Comandos Basicos do Maple

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Capítulo 1
COMANDOS BÁSICOS DOMAPLE
1.1 Introdução
O MAPLE é um tipo de software, pertecente a uma classe chamada de computação simbólica
ou algébrica, dirigido para a resolução de diversos problemas emMatemática e outras Ciências
afins.
Uma das principais características doMAPLE é permitir manipulações numéricas e simbólicas,
além de gerar gráficos em dimensão 2 e 3. As manipulações simbólicas são operações do tipo
- expressar uma variável em função de outra, substituição, simplificação, fatoração, reagrupa-
mentos dos termos de uma expressão, etc. A capacidade simbólica do software, permite obter
soluções exatas em diversos tipos de problemas.
O MAPLE consiste de três partes principais, a saber: o núcleo (kernel), que é a parte central do
software, escrita em linguagem C , onde são realizadas as operações; as livrarias (packages), que
são um conjunto de funções pré-definidas e que são acionadas por uma sintaxe própria, quando
necessário; e finalmente, a interface do usuário, chamada folha de trabalho (worksheet), onde
se realizam as operações de entrada e saída. O MAPLE tem, essencialmente, dois tipos de
comandos: os que utilizam o núcleo e os comando da interface do usuário.
O MAPLE é uma ferramenta poderosa que serve não somente para testar os conhecimentos
de Cálculo I, como também abrange muitas áreas da Matemática. Nestas notas nos concentra-
remos, essencialmente, na parte básica do software, direcionado exclusivamente ao Cálculo de
funções de uma variável real. As sintaxes apresentadas nestas notas correspondem às versões
do MAPLE 5 em diante.
Recomendamos que, ao ler os capítulos, já esteja instalado o MAPLE para reproduzir os exem-
plos e os exercícios.
Finalmente, observamos que é recomendável a utilização de recursos computacionais, no
apoio ao ensino do Cálculo, é recomendável, mas isso não exclui, de forma alguma, a abor-
dagem do aprendizado teórico em sala de aula, o qual sempre se mostrou indispensável.
A utilização do MAPLE no Cálculo é um ótimo laboratório para testar e esclarecer muitos
conceitos estudados em sala de aula. Veja o último parágrafo deste capítulo.
11
12 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.2 Início
Após o início do software, a digitação das expressões serão feita ao lado do prompt :
>
Isto é, quando aparecer o prompt, implica em que o MAPLE está pronto para receber os co-
mandos.
A sintaxe de todo comando do MAPLE deve terminar em ponto e vírgula:
>expressão;
Ou dois pontos:
>expressão:
Utilizamos ";” (ponto e vírgula) quando desejamos que o resultado seja mostrado imediata-
mente na tela. Utilizamos ":” (dois pontos) quando desejamos que o MAPLE execute o co-
mando e o resultado seja guardado na memória, sem mostrá-lo na tela. A execução da sintaxe
do comando após ";” ou ":” é finalizada pressionando a tecla enter.
Em geral, é conveniente, ao início de cada exercício, utilizar o comando:
>restart;
Este comando apaga da memória os comandos utilizados anteriormente, porém, não apaga o
que já foi digitado no worksheet.
É possível guardar os dados digitados, enviando-os para um arquivo de extensão *.mws, o
qual poderá ser lido pelo MAPLE em outra ocasião.
1.3 Operações e Números Pré-Definidos
Alguns dos comandos básicos para diversas operações pré-definidas do MAPLE são:
Adição: +
Subtração: -
Multiplicação: *
Divisão: /
Potenciação: ˆ
Fatorial de um número natural: !
Maior e menor que: > e <
Maior ou igual e menor ou igual que: >= e <=
Diferente de: <>
1.3. OPERAÇÕES E NÚMEROS PRÉ-DEFINIDOS 13
Máximo divisor comum: igcd(a,b,c,...)
Mínimo múltiplo comum: ilcm(a,b,c,...)
Menor inteiro maior ou igual a x: ceil(x)
Parte inteira de x: trunc(x)
Parte fracionária de x: frac(x)
OMAPLE tem os seguintes números pré-definidos:
O número pi é definido por: Pi
O número e é definido por: exp(1)
A unidade imaginária é definida por: I
Notamos que o Maple utiliza para os decimais ".” ponto. Por exemplo:
3
7
é denotado na forma
decimal 0.428571.
Exemplo 1.1.
