AulaTeo17 2014 2015 Eq Schrodinger 1D 1

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24/Abril/2015 – Aula 16 
29/Abril/2015 – Aula 17 
Equação de Schrödinger. 
Aplicações: 
 1º – partícula numa caixa de potencial 
 2º – partícula num poço de potencial finito 
 3º – oscilador harmónico simples 
 4º – barreira de potencial, probabilidade de 
 transmissão. 
Princípio de Incerteza de Heisenberg. 
Probabilidade de encontrar uma partícula 
numa certa região . 
Posição média de uma partícula. 
Partícula numa caixa de potencial: 
funções de onda e níveis de energia. 
2 
Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.) 
Aula anterior 
Se uma medição da posição for feita com precisão  x e, 
simultaneamente, se se medir a componente p x do momento 
com precisão  p x , então o produto das duas incertezas não 
pode ser inferior a h / 2(2) . 
com =
h
2p
DxDp³
2
Princípio da 
Incerteza 
Se existe uma incerteza no momento da partícula, também 
existirá uma incerteza na sua energia. 
Esta relação impõe um limite para a 
medição da energia de um sistema. DE Dt ³ 2
3 
Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região 
Aula anterior 
A probabilidade de uma 
partícula se encontrar 
entre os pontos a e b é 
igual à área definida pela 
curva entre a e b. 
A probabilidade Pab de encontrar a 
partícula no intervalo b  x  a é igual a 
b 2
ab
a
P dx 
Experimentalmente, existe sempre 
alguma probabilidade de se encontrar a 
partícula num ponto para um dado 
instante, pelo que a probabilidade vai 
estar entre 0 e 1. 
Por exemplo, se a probabilidade de se 
encontrar uma partícula entre dois 
pontos for igual a 0,3 , então há 30% de 
hipóteses de ela estar nesse intervalo. 
4 
Posição média de uma partícula 
Aula anterior 
e é igual ao valor médio da posição da partícula representada 
pela função de onda  na região delimitada por a e b. 
O valor expectável é definido como 
A função de onda, para além de permitir calcular a probabilidade 
de encontrar uma partícula numa dada região, também pode dar 
informações de outras quantidades mensuráveis, como o 
momento e a energia. 
Em particular, é por vezes útil conhecer qual a posição média de 
uma partícula numa dada região: valor expectável. 
b 2
a
x x dx 
5 
Partícula numa caixa de potencial 
a) funções de onda b) distribuições de probabilidade 
A partir da função de onda (x) = A sen (n  x / L) que tipo de 
informações será possível obter acerca da partícula? 
Aula anterior 
6 
Partícula numa caixa (cont.) 
Aula anterior 
E2 = 4E1, E3 = 9 E1 , … 
2
2
n 2
h
E n
8mL
 
  
 
com n = 1, 2, 3 
No estado com menor energia 
(n =1), esta tem o valor de 
2
1 2
h
E
8mL

Os estados mais energéticos 
(n >1) têm energias 
Uma partícula numa caixa não pode ter energia nula 
E
n
e
rg
ia
 
 A energia mínima é > 0 
7 
Equação de Schrödinger 
Será possível usar o modelo da partícula numa caixa para prever os 
níveis de energia electrónicos num átomo? 
Problema: 
O electrão não está confinado a uma caixa de paredes infinitas (nem 
as paredes são verticais). 
Modelo da energia potencial em 
função da distância ao núcleo 
para um átomo. 
8 
Equação de Schrödinger (cont.) 
Solução: 
 a equação de Schrödinger permite determinar as funções de onda 
de uma partícula num poço de potencial qualquer, de uma maneira 
sistemática; 
 a partir das funções de onda é possível determinar as densidades 
de probabilidade, os comprimentos de onda, os momentos, os 
níveis de energia, … 
9 
A expressão geral (clássica) da equação das ondas para ondas que 
se deslocam ao longo do eixo x é 
2 2
2 2 2
1
x v t
  

 
em que v é a velocidade da onda e  
depende do espaço (x) e do tempo (t ) 
No caso mais simples, é possível separar a dependência no espaço 
da dependência no tempo: 
 
