030V15 juros compostos

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Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Matema´tica Financeira
Semana 3: Juros compostos
Manuela Longoni de Castro
Wili Dal Zot
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
UFRGS
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Conceito de juros compostos
No regime de juros compostos, periodicamente, os juros sa˜o
calculados e incorporados ao capital passando tambe´m a
gerar juros [Neto, 2009, pp.17] [Zot, 2008, pp.57] [Samanez,
2002, pp.15][Sobrinho, 2000, pp.34][de Lima Puccini, 2009,
pp.39][de Losso da Silveira Bueno et al., 2011, pp.9].
Por esta raza˜o, dizemos que nos juros compostos, ocorre a
capitalizac¸a˜o dos juros, ou seja, os juros passam a fazer o
papel do capital que e´ o de gerar juros. O per´ıodo de tempo
em que ocorre a incorporac¸a˜o dos juros ao capital e´
denominado per´ıodo de capitalizac¸a˜o.
Nesse regime o ca´lculo dos juros se da´ a partir do principal
original acrescido dos juros incorporados ate´ a data do referido
ca´lculo.
Logo, nos juros compostos, juros geram juros.
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Conceito de juros compostos
No regime de juros compostos, periodicamente, os juros sa˜o
calculados e incorporados ao capital passando tambe´m a
gerar juros [Neto, 2009, pp.17] [Zot, 2008, pp.57] [Samanez,
2002, pp.15][Sobrinho, 2000, pp.34][de Lima Puccini, 2009,
pp.39][de Losso da Silveira Bueno et al., 2011, pp.9].
Por esta raza˜o, dizemos que nos juros compostos, ocorre a
capitalizac¸a˜o dos juros, ou seja, os juros passam a fazer o
papel do capital que e´ o de gerar juros. O per´ıodo de tempo
em que ocorre a incorporac¸a˜o dos juros ao capital e´
denominado per´ıodo de capitalizac¸a˜o.
Nesse regime o ca´lculo dos juros se da´ a partir do principal
original acrescido dos juros incorporados ate´ a data do referido
ca´lculo.
Logo, nos juros compostos, juros geram juros.
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Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Conceito de juros compostos
No regime de juros compostos, periodicamente, os juros sa˜o
calculados e incorporados ao capital passando tambe´m a
gerar juros [Neto, 2009, pp.17] [Zot, 2008, pp.57] [Samanez,
2002, pp.15][Sobrinho, 2000, pp.34][de Lima Puccini, 2009,
pp.39][de Losso da Silveira Bueno et al., 2011, pp.9].
Por esta raza˜o, dizemos que nos juros compostos, ocorre a
capitalizac¸a˜o dos juros, ou seja, os juros passam a fazer o
papel do capital que e´ o de gerar juros. O per´ıodo de tempo
em que ocorre a incorporac¸a˜o dos juros ao capital e´
denominado per´ıodo de capitalizac¸a˜o.
Nesse regime o ca´lculo dos juros se da´ a partir do principal
original acrescido dos juros incorporados ate´ a data do referido
ca´lculo.
Logo, nos juros compostos, juros geram juros.
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Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Plano financeiro
Considere o financiamento de R$ 10.000,00, a uma taxa de
juros compostos de 70% ao ano, a ser pago ao final de 4 anos.
Uma forma de demonstrar a evoluc¸a˜o da d´ıvida e´ apresentar
todas as datas em que possa ocorrer uma alterac¸a˜o de valor
nos saldos, na forma de uma planilha.
Esta forma de apresentac¸a˜o tem diversas denominac¸o˜es: Plano
Financeiro, Conta Gra´fica ou Memo´ria de Ca´lculo.
No exemplo, e´ informada uma taxa anual, sem informac¸a˜o
adicional sobre o per´ıodo de capitalizac¸a˜o. Isto quer dizer que a
capitalizac¸a˜o dos juros ocorrera´ na frequeˆncia informada pela
taxa, ou seja, anualmente. O plano financeiro para este
empre´stimo e´ enta˜o tabelado anualmente.
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juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
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Plano financeiro
Considere o financiamento de R$ 10.000,00, a uma taxa de
juros compostos de 70% ao ano, a ser pago ao final de 4 anos.
Uma forma de demonstrar a evoluc¸a˜o da d´ıvida e´ apresentar
todas as datas em que possa ocorrer uma alterac¸a˜o de valor
nos saldos, na forma de uma planilha.
