentre outros. O conceito de derivada está relacionado à taxa de 
variação instantânea de uma função. 
 
3.2. TAXAS DE VARIAÇÃO 
Podemos citar vários tipos de taxas de variação em diversas áreas de interesse 
(i) física - A velocidade de uma partícula é a taxa de variação do deslocamento em 
relação ao tempo. Potência é a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo. 
(ii) química – Taxa de reação é a taxa de variação da concentração de um reagente em 
relação ao tempo. 
(iii) siderurgia – Custo marginal é a taxa de variação do custo de produção de x toneladas 
de aço por dia em relação a x. 
(iv) biologia – Taxa de variação populacional de uma colônia de bactérias no tempo 
 
3.3. VELOCIDADE DE UM AUTOMÓVEL 
Suponha um objeto se movendo sobre uma linha reta de acordo com a equação s=f(t), 
onde s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. Dessa forma, a função f, 
chamada função posição, descreve o movimento do objeto. 
A velocidade média no intervalo de tempo entre t e t+h é calculada: 
h
tfhtf
tempo
todeslocamen
mediavelocidadevmedia
)()( 

 
 
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Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores, em 
outras palavras, façamos com que h tenda a zero. Este raciocínio os fornecerá a velocidade 
instantânea do objeto. 
 
3.4. TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA GERAL 
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade. Dizemos, portanto que y 
é uma função de x e escrevemos y=f(x). 
Se x varia de x1 para x2 , a variação de x (incremento de x ) é ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1. 
A variação correspondente de y é ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 
A razão 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
 
É chamada de taxa de variação média de y em relação a x quando x varia de x1 para x2 . 
 
Já que ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 ⇒ 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 podemos escrever: 
 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
Se y=f(x) definiremos de taxa de variação instantânea de y em relação a x no instante em 
que x=x1 como: 
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
Observação: Para calcular a taxa de variação média, nesse caso, você poderia simplesmente 
substituir os valores na função volume. 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
=
𝑓(2,01) − 𝑓(2)
0,01
=
2,013 − 23
0,01
= 12 
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3.5. PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO DA DERIVADA 
O conceito de derivada está relacionado também com o conceito de tangência. Do ponto de 
vista geométrico, a derivada é a reta tangente à uma curva em um ponto dado desta curva, 
enquanto que do ponto de vista trigonométrico, a derivada é igual à tangente do ângulo que 
essa reta faz com o eixo dos x. 
 
3.6. COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UM GRÁFICO EM UM 
PONTO 
Suponha que queremos calcular a reta tangente ao gráfico de uma função f em 
),( 11 yxP 
 
com 
)( 11 xfy 
. Observe que a reta tangente é a linha reta que contém P e “melhor 
aproxima” o gráfico de f nas vizinhanças de P. 
 
Para determinarmos a equação da reta tangente necessitamos de um ponto (já temos P) e do 
coeficiente angular da reta. 
 
Consideremos um ponto vizinho a P, também pertencente a f, 𝑄 = (𝑥1 + ∆𝑥, 𝑦1 + ∆𝑦) =
(𝑥1 + ∆𝑥, 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥)). 
O coeficiente angular da reta secante PQ será 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
Fazemos então Q se aproximar de P cada vez mais. Note que se 
0x
 o ponto Q coincide 
com o ponto P, e, portanto, a reta secante tenderá a reta tangente. Em outras palavras, a reta 
tangente é a posição limite da reta secante PQ quando Q tende a P. 
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A inclinação da tangente será, portanto, 
𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 
Seja f função definida pelo menos em algum intervalo contendo o número x1 e seja𝑦1 =
𝑓(𝑥1) . Se o limite 𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 existe, diremos que a linha reta 
no plano xy contendo o ponto 
1 1( , )x y
 e tendo coeficiente angular m é a reta tangente ao 
gráfico de f em (𝑥1, 𝑦1) . 
 
3.7. A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
A derivada de uma função em um número x1 , denotado por f’(x1) é 
𝑓´(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
se o limite existe. 
 
Observação: A reta tangente a y=f(x) em (x1,f(x1)) é a reta que passa por (x1,f(x1)) e tem 
inclinação igual a f’(x1) , que é a derivada de f em x1. 
 
Dada uma função f, a função f’ definida por 
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NOTAS DE AULA. 
PROF DRA. DENISE CANDAL. 
 
