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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE HIPERISTATICA

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ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 1 / 37 
¾ MÉTODO DOS ESFORÇOS 
 
Na resolução de estruturas hiperestáticas (aquelas que não podem ser resolvidas com as 3 
equações fundamentais da estática , a saber : somatória forças verticais igual a zero , somatória 
forças horizontais igual a zero , somatória momento fletor referente a um ponto igual a zero) , nós 
podemos lançar mão do método dos esforços. Este processo de cálculo consiste na utilização de 
uma estrutura equivalente a que desejamos calcular, na qual substituímos um vínculo entre barras 
ou entre barra e apoio por um carregamento externo. Vejamos alguns exemplos de modificação 
abaixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A estrutura equivalente deve ser isostática, caso a estrutura continue hiperestática após a 
primeira modificação, executamos outra modificação e assim por diante até encontrar uma estrutura 
equivalente isostática. A estrutura equivalente deve ser desdobrada em: 
ISOSTÁTICA BÁSICA – corresponde a estrutura equivalente com os carregamentos externos da viga original . 
CASO (1) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela primeira modificação. 
CASO (2) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela segunda modificação. 
CASO (n) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela enésima modificação. 
Vale um comentário quanto a numeração da estrutura: deve-se procurar numerar os nós da 
estrutura de forma que o ponto 1 coincida com a modificação 1 , o ponto 2 com a modificação 2 e 
assim por diante, e, caso seja possível, desaconselha-se duas modificações no mesmo nó. 
≡ X ≡ X 
≡ 
X 
≡ 
X X 
≡ 
X X 
≡ 
X 
X 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 2 / 37 
Para conseguirmos determinar as incógnitas que superam o número de equações 
fundamentais da Estática vamos usar equações de compatibilidade de deformação (seja esta 
deformação a flecha, o giro, ou o giro relativo). Ou seja , valendo a sobreposição de efeitos : 
- na modificação do apoio móvel do nó “1” por uma força “X”, temos que a soma da flecha 
devida ao carregamento externo original com a flecha devida a força “X” será igual a zero 
(condição de apoio na estrutura original). 
δ1R = δ10 + δ11 → 0 = δ10 + δ11 
- na modificação do engastamento do nó “1” por um momento fletor “X” e um apoio fixo, temos 
que a soma do giro devido ao carregamento externo original com o giro devido ao momento 
“X” será igual a zero (condição de engastamento na estrutura original). 
ϕ1R = ϕ10 + ϕ11 → 0 = ϕ10 + ϕ11 
- na modificação da ligação rígida entre barras no nó “1” por uma articulação com momentos 
fletores relativos “X”, diremos que a soma do giro relativo devido ao carregamento externo 
original com o giro relativo devido aos momentos fletores relativos “X” será igual a zero 
(condição de ligação rígida - continuidade - na estrutura original). 
ϕR1R = ϕR10 + ϕR11 → 0 = ϕR10 + ϕR11 
 Os cálculos relativos a flecha, giro e giro relativo serão desenvolvidos com o Teorema de 
Castigliano e auxílio da Tabela de Kurt Beyer. Para tanto devemos construir os diagramas de 
momento fletor da Isostática Básica e dos “n” Casos. Uma vez que o Teorema de Castigliano utiliza 
de um diagrama de momento gerado por um carregamento unitário, convém em cada Caso (“n”) 
colocarmos em evidência Xn tornando assim cada Caso (“n”) em um carregamento unitário 
multiplicado por Xn. 
 Cria-se a equação de compatibilidade na seguinte forma : 
 
REAL = CASO (0) + X1 . CASO (1) + X2 . CASO (2) + ... + Xn . CASO (n) 
 
Castigliano : dx
IE
MMo ⋅⋅
⋅= ∫ 1δ , dxIE MMo ⋅⋅⋅= ∫ 1ϕ , dxIE MMoR ⋅⋅⋅= ∫ 1ϕ 
 
 Encontradas as deformações por Castigliano , montamos um sistema linear devido as 
equações de compatibilidade com a seguinte forma : 
 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 3 / 37 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++++=
++++=
++++=
nnnnnnnR
nnR
nnR
XXX
XXX
XXX
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
......
..... .... ..... .... ... 
......
......
22110
2222211202
1122111101
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++++=
++++=
++++=
nnnnnn
nn
nn
XXX
XXX
XXX
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
......0
..... .... ..... .... ... 
......0
......0
22110
222221120
112211110
 
