Circuitos Eletricos Mod. 1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I – EEL420
Módulo 3
Conteúdo
3 – Teoremas e análise sistemática de redes...............................................................................1
3.1 – Revisão de definições....................................................................................................1
3.2 – Análise de nós e malhas................................................................................................1
3.2.1 – Análise de nós........................................................................................................1
3.2.2 – Análise de malhas..................................................................................................3
3.3 – Teoremas de rede e transformações de fontes...............................................................5
3.3.1 – Teorema da superposição......................................................................................6
3.3.2 – Teorema de Thévenin-Norton................................................................................7
3.3.3 – Explosão (transformação ou deslocamento) de fontes..........................................9
3.4 – Grafos de rede e teorema de Tellegen.........................................................................11
3.4.1 – Conceito e definições de grafos...........................................................................11
3.4.2 – Cortes e lei das correntes de Kirchhoff................................................................12
3.4.3 – Teorema de Tellegen...........................................................................................14
3.5 – Grafos de rede aplicados a análise de nós...................................................................14
3.6 – Grafos de rede aplicados a análise de malhas..............................................................19
3.7 – Exercícios....................................................................................................................20
3.8 – Soluções.......................................................................................................................24
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 2
3 Teoremas e análise sistemática de redes
3.1 Revisão de definições
Revisando os conceitos anteriores podemos classificar os circuitos como: Circuitos
Lineares, onde cada elemento do circuito é linear ou uma fonte independente; Circuito
Invariante, onde cada elemento do circuito é invariante ou uma fonte independente; Circuito
Linear e Invariante, onde cada elemento do circuito é linear e invariante ou uma fonte
independente; além dos Circuitos Não Lineares ou dos Circuitos Variantes, que não são
lineares ou não são invariantes.
Nestas definições as fontes independentes precisam ser tratadas separadamente pois
elas exercem um papel diferente dos demais elementos da rede. Além disto todas as fontes
independentes são elementos não lineares (suas características v × i correspondem a uma linha
reta que não passa pela origem).
3.2 Análise de nós e malhas
A solução de problemas de pequeno tamanho pode ser feita facilmente obtida
empregando-se sistematicamente as duas leis de Kirchhoff. Destes métodos resultam um
sistema de equações de tamanho igual ao número de nós ou malhas independentes da rede.
Por esta razão este método é apropriado para o cálculo computacional da solução ou para
análise de problemas pequenos.
3.2.1 Análise de nós
Para ilustrar esta técnica de resolução sistemática de circuitos considere a figura
abaixo.
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Primeiro deve-se contar os nós essenciais (nós A, B e C). Como as tensões VAC VBC e
VAB se relacionam pela lei das tensões de Kirchhoff, apenas duas destas tensões são
independentes, a terceira é uma combinação linear das anteriores. Sendo assim, é possível
escrever duas equações independentes para as tensões de nós. Quaisquer duas tensões podem
ser utilizadas, mas, normalmente, se escolhem as tensões com relação ao nó de referência
(terra). Assim, chamamos de tensão de nó a diferença de potencial entre um determinado nó e
a referência. No exemplo, as tensões dos nós serão VA e VB. Assim, para uma rede com n nós
essenciais existe n-1 equações de tensões independentes. Resolvendo o problema para as
tensões dos nós todas as tensões de braço também ficam determinadas. As correntes de braço
podem ser especificadas em função das equações de braço impostas pelos elementos
individualmente ou pelas leis de Kirchhoff (para o caso das fontes).
Para escrever as equações dos nós usamos a lei das correntes de Kirchhoff. Assim para
o exemplo em questão temos
para o nó A
i1i 2is1=0
v A−0
R1

v A – v B
R2
is1=0 , e
para o nó B
i3i 4i5=0
vB−v A
R2

vB−v1
R4

vB−0
R3
=0 .
Reescrevendo as equações para os nós A e B, respectivamente, temos
vA⋅ 1R1 1R2 −v B⋅ 1R2 =−is1
−vA⋅ 1R2 vB⋅ 1R2 1R3 1R4 =v1⋅ 1R4 
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Desta forma obtemos um sistema de equações com duas incógnitas e duas equações
que pode ser resolvido sem maiores problemas. Como solução para o problema obteremos as
tensões em cada nó. As correntes de cada ramo ficam definidas pela tensão e pelo valor da
resistência, ou pelo valor da fonte de corrente. As correntes nas fontes de tensão podem ser
determinadas pela LCK.