1. Para calcular 3× 71/9 + 113 − 1. Devemos digitar:
> 3*7 ˆ(1/9) +11 ˆ 3 -1;
3
9
√
7 + 1330
2. Para calcular
5pi − 1
3
. Devemos digitar:
> (5*Pi-1)/3;
5pi − 1
3
Devemos ter cuidado nos parênteses utilizados na construção de uma expressão. No exem-
plo anterior, o resultado será diferente se digitarmos:
> 5*Pi-1/3;
5pi − 1
3
Logo, o resultado será diferente.
3. Determine o máximo divisor comum de 6 e 26 e mínimo múltiplo comum de 5 e 24.
Escrevemos:
14 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
> igcd(6,26);
2
Analogamente, escrevemos:
> ilcm(5,24);
120
4. Determine o menor inteiro maior ou igual a 5.3 e a parte inteira de 223.34.
Escrevemos:
> ceil(5.3);
6
Analogamente, escrevemos:
> trunc(223.34);
223
1.4 Funções Pré-Definidas
OMAPLE tem algumas funções elementares e transcendentes pré-definidas, por exemplo:
Valor absoluto de x, ( |x|): abs(x)
Sinal de x, ( sgn(x)): csgn(x)
Omaior inteiro que é menor ou igual a x, ( [[x]]): floor(x)
Raiz quadrada de x, (
√
x): sqrt(x)
Raiz n-ésima de x, ( n
√
x): root(x,n )
Exponencial de x, ( ex): exp(x)
Logaritmo natural de x, (ln(x)): ln(x)
Logaritmo na base 10 de x, (log(x)): log(x)
Logaritmo na base b de x, (logb(x)): log[b](x)
Funções Trigonométricas:
sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)
1.4. FUNÇÕES PRÉ-DEFINIDAS 15
.
Onde x, é em radianos.
Funções Trigonométricas Inversas:
arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), arcsec(x), arcsc(x)
Funções Trigonométricas Hiperbólicas:
sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x), sech(x), csch(x)
Funções Trigonométricas Hiperbólicas Inversas:
arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x), arccoth(x), arcsech(x), arcsch(x)
Exemplo 1.2.
1. Determine o valor de tg(
4pi
3
). Devemos digitar:
> tan(4*Pi/3);
√
3
2. Determine o valor de 4 sen(
pi
3
)− sec2(pi
4
). Devemos digitar:
> 4*sin(Pi/3)-sec(Pi/4) ˆ 2;
2
√
3− 2
3. Determine o valor de arcsen(1)− arctan(1) + sech(4). Devemos digitar:
> arcsin(1)-arctan(1)+sech(4);
pi
2
+ sech(2)
4. Determine o valor de log5(3) + ln(5) + log(
1
2
). Devemos digitar:
> log[5](3)+ln(5)+log(1/2);
ln(3)
ln(5)
+ ln(5)− ln(2)
Pode explicar este resultado?
5. Determine o valor de [[pi + 70
√
12929 + e5]]. Devemos digitar:
> floor(Pi+root(12929, 70)+exp(5));
152
16 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.5 Cálculos Aproximados
Para efetuar cálculos aproximados no MAPLE, utilizaremos o comando:
> evalf(expressão, digitos );
Ou, alternativamente:
> evalf[digitos ] (expressão);
O comando evalf expressa o valor aproximado na forma de número decimal com um total de
10 digítos, se não é indicado o números de digitos. Podemos alterar o número de digítos da
resposta, como mostram os exemplos a seguir:
Exemplo 1.3.
1. Determine o valor aproximado de pi. Devemos digitar:
> evalf(Pi);
3.141592654
Se desejamos mais digítos na aproximação, por exemplo 100, escrevemos:
> evalf[100](Pi);
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286
208998628034825342117068
2. Determine o valor aproximado de 43
√
5 +
17
3
+ e 5
√
456− [[ln(453)]]. Devemos digitar:
> evalf(4 ˆ 3*sqrt(5)+17/3 +exp(1)*root(456, 5)-floor(ln(453)));
152.0238611
Para obter o resultado com 30 digítos:
>evalf(4ˆ3*sqrt(5)+17/3 +exp(1)*root(456, 5)-floor(ln(453)),30);
152.023861144905348681717678473
3. Determine o valor aproximado de 4 sen(
pi
3
)− sec2(pi
4
). Devemos digitar:
> evalf(4*sin(Pi/3)-sec(Pi/4) ˆ 2) ;
1.464101616
1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS 17
4. Determine o valor aproximado de log5(3) + ln(5) + log(
1
2
). Devemos digitar:
> evalf(log[5](3)+ln(5)+log(1/2));
1.598896926
1.6 Manipulações Algébricas
Comofoi comentado no início do capítulo, o MAPLE aceita também expressões algébricas.
