Apostila de Geometria Descritiva

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GEOMETRIA DESCRITIVA
NOTAS DE AULA
SISTEMAS DE PROJEÇÃO
Para se fazer à representação gráfica dos objetos sobre um plano, efetua-se a projeção do mesmo, utilizando-se um sistema de projeções. Entende-se por projeção de um objeto sobre um plano, às interseções com esse plano, de um feixe de retas que passa por todos os pontos do objeto. A cada uma dessas retas denomina-se projetante do ponto no plano. 
Um sistema de projeção é definido por um centro de projeção e um plano de projeção. 
O centro de projeção é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes. 
 De acordo com a posição desse centro de projeção têm-se dois grandes sistemas de projeções: sistema de projeção cônico e sistema de projeção cilíndrico.
SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO
Também chamada de projeção central, é o tipo de projeção cujos raios projetantes que passam pelos pontos do objeto, atingindo o plano de projeção, partem sempre de um ponto fixo (centro de projeção), situado a uma distância finita do objeto, resultando em projetantes convergentes.
	
 
SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO
Também chamada de projeção paralela. Quando no sistema anterior o centro de projeções se desloca ao infinito (ponto impróprio) temos o caso das projeções cilíndricas, sendo todas as projetantes paralelas a uma direção d. Assim, as projeções cilíndricas podem ser ortogonais ou oblíquas.
 		
 
 
 Projeções Ortogonais Projeções Oblíquas
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PERSPECTIVAS
	Estas projeções sobre um plano de projeção, sejam em um ou outro sistema, são denominadas perspectivas, porque a projeção é a imagem do objeto sobre o plano, por um olho colocado sobre o centro de projeção. Nesse caso o centro de projeção, o plano de projeção e as projetantes se denominam, respectivamente, ponto de vista, quadro e raios perspectivos.
Note que um desenho perspectivo nos é útil para termos idéia do objeto, porém ele não nos permite a fixação dos objetos do ponto espacial, ou seja, não existe correspondência biunívoca entre ponto espacial e sua projeção. Veja que dada à projeção A não se pode localizar o ponto espacial (A).
Para haver esta correspondência pode-se:
Dar a projeção e a distância do ponto ao plano (cota), processo que dá origem ao Método das Projeções Cotadas.
b) Dar uma segunda projeção A’, feita de um ponto de vista (O’) sobre um outro plano (’) que, escolhidos de forma particular dá origem ao Método das Projeções Mongeanas.
	
O conjunto de métodos que permite construir os desenhos projetivos, constituem a Geometria Descritiva.
MÉTODO DAS PROJEÇÕES MONGEANAS
ESTUDO DO PONTO
O método das projeções mongeanas ou de duplas projeções consiste em determinar duas projeções cilíndricas ortogonais sobre dois planos perpendiculares, considerando um horizontal e outro vertical, denominados (() e ((’). A reta interseção desses dois planos de projeções é chamada Linha de Terra (LT).
	Por convenção, os pontos (O) e (O’), centros de projeções, estão situados à frente do (() e acima de ((’), no infinito, no 1o diedro, ou seja, faz-se projeções cilíndricas ortogonais aos planos de projeções.
	Por convenção utilizaremos a seguinte notação:
Pontos no espaço: (A) (letra maiúscula, entre parênteses);
Projeções do ponto: A e A’ (horizontal e vertical, respectivamente);
Reta no espaço: (r) (letra minúscula, entre parênteses);
Projeções da reta: r e r’ (horizontal e vertical, respectivamente) ;
Plano: (α) (letras do alfabeto grego, entre parênteses);
Traços do plano: α e α (horizontal e vertical, respectivamente)
Linha de terra: Dois pequenos traços abaixo da reta interseção dos dois planos de projeções. 
Representação de um ponto e sua épura correspondente:
 Perspectiva Rebatimento Épura
	Para representarmos a figura do espaço em um único plano, efetuamos o rebatimento do plano horizontal sobre o plano vertical, até que ambos coincidam (rotação de 90o em torno da Linha de Terra, no sentido horário). A esta representação, após a planificação das duas projeções, se denomina épura. Note que, em épura, a única referência é a Linha de Terra, que indica a posição original dos planos de projeções.