Observe que há uma lei de formação para o sistema de equações obtido. Isto significa
que ele poderia ter sido obtido por inspeção da rede. Para um determinado nó N a equação é
obtida da seguinte forma: A tensão do nó N multiplicada pelo somatório das condutâncias que
vão do nó N aos nós J. Esta parcela é subtraída das tensões nos nós J multiplicadas pelas
condutâncias que interligam os nós J ao nó N. O resultado é igual a soma das fontes de
correntes que saem do nó N multiplicadas por –1.
v N⋅∑GNJ –∑ v J⋅G JN =−∑ iN
onde GXY é a condutância que liga o nó X ao nó Y.
3.2.2 Análise de malhas
Um outro método de analisar uma rede genérica é o método das malhas. Para ilustrar
sua aplicação considere a figura a seguir.
Inicialmente contamos o número de malhas essenciais (malhas M1, M2 e M3). Para
cada malha estipula-se uma corrente com sentido de referência arbitrário (IM1, IM2 e IM3). A
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partir do sentido de referência arbitrado os sentidos das tensões de referência também ficam
bem definidos. A partir dos sentidos de tensão e utilizando a lei das tensões de Kirchhoff
podemos escrever as equações que regem as correntes de cada malha. Em elementos que
pertencem a mais de uma malha, a corrente resultante será a soma algébrica das correntes de
cada malha, levando-se em conta o sentido de cada corrente. Para o circuito acima,
percorrendo as malhas no sentido horário, com ponto de partida inferior esquerdo, temos
para a malha 1
−v1vR2vR3v2vR1=0
−v1R2⋅ IM1−IM3R3⋅ IM1− IM2v2R1⋅ IM1=0 ,
para a malha 2
−v2vR3vR4v R5v R6=0
−v2R3⋅ IM2− IM1R4⋅ IM2−IM3R5⋅IM2R6⋅IM2=0 ,
e para a malha 3
v R7−v3vR4v R2=0
R7⋅ IM3−v3R4⋅ IM3− IM2R2⋅ IM3−IM1=0 .
Reescrevendo as equações temos
IM1⋅R1R2R3−IM2⋅R3−IM3⋅R2=v1−v2
−IM1⋅R3IM2⋅R3R4R5R6− IM3⋅R4=v2
−IM1⋅R2−IM2⋅R4IM3⋅R2R4R7=v3
Que resulta num sistema com três equações e três incógnitas que pode ser resolvido de
forma simples. As correntes de ramo podem ser determinadas por uma simples relação
algébrica entre correntesde malha.
i1=−IM1 , i2=IM2
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i3=−IM3 , i4=IM1− IM2
i5=IM2−IM3
As tensões de ramo podem ser obtidas a partir dos valores das fontes de tensão e das
quedas de tensão sobre os resistores. As tensões sobre as fontes de corrente deve ser
determinada pela LTK.
Observe que há uma lei de formação para o sistema de equações que determinam as
correntes de malha de modo que ele poderia ter sido obtido por simples inspeção da rede. Para
uma determinada malha M a equação é obtida da seguinte maneira: A corrente da malha M
multiplica o somatório de todas as resistências que compõe a malha. Esta parcela deve ser
subtraída das demais correntes de malha multiplicas pelas resistências em comum com a
malha M. O resultado é igual ao somatório das fontes de tensão da malha multiplicado por –1.
iM⋅∑ RMJ –∑ i J⋅RJM =−∑ v M
onde RXY é a resistência da malha X que também pertence a malha Y.
3.3 Teoremas de rede e transformações de fontes
Apesar das leis de Kirchhoff se aplicarem a todas as classes de problemas que serão
estudados nesta disciplina nem sempre seu uso é simples. Algumas vezes é necessário montar
grandes sistemas de equações para solucionar um determinado circuito. Computacionalmente
falando isto não representa uma dificuldade, porém para análise manual de circuitos a solução
de sistemas de equações com ordem superior a três pode se tornar bastante trabalhosa.
Adicionalmente, durante o projeto de circuitos estas técnicas podem não ser de muita
utilidade.
Para nossa sorte, muitas vezes é possível calcular uma determinada variável de rede
simplificando a rede original. Isto pode ser realizado utilizando-se alguns teoremas,
associações e transformações de elementos. Estas simplificações podem ser aplicadas sem
medo desde que a resposta desejada não se encontre junto aos elementos simplificados.
Quando as simplificações forem realizadas eliminando ou modificando a resposta desejada
deve se ter o cuidado de retornar ao problema original para desfazer as simplificações iniciais.
