Lugar das Raízes em Sistemas de Controle

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA – UFV
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – CCE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEL
AULA 1 – Lugar das Raízes
(ROOT LOCUS)
Sistemas de Controle II
ELT331
Prof. Tarcísio Pizziolo
- O Lugar das Raízes foi inventado pelo Engenheiro
Eletricista Walter Richard Evans (USA) em 1948. Evans
trabalhou como engenheiro em várias empresas
destacando-se a General Electric, Rockwell International e
Ford Aeronautic Company.
1. Lugar das Raízes
Walter Richard Evans
⃰ 15/01/1920
† 10/07/1999
Descrição do Lugar das Raízes:
Em um sistema de controle de malha fechada, o Lugar das
Raízes representa no Plano Complexo a localização dos
pólos do sistema em função da variação do ganho de
malha.
- Esta representação gráfica nos permite analisar o
comportamento da estabilidade do sistema em função da
variação do ganho da malha.
- A combinação Ganho x Estabilidade definirá o custo e o
desempenho de um sistema de controle em malha fechada.
- Por isso, a análise do Lugar das Raízes permitirá projetar
controladores para compensar o sistema de controle.
1. Lugar das Raízes
- Seja um sistema de controle em malha fechada com realimentação unitária negativa
dado pelo Diagrama de Blocos abaixo.
Consideremos que G(s) = K.G1(s), onde K seja o ganho da Planta.
Assim, a Função de Transferência do sistema em malha fechada será dada por:
)s(H)s(KG1
)s(KG
)s(F
1
1


Sabe-se que se a Equação Característica do sistema possuir raízes no semi-plano
direito do Plano Complexo o sistema é Instável.
Equação Característica:
0)s(H)s(KG1 1 
Variação do Ganho:
Nota-se que ao variarmos o ganho da Planta G(s) este influi diretamente no cálculo
das raízes da Equação Característica do sistema.
• SISTEMA ESTÁVEL: decrescimento
da reposta, a saída decai após
aplicação de uma entrada limitada.
As raízes da Equação Característica
estão situadas no semi-plano esquerdo
do Plano Complexo.
• SISTEMA INSTÁVEL: crescimento da
resposta, a saída cresce após
aplicação de uma entrada limitada.
A Equação Característica possui
raíz(es) situada(s) no semi-plano direito
do Plano Complexo.
ESTABILIDADE
1. Lugar das Raízes
1.2. Exemplos de Lugar das Raízes
1.2.1. Façamos um exemplo para apresentarmos o Lugar das Raízes de um sistema
de controle de 1ª Ordem em malha fechada com realimentação unitária negativa.
Seja o sistema dado a seguir:
)K2s(
K
)s(F
)s(H)s(G1
)s(G
)s(F
:KdefunçãoemrestabilizasepoderásistemaoFechadaMalhaEm
!Instável
)2s(
K
)s(H)s(GAbertaMalha
1)s(H
)2s(
K
)s(G















Equação Característica: s – 2 + K = 0 → s = (2 – K)
Para estabilidade do sistema temos que obter raízes no semiplano esquerdo do
plano complexo. Daí s < 0 → s = (2 – K) < 0 → – K < – 2 → K > 2
É de se notar que para K = 0 a raiz da Equação Característica situa-se no Pólo
S = 2 !!!
O que isso significa?
Os valores do ganho K deverão ser miores que 2 para que o
sistema em malha fechada seja ESTÁVEL.
Outros valores para o ganho K tornam o sistema INSTÁVEL!
K = 2
1.2. Exemplos de Lugar das Raízes
1.2.2. Façamos um exemplo para apresentarmos o Lugar das Raízes de um sistema
de controle de 2ª Ordem em malha fechada com realimentação unitária negativa.
Seja o sistema dado a seguir:
)K2ss(
K
)s(F
]K)2s)(1s[(
K
)s(F
)s(H)s(G1
)s(G
)s(F
:KdefunçãoemrestabilizasepoderásistemaoFechadaMalhaEm
!Instável
)2s)(1s(
K
)s(H)s(GAbertaMalha
1)s(H
)2s)(1s(
K
)s(G
2 
















Equação Característica: s2 + s – 2 + K = 0
Para estabilidade do sistema temos que obter raízes no semiplano esquerdo do
plano complexo → Critério de Routh !
Daí: s2 + s + (- 2 + K) = 0;
O que isso significa?
2
K49
2
1
s
2
)2K(411
s




Site de um simulador de Lugar das Raízes para 2ª Ordem:
http://www.wiley.com/college/nise/0471794759/swf/SOcalculator.swf
Pelo Critério de Routh:
!Estável2K02K
0)2K(
01
)2K(1
s
s
s
0
2













1.2. Exemplos de Lugar das Raízes
Instável em Malha Aberta !
1.2.3. Façamos um exemplo para apresentarmos o Lugar das Raízes de um sistema
de controle de Ordem Superior em malha fechada com realimentação unitária
negativa.
Seja o sistema dado a seguir:
O que isso significa?
Analisemos a Estabilidade:
K = 1227
K = 132
Os valores do ganho K deverão estar entre 132 e 1227 para
que o sistema em malha fechada seja ESTÁVEL.
Outros valores para o ganho K tornam o sistema INSTÁVEL!
1.3. Aplicação do Lugar das Raízes
A aplicação mais objetiva do Lugar das Raízes em controle de
sistemas lineares em malha fechada é a possibilidade de se
projetar uma controlador tal que este estabilize, ou minimize a
instabilidade, de sistemas instáveis.
Estabilizar ou 
melhorar o 
desempenho do 
Sistema
A inserção do Controlador em série com a Planta permitirá o deslocamento do Lugar
das Raízes de tal forma que o ganho poderá ser alterado até o valor pretendido sem
que o sistema se instabilize ou, se for um sistema instável, este passe a se comportar
com estabilidade.
A inserção de um Controlador também poderá melhorar a resposta do sistema
mediante uma entrada pré-estabelecida.
Inserção do 
Controlador
1.4. Exercícios sobre Lugar das Raízes
1.4.1. Seja um sistema dado pelo diagrama de blocos a seguir.
a) Determine o Lugar das Raízes para este sistema em malha fechada.
b) Para quais valores de K > 0 este sistema é Estável?
)5s(
K
)s(G


Solução
Para K > 0 e s < 0 => s = - (5 + K) < 0 => K > - 5
Então => K > 0 para o sistema ser Estável !
1.4.2. Seja um sistema dado pelo diagrama de blocos a seguir. )8s)(2s(
K
)s(G


a) Determine o Lugar das Raízes para este sistema em malha fechada.
b) Para quais valores de K > 0 este sistema é Estável?
1.4. Exercícios sobre Lugar das Raízes
Solução
Aplicando o Critério de Routh:
!Estável16K0K16
0)K16(
06
)K16(1
s
s
s
0
2