	A reta interseção de (π) e (π’) é denominada Linha de Terra ((’().
	À linha auxiliar, em épura, que une as 2 projeções A e A`, se dá o nome de Linha de Chamada, sendo a mesma perpendicular a ((’().
	À distância do ponto espacial (A) ao plano horizontal de projeções (π) se denomina cota, e é igual, em épura, à distância da projeção vertical a ((’().
À distância do ponto espacial (A) ao plano vertical de projeções (π’) se denomina afastamento, e é igual, em épura, à distância da projeção horizontal a ((’(). 
Por convenção, consideraremos para cotas positivas as cotas de pontos situados acima de (π), e afastamentos positivos para afastamentos de pontos situados adiante (à direita) de (π’).
Marcaremos arbitrariamente, sobre ((’(), uma origem (0). À distância, em épura, dessa origem 0 ao pé da linha de chamada que contém as projeções de um ponto se denomina abscissa desse ponto. Uma vez escolhida essa origem deverá servir à marcação das abscissas de todos os pontos da mesma épura. Consideram-se abscissas positivas àquelas de pontos situados à direita da origem.
Assim, um ponto pode ser descrito pelas suas coordenadas (abscissa, afastamento, cota).
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ESTUDO DA RETA
REPRESENTAÇÃO MONGEANA DA RETA
A representação mongeana de qualquer elemento é feito por meio de suas projeções sobre os planos  e (').
No caso de uma reta (r), traça-se o plano () que contém (r) e é perpendicular à . A interseção desses dois planos, designada por r, será a projeção horizontal de (r). Da mesma maneira obtém-se a projeção vertical r',de (r), por meio da interseção do plano (') com o plano (') que contém (r) e é perpendicular à '.
A posição da reta, em geral, fica bem determinada quando são conhecidas suas projeções sobre () e ('). Pois, existe um único plano () que contém r e é perpendicular a () e, um único plano (') que contém r' e é perpendicular à ('). A interseção desses dois planos define a reta (r).
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
Se um ponto pertence a uma reta, suas projeções pertencem às projeções de mesmo nome da reta, reciprocamente, com exceção da reta de perfil, se as projeções de um ponto pertencerem às projeções de mesmo nome de uma reta, o ponto pertencerá à reta.
Sejam A 
 r e A' 
 r' as projeções de um ponto (A), determinado pela interseção das perpendiculares à () e à ('), traçadas, respectivamente, por A e A'(fig. acima). A perpendicular à (), traçada por A, pertencerá ao plano () e, à ('), traçada por A', pertencerá ao plano ('). O ponto (A), interseção destas retas pertencerá à reta (r), interseção de () e (').
TRAÇOS DE RETA
O ponto de interseção de uma reta com um plano é chamado de traço da reta no plano. No caso dos planos de projeção, os traços são chamados de traços notáveis. A interseção com o plano horizontal é chamada de traço horizontal e é designada por (H) e, com o plano vertical é chamada de traço vertical e é designada por (V).
Do exposto tem-se:
(H) ≡ (r) ( ()
((H) 
 (r) ( H 
 r e H' 
 r'.
E, (H) 
 () ( H' 
 '.
Ou seja, H' é a interseção de r' com ' e, H é a interseção da linha de chamada que passa por H' com r.
(V) ≡ (r) ( (')
((V) 
 (r) ( V 
 r e V' 
 r'.
E, (V) 
 (') ( V 
 '.
Ou seja, V é a interseção de r com ' e, V' é a interseção da linha de chamada que passa por V comr'.
Obs: (H) e (V) estarão sempre designando, respectivamente, os traços horizontal e vertical de uma reta.