Esta forma de apresentac¸a˜o tem diversas denominac¸o˜es: Plano
Financeiro, Conta Gra´fica ou Memo´ria de Ca´lculo.
No exemplo, e´ informada uma taxa anual, sem informac¸a˜o
adicional sobre o per´ıodo de capitalizac¸a˜o. Isto quer dizer que a
capitalizac¸a˜o dos juros ocorrera´ na frequeˆncia informada pela
taxa, ou seja, anualmente. O plano financeiro para este
empre´stimo e´ enta˜o tabelado anualmente.
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Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Plano financeiro
Considere o financiamento de R$ 10.000,00, a uma taxa de
juros compostos de 70% ao ano, a ser pago ao final de 4 anos.
Uma forma de demonstrar a evoluc¸a˜o da d´ıvida e´ apresentar
todas as datas em que possa ocorrer uma alterac¸a˜o de valor
nos saldos, na forma de uma planilha.
Esta forma de apresentac¸a˜o tem diversas denominac¸o˜es: Plano
Financeiro, Conta Gra´fica ou Memo´ria de Ca´lculo.
No exemplo, e´ informada uma taxa anual, sem informac¸a˜o
adicional sobre o per´ıodo de capitalizac¸a˜o. Isto quer dizer que a
capitalizac¸a˜o dos juros ocorrera´ na frequeˆncia informada pela
taxa, ou seja, anualmente. O plano financeiro para este
empre´stimo e´ enta˜o tabelado anualmente.
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Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Plano financeiro
Considere o financiamento de R$ 10.000,00, a uma taxa de
juros compostosde 70% ao ano, a ser pago ao final de 4 anos.
Uma forma de demonstrar a evoluc¸a˜o da d´ıvida e´ apresentar
todas as datas em que possa ocorrer uma alterac¸a˜o de valor
nos saldos, na forma de uma planilha.
Esta forma de apresentac¸a˜o tem diversas denominac¸o˜es: Plano
Financeiro, Conta Gra´fica ou Memo´ria de Ca´lculo.
No exemplo, e´ informada uma taxa anual, sem informac¸a˜o
adicional sobre o per´ıodo de capitalizac¸a˜o. Isto quer dizer que a
capitalizac¸a˜o dos juros ocorrera´ na frequeˆncia informada pela
taxa, ou seja, anualmente. O plano financeiro para este
empre´stimo e´ enta˜o tabelado anualmente.
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Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
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Refereˆncias
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Ao final do primeiro per´ıodo, o ca´lculo dos juros e montante e´
ideˆntico ao do regime de juros simples.
ano saldo inicial juros saldo final
1 10.000 10.000 x 0,70 = 7.000 17.000
As semelhanc¸as encerram aqui.
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x Juros
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Per´ıodos na˜o
inteiros
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Como mencionado, no regime de juros compostos, os juros do
per´ıodo sa˜o calculados sobre o montante (Principal+Juros) ao
final do per´ıodo anterior.
No exemplo, o montante ao final do primeiro per´ıodo e´ de R$
17.000,00. Os juros do pro´ximo per´ıodo sa˜o enta˜o calculados
sobre este valor:
ano saldo inicial juros saldo final
1 10.000 10.000 x 0,70 = 7.000 17.000
2 17.000 17.000 x 0,70 = 11.900 28.900
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x Juros
Compostos
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inteiros
Refereˆncias
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E assim sucessivamente ate´ o prazo final de 4 anos do
empre´stimo.
ano saldo inicial juros saldo final
1 10.000 10.000 x 0,70 = 7.000 17.000
2 17.000 17.000 x 0,70 = 11.900 28.900
3 28.900 28.900 x 0,70 = 20.230 49.130
4 49.130 49.130 x 0,70 = 34.391 83.521
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x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Plano financeiro: generalizac¸a˜o
Observando atentamente o plano financeiro para o exemplo
anterior, voceˆ observara´ um padra˜o de ca´lculo. Para cada
per´ıodo, representado por uma linha da tabela, temos
ano saldo inicial juros saldo final
k Sk−1 Jk = Sk−1 × i Sk = Sk−1 + Jk
k + 1 Sk Jk+1 = Sk × i Sk+1 = Sk + Jk+1
Ou seja:
o saldo inicial do per´ıodo e´ ideˆntico ao saldo final do
per´ıodo anterior (Sk−1);
a partir deste valor calculam-se os juros do per´ıodo Jk ,
aplicando o percentual i sobre Sk−1, fazendo a
multiplicac¸a˜o de Sk−1 pela taxa unita´ria i ;
para obter-se o saldo ao final do per´ıodo (Sk) soma-se o
saldo inicial e os juros do per´ıodo, isto e´, Sk = Sk−1 + Jk .