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1 1
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
f x x f xy
f x
x x   
 
  
 
 
é chamada a derivada de f. 
Notações: 
)()()()( xfDxDfxf
dx
d
dx
df
dx
dy
yxf x
 
 
3.8. DIFERENCIAÇÃO 
 
Diferenciação é o processo de cálculo de uma derivada. 
Observação: Os símbolos D e d/dx são ditos operadores diferenciais, uma vez que indicam 
a operação de diferenciação. 
Uma função f é diferenciável em a se f’(a) existir. É diferenciável em um intervalo aberto 
(a,b) ( ou (a,) ou (-,a) ou (-,)) se for diferenciável em cada número do intervalo. 
 
Teorema: Se f for diferenciável em a, então f é continua em a. 
A recíproca do teorema não é verdadeira. Existem funções que são contínuas, mas não são 
diferenciáveis. 
 
Exemplo: 
xxf )(
 é uma função contínua em 0, mas não é diferenciável. 
 
De fato, 
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





0
0
)(
xsex
xsex
xf
 
Temos então que determinar 
1 1
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
f x x f xy
f x
x x   
 
  
 
.Calculando o limite a esquerda e a direita: 
11limlim
)()(
lim
)()(
lim)(
0000










 

xxxx x
x
x
xxx
x
xfxxf
xf
 
 
11limlim
)()(
lim
)()(
lim)(
0000










 

xxxx x
x
x
xxx
x
xfxxf
xf
 
 
O limite, portanto, não existe, já que o limite à direita é diferente do limite à esquerda. Assim, 
a função não é diferenciável. 
 
Como uma função pode não ser diferenciável? 
(i) Em geral se o gráfico de uma função tiver uma “quina” ou uma “dobra”, este gráfico não 
terá tangente neste ponto e, portanto, f não será diferenciável ali. O que ocorre é que ao 
calcularmos f’(a) descobriremos que o limite à direita será diferente do limite à esquerda. 
(ii) Pelo teorema acima, se f for descontínua em a, f não será diferenciável em a. 
(iii) Quando a curva tem uma reta tangente vertical em x=a. 
 
 
 (i) (ii) (iii) 
 
 
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS. 
 
1. Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) =
5
𝑥5
−
25
𝑥
 
Resolução. 
 
 
 
2. Determine a derivada da função 
Resolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determinando a derivada da função 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 10𝑥)(3𝑥4 − 10), obtemos: 
Gabarito 18𝑥5 + 150𝑥4 − 20𝑥 − 100 
 
4. Determinando a derivada da função 𝑓(𝑥) =
3𝑥+10
𝑥−5
, obtemos 
Gabarito: 
−25
𝑥2−10𝑥+25
 
 
5.Calcule a derivada da função e determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
da função no valor de x dado 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
9
𝑥
, 𝑥 = −3 
Gabarito: 𝑓´(𝑥) = 1 +
9
𝑥2
; f´(-3) = 2 
 
(b) 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2, 𝑥 = −1 
15
5
255
255
)(   xx
xx
xf 26
26 25252525)´(
xx
xxxf 

 
23
12
)(
2
2



xx
xx
xf
   
22
2222
)23(
)´23(12)23´(12
)´(



xx
xxxxxxxx
xf
   
22
22
)23(
)32(12)23(14
)´(



xx
xxxxxx
xf
22
223223
)23(
)323264()238124(
)´(



xx
xxxxxxxxxx
xf
22
2
)23(
567
)´(



xx
xx
xf
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NOTAS DE AULA. 
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Gabarito: 𝑔´(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥; g´(-1)=5 
 
6. A figura a seguir mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D. 
(a) Em que pontos do domínio existe a derivada da função? 
(b) Em que pontos do domínio a função é contínua, mas não existe a derivada? 
(c) Em que pontos do domínio a função não é contínua e nem diferenciável (ou seja, não 
existe a derivada)? 
 
Em que pontos do domínio existe a derivada da função? 
Em que pontos do domínio a função é contínua, mas não existe a derivada? Nenhum 
Em que pontos do domínio a função não é contínua e nem diferenciável (ou seja, não existe 
a derivada)? Nenhum. 
 