 
 Os valores encontrados nos fornecem os vínculos ou esforços internos aos quais se referem, 
tornando possível agora a resolução da estrutura original utilizando-se as 3 equações fundamentais 
da estática, seguindo o cálculo das reações de apoio e a construção dos diagramas de esforços 
internos solicitantes da estrutura original, a saber N (esforço normal) , V (esforço cortante) e M 
(momento fletor) . 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 01 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de 
esforços internos solicitantes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução : 
ƒ Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 kN/m 
4,0 m 
1,5 m 2,0 m 
3,0 m 
30 kN40 kN 
E , I → constantes 
20 kN/m 
4,0 m 
1,5 m 2,0 m 
3,0 m 
30 kN40 kN 
X X 
0 1 2 
ϕR1R = 0 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 4 / 37 
ƒ Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos 
gráficos de momento fletor : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Cálculo dos giros relativos ϕR10 , ϕR11 por Castigliano : 
∫= dxIEMMR ... 1010ϕ 
( ) ( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++== ∫ βαϕ 1.6..1.6..3..3....1....1 1010 kiskiskiskisIEdxMMIER 
20 kN/m 
4,0 m 
1,5 m 2,0 m 
3,0 m 
30 kN40 kN 
0 1 2 
ϕR10 
CASO (0) 
M0 kN.m 
40,0 
22,5 
+ 
M0 kN.m 
30,0 30,0 
4,0 m 3,0 m 
0 1 2 
1,0 
M1 kN.m 
1,0 
X . CASO (1) 
1,0 
ϕR11 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 5 / 37 
( ) ( )
IEIER ..3
3855,01.
6
1.30.45,01.
6
1.30.3
3
1.40.4
3
1.5,22.3.
.
1
10 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++=ϕ 
∫= dxIEMMR ... 1111ϕ 
IEIE
kiskis
IE
dxMM
IER ..3
7
3
1.1.4
3
1.1.3.
.
1
3
..
3
...
.
1...
.
1
1110 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +== ∫ϕ 
 
ƒ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : 
( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕR1R = ϕR10 + X . ϕR11 
IE
X
IE ..3
7.
..3
3850 ++= ⇒ 00,55
7
..3.
..3
385 −=−= IE
IE
X 
 ∴ podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja, 
vale –55,00 kN.m . O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na 
proposição do caso (1) . 
 
ƒ Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes 
∑ −= 00,551esqM ⇒ 5,1.3.205,1.403.55 0 −−+=− VR ⇒ 0 31,67VR kN= + 
∑ −= 00,551dirM ⇒ 2.4.202.304.55 2 −−+=− VR ⇒ 2 41,25VR kN= + 
∑ = 0VF ⇒ 020.73040210 =−−−+++ VVV RRR ⇒ 1 137,08VR kN= + 
∑ = 0HF ⇒ 02 =HR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 6 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 02 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de 
esforços internos solicitantes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 kN/m 
4,0 m 
1,5 m 2,0 m 
3,0 m 
30 kN40 kN 
0 1 2 
RV 0 RV 1 RV 2 
RH 2 
+ 
– 
+ 
– 
N 0 [kN] 
V 
+ 
+ 
– 
– 
31,67 
1,67 
38,33 
68,33 
68,75 
28,75 
1,25 
41,25 
[kN] 
+– M 
25,00 
55,00 
42,50
[kN.m] 
40 kN/m 
3,0 m 
2,0 m 
3,0 m 
30 kN 
E → constante 
1,0 m 
20 kN/m 
I 3.I 3.I 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 7 / 37 
 
Resolução : 
ƒ Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos 
gráficos de momento fletor : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X X 0 1 2 
ϕR1R = 0 40 kN/m 
3,0 m 
2,0 m 
3,0 m 
30 kN 
20 kN/m 
I 3.I 
20 kN.m 
40 kN
M0 kN.m 
45,0 
22,5 
+ 
CASO (0) 
0 1 2 
ϕR10 40 kN/m 
3,0 m 
2,0 m 
3,0 m 
30 kN
20 kN/m 
I 3.I 
20 kN.m 
40 kN 
M0 kN.m 
20,0 
20,0 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 8 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Cálculo dos giros relativos ϕR10 , ϕR11 por Castigliano : 
 
∫∫∫∫∫ +=+==
2
1
10
1
0
10
2
1
10
1
0
1010
10 .....3
1...
.
1.
..3
.
.
.
.
.
.
. dxMM
IE
dxMM
IE
dx
IE
MMdx
IE
MMdx
IE
MM
Rϕ 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=
6
..
3
...
..3
11.
6
..
3
...
.
1
10
kiskis
IE
kiskis
IER
αϕ 
IEIEIER ..6
305
6
20.1.3
3
1.45.3.
..3
1
3
21.
6
20.1.3
3
1.5,22.3.
.
1
10 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=ϕ 
∫∫∫∫∫ +=+==
2
1
11
1
0
11
2
1
11
1
0
1111
11 .....3
1...
.
1.
..3
..
.
..
.
. dxMM
IE
dxMM
IE
dx
IE
MMdx
IE
MMdx
IE
MM
Rϕ 
IEIEIE
kis
IE
kis
IER ..3
4
3
1.1.3.
..3
1
3
1.1.3.
.
1
3
...
..3
1
3
...
.
1
10 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=ϕ 
 
ƒ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : 
 
( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕR1R = ϕR10 + X . ϕR11 
IE
X
IE ..3
4.
..6
3050 ++= ⇒ 12,38
4
..3.
..6
305 −=−= IE
IE
X 
 
 ∴ podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja, 
vale –38,12 kN.m . O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na 
proposição do caso (1) . 
 