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x Juros
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Exemplos
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inteiros
Refereˆncias
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Plano financeiro: generalizac¸a˜o
Segue a evoluc¸a˜o de um empre´stimo em juros compostos. A
expressa˜o para o saldo final e´ obtida colocando-se em evideˆncia
o fator comum a`s duas parcela da soma.
ano saldo inicial juros saldo final
1 P P.i P + P.i = P(1 + i)
2 P(1 + i) P(1 + i).i P(1 + i) + P(1 + i).i = P(1 + i)2
3 P(1 + i)2 P(1 + i)2.i P(1 + i)2 + P(1 + i)2.i = P(1 + i)3
4 P(1 + i)3 P(1 + i)3.i P(1 + i)3 + P(1 + i)3.i = P(1 + i)4
... ... ... ...
n P(1 + i)n−1 P(1 + i)n−1.i P(1 + i)n−1 + P(1 + i)n−1.i = P(1 + i)n
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x Juros
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Exemplos
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Fo´rmula do montante
O saldo ou montante para o ene´simo per´ıodo sera´, portanto:
S = P(1 + i)n (1)
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x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
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Exemplo
No exemplo, podemos utilizar esta fo´rmula para obter o saldo
final do empre´stimo ao final do prazo de 4 anos sem a
necessidade de explicitar todo o plano financeiro. Temos:
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x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Exemplo 1. Calcular o montante do empre´stimo de um capital
de R$ 10.000,00, a` taxa de juros compostos de 70% ao ano,
apo´s 4 anos.
Dados:
S =?
P = 10.000, 00 (principal = capital emprestado)
i = 70%(0, 70) ao ano
n = 4 anos
Soluc¸a˜o:
S = P(1 + i)n = 10.000(1 + 0.70)4 = 83.521
Resposta: O montante e´ de R$ 83.521,00.
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montante
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x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
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Usando a calculadora para computar 10.000(1 + 0, 70)4:
RPN ALG
1.7
�� ��ENTER 1.7 �� ��yx
4
�� ��yx 4 �� ��× 10000
10000
�� ��× �� ��=
⇒ 83.521,000000 ⇒83.521,000000
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x Juros
Compostos
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inteiros
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Usando recursos pre´-programados da calculadora
financeira
As calculadoras financeiras trazem recursos pre´-programados
principalmente em juros compostos. O grupo de teclas
financeiras geralmente presente na maioria das calculadoras e´
associado a`s seguintes siglas:�� ��n nu´mero de per´ıodos ou de prestac¸o˜es;�� ��i taxa percentual de juros;�� ��PV principal;����PMT prestac¸a˜o e�� ��FV montante
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x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Assim, para resolver o exemplo anterior podemos seguir os
seguintes passos na hp12c:
1 limpar a memo´ria financeira teclando a func¸a˜o
�� ��< clearfin >
(que se obte´m teclando
�� ��f �� ��x >< y )
2 10000
�� ��PV
3 4
�� ��n
4 70
�� ��i
5
�� ��FV
Seguindo estes passos na hp12c, obtemos no visor o valor de
-83.521,000.
O sinal negativo baseia-se na concepc¸a˜o de que os empre´stimos
sa˜o feitos como fluxos de caixa: se o principal e´ uma entrada
(positivo) enta˜o o montante devera´ ser uma sa´ıda (negativo) e
vice-versa.
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x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
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Usando recursos pre´-programados da calculadora
financeira
Os passos acima correspondem a` calculadora HP12C mas
pouco diferem das demais calculadoras financeiras.
Algumas apresentam func¸o˜es com menus e por vezes no lugar
de
�� ��i tem-se �� ��I%YR (significando taxa anual). Nestes casos,
como da HP10BII e HP17BII, e´ importante ter atenc¸a˜o pois
estes modelos necessitam que a memo´ria
�� ��P/YR (per´ıodos de
capitalizac¸a˜o por ano) seja alterada de 12 para 1.
