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Cálculo II

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INSTITUTO FEDERAL DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS - IFAM
 
TRABALHO DE CÁLCULO II
RESOLUÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIA
MANAUS – AM
2015
Êmilly Loren Pessoa; Felipe Cavalcante; Igor Garcia; Iraúna Carvalho; Lailla Raquel; Robertson Rocha.
TRABALHO DE CÁLCULO II
RESOLUÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIA
Trabalho solicitado aos alunos para obtenção de nota parcial do 2° período na disciplina de Cálculo II, sob orientação do prof° Sebastião Constantino.
MANAUS – AM
2015
INTRODUÇÃO
O objetivo do trabalho a seguir é o de se obter expressões simples pelo cálculo de funções por séries de potências a fim de desenvolver funções com um grau de complexidade maior como as trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. A convergência dos gráficos das funções de soma parcial de uma dada série serve para aproximar tais funções. 
As questões estão resolvidas conforme os conhecimentos adquiridos sobre o assunto série de potências, com aplicações das séries de Maclaurin e Taylor.
Resoluções
Questão 1. Calcular os primeiros cinco termos das séries de Maclaurin da seguinte função:
ℯx .senx
	Derivadas
	Para x=1
	F0(x) = ℯx .senx
	F0(0) = 0
	F¹(x) = ℯx (senx + cosx)
	F¹(0) = 1
	F²(x) = 2ℯx cosx
	F²(0) = 2
	F³(x) = 2ℯx (cosx – senx)
	F³(0) = 2
	F4(x) = -4ℯX senx
	F4(0) = 0
	F5(x) = -4ℯX (senx + cosx)
	F5(0) = -4
	F6(x) = -8ℯXcosx
	F6(0) = -8
Conforme o polinômio de Maclaurin, temos:
P(x) =... 
Logo:
P(x) = ...
Assim:
P(x) = 
Gráfico representando as aproximações em x = 0 até ordem 3.
Questão 2. Usar o desenvolvimento em série de potências para verificar o seguinte resultado:
Ao substituirmos x por 1 observa-se que o limite irá apresentação uma indeterminação do tipo .
Simplificando a expressão contida no limite temos:
Pela regra do produto:
 
Aplicando a regra de L’hospital na indeterminação:
 Aplicando pela 2° vez L’hospital:
Por fim, temos:
Desenvolvimento por série de polinômios de MacLaurin:
Simplificando a expressão contida no limite temos:
Considerando o desenvolvimento da série de potência de cosx:
Temos:
 
Multiplicando a expressão por (-1):
 
Levando em conta a série de potência de (x -1)² = 1 -2x+x², substituem-se as funções pelo polinômio correspondente:
Para sair da indeterminação aplica-se regra de L’hospital nos polinômios: 
- Derivada primeira:
-Derivada segunda:
Logo:
CONSIDERAÇÕES FINAIS
As séries de potências são usadas para aproximar funções por meio de polinômios, cada soma parcial de uma série corresponde a um polinômio de grau n, quando a = 0 temos uma série de potências em x, ou, série de Maclaurin. 
As séries já estabelecidas de algumas funções como as trigonométricas, exponenciais e logarítmicas servem para determinar expansões em série de potências para muitas outras funções, essa ferramenta serviu de auxílio para o desenvolvimento de polinômios incluso em um limite.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
LEITHOLD, Luis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3 ed.São Paulo: HARBRA,1994;
ÁVILA, Geraldo. Cálculo 2 Funções de uma variável.5 ed.Rio de Janeiro: LTC, 1995.

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