3.9. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 
 
1) Regra da constante 
A derivada da função constante é zero, ou seja, 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑐, ∀𝑥, onde c é uma constante, então, 𝑓´(𝑥) = 0 
Outras notações: 
0xD c 
 ou 
0
d
c
dx

 
Exemplo: f(x)= 5 . f´(x) = 0 
 
2) Regra da identidade 
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Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 , então, 𝑓´(𝑥) = 1 
Outras notações: 
1xD x 
 ou 
1
d
x
dx

 
3) Regra da potência 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, com n inteiro positivo, então, 𝑓´(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 
Outras notações: 
1n n
xD x nx

 ou 
1n nd x nx
dx

 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 𝑥21 
𝑓´(𝑥) = 21𝑥20 
4) Regra da Homogeneidade 
Se temos uma função f, uma constante c e uma função 𝑔(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) , então, se 𝑓´(𝑥) 
existe, temos que 𝑔´(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓´(𝑥). 
Outras notações: 
x xD cu cD u
 ou 
d du
cu c
dx dx
 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 10𝑥5 
𝑓´(𝑥) = 10 ∙ (𝑥5)´ 
𝑓´(𝑥) = 10 ∙ 5(𝑥4) 
𝑓´(𝑥) = 50𝑥4 
5) Regra da soma 
Se temos duas funções f e g e outra função h definida por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), então se f´(x) 
e g´(x) existirem, temos que ℎ´(𝑥) = 𝑓´(𝑥) + 𝑔´(𝑥) 
Outras notações: 
( )x x xD u v D u D v  
 ou 
( )
d du dv
u v
dx dx dx
   
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥7 
𝑓´(𝑥) = 3 ∙ 5𝑥4 + 2 ∙ 7𝑥6 
𝑓´(𝑥) = 15𝑥4 + 14𝑥6 
 
 
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5) Regra do Produto ( Leibnitz ) 
Se temos duas funções f e g e uma outra função definida por por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), então se 
f´(x) e g´(x) existirem, temos que 
ℎ´(𝑥) = 𝑓´(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔´(𝑥) 
Outras notações: 
( )x x xD uv D u v u D v   
 ou 
( )
d du dv
u v v u
dx dx dx
   
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37) 
𝑓´(𝑥)
= (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)´(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37) + (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37)´ 
𝑓´(𝑥) = (14𝑥6 + 6𝑥)(5𝑥3 + 4𝑥2 + 10𝑥 + 37) + (2𝑥7 + 3𝑥2 + 30)(15𝑥2 + 8𝑥 + 10) 
 
A partir daí você pode efetuar as multiplicações e reduzir os termos semelhantes. 
 
6) Regra do Quociente 
Se temos duas funções f e g, 𝑔(𝑥) ≠ 0 e uma outra função definida por por ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, então 
se f´(x) e g´(x) existirem, temos que 
ℎ´(𝑥) =
𝑓´(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔´(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
Outras notações: 
2
( ) x xx
D u v u D vu
D
v v
  

 ou 
2
( )
du dv
v u
d dx dxu v
dx v

 
 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) =
𝑥5 + 3𝑥
2𝑥3 + 10
 
𝑓´(𝑥) =
(𝑥5 + 3𝑥)´(2𝑥3 + 10) − (𝑥5 + 3𝑥)(2𝑥3 + 10)´
(2𝑥3 + 10)2
 
 
𝑓´(𝑥) =
(5𝑥4 + 3)(2𝑥3 + 10) − (𝑥5 + 3𝑥)(6𝑥2)
(2𝑥3 + 10)2
 
 
A partir daí você pode efetuar as multiplicações e reduzir os termos semelhantes. 
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3.10. REGRA DA CADEIA 
Suponha que queiramos diferenciar a função 𝑦 = (𝑥2 + 5𝑥)3. Ou seja, queremos determinar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 . Podemos expandir, ou seja, elevar a terceira potência utilizando produtos notáveis e 
diferenciar. Mas observe que, em muitos casos, isso será impraticável, dependendo do 
expoente. Isso acontece porque estamos lidando com uma função composta. 
 