A visualizac¸a˜o de outros modelos de calculadoras financeiras
encontra-se em Modelos de calculadoras financeiras, no quadro
mural da disciplina. O emulador da calculadora hp12c, de uso
gratuito, pode ser acessado via Emulador calculadora financeira
HP 12C GOLD
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Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Comparativo entre Juros Simples e Juros
Compostos
Comparando-se a evoluc¸a˜o dos montantes do financiamento de
R$ 10.000,00, a uma taxa de juros simples de 70% ao ano, nos
sistemas de juros simples e juros compostos teremos:
ano Juros Simples Juros Compostos
0 10.000 10.000
1 17.000 17.000
2 24.000 28.900
3 31.000 49.130
4 38.000 83.521
Esta diferenc¸a e´ resultado da forma com que os juros sa˜o
calculados em cada per´ıodo:
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Juros Simples
Os juros sa˜o calculados sobre o valor inicial do empre´stimo
ano saldo inicial juros saldo final
1 10.000 10.000 x 0,70 = 7.000 17.000
2 17.000 10.000 x 0,70 = 7.000 24.000
3 24.000 10.000 x 0,70 = 7.000 31.000
4 31.000 10.000 x 0,70 = 7.000 38.000
Juros Compostos
Os juros sa˜o calculados sobre o saldo inicial do per´ıodo
ano saldo inicial juros saldo final
1 10.000 10.000 x 0,70 = 7.000 17.000
2 17.000 17.000 x 0,70 = 11.900 28.900
3 28.900 28.900 x 0,70 = 20.230 49.130
4 49.130 49.130 x 0,70 = 34.391 83.521
Matema´tica
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Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Comparativo gra´fico entre Juros Simples e Juros
Compostos
0 1
Juros Compostos
e
Juros Simples
n (prazo)
S (montante)
b
b
Matema´tica
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Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Observamos que o montante em juros simples e´ representado
peloo gra´fico de uma reta, enquanto que, em juros compostos,
ele e´ representado por uma curva exponencial.
Tambe´m podemos observar que, para per´ıodos fraciona´rios de
tempo, com n entre 0 e 1, o montante em juros simples e´
superior ao montante obtido em juros compostos. Para prazos
superiores a n = 1, o montante em juros compostos e´
significantemente maior.
Matema´tica
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Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Calculando o montante I
Exemplo 2. Qual o valor de resgate de uma aplicac¸a˜o financeira
de R$ 12.450,00, apo´s 30 meses, a uma taxa de 4,50% ao meˆs?
Dados:
S =? (valor de resgate = montante)
P = 12.450, 00
i = 4, 5% = 0, 045 ao meˆs
n = 30 meses
Soluc¸a˜o:
S = P(1 + i)n = 12.450(1 + 0, 045)30 = 46.629, 2108
Resposta: O montante e´ de R$ 46.629,21
Matema´tica
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Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Use a calculadora: para computar 12.450(1, 045)30
Modo RPN Modo ALGe´brico Modo FINanceiro
1.045
�� ��ENTER 1.045 �� ��yx �� ��clear fin
30
�� ��yx 30 �� ��× 4.5 �� ��i
12450
�� ��× 12450 �� ��= 30 �� ��n
⇒ 46.629,2108 ⇒ 46.629,2108 12450 �� ��PV�� ��FV
⇒ -46.629,2108
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juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Calculando o principal
Exemplo 3. Para que uma aplicac¸a˜o financeira atinja um saldo
de R$ 50.000,00, apo´s 720 dias, a uma taxa de juros
compostos de 33% ao ano, qual deve ser o capital inicial?
Dados:
P =?
S = 50.000, 00
i = 33% = 0, 33 ao ano
n = 720 dias
Antes de prosseguirmos, perguntamos:
1 No´s temos uma fo´rmula para P?
2 A taxa e´ anual e o prazo e´ em dias ... o que fazemos?
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Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Respostas
1 No´s temos uma fo´rmula que envolve S , P, i e n, que e´ a
fo´rmula (1). A partir desta podemos obter uma fo´rmula
para P isolando esta inco´gnita:
S = P .(1 + i)n
dividindo ambos os lados por (1 + i)n segue que
P =
S
(1 + i)n
2 O prazo e a taxa devem sempre estar na mesma unidade
de tempo e e´ sempre o prazo que deve ser convertido, e
na˜o a taxa.
Para converter o prazo, utilizamos a regra do banqueiro.
