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INSTITUTO FEDERAL DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS - IFAM TRABALHO DE CÁLCULO II RESOLUÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIA MANAUS – AM 2015 Êmilly Loren Pessoa; Felipe Cavalcante; Igor Garcia; Iraúna Carvalho; Lailla Raquel; Robertson Rocha. TRABALHO DE CÁLCULO II RESOLUÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIA Trabalho solicitado aos alunos para obtenção de nota parcial do 2° período na disciplina de Cálculo II, sob orientação do prof° Sebastião Constantino. MANAUS – AM 2015 INTRODUÇÃO O objetivo do trabalho a seguir é o de se obter expressões simples pelo cálculo de funções por séries de potências a fim de desenvolver funções com um grau de complexidade maior como as trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. A convergência dos gráficos das funções de soma parcial de uma dada série serve para aproximar tais funções. As questões estão resolvidas conforme os conhecimentos adquiridos sobre o assunto série de potências, com aplicações das séries de Maclaurin e Taylor. Resoluções Questão 1. Calcular os primeiros cinco termos das séries de Maclaurin da seguinte função: ℯx .senx Derivadas Para x=1 F0(x) = ℯx .senx F0(0) = 0 F¹(x) = ℯx (senx + cosx) F¹(0) = 1 F²(x) = 2ℯx cosx F²(0) = 2 F³(x) = 2ℯx (cosx – senx) F³(0) = 2 F4(x) = -4ℯX senx F4(0) = 0 F5(x) = -4ℯX (senx + cosx) F5(0) = -4 F6(x) = -8ℯXcosx F6(0) = -8 Conforme o polinômio de Maclaurin, temos: P(x) =... Logo: P(x) = ... Assim: P(x) = Gráfico representando as aproximações em x = 0 até ordem 3. Questão 2. Usar o desenvolvimento em série de potências para verificar o seguinte resultado: Ao substituirmos x por 1 observa-se que o limite irá apresentação uma indeterminação do tipo . Simplificando a expressão contida no limite temos: Pela regra do produto: Aplicando a regra de L’hospital na indeterminação: Aplicando pela 2° vez L’hospital: Por fim, temos: Desenvolvimento por série de polinômios de MacLaurin: Simplificando a expressão contida no limite temos: Considerando o desenvolvimento da série de potência de cosx: Temos: Multiplicando a expressão por (-1): Levando em conta a série de potência de (x -1)² = 1 -2x+x², substituem-se as funções pelo polinômio correspondente: Para sair da indeterminação aplica-se regra de L’hospital nos polinômios: - Derivada primeira: -Derivada segunda: Logo: CONSIDERAÇÕES FINAIS As séries de potências são usadas para aproximar funções por meio de polinômios, cada soma parcial de uma série corresponde a um polinômio de grau n, quando a = 0 temos uma série de potências em x, ou, série de Maclaurin. As séries já estabelecidas de algumas funções como as trigonométricas, exponenciais e logarítmicas servem para determinar expansões em série de potências para muitas outras funções, essa ferramenta serviu de auxílio para o desenvolvimento de polinômios incluso em um limite. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LEITHOLD, Luis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3 ed.São Paulo: HARBRA,1994; ÁVILA, Geraldo. Cálculo 2 Funções de uma variável.5 ed.Rio de Janeiro: LTC, 1995.
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