 (x, t ) =  (x) cos  t 
Substituindo na equação das ondas, vem 
 
 
2 2
2 2
cos t
- cos t
x v
     

2 2
2 2
-
x v
 




Equação de Schrödinger (cont.) 
10 
Partindo da expressão anterior e considerando as relações de de 
Broglie para as ondas (de matéria)  = 2 f = 2 v / e p = h /  
w2
v2
=
2p
l
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
=
4p 2
h2
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
p2 =
p2
2
Sendo a energia total E a soma das energias cinética e potencial 
E
total
=E
cin
+U
pot
=
p2
2m
+U
pot
p2=2m E
total
-U
pot( )
w2
v2
=
p2
2
=
2m
2
E
total
-U
pot( )
Equação de Schrödinger (cont.) 
11 
-
2
2m
d2Y x( )
dx2
+U pot x( )Y x( ) = Etotal Y x( )
Substituindo na equação das ondas obtém-se a Equação de 
Schrödinger na sua forma mais simples, independente do 
tempo, para uma partícula com movimento ao longo de x : 
Equação de Schrödinger 
d2Y x( )
dx2
= -
2m
2
E-U( )Y
Equação de Schrödinger (cont.) 
12 
Aplicações da equação de Schrödinger 
1º – partícula numa caixa de potencial 
A equação de Schrödinger permite explicar os sistemas 
atómico e nuclear, onde os métodos clássicos falham. 
Equação de Schrödinger para uma partícula numa caixa: 
d2Y x( )
dx2
= -
2m
2
E-U( )Y
A energia potencial nas paredes da 
caixa é nula e as paredes são infinitas. 
U (x) = 0 para 0  x  L 
U (x) =  para x  0 e x  L 
13 
Na região 0  x  L a equação de Schrödinger pode ser escrita como 
1º – partícula numa caixa de potencial (cont.) 
d2Y x( )
dx2
= -
2m
2
EY
Para simplificar, se se fizer k =
2mE
d2Y x( )
dx2
= - k2Y
14 
Agora é necessário resolver a equação de Schrödinger para 
determinar a função de onda  que representa a partícula na caixa. 
A solução da equação de Schrödinger que satisfaz estas condições 
é do tipo 
Como as paredes são infinitas,  vai ser nula fora da caixa. Neste 
caso, as duas condições fronteira são : 
  (x) = 0 para x = 0 e x = L 
   x A sen k x 
1º – partícula numa caixa de potencial (cont.) 
15 
1º – partícula numa caixa, verificação da solução 
1ª condição fronteira :  (x) = 0 para x = 0 
 É verificada (sen 0 = 0) 
2ª condição fronteira :  (x) = 0 para x = L 
 É verificada se k L for um múltiplo 
de , ou seja, se k L = n  , com n inteiro 
k L =
2mE
L = np
Como se definiu , tem-se, a 
partir desta condição 
k =
2mE
E
n
e
rg
ia
 
 A energia mínima é > 0 
16 
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) 
(em função 
da energia) 
(idêntico ao resultado 
obtido anteriormente) 
k L =
2mE
L = np
2
2
n 2
h
E n
8mL
 
  
 
17 
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) 
k L =
2mE
L = np
   x A sen k x 
Y x( ) = Asen
np x
L
æ
è
ç
ö
ø
÷
Para determinar A vai ser necessário usar a condição de normalização: 
2
dx 1



18 
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) 
A probabilidade da partícula estar na caixa 
(ou seja, em 0 < x < L) tem de ser igual a 1: 
L
2
0
dx 1 
Dado que 
 
 
2
sen 2axx
sen ax dx
2 4a
 
 
n x
x A sen
L

    
 
L L
2 2 2
0 0
n x
dx A sen dx 1
L
    
 
  
A2 sen2 
np x
L
æ
è
ç
ö
ø
÷ dx=
0
L
ò A
2 L
2
=1A =
2
L
19 
(finalmente…) 
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) 
 