A regra da cadeia é uma regra de derivação que nos permite calcular a derivada de uma 
composição de funções. 
(𝑓𝑜𝑔)´(𝑥) = 𝑓´(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔´(𝑥) 
 
Utilizando a notação de Leibniz, esse resultado pode ser escrito como: 
 
Se y é uma função de u e se u é uma função diferenciável de x então y é uma função 
diferenciável de x e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
Exemplo: Determine a derivada de 𝑦 = (2𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑥 + 10)3 
Primeiramente, derivamos a “função potência de 3”, a seguir, derivamos o que está dentro 
do parêntesis. 
𝑦´ = 3(2𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑥 + 10)2(6𝑥2 + 10𝑥 + 1) 
 
3.11. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
Exemplo: Encontre todas as derivadas de ordem superior da função polinomial. 
𝑓(𝑥) = 10𝑥5 − 2𝑥4 + 5𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 + 50 
 
 
𝑓´(𝑥) = 50𝑥4 − 8𝑥3 + 15𝑥2 − 2𝑥 + 2 
𝑓´´(𝑥) = 200𝑥3 − 24𝑥2 + 30𝑥 − 2 
𝑓´´´(𝑥) = 600𝑥2 − 48𝑥 + 30 
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𝑓𝑖𝑣(𝑥) = 1.200𝑥 − 48 
𝑓𝑣(𝑥) = 1.200 
 
𝑓𝑣𝑖(𝑥) = 0Notações: 
Derivada primeira: 𝑦´ = 𝑓´(𝑥) 
Notação de Leibniz: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) 
 
Segunda derivada: (𝑦´)´ = 𝑦´´ = 𝑓´´ (𝑥) 
Notação de Leibniz: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑓(𝑥) 
 
N-ésima derivada: (𝑦(𝑛−1))´ = 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑛)(𝑥) 
Notação de Leibniz: 
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
=
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑓(𝑥) 
 
3.12. O QUE F’ NOS DIZ SOBRE F? 
 
TESTE FUNÇÃO CRESCENTE/DECRESCENTE (Cálculo vol. 1 Munen e Foulis) 
Considere uma função f seja definida e contínua no intervalo I. Considere ainda f 
diferenciável xI, não necessariamente nos pontos extremos de I. 
(i) Se 
( ) 0,f x x I   
, exceto possivelmente nos pontos extremos de I, então f é crescente 
em I. 
(ii) Se 
( ) 0,f x x I   
, exceto possivelmente nos pontos extremos de I, então f é 
decrescente em I. 
 
Exemplo: Determine os intervalos nos quais 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 é crescente e decrescente. 
Vamos utilizar o teste da função crescente/decrescente. 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 
Observe que para qualquer valor de x, temos que a derivada de x é positiva. 
Assim, a função é crescente. 
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3.13. CONCAVIDADE 
Considere uma função f diferenciável no intervalo aberto I. 
O gráfico de f tem a concavidade para cima em I se f’ for uma função crescente em I. 
O gráfico de f tem a concavidade para baixo em I se f’ for uma função decrescente em I. 
 
3.14. O QUE F’’ NOS DIZ SOBRE F ? 
TESTE DA CONCAVIDADE. (Cálculo vol. 1 Munen e Foulis) 
Considere uma função f duas vezes diferenciável no intervalo aberto I. 
(i) Se 
( ) 0,f x x I   
então o gráfico de f possui concavidade para cima em I 
(ii) Se 
( ) 0,f x x I   
então o gráfico de f possui concavidade para baixo em I 
Exemplo: Determinar a concavidade da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3. 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 6𝑥 = 0 𝑥 = 0 
Para valores de x maiores que 0, temos que 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 > 0. E, portanto, o gráfico terá 
concavidade para cima. 
Para valores de x menores que 0, temos que 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 < 0. E, portanto, o gráfico terá 
concavidade para baixo. De fato, veja o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3. 
 
 
3.15. PONTO DE INFLEXÃO 
Dizemos que um ponto P sobre uma curva é um ponto de inflexão se a curva mudar de 
côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa neste ponto P. 
Exemplo: 
No exemplo 𝑓(𝑥) = 𝑥3, temos que em x=0 o gráfico muda de côncavo para convexo. 
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3.16. EXTREMOS RELATIVOS 
Se pensarmos em uma cordilheira, a Cordilheira dos Andes, por exemplo, como uma função, 
podemos perceber que há vários “picos”. Cada um deles é um máximo local, ou seja, é a 
maior altura, o maior valor em uma vizinhança próxima. 
 
3.17. MÁXIMO RELATIVO 
Dizemos que uma função f possui um máximo relativo ou um máximo local em um ponto de 
abscissa c se existe um intervalo aberto contendo este ponto de abscissa c tal que f seja 
definida em I e 
( ) ( ) ,f c f x x I  
. 
Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 possui máximo relativo em x=-1. 
 
