Prova de Cálculo Diferencial e Integral

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Universidade Federal do ABC - UFABC
IEDO- Diurno - SA
Prof. Celso Nishi Q2.2014
Prova 1
Na˜o esquec¸a de escrever nome, RA e turma na folha de resposta.
Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras, celulares e afins.
Escreva a resposta final a` caneta.
Entregue a folha de questo˜es dentro da folha de respostas.
1. (a) Uma quantidade y depende do tempo t e sabe-se que y = 2 e dydt = −3 quando t = 1.
Calcule a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de z = e2y em relac¸a˜o ao tempo quando t = 1.
(b) Classifique a EDO y′ + 2t y = 3 quanto a linearidade (se na˜o for linear, diga por queˆ.).
Verifique se as func¸o˜es y1 = t +
1
t2
(para t > 0) e y2 = e
−t sa˜o soluc¸o˜es da EDO.
2. Resolva os PVIs
(a)

dy
dx
=
x
y
e−x
2
,
y(0) = 1 .
(b)

dy
dx
=
x
y
e−x
2
,
y(0) = −1 .
E´ poss´ıvel afirmar que na˜o ha´ mais soluc¸o˜es para os PVIs acima ale´m dos que foram encontrados?
3. Fac¸a a ana´lise qualitativa da EDO y′ = y(1− 2y).
Determine limt→∞ y para a soluc¸a˜o que satisfaz a condic¸a˜o inicial y(0) = 1/3.
4. Um material radioativo desitegra-se a uma taxa proporcional a` quantidade de material presente
naquele tempo. Se 100mg do elemento radioativo diminui para 80mg apo´s uma semana, deter-
mine o tempo necessa´rio para que sobre apenas 50mg do material.
Esse tempo e´ maior ou menor que 2 semanas e meia?
Universidade Federal do ABC - UFABC
IEDO- Diurno - SA
Prof. Celso Nishi Q2.2014
Prova 1
Na˜o esquec¸a de escrever nome, RA e turma na folha de resposta.
Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras, celulares e afins.
Escreva a resposta final a` caneta.
Entregue a folha de questo˜es dentro da folha de respostas.
1. (a) Uma quantidade y depende do tempo t e sabe-se que y = −2 e dydt = 3 quando t = 1.
Calcule a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de z = e3y em relac¸a˜o ao tempo quando t = 1.
(b) Classifique a EDO y′ + 2t y = 4 quanto a linearidade (se na˜o for linear, diga por queˆ.).
Verifique se as func¸o˜es y1 = 2t +
1
t2
(para t > 0) e y2 = e
−t sa˜o soluc¸o˜es da EDO.
2. Resolva os PVIs
(a)

dy
dx
=
x
y
ex
2
,
y(0) = −1 .
(b)

dy
dx
=
x
y
ex
2
,
y(0) = 1 .
E´ poss´ıvel afirmar que na˜o ha´ mais soluc¸o˜es para os PVIs acima ale´m dos que foram encontrados?
3. Fac¸a a ana´lise qualitativa da EDO y′ = y(2y − 1).
Determine limt→∞ y para a soluc¸a˜o que satisfaz a condic¸a˜o inicial y(0) = 1/3.
4. Um material radioativo desitegra-se a uma taxa proporcional a` quantidade de material presente
naquele tempo. Se 100mg do elemento radioativo diminui para 90mg apo´s uma semana, deter-
mine o tempo necessa´rio para que sobre apenas 50mg do material.
Esse tempo e´ maior ou menor que 5 semanas?
Universidade Federal do ABC - UFABC
IEDO- Noturno - SBC - turma A
Prof. Celso Nishi Q2.2014
Prova 1
Na˜o esquec¸a de escrever nome, RA e turma na folha de resposta.
Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras, celulares e afins.
Escreva a resposta final a` caneta.
Entregue a folha de questo˜es dentro da folha de respostas.
1. (a) Classifique a EDO y′ + t2 tg y =
sen t
cos y
quanto a linearidade (se na˜o for linear, diga por
queˆ.). Encontre uma nova EDO em termos de z = sen y e explique porque essa mudanc¸a
de varia´vel e´ u´til.
(b) Seja a EDO y′ − 2t y = −3.
Verifique se as func¸o˜es y1 = −t + 1t2 (para t > 0) e y2 = e−t sa˜o soluc¸o˜es da EDO.
2. Resolva os PVIs
(a)

dy
dx
=
x
y
cosx2 ,
y(0) = 2 .
(b)

dy
dx
=
x
y
cosx2 ,
y(0) = −2 .
E´ poss´ıvel afirmar que na˜o ha´ mais soluc¸o˜es para os PVIs acima ale´m dos que foram encontrados?
3. Fac¸a a ana´lise qualitativa da EDO y′ = 2− y2.
Determine limt→∞ y para a soluc¸a˜o que obedece a condic¸a˜o inicial y(0) = 0.
4. A populac¸a˜o de mosquitos em uma certa a´rea aumenta a uma taxa proporcional a sua populac¸a˜o
no momento e, na auseˆncia de predadores, a populac¸a˜o dobra a cada semana. Existem 200 mil
mosquitos inicialmente na a´rea, e predadores comem 20 mil mosquitos por dia. Determine a
populac¸a˜o de mosquitos a qualquer momento.