Apostila de Geometria Descritiva
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Apostila de Geometria Descritiva


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GEOMETRIA DESCRITIVA
NOTAS DE AULA
SISTEMAS DE PROJEÇÃO
Para se fazer à representação gráfica dos objetos sobre um plano, efetua-se a projeção do mesmo, utilizando-se um sistema de projeções. Entende-se por projeção de um objeto sobre um plano, às interseções com esse plano, de um feixe de retas que passa por todos os pontos do objeto. A cada uma dessas retas denomina-se projetante do ponto no plano. 
Um sistema de projeção é definido por um centro de projeção e um plano de projeção. 
O centro de projeção é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes. 
 De acordo com a posição desse centro de projeção têm-se dois grandes sistemas de projeções: sistema de projeção cônico e sistema de projeção cilíndrico.
SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO
Também chamada de projeção central, é o tipo de projeção cujos raios projetantes que passam pelos pontos do objeto, atingindo o plano de projeção, partem sempre de um ponto fixo (centro de projeção), situado a uma distância finita do objeto, resultando em projetantes convergentes.
	
 
SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO
Também chamada de projeção paralela. Quando no sistema anterior o centro de projeções se desloca ao infinito (ponto impróprio) temos o caso das projeções cilíndricas, sendo todas as projetantes paralelas a uma direção d. Assim, as projeções cilíndricas podem ser ortogonais ou oblíquas.
 		
 
 
 Projeções Ortogonais Projeções Oblíquas
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PERSPECTIVAS
	Estas projeções sobre um plano de projeção, sejam em um ou outro sistema, são denominadas perspectivas, porque a projeção é a imagem do objeto sobre o plano, por um olho colocado sobre o centro de projeção. Nesse caso o centro de projeção, o plano de projeção e as projetantes se denominam, respectivamente, ponto de vista, quadro e raios perspectivos.
Note que um desenho perspectivo nos é útil para termos idéia do objeto, porém ele não nos permite a fixação dos objetos do ponto espacial, ou seja, não existe correspondência biunívoca entre ponto espacial e sua projeção. Veja que dada à projeção A não se pode localizar o ponto espacial (A).
Para haver esta correspondência pode-se:
Dar a projeção e a distância do ponto ao plano (cota), processo que dá origem ao Método das Projeções Cotadas.
b) Dar uma segunda projeção A\u2019, feita de um ponto de vista (O\u2019) sobre um outro plano (\uf070\u2019) que, escolhidos de forma particular dá origem ao Método das Projeções Mongeanas.
	