POSIÇÕES PARTICULARES DE UMA RETA
Conforme a posição que uma reta ocupa em relação aos planos de projeção e à linha de terra ela pode ser:
1. Reta horizontal ou de nível (h) – É a reta paralela ao plano horizontal de projeção e oblíqua em relação ao plano vertical de projeção. 
Sua épura é caracterizada por possuir projeção vertical paralela e projeção horizontal inclinada em relação à linha de terra. O ângulo que a projeção horizontal faz com a linha de terra é igual ao ângulo que a reta no espaço faz com o plano vertical de projeção. Por ser paralela à () não possui traço horizontal, que seria sua interseção com este plano. Como a reta horizontal só tem traço vertical, ela atravessa apenas dois diedros. No caso da figura acima, a reta atravessa o primeiro e o segundo diedros. 
Um segmento (A)(B) de uma reta horizontal possui projeção horizontal em verdadeira grandeza.
2. Reta frontal ou de frente (f) – É a reta paralela ao plano vertical de projeção e oblíqua em relação ao plano horizontal de projeção. 
Sua épura é caracterizada por possuir projeção horizontal paralela e projeção vertical oblíqua em relação à linha de terra. O ângulo que a projeção vertical faz com a linha de terra é igual ao ângulo que a reta no espaço faz com o plano horizontal de projeção. Por ser paralela à (') não possui traço vertical, que seria sua interseção com este plano. Como a reta frontal só tem traço horizontal, ela atravessa apenas dois diedros. No caso da figura acima, a reta atravessa o primeiro e o quarto diedro.
Um segmento (A)(B) de uma reta frontal possui projeção vertical em verdadeira grandeza.
3. Reta fronto-horizontal (fh) – É a reta paralela aos dois planos de projeção.
Sua épura é caracterizada por possuir as duas projeções paralelas à linha de terra. Por ser paralela aos dois planos de projeção, não possui traços notáveis, que seriam suas interseções com os planos de projeção, com isso, a reta está toda contida em um único diedro.
 No caso da figura a reta dada está contida no primeiro diedro.
Um segmento (A)(B) de uma reta fronto-horizontal possui as duas projeções em verdadeira grandeza.
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4. Reta vertical (v) – É a reta perpendicular ao plano horizontal de projeção.
Sua épura é caracterizada por possuir projeção horizontal reduzida a um ponto e projeção vertical perpendicular à linha de terra. Por ser perpendicular à (), é paralela à ('), portanto, não possui traço vertical, que seria sua interseção com este plano. Como a reta vertical só tem traço horizontal, ela atravessa apenas dois diedros. No caso da figura acima, a reta atravessa o primeiro e o quarto diedro.
Um segmento (A)(B) de uma reta vertical possui projeção vertical em verdadeira grandeza.
5. Reta de topo – É a reta perpendicular ao plano vertical de projeção. 
Sua épura é caracterizada por possuir projeção vertical reduzida a um ponto e projeção horizontal perpendicular à linha de terra. Por ser perpendicular à ('), é paralela à (), portanto, não possui traço horizontal, que seria sua interseção com este plano. Como a reta de topo só tem traço vertical, ela atravessa apenas dois diedros. No caso da figura acima a reta atravessa o primeiro e o segundo diedros. Um segmento (A)(B) de uma reta de topo possui projeção horizontal em verdadeira grandeza.
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6. Reta de perfil – É a reta ortogonal à linha de terra. Ela está, portanto, situada em um plano perpendicular à linha de terra. Este plano é chamado plano de perfil.
Em épura, suas projeções coincidem e são perpendiculares à linha de terra.
As projeções de qualquer reta situada em um mesmo plano de perfil são coincidentes, portanto, as projeções de uma reta de perfil não são suficientes para defini-la, para individualizá-la é necessário definir dois de seus pontos. Os planos que projetam este tipo de reta em () e em (') coincidem, por isso, a reta de perfil apresenta uma série de particularidades, por este motivo, o seu estudo será desenvolvido de forma particular, no final do estudo de retas.