ƒ Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes 
 
3,0 m 3,0 m 
0 1 2 
1,0 
M1 kN.m 
1,0 
X . CASO (1) 
1,0 
ϕR11 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 9 / 37 
∑ −= 12,381esqM ⇒ 5,1.3.201.303.12,38 0 −−+=− VR ⇒ 0 27,29VR kN= + 
∑ −= 12,381dirM ⇒ 2.4.403.12,38 2 −+=− VR ⇒ 2 93,96VR kN= + 
∑ = 0VF ⇒ 040.420.330210 =−−−+++ VVV RRR ⇒ 1 128,75VR kN= + 
∑ = 0HF ⇒ 00 =HR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3,0 m 
0 1 2 
RV 0 RV 1 RV 2 
RH 0 
+ 
– 
+ 
– 
N 0 [kN] 
V 
+ + 
– – 
27,29 
42,71 
12,71 
62,71 
66,04 
40,00 
53,96 
[kN] 
+ 
– M 
18,62 
38,12 
16,42
[kN.m] 
40 kN/m 
3,0 m 
2,0 m 
30 kN 
1,0 m 
20 kN/m 
I 3.I 3.I 
+ 
1,365 1,35 
20,00
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 10 / 37 
EXERCÍCIO 03 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de 
esforços internos solicitantes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução : 
ƒ Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos 
gráficos de momento fletor : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 kN/m 
4,0 m 3,0 m 
E , I → constantes 
3,0 m 1,0 m 
24 kN/m 
18 kN/m 
4,0 m 3,0 m 3,0 m 
24 kN/m 
18 kN 
9 kN.m 
X1 X2X2 X3X31 2 3 4 
ϕ1R = 0 
ϕR2R = 0 ϕR3R = 0 
M0 kN.m 
20,25 
48,00 
+ 
M0 kN.m 
9,00 
CASO (0) 
18 kN/m 
4,0 m 3,0 m 3,0 m 
24 kN/m 
18 kN 
9 kN.m 
1 2 3 4 
ϕ10 
ϕR20 ϕR30 
20,25 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 11 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Cálculo dos giros relativos ϕR20 , ϕR30 , ϕR21 , ϕR22 , ϕR23 , ϕR31 , ϕR32 , ϕR33 , e dos giros ϕ10 , ϕ11 , ϕ12 , 
ϕ13, por Castigliano : 
 
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
.
64
3
1.48.4.
.
1
3
...
.
1...
.
1.
.
.
10
10
10 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=== ∫∫ϕ 
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
..3
4
3
1.1.4.
.
1
3
...
.
1...
.
1.
.
.
11
11
11 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=== ∫∫ϕ 
M1 kN.m
1,00 
X1 . CASO (1) 
4,0 m 3,0 m 3,0 m 
1,00 1 2 3 4 
ϕ11 ϕR21 ϕR31 
M2 kN.m
1,00 
X2 . CASO (2) 
4,0 m 3,0 m 3,0 m 
1,00
1 2 3 4 
ϕ12 ϕR22 ϕR32 
1,00
M3 kN.m
1,00 
X3 . CASO (3) 
4,0 m 3,0 m 3,0 m 
1,00
1 2 3 4 
ϕ13 ϕR23 ϕR33 
1,00
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 12 / 37 
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
R ..3
2
6
1.1.4.
.
1
6
...
.
1...
.
1.
.
.
21
21
2112 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==== ∫∫ϕϕ 
00.
.
1...
.
1.
.
.
31
31
3113 ===== ∫∫ IEdxMMIEdxIEMMRϕϕ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=== ∫∫ 3 1.25,20.33 1.48.4..13..3....1....1... 202020 IEkiskisIEdxMMIEdxIEMMRϕ 
IER ..4
337
20 +=ϕ 
IEIE
kiskis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
R ..3
7
3
1.1.3
3
1.1.4.
.
1
3
..
3
...
.
1...
.
1.
.
.
22
22
22 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=== ∫∫ϕ 
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
RR ..2
1
6
1.1.3.
.
1
6
...
.
1...
.
1.
.
.
32
32
3223 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==== ∫∫ϕϕ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=== ∫∫ 6..3..3....1....1... 303030 kiskiskisIEdxMMIEdxIEMMRϕ 
IEIER .
36
6
1.9.3
3
1.25,20.3
3
1.25,20.3.
.
1
30 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=ϕ 
IEIE
kiskis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
R .
2
3
1.1.3
3
1.1.3.
.
1
3
..
3
...
.
1...
.
1.
.
.
33
33
33 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=== ∫∫ϕ 
 