O conjunto de métodos que permite construir os desenhos projetivos, constituem a Geometria Descritiva.
MÉTODO DAS PROJEÇÕES MONGEANAS
ESTUDO DO PONTO
O método das projeções mongeanas ou de duplas projeções consiste em determinar duas projeções cilíndricas ortogonais sobre dois planos perpendiculares, considerando um horizontal e outro vertical, denominados (() e ((\u2019). A reta interseção desses dois planos de projeções é chamada Linha de Terra (LT).
	Por convenção, os pontos (O) e (O\u2019), centros de projeções, estão situados à frente do (() e acima de ((\u2019), no infinito, no 1o diedro, ou seja, faz-se projeções cilíndricas ortogonais aos planos de projeções.
	Por convenção utilizaremos a seguinte notação:
Pontos no espaço: (A) (letra maiúscula, entre parênteses);
Projeções do ponto: A e A\u2019 (horizontal e vertical, respectivamente);
Reta no espaço: (r) (letra minúscula, entre parênteses);
Projeções da reta: r e r\u2019 (horizontal e vertical, respectivamente) ;
Plano: (\u3b1) (letras do alfabeto grego, entre parênteses);
Traços do plano: \u3b1 e \u3b1 (horizontal e vertical, respectivamente)
Linha de terra: Dois pequenos traços abaixo da reta interseção dos dois planos de projeções. 
Representação de um ponto e sua épura correspondente:
 Perspectiva Rebatimento Épura
	Para representarmos a figura do espaço em um único plano, efetuamos o rebatimento do plano horizontal sobre o plano vertical, até que ambos coincidam (rotação de 90o em torno da Linha de Terra, no sentido horário). A esta representação, após a planificação das duas projeções, se denomina épura. Note que, em épura, a única referência é a Linha de Terra, que indica a posição original dos planos de projeções.
	A reta interseção de (\u3c0) e (\u3c0\u2019) é denominada Linha de Terra ((\u2019().
	À linha auxiliar, em épura, que une as 2 projeções A e A`, se dá o nome de Linha de Chamada, sendo a mesma perpendicular a ((\u2019().
	À distância do ponto espacial (A) ao plano horizontal de projeções (\u3c0) se denomina cota, e é igual, em épura, à distância da projeção vertical a ((\u2019().
À distância do ponto espacial (A) ao plano vertical de projeções (\u3c0\u2019) se denomina afastamento, e é igual, em épura, à distância da projeção horizontal a ((\u2019(). 
Por convenção, consideraremos para cotas positivas as cotas de pontos situados acima de (\u3c0), e afastamentos positivos para afastamentos de pontos situados adiante (à direita) de (\u3c0\u2019).
Marcaremos arbitrariamente, sobre ((\u2019(), uma origem (0). À distância, em épura, dessa origem 0 ao pé da linha de chamada que contém as projeções de um ponto se denomina abscissa desse ponto. Uma vez escolhida essa origem deverá servir à marcação das abscissas de todos os pontos da mesma épura. Consideram-se abscissas positivas àquelas de pontos situados à direita da origem.
Assim, um ponto pode ser descrito pelas suas coordenadas (abscissa, afastamento, cota).
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ESTUDO DA RETA
REPRESENTAÇÃO MONGEANA DA RETA
A representação mongeana de qualquer elemento é feito por meio de suas projeções sobre os planos \uf028\uf070\uf029 e (\uf070').
No caso de uma reta (r), traça-se o plano (\uf061) que contém (r) e é perpendicular à \uf028\uf070\uf029. A interseção desses dois planos, designada por r, será a projeção horizontal de (r). Da mesma maneira obtém-se a projeção vertical r',de (r), por meio da interseção do plano (\uf070') com o plano (\uf061') que contém (r) e é perpendicular à \uf028\uf070'\uf029.
A posição da reta, em geral, fica bem determinada quando são conhecidas suas projeções sobre (\uf070) e (\uf070'). Pois, existe um único plano (\uf061) que contém r e é perpendicular a (\uf070) e, um único plano (\uf061') que contém r' e é perpendicular à (\uf070'). A interseção desses dois planos define a reta (r).
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
Se um ponto pertence a uma reta, suas projeções pertencem às projeções de mesmo nome da reta, reciprocamente, com exceção da reta de perfil, se as projeções de um ponto pertencerem às projeções de mesmo nome de uma reta, o ponto pertencerá à reta.
Sejam A 
 r e A' 
 r' as projeções de um ponto (A), determinado pela interseção das perpendiculares à (\uf070) e à (\uf070'), traçadas, respectivamente, por A e A'(fig. acima). A perpendicular à (\uf070), traçada por A, pertencerá ao plano (\uf061) e, à (\uf070'), traçada por A', pertencerá ao plano (\uf061'). O ponto (A), interseção destas retas pertencerá à reta (r), interseção de (\uf061) e (\uf061').
TRAÇOS DE RETA
O ponto de interseção de uma reta com um plano é chamado de traço da reta no plano. No caso dos planos de projeção, os traços são chamados de traços notáveis. A interseção com o plano horizontal é chamada de traço horizontal e é designada por (H) e, com o plano vertical é chamada de traço vertical e é designada por (V).
Do exposto tem-se:
(H) \u2261 (r) ( (\uf070)
((H) 
 (r) ( H 
 r e H' 
 r'.
E, (H) 
 (\uf070) ( H' 
 \uf070'\uf070.
Ou seja, H' é a interseção de r' com \uf070'\uf070 e, H é a interseção da linha de chamada que passa por H' com r.
(V) \u2261 (r) ( (\uf070')
((V) 
 (r) ( V 
 r e V' 
 r'.
E, (V) 
 (\uf070') ( V 
 \uf070'\uf070.
Ou seja, V é a interseção de r com \uf070'\uf070 e, V' é a interseção da linha de chamada que passa por V com