Os seguintes comandos são utilizados para manipulações de expressões numéricas e/ou algé-
bricas:
Desenvolver uma expressão: expand( )
Fatore uma expressão: factor( )
Simplifique uma expressão: simplify( )
Decompor um número em fatores primos: ifactor( )
Estes comandos possuem algumas opções adicionais. Por exemplo:
> expand(expressão, opção);
Os argumentos desta sintaxe são: trig, exp, ln , power ou radical. Outras opções podem ser
consultadas, utilizando >?sintaxe.
Exemplo 1.4.
1. Desenvolver (x2 + 4)4. Devemos escrever:
> expand((x ˆ 2 +4)ˆ4);
x8 + 16x6 + 96x4 + 256x2 + 256
2. Desenvolver sen(2x). Devemos escrever:
> expand(sin(2*x));
sen(2x)
Agora, se digitamos:
> expand(sin(2*x),trig);
2 sin(x) cos(x)
3. Desenvolver cosh(x + y). Devemos escrever:
> expand(cosh(x+y),exp);
18 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
cosh(x) cosh (y) + sinh(x) sinh(y)
Procure outras formas de utilizar este comando, digitando >?sintaxe.
4. Desenvolver sen(ω (x− x0) + α). Se escrevemos:
>expand(sin(omega*(x-x0)+alpha));
sin(ω x) cos(ω x0 ) cos(α) + sin(ω x) sin(ω x0 ) sin(α)− cos(ω x) sin(ω x0 ) cos(α)+
cos(ω x) cos(ω x0 ) sin(α)
Agora, se escrevemos:
>expand(sin(omega*(x-x0 )+alpha),x-x0 );
sin(ω (x− x0 )) cos(α) + cos(ω (x− x0 )) sin(α)
5. Fatore x6 − 4096. Devemos escrever:
> factor(x ˆ 6 -4096);
(x− 4) (x + 4) (x2 + 4x + 16) (x2 − 4x + 16)
6. Simplifique
x6 − 4096
x4 − 16 . Devemos escrever:
> simplify((x ˆ 6 -4096))/(xˆ4 -16);
x4 + 16x2 + 256
7. Simplifique cosh2(x)− senh(x)2. Devemos escrever:
> simplify(cosh(x) ˆ 2 -sinh(x) ˆ 2);
1
Explique este resultado.
8. Desenvolver sen(x+ y). Devemos escrever:
> expand(sin(x+y));
sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
9. Decompor em fatores primos 3628800. Devemos escrever:
> ifactor(3628800);
1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS 19
((2))8 ((3))4 ((5))2 (7)
Em geral, oMAPLE não assume, a priori, o domínio das variáveis, numa expressão. Vejamos
o exemplo a seguir.
Exemplo 1.5.
1. Digite a seguinte expressão:
> sin(4*Pi*n);
sin(4pi n)
OMAPLE não lançou o resultado igual a zero. Isto é devido ao fato de que o MAPLE supõe
que n é uma variável independente e não necessariamente um número inteiro.
Utilizamos a seguinte sintaxe, para definir o domínio de uma variável:
> assume(variável, opção);
O tipo pode ser inteiro (integer), real (real) ou por exemplo:
> assume(variável>0);
No exemplo anterior:
> assume(n,integer);
> sin(4*Pi*n);
0
> cos(Pi*n);
(−1)n
2. Simplifique
√
x2 y2, se x e y são números positivos.
> simplify(sqrt(x ˆ 2 y ˆ 2), assume=nonneg);
x y
Também podemos utilizar:
> assume(variável1 >0, variável2 >0,....):
Quando se tratar de funções que envolvem logarítmos. Por exemplo:
3. Desenvolver ln
(y
x
)
. Devemos digitar:
20 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
>assume(x>0,y>0):
> expand(ln(x/y);
ln(x)− ln(y)
4. Simplifique ln(ex). Digitamos:
>assume(x, real):
> simplify(ln(exp(x)));
x
Outro comando de manipulação algébrica é o combine que produz o efeito inverso do co-
mando expand, o qual combina diversas expressões para conseguir uma mais reduzida. Ao
utilizar este comando, é nescesário indicar, como argumento, que tipo de elementos se deseja
combinar. A sintaxe é:
> combine(expressão, opção);
Ou, equivalentemente:
> combine[opção] (expressão);
As opções desta sintaxe são: trig, exp, ln , power ou radical.
