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UFMG – GAAL Lista de Exerc´ıcios 1 March 20, 2017 1. Considere as matrizes A = ( 2 0 6 7 ) B = ( 0 −1 2 −8 ) C = ( −6 −1 2 7 −2 −2 ) D = −6 4 01 1 4 −6 0 6 E = −6 9−1 0 −6 0 se for poss´ıvel calcule: a) AB −BA b) 2C −D c) (2DtE)t d) CA 2. Sejam A = 4 6 8 20 12 18 10 −2 −6 −8 0 uma matriz de tamanho 3 × 4 e B = 3 1 −1 5 7 −3 9 −7 uma matriz de tamanho 4× 2. Calcule o produto AB. 3. Sejam A = 1 1 −21 1 2 −2 2 4 e B = 2 0 −1x 2 1 −1 1 0 . Calcule os produtos AB e BA. 4. Sejam A = a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 uma matriz de tamanho 3× 4 (a) Se B = 1 0 00 10 0 0 0 1 , calcular o produto BA. (b) Por qual matriz tenho que multiplicar A a esquerda, para obter como produto a matriz a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24 6a31 6a32 6a33 6a34 . (c) Se C = 1 0 0 0 0 15 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , calcular o produto AC. (d) Por qual matriz tenho que multiplicar A a direita, para obter como produto a matriza11 a12 a13 7a14a21 a22 a23 7a24 a31 a32 a33 7a34 . 5. Sejam A = a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 uma matriz de tamanho 3× 5 (a) Se B = 1 0 00 1 0 −11 0 1 , calcular o produto BA. (b) Por que matriz tenho que multiplicar A a esquerda, para obter como produto a matriz a11 a12 a13 a14 a15a21 − 6a31 a22 − 6a32 a23 − 6a33 a24 − 6a34 a25 − 6a35 6a31 6a32 6a33 6a34 6a35 . 6. Sejam A = a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 uma matriz de tamanho 3× 5 (a) Se B = 0 1 01 0 0 0 0 1 , calcular o produto BA. (b) Por que matrizes tenho que multiplicar A a esquerda e a direita, para obter como produto a matriz a11 a12 a13 a15 a14a31 a32 a33 a35 a34 a21 a22 a23 a25 a24 . 7. Seja A = 0 1 2 −3 0 0 4 1 0 0 0 5 0 0 0 0 . Calcule A2, A3, A4. Usando os anteriores matrizes calcule (I + A)7 onde I e´ a matriz identidade, isto e´, com uns na diagonal principal e zeros nos outros lugares. 8. Se poss´ıvel encontre os valores de x, y e z tais que 1 2 32 5 3 1 0 8 · −40 16 x13 −5 y 5 −2 z = 1 0 00 1 0 0 0 1 9. Considere o sistema: x + 2y + 3z = 4 3x − y + 5z = 2 4x + y + (a2 − 14)z = a+ 2 Determine para que valores reais de a o sistema: a) na˜o tem soluc¸a˜o; b) tem uma u´nica soluc¸a˜o; c) tem infinitas soluc¸o˜es (neste caso, qual e´ a soluc¸a˜o geral?). 10. Para que valores de λ o sistema de equac¸o˜es{ (λ− 3)x + y = 0 x + (λ− 3)y = 0 tem soluc¸o˜es na˜o triviais? 11. Considere o sistema x − 2y + z = a 2x + y + z = b 5y − z = c a) Para que valores de a, b e c o sistema possui soluc¸a˜o? b) Ache todas as soluc¸o˜es do sistema 12. Sem utilizar papel e la´pis, determine quais dos seguintes sistemas homogeˆneos teˆm soluc¸o˜es na˜o triviais. a) 2x − 3y + 4z − w = 0 7x + y − 8z + 9w = 0 2x + 8y + z − w = 0 b) { a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0 a21x1 + a22x2 + a13x3 = 0 c) x1 + 3x2 − x3 = 0 x2 − 8x3 = 0 4x3 = 0 13. Considere o sistema de equac¸o˜es ax + by = k cx + dy = l ex + fy = m . O que voceˆ pode dizer sobre a posic¸a˜o relativas das retas ax+ by = k, cx+ dy = l e ex+ fy = m, quando (a) o sistema na˜o tem soluc¸a˜o; (b) o sistema tem exatamente uma soluc¸a˜o; (c) o sistema tem infinitas soluc¸o˜es. 14. Considere a matriz A = 1 1 1 1 1 3 −2 a 2 2a− 2 −a− 2 3a− 1 3 a+ 2 −3 2a+ 1 . Determine o conjunto soluc¸a˜o do sistema AX = B em que B = [ 4 3 1 6 ]t . 15. Diga se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Seja A uma matriz m×n, e B 6= 0 uma matriz m×1. Se X1 e Y1 sa˜o soluc¸o˜es do sistema linear homogeˆneo associado AX = 0 enta˜o X1 + Y1 e´ soluc¸a˜o do sistema AX = B. (b) Seja A uma matriz quadrada tal que o sistema linear homogeˆneo AX = 0 possui infinitas soluc¸o˜es. Enta˜o o sistema linear AX = B tambe´m possui infinitas soluc¸o˜es. (c) Se A e B sa˜o matrizes tais que A = At e B = Bt, enta˜o a matriz C = AB e´ uma matriz sime´trica. d) Se treˆs retas do plano xy sa˜o lados de um triaˆngulo, enta˜o o sistema de equac¸o˜es formado pelas suas equac¸o˜es teˆm treˆs soluc¸o˜es, uma correspondendo a cada ve´rtice. e) Se a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz aumentada de um sistema linear tiver uma linha de zeros, enta˜o o sistema deve possuir uma infinidade de soluc¸o˜es.
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