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financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Pela regra do banqueiro, um ano tem 360 dias, logo, o prazo
n = 720 dias corresponde a
n =
720
360
= 2 anos
Agora podemos voltar ao exemplo.
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compostos
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Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Para que uma aplicac¸a˜o financeira atinja um saldo de R$
50.000,00, apo´s 720 dias, a uma taxa de juros compostos de
33% ao ano, qual deve ser o capital inicial?
Dados:
P =?
S = 50.000, 00
i = 33% = 0, 33 ao ano
n = 720 dias =
720
360
= 2 anos
Soluc¸a˜o:
P =
S
(1 + i)n
=
50000
(1 + 0.33)2
= 28266.1541
Resposta: O capital inicial deve ser de R$28.266,15
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Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Use a calculadora: para calcular
50000
(1, 33)2
Modo RPN Modo ALGe´brico Modo FINanceiro
50000
�� ��ENTER 50000 �� ��÷ �� ��clear fin
1.33
�� ��ENTER �� ��( 1.33 �� ��yx 33 �� ��i
2
�� ��yx 2 �� ��= 2 �� ��n�� ��÷ ⇒ 28.266,1541 50000 �� ��FV
⇒ 28.266,1541 �� ��PV
⇒ -28.266,1541
Matema´tica
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Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Calculando a taxa
Exemplo 4. Uma d´ıvida de R$ 15.000,0 foi resgatada por R$
21.106,51 apo´s 7 meses. Calcular a taxa mensal de juros
compostos utilizada na operac¸a˜o.
Dados:
i =?
P = 15.000
S = 21.106, 51
n = 7 meses
Antes de prosseguirmos: no´s temos uma fo´rmula para calcular
a taxa?
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juros
compostos
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financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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E´ necessa´rio isolar i na fo´rmula do montante.
S = P.(1 + i)n
S
P
= (1 + i)n(
S
P
)1/n
= ((1 + i)n)1/n = (1 + i)1 = 1 + i
da onde segue que a taxa unita´ria i pode ser calculada pela
fo´rmula
i =
(
S
P
)1/n
− 1
Voltando a` soluc¸a˜o do exemplo:
Matema´tica
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compostos
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financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Uma d´ıvida de R$ 15.000,0 foi resgatada por R$ 21.106,51
apo´s 7 meses. Calcular a taxa mensal de juros compostos
utilizada na operac¸a˜o.
Dados:
i =?
P = 15.000
S = 21.106, 51
n = 7 mesesSoluc¸a˜o:
i =
(
S
P
)1/n
− 1 =
(
21106.51
15000
)1/7
− 1 = 0, 05
∴ i = 0, 05× 100% = 5%
Resposta: a taxa mensal de juros utilizada na operac¸a˜o foi de
5% ao meˆs.
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juros
compostos
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Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Usando a calculadora para computar
(
21106.51
15000
)1/7
− 1
Modo RPN Modo ALGe´brico Modo FINanceiro
21106.51
�� ��ENTER 21106.51 �� ��÷ �� ��clear fin
15000
�� ��÷ 15000 �� ��yx 21106.51 �� ��FV
7
�� ��1/x 7 �� ��1/x 7 �� ��n�� ��yx �� ��- 15000 �� ��CHS (*) �� ��PV
1
�� ��- 1 �� ��= �� ��i
⇒ 0,05000 ⇒ 0,05000 ⇒ 5,0000
Observac¸a˜o (*)
�� ��PV e �� ��FV tem que ter sinais opostos. �� ��CHS troca o
sinal na HP12C, fazendo a func¸a˜o da tecla
�� ��+/- de outras
calculadoras.
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juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Calculando o prazo
Exemplo 5. Em que prazo uma aplicac¸a˜o de R$ 23.000,0 se
acumula em um saldo de R$ 43.000,00 a uma taxa mensal de
juros compostos de 3,5%?
Dados:
n =?
P = 23.000
S = 43.000
i = 3, 5% = 0, 035 a.m.
Antes de prosseguirmos, no´s temos uma fo´rmula para o prazo?
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Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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E´ necessa´rio isolar n na fo´rmula do montante. Para isto temos
que usar logaritmos e algumas de suas propriedades. Pode-se
usar logaritmo em qualquer base, aqui vamos usar o logaritmo
natural ln, que esta´ programado na hp12c.