Exemplo 1.6.
1. Digite:
> combine(2*sin(x)*cos(x),trig);
sin(2x)
2. Digite:
> combine(exp(x)*exp(y),exp);
exy
3. Digite:
> combine(x ˆ y /x ˆ 2 ,power);
xy−2
4. Digite:
>combine[radical](sqrt(27)*sqrt(10)*sqrt(31)+sqrt(10)*sqrt(x ˆ 2 +1);
3
√
930 +
√
10x2 + 10
1.7. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 21
1.7 Equações, Inequações e Sistemas de Equações
Para resolver equações, inequações, sistemas lineares, utilizamos o comando solve.
Para equações em uma variável:
> solve(equação, variável);
Para equações ou sistemas de equações de mais de uma variável, a sintaxe do comando deve
incluir as variáveis que desejamos determinar. Quando desejamos resolver um sistema a sin-
taxe é:
> solve({equação1,equação2,.....}, {variável1,variável2,......});
Este comando também é utilizado quando, numa equação com mais de uma variável, deseja-
mos expressar uma delas em função das outras.
Para determinar as soluções inteiras de uma equação, utilizamos a seguinte sintaxe:
>isolve(equação);
Quando se deseja obter o resultado aproximado de uma equação ou sistema utilizamos a sin-
taxe:
> fsolve(equação,variável, opções);
ou
> fsolve({equação1 ,equação2,....},{variável1, variável2, ....}, opções);
A opçãomais utilizada, nesta sintaxe, é o intervalo onde se deseja achar a soluação aproximada.
Exemplo 1.7.
1. Determine a solução de x3 − 7x2 + 4x + 12 = 0. Devemos escrever:
>solve((x ˆ 3 -7*x ˆ 2 +4*x +12,{x});
{x = −1}, {x = 2}, {x = 6}
2. Determine a solução de x2 − 3x y + 2 y2 = 0 em função de y. Devemos escrever:
>solve((x ˆ 2 -3*x*y+2*y ˆ 2 =0,{y});
{y = x}, {y = x
2
}
3. Determine a solução do sistema:
22 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
{
5x− 3 y = 1
−2x+ 8 y = 9.
Digite:
>solve(({5*x-3*y=1,-2*x+8*y=9},{x,y});
{x =
35
34
}, {y = 47
34
}
Podemos aproximar as soluções:
>solve(({5*x-3*y=1,-2*x+8*y=9},{x,y}):
>evalf(%)
{x = 1.029411765}, {y = 1.382352941}
Utilizamos o comando % para chamar a expressão imediatamente anterior sem repetir a
digitação. Este comando é muito útil quando se manipula expressões muito complicadas
e/ou extensas. Analogamente, o comando % % representa o penúltimo resultado.
4. Determine a solução de |x+ |x + 2|2 − 1| > 9. Devemos digitar:
>solve(abs(x+abs(x+2)ˆ 2 -1)>9,x);
RealRange (Open (1) ,∞) , RealRange (−∞,Open (−6))
Isto é, (−∞,−6) ∪ (1,+∞).
5. Determine a solução de x
∣∣x3 − 3x2 − 9x + 27∣∣ < 0. Devemos digitar:
>solve(x *abs(xˆ3 -3*x ˆ2+9*x+27) <0,x);
RealRange(Open(0), Open(3)), RealRange(Open(3), infinity), RealRange(Open(-3), Open(0)),
RealRange(-infinity, Open(-3))
Isto é, (−∞,−3) ∪ (−3, 0) ∪ (0, 3) ∪ (3,+∞).