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3.3.1 Teorema da superposição
Seja uma rede linear, que apresente apenas uma resposta para o conjunto de excitação
(conjunto de fontes independentes que excita o circuito), independente dos elementos serem
variáveis ou não com o tempo, então a resposta da rede causada por várias fontes
independentes é a soma das respostas devidas a cada fonte independente agindo sozinha.
Em outras palavras, se desejarmos analisar um circuito que contenha muitas fontes
independentes podemos analisar a resposta da rede (circuito) para cada fonte em separado
(considerando que as demais fontes têm valor nulo – curto circuito para as fontes de tensão e
circuito aberto para as fontes de corrente) e depois somar todas as respostas.
Exemplo: Calcular V 1 e V 2 .
Considerando como nó de referência o nó de baixo e equacionando o nó de cima (2)
v2−v s
R1
– is+
v2
R2
=0
v2=(is+ vsR1)⋅R1⋅R2R1+R2=143 V , v1=vs−v2=−23V
Por superposição temos que
v2(vs , i s)=v2(v s , is=0)+v2(vs=0,i s) e
v1v s , is=v1vs ,i s=0v1vs=0, i s
então
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v2=[ v sR1R2⋅R2][ i s⋅REQ ]= 43⋅23⋅23=143 V e
v1=[ vsR1+R2⋅R1]+[−i s⋅REQ ]= 43⋅1 – 3⋅23=− 23 V
3.3.2 Teorema de Thévenin-Norton
Seja uma rede linear ligada a uma carga por dois de seus terminais de forma que a
única interação entre rede e carga se dá através destes terminais, então o teorema de Thévenin-
Norton afirma que as formas de onda de tensão e corrente nestes terminais não se afetam se a
rede for substituída por uma rede Thévenin equivalente ou Norton equivalente.
Para se obter esta rede equivalente basta determinar a relação v × i nos terminais da
rede. Isto pode ser realizado de forma genérica aplicando-se uma fonte de corrente de valor I
nos terminais da rede e determinando a equação da tensão V sobre esta fonte.
Qualquer outra forma de determinar a reta v × i pode ser utilizada. Por exemplo,
quando a rede em análise apresenta apenas elementos lineares e fontes independentes
podemos obter os equivalentes Thévenin ou Norton da seguinte maneira: 1) A determinação
da tensão de Thévenin corresponde a tensão entre os terminais para os quais estamos
buscando o equivalente (os terminais devem ser mantidos em circuito aberto). 2) A
determinação da corrente de Norton corresponde a corrente que circularia pelos terminais para
os quais se deseja determinar o equivalente caso eles estivessem curto circuitados. 3) A
resistência pode ser calculada substituindo as fontes independentes pela sua resistência interna
( R=0 para fonte de tensão e R=∞ para fonte de corrente) e determinando a resistência
equivalente nos terminais para os quais se deseja determinar o equivalente. Alternativamente a
resistência poderia ser obtida pela divisão da tensão de Thévenin pela corrente de Norton.
Exemplo: Determinar os equivalentes Thévenin e Norton entre os terminais A e B da
rede abaixo.
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Considerando o nó de baixo como a referência e aplicando uma corrente de teste de
valor I entrando no terminal A podemos calcular a tensão V sobre a fonte de corrente (VAB).
Considerando o nó de cima como o nó X temos
Vx−(2⋅ix−vs)
R3
+Vx
R4
+Vx – V
R5
=0 (equação da LCK)
ix=VxR4
 (equação auxiliar)
Substituindo a equação auxiliar na equação da LCK temos
Vx
R3
– 2⋅VxR3⋅R4
+
vs
R3
+
Vx
R4
+
Vx
R5
– VR5
=0
0,1Vx –0,066Vx+1,5+0,333Vx+Vx –V=1,366Vx+1,5−V=0
Vx=V−I⋅R5=V−I (equação auxiliar para escrever V em função de I)
1,366Vx+1,5−V=1,366V−1,366 I+1,5−V=0
V=3,73 I – 4,098
Para o modelo Thévenin temos V=Rs⋅I+vo . Por comparação 
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Rs=3,73Ω e vo=−4,098V
3.3.3 Explosão (transformação ou deslocamento) de fontes
Algumas vezes é interessante transformar uma fonte independente em muitas outras,
pois isto pode simplificar a análise do restante do circuito. Quando isto é feito chamamos de
explosão, transformação (pode ser usado com outro significado) ou deslocamento de fontes.
