UNIDADE VI : PERMUTAÇÕES - AMOSTRAS ORDENADAS

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO 
 
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UNIDADE VI : PERMUTAÇÕES - AMOSTRAS ORDENADAS 
1. Permutação : Um arranjo de um conjunto de n objetos, em dada ordem, é chamado 
permutação dos objetos (tomados todos ao mesmo tempo). 
Um arranjo de quaisquer desses objetos, em dada ordem, é chamado 
de -permutação ou permutação dos objetos, tomados a . 
 Exemplo: Consideremos o conjunto de letras e . Então: 
i) e são permutações das 4 letras (tomadas todas ao 
mesmo tempo). 
ii) e são permutações das 4 letras, tomadas 3 a 3. 
iii) e são permutações das 4 letras, tomadas 2 a 2. 
 
O número de Permutações de objetos distintos escolhidos entre objetos distintos é denotado 
por 
Podemos escrever uma fórmula para usando a função fatorial, isto é 
 
 
 
 
 Exemplo: Encontre o número de permutações de 6 objetos: a, b, c, d, e, f; tomadas 3 a 3. 
Em outras palavras, encontre o número de “palavras de 3 letras”, com letras distintas, que 
podem ser formadas com as 6 letras acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A dedução da fórmula para segue o processo executado no exemplo anterior: 
 O primeiro elemento numa -permutação de objetos pode ser escolhido 
de n maneiras diferentes; 
 O segundo elemento pode ser escolhido de maneiras; 
 O terceiro pode ser escolhido de maneiras. 
 Continuando assim, temos que o -ésimo (último) elemento da permutação pode ser 
escolhido de maneiras. 
Assim, temos que: 
Teorema: 
 
 
 
Três casos especiais que podem aparecer ao se calcular são as duas “condições de 
contorno” e e também 
 
 
 
 isso pode ser interpretado dizendo-se que existe apenas um arranjo 
ordenado de zero objetos. O conjunto vazio. 
 
 
 
 essa fórmula reflete o fato de que existem arranjos ordenados de 
um objeto. 
 
 
 
 essa fórmula diz que existem arranjos ordenados de objetos 
distintos. 
 Exemplo: O número de permutações de 3 (três ) objetos, digamos é dado por 
 As seis permutações de são: 
 Exemplo: quantas palavras de três letras (que podem não fazer sentido) podem ser 
formadas a partir da palavra “complicar” se nenhuma letra pode ser repetida. 
 Exemplo: Dez atletas competem em um evento olímpico. São dadas medalhas de ouro, 
prata e bronze. De quantas maneiras podem ser dadas as medalhas ? 
 Exemplo: De quantas maneiras pode-se selecionar um presidente e um vice-presidente de 
um grupo de 20 pessoas ? 
 Exemplo: De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar em uma fileira de seis 
cadeiras ? 
 
 
 
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2. Permutações com Repetições 
Frequentemente queremos saber o número de permutações de objetos, alguns 
dos quais aparecem repetidos. 
A fórmula geral para esse caso é: 
 
 
 onde é o número de vezes que o objeto A 
aparece repetido, é o número de vezes que o objeto B aparece repetido, é o número de 
vezes que o objeto C aparece repetido, e assim em diante. 
 
 Exemplo: Suponha que se queira formar todas as palavras de 5 letras 
possíveis, usando as letras da palavra DADDY. Observe que, caso não 
tivéssemos letras repetidas, teríamos 5! = 120 permutações das letras. Como a 
letra D aparece três vezes, temos que descontar 3! = 3 * 2 * 1 = 6 maneiras de 
permutar as três letras D. Portanto, o resultado final é 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, existem 20 palavras diferentes de 5 letras que podem ser formadas 
com as letras da palavra DADDY. 
 Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com as letras A,A, B, C 
Solução: Se não houvesse letras repetidas, teríamos 4! = 24 anagramas. 
Entretanto, como temos 2 letras repetidas, teremos: 
 
 
 anagramas 
 
 
 
 
 
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Verificação: 
AABC BAAC CAAB 
AACB BACA CABA 
ABAC BCAA CBAA 
ABCA ACAB ACBA 
 Exemplo: Quantos sinais diferentes, cada qual composto por 8 bandeiras 
penduradas numa linha vertical, podem ser formadas com um conjunto de 4 
bandeiras vermelhas indistinguíveis, 3 brancas indistinguíveis e uma azul? 
V V V V B B B A 
 
3. Amostras ordenadas 
 Muitos problemas de análise combinatória e, em particular, de probabilidade, 
estão ligados á escolha de uma bola de uma urna contendo n bolas (ou uma 
carta de baralho, ou uma pessoa da população). 
Quando escolhemos uma bola após outra da urna, digamos vezes, 
chamamos a escolha de amostra ordenada de tamanho . E, são consideradas 
duas possibilidades: 
 Amostragem com reposição: Neste caso, a bola é recolocada na urna, 
antes da escolha da próxima. Portanto, existem amostras ordenadas diferentes, com reposição, de 
tamanho Logo: 
 
 
 
 
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 Amostragem sem reposição: Neste caso, a bola não é recolocada na urna, 
antes da escolha da próxima bola. Assim, não há repetição na amostra 
ordenada. Ou seja, uma amostra ordenada, sem reposição, de tamanho , é 
simplesmente uma -permutação dos objetos da urna. Logo, há 
 
 
 
 
amostras ordenadas diferentes sem reposição, de tamanho , de uma população de objetos. 
 Exemplo: De quantas maneiras diferentes podemos escolher, 
sucessivamente, 3 cartas de um baralho de 52 cartas com reposição, e sem 
reposição ? 
Solução: 
i) Se cada carta é colocada no baralho antes da próxima ser escolhida, 
então cada uma carta pode ser escolhida de 52 maneiras diferentes. 
52 52 52 
 
Ou seja, há = 140.608 amostras ordenadas diferentes de 
tamanho 3, com reposição. 
ii) Por outro lado, se não há reposição, podemos escolher a primeira carta de 52 
maneiras diferentes, a segunda de 51 maneiras e a terceira de 50. 
52 51 50 
 
Ou seja, há = 132.600 amostras ordenadas diferentes de tamanho 3, 
sem reposição. 
 
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4. Combinação 
Suponha um conjunto com objetos. Uma combinação destes objetos 
tomados a , ou uma r-combinação, é qualquer subconjunto de elementos. 
 Em outras palavras, uma r-combinação é qualquer seleção r dos n objetos, 
sem considerar sua ordem. 
 Exemplo: As combinações das letras A, B, C e D, tomadas 3 a 3, são 
{A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}, ou simplesmente, ABC, ABD, ACD, BCD. 
‰ Observe que ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA, embora representem 6 
permutações, são combinações iguais, isto é, cada uma representa o mesmo 
conjunto {A,B,C}. 
O número de combinações de objetos, tomados a , é obtido a partir da 
seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo, de um grupo de 8 pessoas, quantas comissões 
podem ser formadas com 3 delas? 
 Um exemplo mais genérico, suponha um grupo formado por 6 homens e 
7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com 6 pessoas? 
 Analisandoo mesmo exemplo estudado anteriormente com 6 pessoas, onde 3 são 
homens e 3 são mulheres? 
 Exemplo : Desta vez analisamos o exemplo genérico do qual queremos formar um grupo 
com 6 pessoas, onde 3 são homens e 3 são mulheres, onde o homem A participa mas os homens 
B e C não, e onde a mulher X participa mas a mulher Y não? 
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