6. Determine a solução de x2 − 36x + 100 = 0, no intervalo [−20, 20]. Devemos digitar:
>fsolve(x ˆ 2 -36*x+100=0,{x},x=-20..20);
{3.0033370453}
7. Determine as soluções inteiras de: x4 +
5x3
6
− 7x
2
3
+
x
6
+
1
3
= 0. Devemos digitar:
>isolve(xˆ 4+(5/6)*xˆ3-(7/3)*xˆ2+(1/6)*x+1/3);
1.7. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 23
{x = −2}, {x = 1}
Note que:
>solve(xˆ 4+(5/6)*x ˆ 3-(7/3)*xˆ2+(1/6)*x+1/3,{x});
{x = −2}, {x = 1}, {x = 1
2
}, {x = −1
3
}
8. Determine a solução do sistema:{
sen(x+ y)− ex y = 0
x− y = 1;
se (x, y) ∈ [−2, 2] × [−2, 2].
Digitemos:
>fsolve({sin(x+y)-exp(x) * y=0,x-y=1},{x,y},{x=-2..2,y=-2..2});
{x = 1.278443473, y = −0.2784434726}
O Maple ocasionalmente, lança soluções em função da expressão RootOf. Vejamos o seguinte
exemplo:
Exemplo 1.8.
Digitemos:
> solve(x ˆ 5 - 2*x + 3 = 0,x);
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 1)},
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 2)},
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 3)},
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 4)},
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 5)}
RootOf(expressão) é a forma genérica das raízes do polinômio. Isto indica que x é uma raiz
do polinômio z5 − 2 z + 3, onde index é o número e a ordem da solução Para obter soluções
explícitas, complexas, utilizamos a sintaxe:
> evalf(%);
{x = .9585321812+.4984277790*I}, {x = -.2467292569+1.320816347*I}, {x = -1.423605849},
{x = -.2467292569-1.320816347*I}, {x = .9585321812-.4984277790*I}
Estas são as 5 raizes da equação. As soluções da equação, onde aparece o símbolo I, são as
soluções que nãosão reais.
24 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
Para obter todas as soluções de uma equação equação, especialmente, as trigonometricas, uti-
lizamos a seguinte sintaxe:
>solve(equação,variável,AllSolutions);
Exemplo 1.9.
1. Determine a solução de sen(x) = 0.
>solve(sin(x)=0,x);
0
Digitamos:
>solve(sin(x)=0,{x},AllSolutions);
{x = pi _Z5 ˜}
Isto equivale a:
x = k pi, k ∈ Z
2. Determine a solução de cos(x) +
√
3
2
= 0.
>solve(cos(x)+sqrt(3)/2=0,x);
5
6
pi
Digitamos:
>solve(cos(x)+sqrt(3)/2=0,{x},AllSolutions);
{x = 5
6
pi − 5
3
pi__B2 ˜ + 2pi_Z2 ˜}
Isto equivale a:
x =
5pi
6
+ 2 k pi, x = −5pi
3
+ 2 k pi, m, k ∈ Z
3. Determine a solução de cos(4x) + sen(2x) = 0.
>solve(cos(4*x)+sin(2*x)=0,x,AllSolutions);
1
4
pi + pi _Z1 ˜, − 1
12
pi + pi _Z2 ˜, − 5
12
pi + pi _Z3 ˜
Interprete o resultado.
1.8. NOMEAÇÃO DE OBJETOS E SUBSTITUIÇÕES 25
1.8 Nomeação de Objetos e Substituições
Quando necessitamos utilizar seguidamente uma expressão e/ou valor numérico, podemos
nomeá-los, evitando assim digitá-los repetidamente.
A sintaxe para isto é:
:= (dois pontos e igual)
Para substituir os valores numa expressão já definida, utilizamos a seguinte sintaxe:
> subs(objeto a substituir, expressão);
Exemplo 1.10.
1. Se digitamos:
> eq1:=x+y-3=0;
eq1 := x+ y − 3 = 0
Podemos chamar a expressão anterior, fazendo:
> eq1;
x+ y − 3 = 0
Ou, resolvê-la:
> solve(eq1,{x});
{x = −y + 3}
2. Num sistema de equações, podemos nomeá-las como:
> eq1:=3 *x-5*y+z=1 :
> eq2:=x+3*y-z=5:
> eq3:=-x-y+z=1:
Escrevemos:
> solve({eq1,eq2,eq3 },{x,y,z});}
{x = 3, y = 3, z = 7}
3. Escreva a seguinte sequência de comandos:
26 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
> eq1:=a*x ˆ 2 +b * x+c;
ax2 + b x + c
> sol:=solve(eq1=0,x);
{x = 1
2
−b+√b2 − 4 a c
a
} {x = 1
2
−b−√b2 − 4 a c
a
}
> sol[1];
{x = 1
2
−b+√b2 − 4 a c
a
}
Interprete a sequência de comando e faça > sol[2];.