Uma fonte de tensão independente que tenha um de seus terminais ligados a mais de
um elemento de circuito pode ser desmembrada removendo este nó, desde que cada elemento
permaneça interligado em série com uma fonte de tensão de mesmo valor e polaridade. A
figura a seguir ilustra o fato. Uma fonte v se conecta aos resistores R1 e R2 . Ela pode ser
desmembrada em duas fontes em paralelo de mesmo valor e polaridade e, finalmente,
separadas de forma que cada uma fique em série com um dos resistores R1 ou R2 . Do ponto
de vista do resto do circuito as formas de onda de tensão e corrente nos terminais A, B e C
permanecem inalteradas.
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Um procedimento semelhante pode ser realizado com as fontes de corrente. Neste caso
uma fonte que interligue dois pontos de um circuito pode ser substituída por outras tantas
desde que elas formem um caminho fechado que comece e termine nos mesmos nós da fonte
original. A figura abaixo ilustra esta situação. Uma fonte de corrente faz circular uma corrente
i1 do nó B para o nó A. Em paralelo com esta fonte há um outro caminho, formado pelos
resistores R1 , R2 e R3 , interligando o nó B ao nó A. Então, a fonte de corrente original
pode ser removida eoutras podem ser colocadas em paralelo com estes resistores. Observe
que a corrente i1 movimentada pela fonte em paralelo com R3 e deslocada pela fonte em
paralelo com R2 e esta corrente é deslocada pela fonte em paralelo com R1 de forma que
toda a corrente que saiu do nó B chegou ao nó A, sem alterar o restante do circuito.
Exemplo de aplicação: No circuito abaixo deseja-se calcular o valor da corrente I, mas
sem montar um sistema de equações pela LCK nem LTK. Mostre uma forma de fazer.
Explodindo as fontes V 1 e I 1 e redesenhando o circuito obtemos
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deste ponto em diante basta fazer transformações sucessivas de modelos Thévenin e Norton
além de algumas associações de resistores. I=0,332 A
3.4 Grafos de rede e teorema de Tellegen
Toda a análise de nós e malhas pode ser sistematizada ainda mais se for utilizada a
teoria e grafos e notação matricial. As próximas secções apresentam esta abordagem
mostrando como esta sistematização pode simplificar e muito a análise de redes. Como será
visto todos as redes podem ser resolvidas a partir de uma só equação entretanto todo o
trabalho de análise passa a ser um problema matemático. Esta abordagem, portanto, se aplica
muito bem a simulação e análise computacional de redes.
3.4.1 Conceito e definições de grafos
Um grafo é um conjunto de braços e nós com a condição de que cada braço comece e
termine em um nó. Circuitos elétricos também são formados por braços e nós e por isso
também podem ser representados por grafos.
Como as leis de Kirchhoff não fazem exigência quanto a natureza dos elementos da
rede, é natural desprezar a influência dessa natureza ao reduzir a rede a um grafo. Ideias
teóricas de grafos são então usadas para formular de modo preciso a LTK e LCK. Isto é
realizado para obter uma forma sistemática de análise de circuitos que sirva para redes de
qualquer complexidade e tamanho e possa ser simulada em computadores. 
A representação de um circuito por um grafo pressupõe a substituição dos elementos
de braço por um segmento de reta que pode estar orientado (grafo orientado) e que é
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chamado de braço (ou ramo). Os nós do circuito são os nós do grafo e também podem ser
chamados de vértices ou junções. Os nós delimitam o início e o fim de um braço. A
orientação dos braços coincide com a orientação dos sentidos de referência associados de
tensão e corrente, adotados pela convenção passiva. Definidos assim, grafos mais simples
possuem apenas um nó ou um ramo e um nó. Os grafos também podem ser divididos em
subgrafos (subconjunto de elementos do grafo) sendo o menor deles chamado de grafo
degenerado (um grafo formado apenas por um nó). A figura abaixo apresenta um exemplo de
grafo.
1
5 4
32
1
5
4
3
2
Os grafos também podem ser ligados se existir ao menos um braço entre quaisquer
dois nós. Um grafo ligado é chamado de uma parte separada, assim os grafos não ligados
possuem ao menos duas partes separadas. Um corte é um conjunto de braços que quando
removidos do grafo original resultam em um grafo com uma parte separada a mais, porém, se
um dos braços do conjunto for mantido, o grafo resultante mantém o mesmo número de partes
separadas do grafo original.
Um percurso fechado em um grafo é todo subgrafo ligado onde cada nó deste
subgrafo está conectado a apenas dois braços.