7. Reta qualquer – É a reta oblíqua em relação aos dois planos de projeção e à linha de terra. 
Suas projeções são inclinadas em relação à linha de terra. Como ela não é paralela a nenhum dos planos de projeção, possui os dois traços notáveis, e atravessa três diedros. No caso da figura ao lado, atravessa o quarto, primeiro e segundo diedros.
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POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
Duas retas no espaço podem ser: concorrentes, paralelas ou reversas. Se estiverem situadas em um mesmo plano serão concorrentes ou paralelas, caso contrário, serão reversas.
RETAS CONCORRENTES
Se duas retas (r) e (s) são concorrentes, existe um ponto (P) que pertence simultaneamente às duas retas. Considerando-se que nenhuma delas é de perfil, tem-se:
(P) 
 (r) ( P 
 r ( P' 
 r' ( (1)
(P) 
 (s) ( P 
 s ( P' 
 s' ( (2)
De (1) e (2), tem-se:
P ( r ( s e P'( r'( s'
Como P e P' são projeções de um mesmo ponto (P), estão situados em uma mesma linha de chamada, ou seja, pertencem a uma perpendicular à linha de terra.
Portanto, para que as duas retas sejam concorrentes, as interseções das projeções horizontais e verticais devem estar sobre uma mesma perpendicular à linha de terra. Esta perpendicular é a linha de chamada do ponto (P), interseção das duas retas.
Pode ocorrer que as retas (r) e (s) tenham projeções verticais coincidentes, elas serão concorrentes, se as projeções horizontais se interceptarem. É o caso em que os planos projetantes, das duas retas, sobre ('), coincidem. 
Existe o ponto (P) comum às duas retas, já que suas projeções estão situadas sobre as projeções de mesmo nome das retas (r) e (s).
As retas (r) e (s) da figura ao lado são concorrentes, pois, existe um ponto (P) que pertence às duas retas, por ter projeções sobre as projeções de mesmo nome das retas. 
Neste caso, os planos que projetam as duas retas em (), coincidem.
Conclusão – Verificar se duas retas são concorrentes, é verificar se existe um ponto comum às duas retas, ou seja, que tenha projeções sobre as projeções de mesmo nome das duas retas.
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RETAS PARALELAS
Se duas retas (r) e (s) forem paralelas, os planos projetantes sobre (), serão paralelos, por conterem duas retas, de direções distintas, paralelas. Portanto, suas projeções horizontais são paralelas, por serem interseções de (), com os planos projetantes, paralelos. De forma análoga, suas projeções verticais serão também paralelas.
Reciprocamente, se r for paralela à s, o plano () que contém r, perpendicular à () será paralelo ao plano () que contém s, perpendicular à () e, se r' for paralela à s', o plano (') que contém r' perpendicular à (') será paralelo ao plano (') que contém s', perpendicular à (').
Mas, (r) ( (( (') , (s) ( () ( (')
Como ( // () e (') // (') ( (r) // (s)
A seguir, alguns exemplos de retas paralelas:
r // s e r' // s' ( (r) // (s).
r ( s ( () ( () ( (r) e (s) estão situadas em um mesmo plano. Mas, duas retas de um plano ou são concorrentes ou paralelas.
(r) e (s) não são concorrentes, pois, r' // s' ( (r) // (s).
r' ( s' ( (') ( (') ( (r) e (s) estão situadas em um mesmo plano. Mas, duas retas de um plano ou são concorrentes ou paralelas.
(r) e (s) não são concorrentes pois, r // s ( (r) // (s).
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RETAS REVERSAS
Duas retas são reversas se não estiverem situadas em um mesmo plano, ou seja, se não forem concorrentes ou paralelas.
Alguns exemplos de retas reversas:
Os pontos de interseçãodas projeções horizontal e vertical não estão situados em uma mesma linha de chamada, portanto, as retas (r) e (s) são reversas.
Os pontos (P) de (r) e (s) que têm projeções horizontais coincidentes, têm projeções verticais distintas.
Os pontos (Q) de (r) e (s) que têm projeções verticais coincidentes, têm projeções horizontais distintas.