ƒ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : 
( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) + X3 . ( 3 ) ⇒ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
33332231130
23322221120
13312211110
...0
...0
...0
RRRR
RRRR
XXX
XXX
XXX
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
 
resolvendo o sistema por forma matricial : 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
30
20
10
3
2
1
333231
232221
131211
R
R
RRR
RRR
X
X
X
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
 ⇒ 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
00,36
25,84
00,64
00,250,00
50,033,267,0
067,033,1
3
2
1
X
X
X
 
∴ 
23,12
07,23
47,36
3
2
1
−=
−=
−=
X
X
X
 
 
 ∴ podemos assim afirmar que : o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , 
ou seja, vale –36,47 kN.m ; o momento fletor no apoio (2) assume o valor X2 . 1,0 kN.m , ou seja, 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 13 / 37 
vale –23,07 kN.m ; o momento fletor no apoio (3) assume o valor X3 . 1,0 kN.m , ou seja, vale –12,23 
kN.m . O sinal negativo indica que os momentos assumem sentido contrário ao escolhido na 
proposição dos casos . 
 
ƒ Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes 
 
∑ −= 07,232esqM ⇒ 2.4.244.47,3607,23 1 −+−=− VR ⇒ 1 51,35VR kN= + 
∑ −= 23,123esqM⇒ 5,1.3.183.2.4.247.35,5147,3623,12 2 −+−+−=− VR ⇒ 2 75,26VR kN= + 
∑ −= 23,123dirM ⇒ 3.2.4.1823,12 4VR+−=− ⇒ 4 43,92VR kN= + 
∑ −= 07,232dirM ⇒ 3.6.92,435,3.7.1807,23 3VR++−=− ⇒ 3 51,47VR kN= + 
∑ = 0HF ⇒ 01 =HR ; 04 =HR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RV 1 RV 3 RV 2 
RH 4 
+ 
– 
+ 
– 
N 0 [kN] 
V 
+ + 
– – 
51,35 
44,65 
2,14 m 23,39 
30,61 
18,00 28,08 
25,92 
[kN] 
+ 
– M 
18,48 
36,47 
23,07 
[kN.m] 
18 kN/m 
4,0 m 3,0 m 3,0 m 1,0 m 
24 kN/m 
RV 4 
RH 1 
– 
+ + 
1,70 m 1,56 m 
2,95
12,23
9,67
9,00
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 14 / 37 
EXERCÍCIO 04 : Na viga hiperestática esquematizada abaixo , calcular os diagramas 
de esforços internos solicitantes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução : 
a) utilizando a flecha do apoio (1) para montagem da equação de compatibilidade : 
ƒ Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 
 
 
 
 
 
 
ƒ Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos 
gráficos de momento fletor : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Cálculo das flechas δ10 , δ11 por Castigliano : 
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
.
640
4
4.160.4.
.
1
4
...
.
1...
.
1.
.
.
10
10
10 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=== ∫∫δ 
4,0 m 
E , I → constantes 
20 kN/m 
4,0 m 
X 
20 kN/m 
0 1 
δ1R = 0 
M0 kN.mCASO (0) 
4,0 m 
20 kN/m 
0 1 
δ10 
M1 kN.mX . CASO (1) 
4,0 m 
0 1 δ11 
1,0 kN 
4 
160 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 15 / 37 
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
..3
64
3
4.4.4.
.
1
3
...
.
1...
.
1.
.
.
11
11
11 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=== ∫∫δ 
ƒ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : 
( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ δ1R = δ10 + X . δ11 
IE
X
IE ..3
64.
.
6400 +−= ⇒ 00,30
64
..3.
.
640 =+= IE
IE
X 
 ∴ podemos assim afirmar que a reação vertical no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN , ou seja, 
vale 30,00 kN . O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na proposição do 
caso (1). 
 
ƒ Cálculo das Reações de Apoio 
∑ = 00M ⇒ 02.4.204.300 =+−− RM ⇒ 0 40,00RM kN= + 
∑ = 0VF ⇒ 020.4300 =−++ VR ⇒ 0 50,00VR kN= + 
∑ = 0HF ⇒ 00 =HR 
 
b) utilizando o giro do engaste (1) para montagem da equação de compatibilidade : 
ƒ Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) : 
 
 
 
 
 
ƒ Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos 
gráficos de momento fletor : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4,0 
X 
20 kN/m 
2 1 
ϕ1R = 0 
M0 kN.mCASO 
4,0 
20 kN/m 
2 1 
ϕ10 
M1 kN.mX . CASO (1) 
4,0 
2 1 
ϕ11 
1,0 kN.m 
1
40 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 16 / 37 
ƒ Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 por Castigliano : 
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
..3
160
3
1.40.4.
.
1
3
...
.
1...
.
1.
.
.
10
10
10 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=== ∫∫ϕ 
IEIE
kis
IE
dxMM
IE
dx
IE
MM
..3
4
3
1.1.4.
.
1
3
...
.
1...
.
1.
.
.
11
11
11 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=== ∫∫ϕ 
 
ƒ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : 
( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕ1R = ϕ10 + X . ϕ11 
IE
X
IE ..3
4.
..3
1600 +−= ⇒ 00,40
4
..3.
..3
160 =+= IE
IE
X 
 ∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou 
seja, vale 40,00 kN.m . O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na 
proposição do caso (1) . 
 