3.4.2 Cortes e lei das correntes de Kirchhoff
Usando a nomenclatura de grafos a lei das correntes de Kirchhoff pode ser enunciada
como “Para qualquer rede de parâmetros concentrados, para qualquer de seus cortes, e a
qualquer instante, a soma algébrica de todas as correntes através dos braços do corte é
zero”.
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A figura abaixo mostra um grafo ligado onde uma superfície S corta o grafo em duas
partes separadas. Os braços 1, 2 e 3 formam este corte. Se ao menos um destes três braços não
forem removidos então o grafo continua ligado.
1
4
325
3
8
21
8 7
S
Se adotarmos um sentido de referência associado a superfície S podemos aplicar a
LCK. Adotaremos a seguinte convenção: positivo são as correntes cujos sentidos são do
interior para o exterior da superfície.
Neste caso, aplicando a LCK para os braços do corte temos
i1  t −i2 t i3  t =0
Se fossemos aplicar a LCK a todos os nós dentro da superfície S teríamos
Nó 1: i1i5−i6=0
Nó 2: −i2−i5−i7i8=0
Nó 3: i3−i8=0
Nó 4: i6i7=0
A soma de todas estas equações resulta em
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i1−i2i3=0
Da mesma forma podemos definir lei das tensões de Kirchhoff usando a nomenclatura
de grafos: “Para qualquer rede de parâmetros concentrados, para qualquer de seus
percursos fechados, e a qualquer instante, a soma algébrica das tensões de braço ao longo
de qualquer percurso fechado é zero”.
3.4.3 Teorema de Tellegen
Para uma rede de parâmetros concentrados cujo grafo tenha b braços e n nós.
Arbitremos para cada braço do grafo uma tensão de braço vK e uma corrente de braço iK e
suponhamos que vK e iK sejam medidos a partir de um sentido de referência associado. Se as
tensões e as correntes de braço satisfazem a LTK e a LCK respectivamente então:
∑
K=1
b
vK⋅iK=0
ou seja, toda a potência fornecida pela rede é consumida na própria rede. Em outras palavras
as leis de Kirchhoff implicam em conservação de energia.
3.5 Grafos de rede aplicados a análise de nós
Dado um determinado grafo orientado é possível descrevê-lo listando todos os braços
e nós e indicando qual braço está entrando e saindo de qual nó. Isto pode ser feito por uma
matriz chamada matriz de incidência, onde os elementos aik desta matriz podem assumir
valores +1 se o braço k sai do nó i; –1 se o braço k entra no nó i; 0 se o braço k não é incidente
(não se conecta) com o nó i. Assim, para o grafo abaixo
1
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1
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2
a matriz que o descreve é
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A=[ 1 1 0 0 0 0−1 0 1 −1 0 00 0 0 1 −1 00 0 0 0 1 1
0 −1 −1 0 0 −1
]
onde as colunas representam os braços e as linhas representam os nós.
Considerando a matriz incidência reduzida (a matriz A sem a linha correspondente ao
nó de referência do circuito) é possível escrever a LCK matricialmente como
A⋅ j=0
e pela LTK a tensão v em cada braço da rede pode ser obtida matricialmente como
v=AT⋅e
onde e é um vetor com tensões de cada nó.
Para concluir o equacionamento das tensões dos nós de uma rede será definido um
braço genérico contendo uma resistência e um modelo Thévenin ou Norton conforme
apresentado na figura abaixo. Para a continuidade da análise é imprescindível que haja ao
menos uma resistência no ramo, mas se isto não ocorrer, o circuito original pode sr
modificando utilizando-se explosão de fontes, por exemplo.
A corrente no ramo genérico que está sendo definido nesta secção pode ser
equacionado como
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j k= j sk – G k⋅vskG k⋅v k
onde o índice k denota o k-ésimo ramo da rede.
A mesma equação pode ser reescrita matricialmente para todos os ramos, assim a
equação acima pode ser reescrita como
j=G⋅v j s – G⋅vs
Se ambos os lados da equação forem multiplicados por A a esquerda então
A⋅ j=A⋅G⋅vA⋅j s – A⋅G⋅vs
0=A⋅G⋅vA⋅j s – A⋅G⋅vs
e substituindo v por AT⋅e obtemos0=A⋅G⋅AT⋅eA⋅ j s – A⋅G⋅v s , ou
A⋅G⋅AT⋅e=A⋅G⋅vs – A⋅ j s
Exemplo: No circuito da figura abaixo foram numerados os nós e os braços sendo
arbitrado um sentido para cada ramo. Os ramos foram escolhidos de tal forma que pudessem
ser equacionados de acordo com o modelo acima. As fontes não são deixadas em ramos
isolados.