S = P .(1 + i)n
S
P
= (1 + i)n
ln
(
S
P
)
= ln((1 + i)n)
ln
(
S
P
)
= n. ln(1 + i)
da onde concluimos que
n =
ln
(
S
P
)
ln(1 + i)
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financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Voltando ao exemplo:
Em que prazo uma aplicac¸a˜o de R$ 23.000,0 se acumula em
um saldo de R$ 43.000,00 a uma taxa mensal de juros
compostos de 3,5%?
Dados:
n =?
P = 23.000
S = 43.000
i = 3, 5% = 0, 035 a.m.
Soluc¸a˜o: n =
ln S
P
ln(1+i) =
ln 43.000
23.000
ln(1+0,035) = 18, 1884
Resposta: O prazo necessa´rio e´ de 18,19 meses.
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montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Usando a calculadora para computar
ln 43.00023.000
ln(1 + 0, 035)
Modo RPN Modo ALGe´brico Modo FINanceiro
43000
�� ��ENTER 43000 �� ��÷ �� ��clear fin
23000
�� ��÷ 23000 �� ��= 43000 �� ��FV�� ��g �� ��LN �� ��g �� ��LN �� ��÷ 3.5 �� ��i
1.035
�� ��g �� ��LN 1.035 �� ��g �� ��LN 23000 �� ��CHS �� ��PV�� ��÷ �� ��= �� ��n
⇒ 18,1884 ⇒ 18,1884 ⇒ 18,1884 (*)
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x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Calculando prazos no modo financeiro na HP12C
Cuidado: no exemplo anterior, se sua calculadora for uma
HP12C a resposta encontrada sera´ 19,000, o que esta´ errado.
As calculadoras HP12C na˜o calculam o prazo corretamente
pelo recurso financeiro, arredondando e na˜o apresentando a
parte decimal do ca´lculo, conforme [HP, 1982, pp. 45].
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montante
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x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Per´ıodos na˜o inteiros
Exemplo 6. Qual o valor de resgate de uma aplicac¸a˜o financeira
de R$ 10.000,00, apo´s 900 dias, a uma taxa de 100% ao ano?
Dados:
S =?
P = 10.000, 00
i = 100%(1)a.a.
n = 900 dias =
900
360
anos
Soluc¸a˜o:
S = P(1 + i)n = 10.000(1 + 1)
900
360 = 56.568, 54249
Resposta: O valor de resgate e´ de R$ 56.568,54
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juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Per´ıodos na˜o inteiros
Usando a calculadora para computar 10.000(1 + 1)
900
360
Modo RPN Modo ALGe´brico Modo FINanceiro
2
�� ��ENTER 2 �� ��yx �� ��clear fin
900
�� ��ENTER �� ��( 900 �� ��÷ 360 �� ��) 100 �� ��i
360
�� ��÷ �� ��× 900 �� ��ENTER 360 �� ��÷ �� ��n�� ��yx 10000 �� ��= 10000 �� ��PV
10000
�� ��× ⇒ 56.568,54249. . . �� ��FV⇒ 56.568,54249. . . ⇒ -56.568,54249 . . .
Obs.: para o modo financeiro, a calculadora HP12C deve ter
um C no visor. Para se colocar o C no visor da HP12C deve-se
teclar
�� ��STO e, apo´s �� ��EEX .
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Per´ıodos na˜o inteiros
Quando o prazo e´ dado em per´ıodos na˜o inteiros temos a
possilidade de aplicar a exponenciac¸a˜o caso considerarmos que
os juros tambe´m sa˜o compostos na frac¸a˜o do tempo ou a
proporcionalidade caso entende-se que se aplica juros simples.
Como em geral essas regras na˜o esta˜o claras nos contratos
configura-se o que se denominou de convenc¸o˜es.
Considerando-se que o prazo n pode ser desdobrado em uma
parte inteira k e outra parte fraciona´ria fq temos as seguintes
possibilidades:
Convenc¸a˜o exponencial: S = P .(1 + i)k+
f
q = P(1 + i)n
Convenc¸a˜o linear:
S = P.(1 + i)k .(1 + i . fq ) (2)
[Zot, 2008, pp.67][Samanez, 2002, pp.30][Neto, 2009, pp.25].