ƒ Cálculo das Reações de Apoio 
∑ = 00M ⇒ 02.4.204.40 1 =+−− VR ⇒ 1 30,00VR kN= + 
∑ = 0VF ⇒ 020.4300 =−++ VR ⇒ 0 50,00VR kN= + 
∑ = 0HF ⇒ 00 =HR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RV 0 RV 1 
RH 0 
+ 
– 
+ 
– 
N 0 [kN] 
V 
+ 
– 
50,0
30,0
[kN] 
+ 
– M 
22,50 
40,00 
2,50 m 
4,0 
0 
20 kN/m 
MR0 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes 
 Nota : O exercício foi resolvido de duas 
maneiras possíveis para demonstrar o método , 
no caso poderia ser utilizada a resolução a) ou 
b) , que resultaram iguais como podemos 
comprovar no item de cálculo das reações. 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 17 / 37 
EXERCÍCIO 05 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e 
os diagramas de esforços internos solicitantes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução : 
 
ƒ Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 kN/m 
6,0 m 
E , I → constantes 
3,
0 
m
 
2,
0 
m
 
24 kN 
X1
ϕ1R = 0 
32 kN/m 
6,0 m 
E , I → constantes 
3,
0 
m
 
2,
0 
m
 
24 kN 
2 
1 
3 4 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 18 / 37 
ƒ Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos 
gráficos de momento fletor : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASO (0) 
ϕ10 
32 kN/m 
6,0 m 
3,
0 
m
 
2,
0 
m
 
24 kN 
2 
1 
3 4 
24 kN 
116 kN 
76 kN 
116
06.3276
0
76
03.6.325.246.
0
24
024
0
1
1
2
2
1
1
1
=
=−+
=
=
=−++
=
=
=−+
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
 
M0 [ kN.m ]
144,00 
2 
3 
0 
3 4 
120,00 
3 4 
4 
1 
120,00 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 19 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , por Castigliano : 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=== ∫∫ 2..3..3....1....1... 101010 kiskiskisIEdxMMIEdxIEMMϕ 
IEIE .
252
2
120.1.5
3
120.1.6
3
144.1.6.
.
1
10 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=ϕ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=== ∫∫ kiskisIEdxMMIEdxIEMM ..3....1....1... 111111ϕ 
IEIE .
71.1.5
3
1.1.6.
.
1
11 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=ϕ 
 
 
 
X1 . CASO (1) 
1,00
ϕ11 
6,0 m 
3,
0 
m
 
2,
0 
m
 
2 
1 
3 4 
0 
1/6 kN 
6
1
1
6
1
1
6
1
2
2
1
1
0
0
016.
0
0
0
=
=+−
=
=
=−+
=
=
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
R
R
F
R
R
M
R
F
 
1/6 kN 
M1 [ kN.m ]
2 
3 
0 
3 4 
1,00 
4 
1 1,00 
1,00 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 20 / 37 
ƒ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : 
( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) ⇒ 11110 .0 ϕϕ X+= ⇒ 
11
10
1 ϕ
ϕ−=X 
00,36
7
.
.
252
1 =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−= IE
IE
X 
 ∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , 
ou seja, vale 36,00 kN.m . O sinal positivo indica que o momento assume o mesmo sentido ao 
escolhido na proposição dos casos . 
 
ƒ Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes 
( )161 116,00 36,00. 110,00 VR kN= + − = 
( )1 24,00 36,00. 0 24,00 HR kN= + = 
( )162 76,00 36,00. 82,00 VR kN= + + =82,00 
82,00 
– 
– 
110,00 
110,00 
0 
N [ kN ] 
82,00 
– 
110,00 
24,00 
0 
V [ kN ] 
+ 
+ 
24,00 
2,56 m 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 21 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 06 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e 
os diagramas de esforços internos solicitantes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução : 
 
ƒ Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) : 
 
 
84,00 
84,00 
105,06 
36,00 
0 
M [ kN.m ] 
2,56 m 
36 kN/m 
4,0 m 
E , I → constantes 
2,
0 
m
 
2,
0 
m
 
18 kN 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 22 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos 
gráficos de momento fletor : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASO (0) 
90
04.3654
0
54
02.4.364.184.
0
18
018
0
1
1
2
2
1
1
1
=
=−+
=
=
=+−−
=
=
=+−
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
 