2 n x
x sen
L L
    

20 
Uma partícula é descrita pela função de onda  = a x entre x = 0 e 
x = 1 e por  = 0 fora desta região. O seu movimento está limitado 
ao eixo x . Determine a probabilidade da partícula ser encontrada 
entre x = 0,45 e x = 0,55 . 
0 0,45 0,55 1 x 
 
A função de onda pode ser representada por: 
A probabilidade vai ser dada por: 
1
0
0 ,55x 0 ,55 3
22 2 2
x 0 ,45 0 ,45
x
P dx a x dx a 0,025a
3
      
 
 
21 
Consideremos uma partícula cuja energia 
potencial é nula na região 0 < x < L (poço) 
e igual a U (valor finito) fora dessa região. 
Para determinar as características desta 
partícula é necessário resolver a equação 
de Schrödinger: 
No caso da partícula numa caixa de lados infinitos, a função de onda 
era nula nas paredes. Mas, neste caso, como as paredes representam 
um potencial finito, a função de onda já não vai ser nula . 
2º – partícula num poço de potencial finito 
d2Y x( )
dx2
= -
2m
2
E-U( )Y
22 
2
2
2
d
C
dx
 
em que C2 = 2m(U-E)/ h 2 é uma constante positiva 
Regiões I e III 
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.) 
U  E 
Soluções desta equação: 
 matemática 
 física 
23 
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.) 
Portanto, as soluções 
nas regiões I e III são: 
Matemática 
A solução geral desta equação é do tipo  = A eCx + B e -Cx , em 
que A e B são constantes. 
Física 
 Na região I ( x < 0 ), B e-Cx aumenta exponencialmente com x < 0; 
esta situação não tem significado físico  B = 0 . 
 Na região III ( x > L ), A eCx aumenta exponencialmente com x > L; 
esta situação não tem significado físico  A = 0 . 




C x
-C x
Ae
Be
 Ι
ΙIΙ
24 
A solução geral desta equação é do tipo  I I = F sen (kx) + G cos (kx), 
em que F e G são constantes. 
As funções de onda na região II são sinusoidais. 
2
2
d
D
dx


Região II 
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.) 
U < E 
em que D é uma constante negativa 
25 
Funções de onda Densidades de 
probabilidade 
Fora da caixa: funções de onda exponenciais  I = A eCx ,  III = B e-Cx 
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.) 
No interior: funções de onda sinusoidais  II = F sen (kx) + G cos (kx) 
26 
As constantes A , B , F e G podem ser determinadas 
a partir das condições nas fronteiras : 
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.) 
continuidade das funções de onda nas fronteiras 
As funções de onda têm que ser iguais (e as suas 
derivadas também) nas zonas de transição. 
 
 
 
 
 


 
x 0 : e
x
d d
d x d x
d d
d d
:
x
L e
x
 
 
Ι ΙI
Ι ΙI
ΙI ΙII
ΙI ΙII
27 
3º – oscilador harmónico simples 
Considere uma partícula sujeita a uma força de 
restituição linear dada por F = - k x . 
x é o deslocamento relativamente à posição de 
equilíbrio (x = 0) e k é uma constante. 
Quando a partícula é deslocada da sua posição de equilíbrio e 
libertada, começa a oscilar em torno de x = 0 com um movimento 
harmónico (movimento semelhante ao dos átomos numa rede 
cristalina). 
28 
Classicamente, a energia potencial U do sistema é igual a 
2 2 21 1U k x mx
2 2
  
com a frequência angular de vibração  dada por 
k
m
 
A energia total E do sistema é a soma das energias cinética e potencial: 
21E E U k Atotal cinética 2
  
