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Atividade Avaliativa Discursiva 2 Cálculo III – Matemática Licenciatura – 2017/1 Com base na leitura dos capítulos 6, 7 e 8 do livro didático da disciplina de Cálculo III (disponível na sua NetAula) e da Atividades Práticas III, resolva as questões a seguir. O peso desta avaliação é 3,0. Obs.: As respostas devem ser individuais, elaboradas pelo próprio aluno, e expressar o seu entendimento acerca da questão formulada. Respostas copiadas parcial ou integralmente serão zeradas. As questões devem vir acompanhadas do desenvolvimento do cálculo. 1. (1,2) Uma placa metálica retangular, medindo inicialmente 40 cm de comprimento e 30 cm de largura, é aquecida num forno durante um certo tempo. Após ser retirada do forno suas dimensões passaram a ser de 40,02 cm de comprimento e 30,01 cm de largura (dados hipotéticos). a) Calcule o aumento exato da área da superfície da placa. b) Usando diferenciais, calcule o aumento aproximado da área da superfície da placa. c) Escreva sobre os dois resultados, fazendo uma comparação. 2. (1,4) Use a regra da cadeia para calcular 𝑑𝑧 𝑑𝑡 de cada função a seguir. Simplifique os resultados. a) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦) , com 𝑥 = 3𝑡 e 𝑦 = 𝑡². b) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑤² , com 𝑥 = 𝑒𝑡 . cos(𝑡) ; 𝑦 = 𝑒𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) e 𝑤 = 𝑒𝑡. 3. (2,0) As dimensões de uma câmara retangular estão sendo aumentadas com as seguintes taxas: comprimento: 3 metros/minuto, largura: 2 metros/minuto e altura: ½ metro/minuto. Calcule a taxa de variação do volume e a taxa de variação da área da superfície quando o comprimento, a largura e a altura medem, respectivamente, 10 m, 6 m e 4 m. 4. (1,4) Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 12𝑥𝑦 + 8𝑦², determine, se houverem, os pontos de máximo, mínimo e de sela. 5. (2,0) Deseja-se construir uma caixa d’água, sem tampo, na forma de um cilindro circular reto e que contenha um volume de 5 m³. Sabendo que o custo do material da base é o dobro do custo do material da lateral da caixa, calcule a medida do raio da base e da altura da caixa com o menor custo. 6. (2,0) Suponha que 𝑇(𝑥, 𝑦) = 40 − 𝑥2 − 2𝑦2 represente uma distribuição de temperatura no plano 𝑥𝑦. Um indivíduo encontra-se na posição (3, 2) e pretende dar um passeio. (considere que 𝑥 e 𝑦 sejam dados em km e a temperatura em °C). a) Qual a direção e o sentido que deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento da temperatura? b) Qual o valor da taxa de maior crescimento da temperatura? c) Descreva o lugar geométrico (a curva) dos pontos que ele deverá percorrer de modo que a temperatura fique sempre igual à temperatura no ponto (3, 2).
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