X1 
ϕ1R = 0 
2 
1 
3 4 
36 kN/m 
4,0 m 
E , I → constantes 
2,
0 
m
 
2,
0 
m
 
18 kN 
ϕ10 18 kN 
90 kN 
54 kN 
2 
1 
3 4 
36 kN/m 
4,0 m 
2,
0 
m
 
2,
0 
m
 
18 kN 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 23 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,00 
M0 [ kN.m ]
72,00 
2 
3 
0 
3 4 
72,00 
3 4 
4 
1 
72,00 
X1 . CASO (1) 
4
1
1
4
1
1
4
1
2
2
1
1
0
0
014.
0
0
0
=
=−
=
=
=−+
=
=
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
R
R
F
R
R
M
R
F
 
M1 [ kN.m ]
2 
3 
0 3 4 
1,00 4 
1 1,00 
1,00 
1,00 
ϕ11 
1/4 kN 
1/4 kN 
0 
2 
1 
3 4 
4,0 m 
2,
0 
m
 
2,
0 
m
 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 24 / 37 
ƒ Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , por Castigliano : 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=== ∫∫ 2..3..3....1....1... 101010 kiskiskisIEdxMMIEdxIEMMϕ 
IEIE .
144
2
72.1.4
3
72.1.4
3
72.1.4.
.
1
10 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−=ϕ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=== ∫∫ kiskisIEdxMMIEdxIEMM ..3....1....1... 111111ϕ 
IEIE ..3
161.1.4
3
1.1.4.
.
1
11 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=ϕ 
 
ƒ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : 
( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) ⇒ 11110 .0 ϕϕ X+= ⇒ 
11
10
1 ϕ
ϕ−=X 
00,27
16
..3
.
144
1 −=⋅−= IEIEX 
 
 ∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , 
ou seja, vale 27,00 kN.m . O sinal negativo indica que o momento assume o sentido contrário ao 
escolhido na proposição dos casos . 
 
ƒ Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes 
 
( )141 90,00 27,00. 83,25 VR kN= − + = 
( )1 18,00 27,00. 0 18,00 HR kN= − = 
( )142 54,00 27,00. 60,75 VR kN= − − = 
 
 
 
 
 
 
 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 25 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83,25 
83,25 
– 
– 
60,75 
60,75 
0 
N [ kN ] 
83,25 
60,75 
V [ kN ] 
+ 
1,69 m 
18,00 
18,00 
– 
– 
0 
45,00 
51,26 
M [ kN.m ] 
1,69 m 
27,00 
45,00 
0 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 26 / 37 
EXERCÍCIO 07 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e 
os diagramas de esforços internos solicitantes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução : 
 
ƒ Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 kN/m 
4,0 m 
E , I → constantes 
2,
5 
m
 
2,
5 
m
 
17 kN 
4,
0 
m
 
1,
0 
m
 
21 kN 
X2
ϕ2R = 0 2 1 
3 4 
13 kN/m 
4,0 m 
2,
5 
m
 
2,
5 
m
 
17 kN 
4,
0 
m
 
1,
0 
m
 
21 kN 
X1
δ1R = 0 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 27 / 37 
ƒ Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus 
respectivos gráficos de momento fletor : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASO (0) 
38,36
04.1362,15
0
62,15
04.212.4.135,2.174.
0
4
02117
0
1
1
2
2
1
2
2
=
=−+
=
=
=−++−
=
=
=+−+
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
 
15,62 kN 
4,00 kN 
36,38 kN 
ϕ20 2 1 
3 4 
13 kN/m 
4,0 m 
2,
5 
m
 
2,
5 
m
 
17 kN 
4,
0 
m
 
1,
0 
m
 
21 kN 
δ10 
M0 [ kN.m ]
26,00 
1 
3 
0 
3 4 
42,50 
3 4 
4 
2 
42,50 
1,00 
20,00 4 
2 
21,00 
0 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 28 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X1 . CASO (1) 
0
00
0
0
04.
0
1
01
0
1
1
2
2
1
2
2
=
=+
=
=
=+
=
=
=−
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
 
0 
1,00 kN 
0 
ϕ21 
2 1 
3 4 
4,0 m 
5,
0 
m
 
δ11 
1,00 kN 
M1 [ kN.m ]
3 4 
5,00 4 
2 
5,00 
5,00 3 
1 
5,00 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 29 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Cálculo dos giros ϕ20 , ϕ21 , ϕ22 , e das flechas δ10 , δ11 , δ12 , por Castigliano : 
 
∫∫ == dxMMIEdxIEMM ....1... 101010δ 
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−+++=
3
...2.
6
.
3
...
2
..2.
6
..
.
1
21212110
kiskkiskiskkiskkis
IE
δ 
( ) ( ) ( )
IEIE .
02,192
3
5.20.545.2.
6
21.1
3
5.26.815,42.
2
5.45,25.2.
6
5,42.5,2.
.
1
10 +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−+++=δ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=== ∫∫ 3....3....1....1... 111111 kiskiskisIEdxMMIEdxIEMMδ 
X2 . CASO (2) 
4
1
1
4
1
1
4
1
2
2
1
2
0
0
014.
0
0
0
=
=−
=
=
=−+
=
=
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
R
R
F
R
R
M
R
F
 