3.18. MÍNIMO RELATIVO 
Dizemos que uma função f possui um mínimo relativo ou um mínimo local em um ponto de 
abscissa c se existe um intervalo aberto contendo esse ponto de abscissa c tal que f seja 
definida em I e 
( ) ( ) ,f c f x x I  
. 
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NOTAS DE AULA. 
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Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 possui mínimo relativo em x=1. 
 
3.19. PONTO CRÍTICO 
Dizemos que um ponto de abscissa c é um ponto crítico para a função f quando f é definida 
em c, mas não é diferenciável em c, ou seja, quando a derivada no ponto de abscissa c for 
zero: 
( ) 0f c 
. 
Para que a função não seja diferenciável em c, precisamos que a tangente seja zero, e, como 
tangente é definida como sendo seno do angulo dividido pelo cosseno do angulo, temos que 
o seno do angulo que a reta tangente faz com o eixo x precisa ser zero, ou seja, o angulo 
precisa ser zero. 
 
Exemplo: Vamos determinar os pontos críticos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 3 = 0 
𝑥 = ±1 
Se observarmos o gráfico 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3, confirmamos que em x=-1 e x=1 temos os 
pontos críticos. A derivada nesses pontos é zero, o que significa que a tangente nesses pontos 
é paralela ao eixo x. 
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NOTAS DE AULA. 
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IMPORTANTE: 
Se a função f possui um extremo relativo em um ponto c então c é um ponto crítico para f. 
 
3.20. TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS 
Considere uma f função definida e continua em (a,b). Suponha um ponto de abscissa 
( , )c a b
 e suponha ainda que f seja diferenciável em todo ponto pertencente ao intervalo 
aberto (a,b), exceto possivelmente em c. 
(i) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
 e 
( ) 0, ( , )f x x c b   
 então f possui máximo relativo em c 
(ii) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
 e 
),(,0)( bcxxf 
 então f possui mínimo relativo 
 
 
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NOTAS DE AULA. 
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3.21. TESTE DA SEGUNDA DERIVADA 
Considere a função f diferenciável no intervalo aberto I e considere ainda que c seja um ponto 
pertencente ao intervalo aberto I tal que 
( ) 0f c 
 e 
( )f c
 exista. 
(i) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
então f possui um mínimo relativo em c 
(ii) Se 
( ) 0, ( , )f x x a c   
então f possui um máximo relativo em c 
 
 
 3.22. COMO FAZER PARA ENCONTRAR OS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA 
FUNÇÃO F? 
A princípio, precisamos encontrar a derivada da função f: f’ 
A seguir, devemos encontrar os pontos críticos para f, isto é, encontrar os pontos cDom(f) 
para os quais 
( )f c
 não existe e os pontos c para os quais 
( ) 0f c 
 
Devemos então, testar cada um dos pontos críticos, substituindo-os na função f, para 
verificarmos quando ele será um máximo relativo, um mínimo relativo ou não será um 
extremo relativo. Podemos utilizar os testes da primeira ou segunda derivadas. 
 
3.23. MÁXIMO ABSOLUTO 
Consideremos uma função f definida no intervalo I, e suponha um ponto c pertencente a esse 
intervalo I: cI. 
Se 
( ) ( )f c f x
 , xI, então dizemos que, no intervalo I, a função f atinge o seu valor 
máximo absoluto f(c) no ponto c. 
 
3.24. MÍNIMO ABSOLUTO 
Consideremos uma função f definida no intervalo I, e suponha um ponto c pertencente a esse 
intervalo I: cI. 
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NOTAS DE AULA. 
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Se 
( ) ( )f c f x
 xI, então dizemos que, no intervalo I, a função f atinge o seu valor mínimo 
absoluto f(c) no ponto c. 
 
3.25. EXTREMO ABSOLUTO 
Se f atinge um valor máximo absoluto ou mínimo absoluto em c, então dizemos que possui 
um extremo absoluto em c. 
 
 
3.26. TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE EXTREMOS ABSOLUTOS 
Se f é uma função definida e contínua em [a,b] então 
(a) f atinge um valor máximo absoluto em algum ponto em [a,b] e 
(b) f atinge um valor mínimo absoluto em algum ponto em [a,b]. 
 