As retas (r) e (s) não são concorrentes porque as projeções verticais são paralelas e, não são paralelas porque as projeções horizontais são concorrentes. Portanto, as retas (r) e (s) são reversas.
As retas (r) e (s) não são concorrentes porque as projeções horizontais são paralelas e, não são paralelas porque as projeções verticais são concorrentes. Portanto, as retas (r) e (s) são reversas.
As retas (r) e (v) não são paralelas, pois não têm projeções paralelas e, para que (r) seja concorrente com (v), v tem que pertencer à r, portanto, as retas (r) e (v) não são concorrentes. Como (r) e (v) não são paralelas e nem concorrentes, são reversas.
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RETAS DE PERFIL
Para fazer o estudo de uma figura situada em um plano de perfil (''), gira-se o plano de perfil em torno de sua interseção com ('), no sentido anti-horário, até que os dois planos tornem-se coincidentes. Esta operação é chamada de rebatimento de ('') em (').
Nesta nova posição, os pontos de ('') e suas projeções verticais são coincidentes. Ou seja, qualquer figura, situada em um plano de perfil, terá projeção vertical em verdadeira grandeza e projeção horizontal sobre a linha de terra, após o rebatimento do plano em (').
 
REBATIMENTO DE UMA RETA DE PERFIL
O rebatimento de uma reta de perfil é obtido rebatendo-se os dois pontos que a definem.
Pelo exposto anteriormente, a respeito da posição de um ponto no espaço e o mesmo rebatido, pode-se concluir que a trajetória de uma reta será determinada pelo seu rebatimento, ou seja, os quadrantes que a reta rebatida atravessa, correspondem aos diedros que a mesma se situa no espaço.
PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA DE PERFIL
Um ponto pertencerá a uma reta de perfil se o seu rebatimento estiver situado sobre a reta rebatida.
Na reta (A)(B), da figura inicial, (C) pertence à reta e (D) é um ponto não pertencente à reta.
ALÇAMENTO
O alçamento é a operação inversa do rebatimento. Alçar um elemento é determinar, a partir do seu rebatimento, suas projeções na posição inicial, ou seja, sobre o plano de perfil.
Exemplo:
Seja a reta de perfil (A)(B) da figura ao lado e (C) um ponto da reta cuja projeção vertical C' é conhecida. 
Para que o ponto seja definido é necessário determinar sua projeção horizontal C. Mas,
(C)
(A)(B) ( C"
A"B"
Portanto, rebate-se a reta (A)(B) e determina-se o ponto C" interseção de A"B" com a paralela à linha de terra traçada por C'. Reconduzindo o ponto (C) à posição inicial, ou seja, alçando C", determina-se C. Para isso, traça-se por C" perpendicular à linha de terra, a projeção horizontal do ponto (C) rebatido é a interseção da perpendicular com '. Por este ponto, traça-se um arco, no sentido horário, até interceptar AB em C, projeção horizontal do ponto (C).
De forma análoga, determina-se o ponto (D) de (A)(B), cuja projeção horizontal é conhecida. Sabe-se, que D"
A"B", portanto, traça-se de D arco no sentido anti-horário até interceptar a linha de terra, determinando a projeção horizontal do ponto (D) rebatido; traça-se a nova linha de chamada de (D) determinando sua interseção com A"B", obtendo-se D". Alçando D", obtém-se D', para isso, traça-se por D" paralela à linha de terra até interceptar A'B'.
TRAÇOS DE UMA RETA DE PERFIL
Determinar os traços (H) e (V) de uma reta de perfil é determinar os pontos da reta que têm projeção vertical e horizontal, respectivamente, conhecidas. Pois, (H) é o ponto da reta que tem cota nula, ou seja, H'
' e, (V) o ponto de afastamento nulo ( V
'.
Determina-se a reta (A)(B) rebatida e sobre ela os pontos H" e V", os traços rebatidos. Alçando estes pontos, obtém-se H e V', que são as projeções que faltavam para definir os traços.