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Per´ıodos na˜o inteiros
Usando a Convenc¸a˜o Linear
O exemplo anterior havia sido foi resolvido pela convenc¸a˜o
exponencial. Para a convenc¸a˜o linear teremos:
Soluc¸a˜o:
n = k +
f
q
=
900
360
= 2 +
180
360
Logo, k = 2 e fq =
180
360 ou
f
q = 0, 5. Portanto
S = P.(1+i)k .(1+i .
f
q
) = 10.000(1+1)2.(1+
180
360
) = 60.000, 00000 . . .
Resposta: R$ 60.000,00
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Per´ıodos na˜o inteiros
Usando a calculadora para resolver: 10.000(1 + 1)2.(1 + 1.180360)
Modo RPN Modo ALGe´brico Modo FINanceiro
2
�� ��ENTER 2 �� ��yx �� ��clear fin
2
�� ��yx 2 �� ��× 100 �� ��i
180
�� ��ENTER 360 �� ��÷ �� ��( �� ��( 180 �� ��÷ 360 �� ��) 900 �� ��ENTER 360 �� ��÷ �� ��n
1
�� ��× �� ��× 1 �� ��+ 10000 �� ��PV
1
�� ��+ 1 �� ��) �� ��FV
10000
�� ��× �� ��× 10000 ⇒ -60.000,00000. . .�� ��× �� ��=⇒ 60.000,00000. . . ⇒ 60.000,00000. . .
Obs.: apenas a calculadora HP12C tem essa fo´rmula
pre´-programada e deve estar sem o C no visor; para se colocar
ou retirar o C do visor da HP12C deve-se teclar
�� ��STO e, apo´s�� ��EEX .
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Per´ıodos na˜o inteiros
E´ de se observar que, ao contra´rio do censo comum, no caso de per´ıodos
na˜o inteiros, quando calcula-se a parte fraciona´ria, os juros e, portanto, o
montante sa˜o maiores do que pela convenc¸a˜o exponencial. A representac¸a˜o
gra´fica da evoluc¸a˜o de cada uma das convenc¸o˜es e´:
0 1 2 3
Convenc¸a˜o Exponencial
Convenc¸a˜o Linear
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
n
S
56.568, 54
60.000, 00
10.000, 00
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Convenc¸o˜es: qual usar?
Segundo boa parte dos autores a convec¸a˜o exponencial e´ a
mais utilizada seja por ser considerada tecnicamente mais
correta [Neto, 2009, pp. 45], seja porque ”apresenta do ponto
de vista do ca´lculo,, a vantagem de conservar a fo´rmula
fundamental...”[de Moraes, 1971, pp. 142], ou ainda, como a
mais lo´gica [de Faro, 1990, pp. 46]. Tambe´m considerando-se
de que apenas o modelo de calculadora financeira HP12C
possui o ca´lculo pre´-programadoda convenc¸a˜o linear
recomenda-se a utilizac¸a˜o da alternativa exponencial toda vez
que na˜o houver menc¸a˜o em contra´rio.
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Refereˆncias I
C. de Faro. Princ´ıpios e aplicac¸o˜es do ca´lculo financeiro. Livros
te´cnicos e cient´ıficos editora, 1990.
A. de Lima Puccini. Matema´tica financeira: objetiva e
aplicada. Saraiva, 8a. edition, 2009.
R. de Losso da Silveira Bueno, A. de Souza Rangel, and J. C.
de Souza Santos. Matema´tica fianceira moderna.
CENGAGE Learning, 2011.
E. M. de Moraes. Matema´tica financeira. Livraria Sulina
Editora, 6a. edition, 1971.
HP. HP12C - Owner´s Handbook and Problem-Solving Guide.
Number 00012-90001. Hewlett-Packard Company, 3
edition, 1982.
A. A. Neto. Matema´tica financeira e suas aplicac¸o˜es. Editora
Atlas, 11a. edition, 2009.
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros
compostos
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante
Juros Simples
x Juros
Compostos
Exemplos
Per´ıodos na˜o
inteiros
Refereˆncias
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Refereˆncias II
C. P. Samanez. Matema´tica financeira: aplicac¸o˜es a` ana´lise de
investimentos. Prentice Hall, 3a. edition, 2002.
J. D. V. Sobrinho. Matema´tica financeira. Editora Atlas, 7a.
edition, 2000.
W. D. Zot. Matema´tica financeira. Editora da UFRGS, Porto
Alegre, 5a. edition, 2008.
	Conceito de juros compostos
	Plano financeiro
	Fórmula do montante
	Juros Simples x Juros Compostos
	Exemplos
	Períodos não inteiros