em que A é a amplitude do movimento. 
3º – oscilador harmónico simples (cont.) 
29 
3º – oscilador harmónico simples (cont.) 
Classicamente, todos os valores de energia E são permitidos 
Quanticamente, é necessário resolver a eq. de Schrödinger com 
U = ½  2x 2m para determinar os níveis de energia permitidos : 
d2Y x( )
dx2
= -
2m
2
E-U( )Y
d2Y x( )
dx2
= -
2m
2
E-
1
2
mw2 x2
æ
è
ç
ö
ø
÷Y
30 
Uma das soluções da eq. de Schrödinger para este caso é do tipo 
C =
mw
2
E0 =
w
2
Esta solução particular corresponde ao estado de menor energia do 
sistema (estado fundamental - ground state ). 
3º – oscilador harmónico simples (cont.) 
 = B e – C x2 
Os estados de maior energia (excitados) podem ser obtidos a partir 
do estado fundamental: 
com n = 1 , 2 , … 
E
n
= n +
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷ w
31 
A diferença de energia entre estados consecutivos é igual a 
Se a partícula estiver num 
certo estado e passar para o 
estado de energia 
imediatamente abaixo, vai 
perder um quantum de energia 
– exactamente a quantidade 
de energia de um fotão. 
Diagrama de níveis de energia. Os 
níveis estão igualmente espaçados 
(com separação  ) e o estado 
fundamental tem energia E0 =  /2 
3º – oscilador harmónico simples (cont.) 
E
n
-E
n-1
= w =hn
32 
Curvas a azul 
Probabilidades 
clássicas 
correspondentes 
às mesmas 
energias. 
Classicamente, 
a partícula está 
mais tempo nas 
amplitudes 
extremas (maior 
probabilidade). 
3º – oscilador harmónico simples (cont.) 
Curvas a vermelho 
Densidades de 
probabilidade para 
os estados com 
n = 0, 1 e 2. 
Do ponto de vista 
quântico, em certas 
regiões sobre o eixo 
x , a probabilidade 
de encontrar a 
partícula é nula. 
33 33 
E
n
e
rg
ia
 
4º – barreira de potencial 
Se uma partícula estiver num poço de potencial com paredes finitas, 
as suas funções de onda penetram as paredes. 
Consideremos agora o caso de uma partícula que incide numa 
barreira de potencial suficientemente fina. 
A resolução da equação de 
Schrödinger permite obter as 
funções de onda desta partícula. 
34 34 
E
n
e
rg
ia
 
4º – barreira de potencial (cont.) 
A resolução da eq. de Schrödinger aplicada às regiões I, II e III, com 
as condições fronteira para cada região (as funções de onda têm de 
ser contínuas nas separações), conduz às seguintes soluções: 
Regiões I e III ( E > U = 0 ) 
Funções de onda sinusoidais. 
Região II ( E < U ) 
Funções de onda 
exponenciais (decrescentes) . 
Como a probabilidade de encontrar a partícula numa dada região é 
proporcional a | |2 , então existe uma probabilidade finita, não nula, 
de encontrar a partícula na região III . 
35 35 
E
n
e
rg
ia
 
4º – barreira de potencial (cont.) 
Isto significa que a partícula tem uma probabilidade finita de 
penetrar a barreira, ainda que a energia da barreira seja superior 
à da própria partícula. 
Qual será a energia da partícula 
após ter penetrado a barreira? 
- O quadrado da função de 
onda indica a probabilidade da 
partícula atravessar a barreira, 
não a sua energia. 
- O comprimento de onda da função de onda é que indica o 
momento e, portanto, a energia da partícula. 
36 36 
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão 
Nas condições deste problema, a energia é a mesma antes e depois 
de atravessar a barreira. 
A probabilidade da partícula passar através da parede pode ser 
calculada a partir da função de onda  que, por sua vez, vai ser 
calculada através da equação de Schrödinger. 
Essa probabilidade pode ser descrita em termos de um coeficiente 
de transmissão (T ) e de um coeficiente de reflexão (R ): 
 O coeficiente de transmissão 
mede a probabilidade da 
partícula penetrar a barreira. 
| |2 para a região II 
37 37 
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão (cont.) 
 O coeficiente de reflexão é igual à probabilidade da partícula 
serreflectida pela barreira. 
 Dado que a partícula só pode 
ser transmitida ou reflectida 
Uma solução (aproximada) da equação de Schrödinger (quando a 
barreira for suficientemente alta ou larga) é dada por: 
, com e a =
2m U - E( ) 
 
2
1 2
2
1 2
k - k
R
k k


T R 1 
T = e-2a L