3.27. COMO ENCONTRAR EXTREMOS ABSOLUTOS DE UMA FUNÇÃO 
CONTÍNUA EM UM INTERVALO FECHADO? 
A princípio devemos encontrar todos os pontos críticos c para a função f no intervalo aberto 
(a,b) 
A seguir, calcule os valores f(c) da função para cada um dos valores encontrados como pontos 
críticos.Calcule também os valores de f nos pontos extremos a e b do intervalo, ou seja, f(a) e f(b). 
Note que podemos concluir que o maior de todos os números calculados é o máximo absoluto 
de f em [a,b] e o menor desses números é o mínimo absoluto de f em [a,b]. 
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Exemplo: Vamos determinar o mínimo absoluto da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3 em [-3,3] 
Determinando os pontos críticos: 
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Calculando os valores da função nos pontos críticos: 
𝑓(0) = 3 
Calculando os valores da função nos extremos do intervalo: 
𝑓(−3) = 12 
𝑓(3) = 12 
O maior dos valores, 12, é o máximo absoluto desse intervalo [-3,3]. 
O menor dos valores, 3, é o mínimo absoluto desse intervalo [-3,3]. 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. 
1. Calcule as Derivadas: 
a) f(x) = x² 
Resposta: 
f'(x) = 2x 
 b) f(x) = 20 
Resposta: 
f'(x) = 0 
c) f(x) = 5x³ + 2x 
Resposta: 
f'(x) = 3.5x² + 2 = 15x² + 2 
d) f(x) = x³ + 1000 
Resposta: 
f'(x) = 3x² 
e) f(x) = x³ + x² + x + 1 
Resposta: 
f'(x) = 3x² + 2x + 1 
 
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2. Calcule a derivada usando as regras do produto e do quociente: 
a) f(x) = x(x
2
+1) 
Resposta: 3x
2
+1 
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−2
 
Resposta: -2/(x-2)
2
 
 
3. Encontre o máximo e o mínimo absoluto no intervalo dado: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 7, − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 
Resolução. 
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 − 5 
2𝑥 − 5 = 0 
𝑥 =
5
2
= 2,5 
Este é o único ponto crítico de f. Considere a seguinte tabela dos valores da f nos pontos 
críticos e nos pontos extremos do intervalo: 
x -1 3 2,5 
f(x) 13 1 0,75 
O máximo absoluto ocorre em x = -1 e é 13 e o mínimo absoluto ocorre em x = 2.5 e é 0.75 . 
 
3.28. TAXA DE VARIAÇÃO E PORCENTAGEM DE VARIAÇÃO 
Calcula-se que, daqui a x meses, a população de determinada cidade será de 𝑃(𝑥) = 2𝑥 +
4𝑥
4
3 + 5000 habitantes. 
(a) Qual será a taxa de variação da população, em relação ao tempo, daqui a 9 meses? 
(b) Qual será a porcentagem de variação da população, em relação ao tempo, daqui a 9 meses? 
 
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NOTAS DE AULA. 
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3.29. Aumento Salarial 
EXERCICIO RESOLVIDO. 
1. Calcula-se que, daqui a x meses, a população de uma certa comunidade será de 𝑃(𝑥) =
𝑥2 + 20𝑥 + 8000 habitantes 
Pede-se: 
(a) A taxa de variação da população daqui a 15 meses? 
(b) A variação real no 16.º mês. 
 
 
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NOTAS DE AULA. 
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4. ANÁLISE MARGINAL. 
4.1. FUNÇÃO MARGINAL 
Utilizamos em Economia e Administração, a noção de Função Marginal. 
Dada uma função f(x), utilizamos o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado 
na função f(x) causado por uma pequena variação de x. 
A função marginal de uma função f(x) é a derivada da função f(x). 
Dizemos então que função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita 
marginal é a derivada da função receita, a função lucro marginal é a derivada da função lucro. 
 
4.2. CUSTO MARGINAL 
Custo Marginal é a variação do custo total decorrente da variação de uma unidade na 
quantidade produzida. 
Seguindo a noção do conceito de Função Marginal, o Custo Marginal representa o acréscimo 
obtido quando aumentamos a quantidade produzida de uma unidade de produto (a variação 
positiva), ou redução de custo total obtido quando diminuímos a quantidade produzida de 
uma unidade de produto (variação negativa). 
 