4. Substitua no exemplo anterior os valores a = 1, b = 5 e c = 3. Devemos digitar:
> subs(a=1,b=5,c=3,eq1);
x2 + 5x + 3
5. Determine a solução de:
x5 − x4e− 23x
4
8
+
23 e x3
8
− 179x
3
8
+
179 e x2
8
+
85x2
4
− 85 e x
4
+ 3x− 3 e = 0;
Devemos digitar:
>eq:=x ˆ 5-x ˆ 4*exp(1)-(23/8)*x ˆ 4+(23/8)*x ˆ 3*exp(1)-(179/8)*x ˆ 3+
+(179/8)*x ˆ 2*exp(1)+(85/4)*x ˆ 2-(85/4)*x*exp(1)+3*x-3*exp(1) = 0):
>sol:=solve(eq,{x});
{x = 1}, {x = −1
8
}, {x = 6}, {x = −4}, {x = e}
>sol[1],sol[4]
{x = 1}, {x = −4}
6. Determine a solução do sistema:


x2 + y2 + z2 = 1
x− y + 2 z = −1
x y + y z + x z = 0
.
Devemos digitar:
>eq1:=x ˆ 2 +y ˆ 2 +z ˆ 2 =1:
>eq2:=x-y+2 *z=-1:
1.8. NOMEAÇÃO DE OBJETOS E SUBSTITUIÇÕES 27
>eq3:=x*y+y*z+z*x=-1:
>solve({eq1,eq2,eq3},{x,y,z});
{x = −3
2
∗ RootOf(7 * _Z ˆ 2-3) + 1
2
, y =
1
2
∗ RootOf(7 * _Z ˆ 2 -3) + 3
2
, z = RootOf(7* _ Z ˆ 2- 3)},
{x = −3
2
− 3
2
∗ RootOf(7* _ Z ˆ 2 +8 * _ Z-3), y = −1
2
+
1
2
∗ RootOf(7* _Z ˆ 2+8*_Z-3),
z = RootOf(7*_ Z ˆ 2+8*_Z-3)}
evalf(%);
{x = −.4819805066, y = 1.827326836, z = .6546536711},
{x = −1.946306256, y = −.3512312478, z = .2975375043}
Para verificar que os resultados obtidos pelo MAPLE são, realmente, soluções de uma equação
e/ou um sistema de equações, utilizamos a seguinte sintaxe:
>eq:=equação:
>sol:=solve(eq,variável);
>subs(variável=sol[i],eq);
Exemplo 1.11.
1. Determine as soluções de x4 + x3 − 7x2 − x+ 6 = 0. Devemos digitar:
>xˆ 4+xˆ 3-7*xˆ 2-x+6 = 0:
>sol:=solve(eq,x);
sol := 2, −1, 1, −3
subs(x=sol[1],eq);
0 = 0
subs(x=sol[3],eq);
0 = 0
28 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.9 Livrarias
Uma das características do MAPLE são suas livrarias (packages). As livrarias são pacotes de co-
mados especiais, utilizados para resolver tipos especificos de problemas. Por exemplo, o MA-
PLE possui livrarias especificas, para Gráficos, Geometria, Álgebra Linear, Álgebra Vetorial,
etc. O MAPLE possui em torno de 2000 comandos; somente os mais importantes são carrega-
dos automaticamente na memória. No ato de executar o programa os outros comandos ficam
nas livrarias. As livrarias são agrupadas por temas e podem ser carregadas, individualmente,
ou uma função só. Para usuários avançados é possível criar suas próprias livrarias.
A sintaxe para ativar uma livraria na memória, é:
> with(livraria):
A sintaxe para ver o conteúdo das livrarias é:
> with(livraria);
No decorrer do texto, apresentaremos as livrarias mais utilizadas em Cálculo em uma Variável.
1.9.1 Livraria - RealDomain
Em geral, o MAPLE trabalha com os números complexos. A livraria RealDomain faz com que
o MAPLE trabalhe somente com os números reais.