0 
1,00 kN.m 
ϕ22 
2 1 
3 4 
4,0 m 
5,
0 
m
 
δ12 
1/4 kN 
1/4 kN 
M2 [ kN.m ]
3 4 
0 
4 
2 
1,00 
1,00 
3 
1 
1,00 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 30 / 37 
IEIE .
33,183
3
5.5.55.5.4
3
5.5.5.
.
1
11 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=δ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−==== ∫∫ 2..2....1....1... 21212112 kiskisIEdxMMIEdxIEMMϕδ 
IEIE .
50,22
2
5.1.5
2
1.5.4.
.
1
2112 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−== ϕδ 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+++−=== ∫∫ 2..2..3...2.6...1....1... 21202020 kiskiskiskkisIEdxMMIEdxIEMMϕ 
( )
IEIE .
50,44
2
1.21.1
2
1.20.5
3
26.1.45,421.2.
6
1.4.
.
1
20 +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+++−=ϕ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=== ∫∫ kiskisIEdxMMIEdxIEMM ..3....1....1... 222222ϕ 
IEIE .
33,61.1.5
3
1.1.4.
.
1
22 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=ϕ 
 
ƒ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : 
( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 )⇒ ⎩⎨
⎧
++=
++=
222211202
122111101
..
..
ϕϕϕϕ
δδδδ
XX
XX
R
R 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
−+=
21
21
.
.
33,6.
.
50,22
.
50,440
.
.
50,22.
.
33,183
.
02,1920
X
IE
X
IEIE
X
IE
X
IEIE ⇒ 
⎩⎨
⎧
+−=−
−=−
21
21
.33,6.50,2250,44
.50,22.33,18302,192
XX
XX
 ⇒ 
⎩⎨
⎧
−=
−=
074,19
388,3
2
1
X
X
 
 
∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (2) assume o valor X2 . 1,0 kN.m , ou 
seja, vale 19,07 kN.m ; e a reação horizontal no apoio (1) assume o valor X1 . 1,0 kN, ou seja , vale 
3,39 kN. O sinais negativos indicam que o momento e a reação horizontal assumem o sentido 
contrário ao escolhido na proposição dos casos . 
 
ƒ Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes 
( )141 36,38 3,388.0 19,074. 31,61 VR kN= − − + = 
( )2 4,00 3,388. 1 19,074.0 7,39 HR kN= − − − = 
( )142 15,62 3,388.0 19,074. 20,39 VR kN= − − − = 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 31 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31,61 
31,61 
– – 
20,39 
20,39 
N [ kN ] 
– 
13,61 13,61 
31,61 
– 
3,39 V [ kN ] 
+ 
+ 
13,61 
2,43 m 
– 
+ 
3,39 
13,61 
13,61 
7,39 
20,39 
13,61 7,39 
– 
19,07 
3,14 
8,48 
M [ kN.m ] 
25,55 
1,57 m 
10,49 
3,14 
25,55 
12,86 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 32 / 37 
EXERCÍCIO 08 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e 
os diagramas de esforços internos solicitantes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução : 
ƒ Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 kN/m 
4,0 m 
E → constante 
2,
0 
m
 
2,
0 
m
 
40 kN 
6,
0 
m
 
2,0 m 
I 
I 
I 
2.I 
X1 
ϕ1R = 0 
2 
1 
3 4 
20 kN/m 
4,0 m 
2,
0 
m
 
2,
0 
m
 
40 kN 
6,
0 
m
 
I 
I 
2.I 
40 kN 
40 kN.m 
X2
δ2R = 0 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 33 / 37 
 
ƒ Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus 
respectivos gráficos de momento fletor : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASO (0) 
70
0404.2050
0
50
0404.402.4.204.404.
0
40
040
0
1
1
2
2
1
1
1
=
=−−+
=
=
=+++−−
=
=
=+−
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
 
M0 [ kN.m ]
40,00 
2 
4 
0 
4 3 
240,00 
4 3 
3 
1 
240,00 
50 KN 
40 KN 
70 KN 
ϕ10 
2 
1 
3 4 
20 KN/m 
4,0 m 
2,
0 
m
 
2,
0 
m
 
40 kN 
6,
0 
m
 
I 
I 
2.I 
40 kN 
40 kN.m 
δ20 
120,00 
80,00 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 34 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X1 . CASO (1) 
4
1
1
4
1
1
4
1
2
2
1
1
0
0
014.
0
0
0
=
=−
=
=
=−+
=
=
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
R
R
F
R
R
M
R
F
 
M1 [ kN.m ]
2 
4 
0 4 3 
1,00 3 
1 1,00 
1,00 
1,00 1/4 kN 
1/4 kN 
0 ϕ11 
2 
1 
3 4 
4,0 m 
2,
0 
m
 