A LCK pode ser escrita como
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A⋅ j=[1 1 0 0 00 −1 1 1 00 0 0 −1 1]⋅[
j 1
j 2
j 3
j 4
j 5
]=[000]
e as tensões de braço como
v=AT⋅e=[1 0 01 −1 00 1 00 1 −1
0 0 1
]⋅[e1e2e3]
O equacionamento das correntes em cada ramo é dado por
j=G⋅v j s−G⋅vs
[
j1
j 2
j3
j 4
j5
]=[2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 3 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1]⋅[
v1
v2
v3
v4
v5
][20000]−[
2 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
]⋅[0000
1
]
e as tensões de nó podem ser obtidas por
A⋅G⋅AT⋅e=A⋅G⋅vs – A⋅ j s
que pode ser reescrito como
Y n⋅e=i s
onde Y n=A⋅G⋅A
T e i s=A⋅G⋅v s – A⋅ j s .
Assim
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Y n=[1 1 0 0 00 −1 1 1 00 0 0 −1 1]⋅[2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 3 0 00 0 0 1 0
0 0 0 0 1
]⋅[1 0 01 −1 00 1 00 1 −1
0 0 1
]
Y n=[ 3 −1 0−1 5 −10 −1 2 ] e
i s=[−201 ]
Logo, as equações de nó, que podem ser obtidas diretamente pelas técnicas descritas
no capítulo anterior, são
[ 3 −1 0−1 5 −10 −1 2 ]⋅[e1e2e3]=[
−2
0
1 ] .
Portanto
e= 1
25
⋅[−17−112 ]
Com estas informações pode-se calcular as tensões e correntes de cada ramo
v=AT⋅e= 1
25
⋅[−17−16−1−13
12
]
e
j=G⋅v j s−G⋅vs
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j= 1
25
⋅[ 16−16−3−13
−13
]
3.6 Grafos de rede aplicados a análise de malhas
Alternativamente é possível descrever um grafo orientado, ligado, inseparável e planar
listando todos os braços e malhas e indicando os braços que pertencem a cada malha. Isto
pode ser feito por uma matriz onde os elementos aik desta matriz podem assumir valores +1 se
o braço k pertence a malha e tem o mesmo sentido estabelecido para ela; –1 se o braço k
pertence a malha e tem sentido contrário ao estabelecido para a malha; 0 se o braço k não
pertence a malha. Assim, para o grafo acima teríamos
M=[1 −1 1 0 0 00 0 −1 −1 −1 11 −1 0 −1 −1 1]
onde as colunas representam os braços e as linhas representam os nós.
Considerando a matriz M reduzida (matriz m sem a inclusão da malha externa –
apenas com malhas essenciais), podemos escrever a LTK como
M⋅v=0
e pela LCK as correntes de ramo podem ser obtidas pelas correntes de malha como
j=M T⋅i
onde i corresponde ao vetor de correntes de malha.
Mais uma vez a abordagem que está sendo apresentada requer a definição de um ramo
padrão de circuito como apresentado na figura abaixo.
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A tensão sobre o ramo genérico pode ser equacionado como
vk=v sk−Rk⋅ j skR k⋅ jk
onde o índice k define o k-ésimo ramo da rede.
Esta equação pode ser reescrita para todos os ramos na forma matricial como
v=Rb⋅j – Rb⋅ j sv s .
Multiplicando por M dos dois lados da equação
M⋅v=M⋅Rb⋅ j –⋅M⋅Rb⋅ j sM⋅v s
0=M⋅Rb⋅ j –⋅M⋅Rb⋅ j sM⋅v s
Substituindo j por M T⋅i obtêm-se
M⋅Rb⋅M
T⋅i=M⋅Rb⋅ js−vs
3.7 Exercícios
1) Para o circuito abaixo determine a tensão V sobre R3 .
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2) A rede abaixo é o circuito equivalente de um amplificador transistorizado com
emissor comum ligado a uma carga resistiva não linear. a) Determine a rede Thévenin
equivalente do amplificador. b) Determine a tensão de saída sobre a carga.
3) Encontrar Vo em função de V1, V2 e dos resistores. Para os cálculos, redesenhar o
circuito substituindo cada amplificador operacional pelo seu modelo ideal.
4) Determine a tensão V sobre o resistor R2 para as seguintes situações: a) iS=4 A e
eS=10V e b) iS=10 A e eS=−10V . É possível resolver este problema por superposição?
5) Encontre o equivalente Thévenin entre os terminais A e B da rede abaixo.