Primeiramente, vejamos o conteúdo da livraria:
>with(RealDomain);
[Im,Re, ˆ,arccos,arccosh,arccot,arccoth,arccsc,arccsch,arcsec,arcsech,arcsin,arcsinh,arctan,
arctanh,cos,cosh,cot, coth,csc,csch,eval,exp,expand,limit,ln ,log,sec,sech,signum,simplify,
sin,sinh, solve,sqrt,surd,tan,tanh]
Isto nos indica que quando digitamos a sintaxe:
>with(RealDomain):
Todos os comandos da livraria, de acima, assumirão que os cálculos serão efetuado em R.
Exemplo 1.12.
Nos exemplos abaixo os comandos são dados, primeiramente, sem usar a livraria RealDomain.
Veremos que obtemos respostas não reais (complexas).
1. Simplifique
√
x4:
>simplify(sqrt(x ˆ 4));
csgn(x2)x2
1.9. LIVRARIAS 29
onde, csgn (x) é o sinal de x.
2. Simplifique (−4913)1/3:
>simplify(root(-4913,3));
17
2
+
17
2
I
√
3
3. Resolva x3 − y = 1 para x.
>solve(x ˆ 3 -y=1,x);
(y + 1)1/3, −1
2
(y + 1)1/3 +
1
2
I
√
3 (y + 1)1/3, −1
2
(y + 1)1/3 − 1
2
I
√
3 (y + 1)1/3
Se utilizamos a livraria:
>with(RealDomain):
>simplify(sqrt(x ˆ 4));
x2
>simplify(root(-4913,3));
−17
>solve(x ˆ 3 -y=1,x);
(y + 1)1/3
Pode explicar estes resultados?
3. Se, digitamos:
>solve(xˆ5 -3*x+25=0,{x});
{x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 1)}, {x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 2)},
{x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 3)}, {x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 4)},
{x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 5)}
Se, digitamos:
>with(RealDomaine):
>solve(xˆ5 -3*x+25=0,{x});
{x = RootOf (_Z 5 − 3 _Z + 25,−1.986834074)t}
evalf(%);
{x = −1.986834073}
30 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.10 Conjuntos e Sequências
Para definir conjuntos se utiliza a seguinte sintaxe:
> {a, b, c,....};
{a, b, c, . . .}
A sintaxe das operações de conjuntos são as seguintes:
União: union
Interseção: intersect
Diferença: minus
Subconjunto: subset
A sintaxe para gerar sequências de objetos é:
>seq(r(i),i=a..b);
O comando gera uma sequência, aplicando a cada i a fórmula r(i). Se i ∈ X, onde X é um
conjunto, utlizamos a sintaxe:
>seq(r(i),i in X);
Como veremos nas próximas seções, esta sintaxe será associada a outras situções um pouco
diferentes de aquelas que geraram seqûencias numéricas.
Exemplo 1.13.
1. Sejam A = {a, b c, d} e B = {a, c, e, f, g}. Determine A ∪B, A ∩B e A−B.
Escrevemos:
> A:={a, b, c, d};
A := {a, b c, d}
> B:={a, c, e, f, g};
B := {a, c, e, f, g}
Então:
>X:= A union B;
X := {a, b, c, d, e, f, g}
>Y:= A intersect B;
1.10. CONJUNTOS E SEQUÊNCIAS 31
Y := {a, c}
>Z:= A minus B;
Z := {b, d}
Observe que:
>X subset Y;
false
e
>Y subset X;
true
Interprete estes últimos resultados.
2. Gere os 10 primeiros termos da sequência r(i) =
1
i2
, i ∈ N.
>seq(1/iˆ 2,i=1..20);
1,
1
4
,
1
9
,
1
16
1
25
1
36
,
1
49
1
64
1
81
1
100
3. Gere os termos da sequência:
r(i) =
2 i
i2 + 1
,
se i ∈ X, ondeX = {−20,−10,−1, 0, 20, 300}.>X:= {-20,-10,-1,0,20,300}:
>seq(2*1/(iˆ 2 +1),i in X);
− 40
401
, − 20
101
, −1, 0, 40
401
,
600
90001
32 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.11 Exercícios
1. Determine os valores de x tais que:
(a)
√
x2 = x
(b)
√
(x− 1)2 = x− 1
(c)
√
x2 − 2x+ 1 = 1− x
(d)
√
x4 = x2
(e) |x+ 1| = |x− 1|
(f) |x− 1|2 = |2x− 1|
(g) |x| = |x+ 7|
(h) |x− 1|2 = |2x + 1|
2. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de a resposta ser falso:
(a) Para todo x, y e z: |x + y + z| = |x|+ |y|+ |z| e
(b) Para todo x e y: |x− y| ≤ |x| − |y|.