2,
0 
m
 
6,
0 
m
 
I 
I 
2.I 
δ21 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 35 / 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , ϕ12 , e das flechas δ20 , δ21 , δ22 , por Castigliano : 
∫∫ += 2
3
10
3
1
1010 ....
1...
..2
1 dxMM
IE
dxMM
IE
ϕ ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
3
...2.
6
..
.
1
2
...
..2
1
21
kiskkis
IE
kis
IE
 
( )
IEIEIE ..3
2120
3
1.40.4120240.2.
6
1.4.
.
1
2
1.240.6.
..2
1
10 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=ϕ 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=+= ∫∫ 3....1.....2 1....1.....2 1
2
3
10
3
1
1011
kis
IE
kis
IE
dxMM
IE
dxMM
IE
ϕ 
( )
IEIEIE ..3
13
3
1.1.4.
.
11.1.6.
..2
1
11 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=ϕ 
X2 . CASO (2) 
5,0
05,0
0
5,0
02.14.
0
1
01
0
1
1
2
2
1
1
1
=
=+−
=
=
=+−
=
=
=−
=
∑
∑
∑
V
V
V
V
V
H
H
H
R
R
F
R
R
M
R
R
F
 
M2 [ kN.m ]
2 
4 
4 3 
4,00 
3 
1 
6,00 
6,00 
1,00 
1,00 kN 
0,5 kN 
0,5 kN 
ϕ12 
2 
1 
3 4 
4,0 m 
2,
0 
m
 
2,
0 
m
 
6,
0 
m
 
I 
I 
2.I δ22 
4,00 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 36 / 37 
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=+== ∫∫ 212
3
21
3
1
212112 .2.6
..
.
1
2
...
..2
1...
.
1...
..2
1 kkis
IE
kis
IE
dxMM
IE
dxMM
IE
δϕ 
( )
IEIEIE ..3
5946.2.
6
1.4.
.
1
2
1.6.6.
..2
1
2112 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−== δϕ 
∫∫ += 2
3
20
3
1
2020 ....
1...
..2
1 dxMM
IE
dxMM
IE
δ 
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+++−++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= 21221221112120 .2.6
...2....2.
6
.
3
..
.
1
3
...
..2
1 kkiskikikikiskkis
IE
kis
IE
δ 
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+++−++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= 24.2.
6
80.2120.4.26.1204.240240.6.2.
6
446.
3
40.4.
.
1
3
240.6.6.
..2
1
20 IEIE
δ 
IE..3
14560
20 −=δ 
∫∫ += 2
3
22
3
1
2222 ....
1...
..2
1 dxMM
IE
dxMM
IE
δ ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 22122111 ..2....2.63
...
.
1
3
...
..2
1 kikikikiskis
IE
kis
IE
 
( )
IEIEIE ..3
4764.4.26.44.66.6.2.
6
4
3
4.4.4.
.
1
3
6.6.6.
..2
1
22 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=δ 
 
ƒ Montagem sistema linear com equação de compatibilidade : 
 
( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) ⇒ ⎩⎨
⎧
++=
++=
222211202
122111101
..
..
δδδδ
ϕϕϕϕ
XX
XX
R
R 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−−=
−+=
21
21
.
..3
476.
..3
59
..3
145600
.
..3
59.
..3
13
..3
21200
X
IE
X
IEIE
X
IE
X
IEIE ⇒ 
⎩⎨
⎧
+−=
−=−
21
21
.476.5914560
.59.132120
XX
XX
 ⇒ 
⎩⎨
⎧
+=
−=
716,23
441,55
2
1
X
X
 
 
∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m , 
ou seja, vale 55,44 kN.m , sendo que o sinal negativo indica que o momento assume sentido 
contrário ao escolhido na proposição dos casos ; e a reação horizontal no apoio (2) assume o valor 
X2 . 1,0 kN, ou seja , vale 23,72 kN , o sinal positivo indica que a reação horizontal assume o sentido 
o escolhido na proposição dos casos . 
 
 
ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 37 / 37 
ƒ Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes 
 
( )1 70,00 55,441.0,25 23,716. 0,50 44,28 VR kN= − + − = 
( )1 40,00 55,441.0 23,716. 1,00 16,28 HR kN= − + − = 
( )2 50,00 55,441. 0,25 23,716.0,50 75,72 VR kN= − − + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44,28 
44,28 
– 
– 
75,72 
75,72 
N [ kN ] 
– 
16,28 16,28 
0 
44,28 
– 
16,28 
V [ kN ] 
+ 
+ 
23,72 
2,21 m 
– 
+ 
40,00 
16,28 
35,72 
16,28 
23,7216,28 
– 
47,44 
25,12 
55,44 
M [ kN.m ] 
42,24 
2,21 m 
14,88 
40,00 
42,24 
6,78

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