Analisando a figura abaixo, vê-se que (V) é o ponto da reta que permanece fixo durante o rebatimento, por pertencer ao eixo de rotação do plano de perfil, ou seja, V'(V".
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 ESTUDO DO PLANO
Geometricamente um plano é definido por:
Três pontos não colineares;
Uma reta e um ponto exterior à reta;
Duas retas concorrentes;
Duas retas paralelas.
Qualquer que seja a forma como o plano é definido, chega-se à qualquer das outras formas de definição do plano.Obtém-se a representação mongeana do plano pela representação mongeana dos elementos que o definem. 
POSIÇÕES DO PLANO
	Veremos agora as diferentes posições que um plano pode ocupar, relativo aos planos de projeção.
Plano Qualquer: Oblíquo a (π) e (π’).
Já visto anteriormente. Rever figuras do item “Traços de um plano” .
Uma figura que se situe neste plano terá suas projeções horizontal e vertical deformados.
Plano Horizontal (ou de Nível)
É todo plano paralelo a (π) e, consequentemente, perpendicular a (π’). Todo plano horizontal tem seu traço vertical (único) paralelo a (π’π). Todo ponto pertencente a ele terá sua projeção vertical sobre seu traço vertical. Toda figura que nele se encontre, projeta-se horizontalmente em VG.
Plano Frontal
É todo plano paralelo a (π’) e, consequentemente, perpendicular a (π). Todo plano frontal possui seu traço horizontal (único) paralelo a (π’π). Todo ponto pertencente a ele terá sua projeção horizontal sobre seu traço horizontal. Toda figura que nele se encontre, projeta-se verticalmente em VG.
Plano Vertical
É todo plano perpendicular a (π) e oblíquo a (π’). Todo plano vertical possui seu vertical perpendicular a (π’π) e seu traço horizontal oblíquo a (π’π).Todo ponto perencente a ele terá sua projeção horizontal sobre seu traço horizontal. Toda figura que nele se encontre projeta-se deformada, tendo sua projeção horizontal reduzida a um segmento de reta.
Plano de Topo
É todo plano perpendicular a (π’) e oblíquo a (π). Todo plano de topo possui seu traço horizontal perpendicular a (π’π) e seu traço vertical oblíquo a (π’π). Todo ponto pertencente a ele terá sua projeção vertical sobre seu traço vertical. Toda figura que nele se encontre projeta-se deformada, tendo sua projeção vertical reduzida a um segmento de reta.
Plano passando pela linha de terra.
Apesar de ser um plano qualquer (oblíquo a (π) e (π’)), tem a particularidade de seus dois traços nào são suficientes para o definir, visto que qualquer plano que passe pela linha de terra terá seus dois traços com ela coincidentes. Não sendo conhecida sua inclinação, ele só fica determinado se conhecermos mais um ponto ou uma reta desse plano. Toda figura que nele se encontre projeta-se deformada.
Plano de Perfil 
É o plano perpendicular à (π' π), portanto possui os traços perpendiculares à linha de terra. Qualquer figura situada em um plano de perfil tem projeção horizontal situada sobre o traço horizontal do plano e projeção vertical sobre o traço vertical do plano.
8- Plano Paralelo à Linha de Terra
Oblíquo a (π) e (π’). Por ser paralelo à linha de terra, possui os traços paralelos à ('). Toda figura que nele se encontre projeta-se deformada.
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POLIEDROS
Chama-se poliedro o sólido formado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e tais que, dois a dois, tenham um lado em comum.
Os polígonos, seus lados e seus vértices chamam-se, respectivamente, faces, arestas e vértices do poliedro.
Um poliedroé dito convexo quando está situado em um mesmo semi-espaço, determinado pelo plano de qualquer de suas faces. É dito côncavo, quando não pertencer inteiramente a, pelo menos um dos semi-espaços determinados pelos planos de suas faces.
Serão estudados apenas os poliedros convexos.
Os poliedros podem ser regulares e não regulares.