3. Determine as constantes A, B e C tais que:
(a)
2x + 1
1− x2 =
A
1 + x
+
B
1− x .
(b)
1
(x+ 2)(2x + 1)
=
A
x+ 2
+
B
2x + 1
.
(c)
1
(x+ 2)(x2 − 1) =
A
x+ 2
+
B
x + 1
+
C
x− 11 .
4. Determine o quociente e o resto das divisões:
(a) 3x4 − 5x2 + 6x + 1 ÷ x2 − 3x + 4.
(b) 5x5 − 4x3 − 2x + 1 ÷ x+ 1.
(c) x11 − 1 ÷ x+ 1.
(d) x5 + 12x4 + 3x2 − 16 ÷ x2 + 3x− 4.
(e) x3 − 3x2 + 2x+ 1 ÷ x2 − x + 1.
5. Determine as constantes a e b de modo que o polinômio P (x) seja divisível por Q(x),
onde:
(a) P (x) = x4 − 3x3 + ax + b, Q(x) = x2 − 2x + 4.
(b) P (x) = 6x4 − 7x3 + ax2 + 3x+ 2, Q(x) = x2 − x + b.
(c) P (x) = 8x3 − 10x2 + ax + b, Q(x) = 2x3 − 3x + 2.
(d) P (x) = 3x3 + ax2 − 7x + b, Q(x) = x2 − 5x + 1.
6. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto
solução:
1.11. EXERCÍCIOS 33
(a) x4 − x2 < 0
(b) x2 − 2 ≥ x
(c) x2 + x > 2
(d) (x− 5)4 (x + 10) ≤ 0
(e) |x+ 2| < 1
(f) |x− 5| < |x+ 1|
(g) 4x2 + 10x− 6 < 0
(h) |x− 1|2 < |2x + 1|
(i)
3x− 5
2x+ 4
> 1
(j) |x2 − 1||x + 1| > 0
(k) 2x2 − 2 ≤ x2 − x
(l) |x− 1|+ |x− 2| > |10x− 1|
(m) x2 − 7x + 8 > (x− 6)2
(n) |x2 − x− 1| < 2
(o)
|x2 − 5x + 4|
|x2 − 4| < 1
(p) |x− 1|+ |x + 2| ≥ |x− 2|
2
(q) |x + 1|+ |x + 2| > |10x− 1|
(r) |x2 − 1| < |x− 1|
7. Determine o conjunto-solução de:
(a)
{
3x− 2 < x
6x− 4 > 3− x
(b)
{
x+ 3 ≤ 5
x+ 3 ≤ 2x
(c)

5x + 1 ≤
3x
2
+ 5
2 (x + 3) ≥ x
(d)
{
5x− 3 < 6 + 2x
3− 2x > 4
(e)
{
3x− 15 < x− 5
2− x ≥ 6
(f)
{
x + 3 > 0
x2 + x− 2 < 0
8. Esboce as regiões determinadas por:
(a) x− 2y − 3 > 0
(b) 2x+ y > 5
(c) 2x− 3y ≤ −1
(d) 3x− 2y ≤ 13
(e)
x+ y
x− 2y + 3 < 0
(f) x2 + y2 − 2x− 2 y + 1 ≥ 0
9. Esboce as regiões da solução de:
(a)
{
2x− y < 3
x+ y < 3
(b)
{
x+ y < 2
2 y − 2x > 4
(c)


x+ y < 120
3 y − x ≤ 0
x ≤ 100
y ≤ 100
(d)


x+ y > 2
−2x + y ≤ 1
−x+ 2 y ≥ −3
34 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
10. Obter o valor simplificado de:
(a) sen
(
θ +
pi
2
)
(b) cos
(
θ +
3pi
2
)
(c) sec(θ + 6pi)
(d) sen(θ + 360pi)
(e) cos(θ + 480pi)
(f) sen
(
θ − 3pi
2
)
cos
(
θ +
pi
2
)
11. Resolva as inequações:
(a) sen(x) + cos(x) ≥
√
2
2
(b) |tg(x)| ≥ √3
(c) sen2(x) ≥ 1
(d) sen2(x) ≥ 1
2
se x ∈ [0, pi]