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6) No circuito abaixo, calcular as potências das fontes de corrente. O braço X
apresenta uma característica v x=10⋅i x5 .
7) No circuito abaixo determine a potência dissipada pelo resistor R6. Para tanto,
simplifique o circuito até obter apenas duas malhas. Após, resolva o problema utilizando o
método das correntes de malha.
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8) Para o circuito abaixo aplique uma fonte de tensão de V Volts entre os terminais A e
B. Equacione o problema utilizando malhas e isole a tensão V em função da corrente pela
fonte. Compare com o resultado obtido no exemplo de Thévenin-Norton. Repita o processo
com uma fonte de corrente de I Amperes.
9) Escreva os sistemas de equações que resolvem os problemas abaixo pelos métodos
das malhas e dos nós.
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3.8 Soluções
1) Para o circuito abaixo determine a tensão V sobre R3 .
Por superposição (única solução possível)
Para I1: V I1=
I 1⋅GEQ
G1GEQ
⋅ 1
G3G4
=
I 1⋅
G 2⋅G3G4 
G 2G3G4
G1
G 2⋅G3G4
G2G3G 4
⋅ 1
G3G4
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Para V1: V V1=
V 1⋅REQ
R4REQ
=
V 1⋅
R1R2⋅R3
R1R2R3
R4
R1R2⋅R3
R1R2R3
V =V I1V V1
2) A rede abaixo é o circuito equivalente de um amplificador transistorizado com
emissor comum ligado a uma carga resistiva não linear. a) Determine a rede Thévenin
equivalente do amplificador. b) Determine a tensão de saída sobre a carga.
a) Transformando o circuito Norton (B4-R3) em Thévenin obtemos uma fonte
V 2=I⋅R3 em série com R3. O positivo da fonte se conecta a R1 e R2. Assim, V 2=100⋅i1 .
Substituindo a resistência dependente de tensão por uma fonte de tensão V ficamos
com um circuito de duas malhas. Estipulando as correntes de malha em sentido horário:
Malha da esquerda: −V 1R1⋅i1R2⋅i1−i =0 (1)
Malha da direita: R2⋅i – i1V 2R3⋅iV =0 (2)
De 1: i1=
V 1+R 2⋅i
R 1+R 2
(3)
e V 2=100⋅i1=100⋅
V 1+R2⋅i
R1+R2
Substituindo 3 em 2:
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R 2⋅(i – V 1+R 2⋅iR 1+R 2 )+100⋅V 1+R 2⋅iR 1+R 2 +R 3⋅i+V=0
V=( R 22R1+R 2−100⋅R 2R 1+R 2−R 2−R 3)⋅i+( R 2⋅V 1R1+R 2 –100⋅ V 1R 1+R 2)=−RTH⋅i+V TH
RTH=2,99Ω , V TH=−9,9V
b) O somatório de tensões no circuito equivalente Thévenin em série com a resistência
dependente de corrente é dado por
−V TH+i⋅RTH +26⋅i+10⋅i
3=0 .
Determinar a corrente do circuito, 10⋅i3+26⋅i+RTH⋅i – V TH=0
ireal=−0,32919 A (as outras soluções são complexas)
e V=26⋅i+10⋅i3=−8,9157V
3) Encontrar Vo em função de V1, V2 e dos resistores. Para os cálculos, redesenhar o
circuito substituindo cada amplificador operacional pelo seu modelo ideal.
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Equacionando as 4 incógnitas ( V X , V DOWN , V UP e V O ) pelo método das tensões de
nós, bastaria resolver o sistema de equações abaixo.
V X
R2

V X−V DOWN
R1
=0
V 2 – V DOWN
R3

V 2−V 1
R
=0
V 1−V 2
R

V 1−V UP
R3
=0
V X – V UP
R1

V X−V O
R2
=0
4) Determine a tensão V sobre o resistor R2 para as seguintes situações: a) iS=4 A e
eS=10V e b) iS=10 A e eS=−10V . É possível resolver este problema por superposição?
Transformando o circuito Thévenin em Nortonobtemos uma fonte de corrente
I ES=
es
R1 em paralelo com o resistor R1. O sentido da corrente 
I ES é para baixo.
a) iS=4A para cima e I ES=5A para baixo. O diodo estará cortado pois as correntes
por R1 e R2 só poderiam circular de baixo para cima. Logo, o diodo é uma chave aberta e
V =0V . Não é possível resolver por superposição, pois neste caso o diodo conduziria para iS
b) iS=10A para cima e I ES=5A para cima. O diodo estará conduzindo pois as
correntes por R1 e R2 circulam de cima para baixo. Logo, o diodo é uma chave fechada e a
corrente se divide entre as resistências.
