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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS I 
Parte 2 
Notas de Aula – CIV208 
 
 Ricardo Azoubel da Mota Silveira 
 
Colaboração: A ndréa R egina D ias da Silva 
 
 
Departamento de Engenharia Civil 
 Escola de Minas 
Universidade Federal de Ouro Preto 
2008 
2. GRELHAS ISOSTÁTICAS2. GRELHAS ISOSTÁTICAS
Equações da Estática:
Forças:
Momentos:
Equações da Estática:
x y zF 0; F 0; e M 0= = =� � �
zF 0=�
x
y
M 0
M 0
=
=
�
�
(meras identidades)
Teoria das Estruturas I 35
2.1. INTRODUÇÃO
a. Pórtico Espaciala. Pórtico Espacial
x
y
z
F 0
F 0
F 0
=
=
=
�
�
�
x
y
z
M 0
M 0
M 0
=
=
=
�
�
�
Forças: Momentos:
Equações da Estática:
Caso Particular: Forças numa só direção (no caso, z) e perpendiculares a um plano 
(no caso, x-y).
b. Grelhas
Teoria das Estruturas I 36
GRELHAS ISOSTÁTICAS
2.2. APLICAÇÕES
Viga-Balcão
Teoria das Estruturas I 37
GRELHAS ISOSTÁTICAS
Estrutura plana submetida a carregamento perpendicular ao seu plano.
Grelhas Isostáticas: Análise através das três equações
Tipos:
2. Grelha triapoiada1. Grelha engastada-livre
zF 0,=� x yM 0 e M 0= =� �
2. Grelha triapoiada
3. Viga-balcão
1. Grelha engastada-livre
1. Grelha engastada-livre: as reações de apoio são calculadas pelas equações:
0Fz =�
x
y
M 0
M 0
=
=
�
�
2. Grelha triapoiada: as reações de apoio podem calculadas por equações 
independentes uma da outra. No exemplo abaixo: 
reta BC D
reta CD B
z C
M 0 V
M 0 V
F 0 V
= �
= �
= �
�
�
�
Teoria das Estruturas I 38
2.3. DEFINIÇÃO
2.4. OBSERVAÇÕES
GRELHAS ISOSTÁTICAS
3. Conhecendo-se as reações de apoio, consegue-se obter os esforços solicitantes 
atuantes numa seção genérica S da grelha.
4. Esforços solicitantes atuantes numa seção genérica S da grelha: 
Q : perpendicular ao plano P da grelha
: situado no plano P da grelhaM
�
6. Numa seção genérica de uma grelha podem atuar três esforços simples: 
Q : esforço cortante (perpendicular ao plano da grelha)
M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão)
T : momento torçor (direção do eixo da barra)
7. Grelha triapoiada:
• Os apoios não devem estar situados sobre uma mesma reta (caso isso 
ocorra, ela será hipostática).
• A grelha deve ter, além dos três apoios perpendiculares a seu plano, pelo 
menos, mais três apoios no próprio plano, que garantam estabilidade para 
Teoria das Estruturas I 39
5. O momento pode ser decomposto em duas componentes: 
M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão)
T : momento torçor (direção do eixo da barra)
M
�
GRELHAS ISOSTÁTICAS
carregamentos nele atuante. Veja exemplo abaixo:
Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha mostrada na figura 
abaixo, cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º.
Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha engastada-livre abaixo, 
em que a carga de 2 tf é perpendicular ao plano ABC.
Teoria das Estruturas I 40
2.5. GRELHA ENGASTADA-LIVRE
GRELHAS ISOSTÁTICAS
8. No caso de grelha com carregamento oblíquo ao seu plano, deve-se decompô-lo
em duas componentes: uma componente perpendicular ao seu plano (grelha) e
uma componente pertencente ao seu plano (estrutura plana).
2 t/m
3 m
1 t
B
A
C
D
3 m
3 m
2 t
C
4 m
BA
4 2 m
Grelha Estrutura plana
Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo,
cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º.
Teoria das Estruturas I 41
Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo, cujas
barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º. As barras BCD e ADF
estão submetidas a um carregamento vertical de 1 tf/m de cima para
baixo e as demais estão descarregadas.
2.6. GRELHA TRIAPOIADA
GRELHAS ISOSTÁTICAS
3 t1 t
D
E
F
2 m 2 m
2 m
2 m4 t
B
A
C
VB VC
VE
5 m
A
5 m 5 m 5 m
5 m
5 m
B C
D
E
F
H
G
Problema 1: Determine os diagramas solicitantes para a viga-balcão semicircular da 
figura a seguir. 
Problema 2: Resolver a viga-balcão semicircular submetida a um carregamento 
uniformemente distribuído q. 
Teoria das Estruturas I 42
2.7. VIGA BALCÃO
GRELHAS ISOSTÁTICAS
B
90o
P
A
R
q
B90o
A
R
90
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Teoria das Estruturas I 43
Gonçalves, P.B., Conceitos Básicos de Análise Estrutural, Notas de aula, Departamento 
de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2003. 
Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7ª edição, Prentice Hall, 2008. 
Soriano, H.L., Estática das Estruturas, 1ª Edição, Editora Ciência Moderna, 2007. 
Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 1, 12ª edição, Editora Globo, Porto 
Alegre, 1994.