Diz-se que um poliedro é regular, quando todas as suas faces são polígonos regulares iguais e cujos ângulos sólidos são iguais entre si. Só existem cinco poliedros regulares: tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular, que são formados respectivamente por quatro, seis, oito, doze e vinte polígonos regulares.
PIRÂMIDE
Chama-se pirâmide ao poliedro formado por um polígono plano, base da pirâmide, de cujos vértices partem arestas concorrentes em um mesmo ponto, chamado de vértice da pirâmide. As arestas concorrentes no vértice da pirâmide são chamadas de arestas laterais e as faces definidas por duas arestas laterais e por uma aresta da base são chamadas de faces laterais.
Chama-se altura de uma pirâmide à distância do seu vértice ao plano de sua base.
Uma pirâmide diz-se triangular ou tetraedro, quadrangular, pentagonal, hexagonal, etc., conforme sua base seja um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, um hexágono, etc.
Uma pirâmide diz-se regular quando sua base é um polígono regular e sua altura tem para extremos o vértice da pirâmide e o centro da base.
As faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles iguais cujas alturas são chamadas de apótema da pirâmide.
PRISMA
Chama-se prisma ao poliedro em que duas faces são formadas por polígonos planos iguais e paralelos, denominados de bases do prisma, cujos vértices homólogos determinam as arestas laterais. Os lados das bases são as arestas das bases. As outras faces são paralelogramos, chamados de faces laterais.
Chama-se altura de um prisma à distância entre as bases.
Um prisma diz-se reto ou oblíquo conforme suas arestas laterais sejam ou não perpendiculares à base.
Em todo prisma reto as faces laterais são retângulos ou quadrados e as arestas laterais são iguais à altura.
Prisma regular é o prisma reto cujas bases sejam polígonos regulares.
Um prisma denomina-se triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, etc., conforme suas bases sejam triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.
Paralelepípedo é o prisma cujas bases são paralelogramos. Um paralelepípedo é reto ou oblíquo conforme suas arestas laterais sejam ou não perpendiculares às bases. Chama-se paralelepípedo retângulo o paralelepípedo reto cujas bases são retângulos. Um paralelepípedo retângulo é então um poliedro em que todas as faces são retângulos.
REPRESENTAÇÃO MONGEANA DE UM POLIEDRO
Determina-se a representação mongeana de um poliedro pelas projeções dos elementos que o determinam. 
Denomina-se contorno aparente da projeção de um poliedro convexo, ao polígono convexo, de maior perímetro, que se pode formar com as projeções dos vértices do poliedro, no plano considerado.
No interior do contorno aparente, poderão se projetar arestas ou vértices, e é preciso reconhecer se esses elementos do sólido são visíveis ou não.
As arestas visíveis são representadas por traço cheio e as não visíveis por linhas tracejadas.
Exemplo de representações:
1- Prismas
2- Pirâmides
REGRAS DE VISIBILIDADE
Estuda-se a visibilidade de cada projeção.
O contorno aparente é sempre visível.
Os vértices projetados no interior do contorno aparente conduzem a arestas visíveis ou não, dependendo da visibilidade do próprio vértice.
Se as projeções de duas arestas que não se cortam, se cruzam no interior do contorno aparente, uma é vista e a outra não.
Em projeção horizontal, quanto maior a cota de um elemento mais próximo ao observador ele se encontra. Ou seja, os elementos de maior cota são visíveis e ocultam os de menor cota. Se dois pontos estiverem situados em uma mesma vertical será visível o de maior cota.
Em projeção vertical, quanto maior o afastamento de um elemento mais próximo ao observador ele se encontra. Ou seja, os elementos de maior afastamento são visíveis e ocultam os menos afastados. Se dois pontos estiverem situados em uma mesma reta de topo, será visível o ponto de maior afastamento.
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1º Diedro
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(A)
A
(A)
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A'
A'
(A)
A
A'
(A)
A
L
T
L
abscissa
afastamento
cota
A
A'
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