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V =iR2⋅R2 , iR2=
iTOT
G1G2
⋅G2= 15
0,50,5
⋅0,5=7,5 A , V =15V
5) Encontre o equivalente Thévenin entre os terminais A e B da rede abaixo.
Simplificando o circuito:
a) R4 pode ser retirado pois está em paralelo com V1; b) R1 e R2 estão em paralelo;
c)R5 pode ser retirado pois está em série com I2; d) I2 e I3 ficam em paralelo e podem ser
associados; e) I4 está em curto e pode ser retirado.
Para calcular o equivalente Thévenin podemos colocar uma fonte de corrente I
(sentido para cima) entre os terminais A e B. Equacionando as tensões de nós:
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Nó A: −I
V A
R8
I 23I V3=0
−I
V A
R8
I 23 I 5V A−V 3R12 =0
V A=
R8⋅R12
R8R12
⋅i R8⋅R12
R8R12
⋅ V 3R12 – I 23−I 5=RTH⋅iV TH
RTH=
R8⋅R12
R8R12 , V TH=
R8⋅R12
R8R12
⋅ V 3R12 – I 23−I 5
6) No circuito abaixo, calcular as potências das fontes de corrente. O braço X
apresenta uma característica v x=10⋅i x5 .
O braço X corresponde a uma fonte de tensão de 5V em série com uma resistência de
10 ou uma fonte de corrente de 0,5A em paralelo com uma resistência de 10. R4 e R3
estão em série e podem ser associados. R6 e R5 estão em série e podem ser associados.
Equacionando por tensões de nós:
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Nó B1: −I B1−I B2
V B1V 2−−V R2
R34
=0
Nó R2x: −I X
−V R2
R2x

−V R2−V B1V 2
R34
=0
Sabendo que I B1=0,5⋅V R2 , I B2=3⋅I R3 e I R3=
V B1V 2−−V R2
R34
PB1=−V B1⋅I B1=−V B1⋅0,5⋅V R2
PB2=−V B2⋅I B2=V B1−2⋅I R3R56⋅3⋅I R3⋅3⋅I R3
7) No circuito abaixo determine a potência dissipada pelo resistor R6. Para tanto,
simplifique o circuito até obter apenas duas malhas. Após, resolva o problema utilizando o
método das correntes de malha.
A fonte B1 pode ser explodida sobre V1, R2, R3 e R5 (explosões menores sobre R6 ou
R4 podem ser realizadas mas é necessário mais atenção para não errar as reais correntes sobre
estes resistores). Após a explosão é possível converter todos os modelos Norton em Thévenin.
Assim, a fonte B1 e a resistência R1 em paralelo com V1 são simplificadas. B1 em paralelo
com I1 podem ser somadas. O circuito final pode ser visto abaixo.
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Equacionando por malhas e considerando as correntes em sentido horário:
Malha da esquerda: −B1⋅R5ib⋅R5R4ib−i2 ⋅R3 I 1⋅R3 – B1⋅R3=0
Malha da direita: − I 1⋅R3 – B1⋅R3i2−ib⋅R3i2⋅R2B1⋅R2 – V 1i2⋅R6=0
PR6=R6⋅∣i2∣
2
8) Para o circuito abaixo aplique uma fonte de tensão de V Volts entre os terminais A e
B. Equacione o problema utilizando malhas e isole a tensão V em função da corrente pela
fonte. Compare com o resultado obtido no exemplo de Thévenin-Norton. Repita o processo
com uma fonte de corrente de I Amperes.
Aplicando uma fonte de tensão entre A e B. Positivo para cima. Correntes de malha
em sentido anti-horário.
Malha da esquerda: i1⋅R3R4– i2⋅R4V H1 – V S=0
Malha da direita: −V 1i2⋅R4R5– i 1⋅R4=0
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Sabendo que V H1=2⋅iX , iX=i 2−i1 e V 1=RTH⋅i 2V TH , basta resolver o sistema de
equações.
Aplicando uma fonte de corrente entre A e B. Corrente de baixo para cima. 
−i 2
V R4
R4

V R4−V H1−V S
R3
=0
e V H1=2⋅i X=2⋅
V R4
R4
V 1=R5⋅i2V R4=RTH⋅i2V TH
9) Escreva os sistemas de equações que resolvem os problemas abaixo pelos métodos
das malhas e dos nós.
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