As derivadas são ferramentas poderosas uma vez que nos fornecem maneiras de extrair e 
analisar informações dos dados numéricos. Observando a relação das derivadas e das taxas 
de variação e considerando as variações do custo total em relação à quantidade produzida, o 
Custo Marginal (Cmg) pode ser aproximado pelo valor da Derivada da Função Custo no 
ponto dado. 
Cmg  (dCT)/(dx) 
Cmg=C´(x) 
Dizemos então que o Custo Marginal será aproximadamente igual a variação do custo de 
uma unidade produzida (x0+1), a partir da produção da quantidade já produzida (x0). 
Cmg(x0)CT=CT(x0+1)-CT(x0) 
 
Observe que o custo marginal é a taxa de variação do custo da produção de determinada 
mercadoria por variação da produção por unidade. 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS. 
NOTAS DE AULA. 
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Quando estamos lidando com um número grande de unidades produzidas, uma unidade pode 
ser considerado uma quantidade pequena em face da quantidade produzida. 
Assim, pela definição de derivada, temos: 
𝐶´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝐶(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐶(𝑥)
∆𝑥
 
Fazendo ∆𝑥 = 1, temos que: 
𝐶´(𝑥) ≈
𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥)
1
 
𝐶´(𝑥) ≈ 𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥) 
 
Quando estamos lidando com quantidades grandes, o custo marginal (a derivada da função 
custo) pode ser considerado uma boa aproximação do custo da produção de uma unidade a 
mais do que já se produziu (𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥)). 
𝐶´(𝑥) ≈ 𝐶(𝑥 + 1) − 𝐶(𝑥) 
Exemplo. 
Considere uma empresa de fabricação de peças automotivas, cujo custo total de fabricação 
“x” peças é dada pela equação: 
CT(x) = 160 + 6x+ 0,02 x² 
 
Valor Aproximado. 
Determinaremos o custo marginal quando a produção atingir x= 20 peças. 
O que se pretende então é observar o comportamento de seu custo, quando a produção superar 
em uma unidade a sua escala produtiva de 20 peças. 
Calcularemos a função derivada da função custo. 
CT(x) = 160 + 6x+ 0,02 x² 
CT ’(x) = 6 + 0,04x 
CT’(20) = 6+(0,04*20)= 6,80 
 
Valor Exato. 
Vamos comparar este valor aproximado ao valor exato da produção de uma unidade al´me 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS. 
NOTAS DE AULA. 
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das 20 já produzidas. 
Custo produção da 21a peça= CT(21) – CT(20) 
Custo produção da 21a peça = (160+6x+0,02x²) - (160+6x+0,02x²) 
CT(21) – CT(20)= [160+(6*21)+0,04.(21)²] – [160+(6*20)+0,04(20)²] 
 = 303,64 – 296,00 = 7,64. 
Assim, R$ 7,64 será o Custo Exato da 21ª peça a ser fabricada. 
 
4.3. RECEITA MARGINAL 
O raciocínio da noção de Receita Marginal é o mesmo do de Custo Marginal. Assim, Receita 
Marginal é a variação na receita total decorrente da venda de uma unidade a mais na 
quantidade vendida do bem. 
Considerando que R(x) é a receita obtida quando x unidades de um produto são demandadas, 
dizemos então que a receita marginal, quando x=x0 , é dada pela derivada da função receita 
em x0 : R´(x0) , caso exista. 
A função R´(x) é chamada função receita marginal. 
Dizemos então que a Receita Marginal será aproximadamente igual a variação da venda de 
uma unidade adicional (x0+1), a partir de x0 unidades. 
R´(x0)R=R(x0+1)-R(x0) 
 
4.4. LUCRO MARGINAL 
O Lucro Marginal segue o mesmo raciocínio do Custo Marginal e da Receita Marginal. 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS. 
 
1. (Calculo vol 1 Munes e Foulis). A fabricação de x unidades de uma mercadoria rende 
R(x)= 24x. O custo total da produção de x unidades é dado pela equação 
2003,09,3150)( xxxC 
 
(a) Ache o custo marginal quando x=1000. 
(b) Quanto custará aproximadamente para fabricar a 1001a unidade? 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS. 
NOTAS DE AULA. 
PROF DRA. DENISE CANDAL. 
 
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(c) Quanto custará exatamente ao fabricante para produzir a 1001a unidade? (d) Determine o 
lucro total do fabricante em função de x. 
(e) Quantas unidades deveriam ser fabricadas e vendidas para o fabricante obter lucro 
máximo?