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UNIDADE 1 ANÁLISE ESTATÍSTICA

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PROBABILIDADE
Experimento aleatório
É todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis.
Ex’s: lançamento de um dado, de uma moeda, loteria de números, extração de uma carta de baralho, ... 
Espaço amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
Denominamos por S ou Ω.
Ex’s: 
No lançamento de um dado, S = {1,2,3,4,5,6,}
No lançamento de uma moeda, Ω = {cara, coroa}
Evento
É todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório. 
Ex’s: 
No lançamento de um dado, S = {1,2,3,4,5,6,}
Sair um número menor que 4 é um evento representado pelo subconjunto {1, 2, 3}
Evento
MUITO
PROVÁVEL
POUCO
PROVÁVEL
CERTO
IMPOSSÍVEL
SIMPLES
unitário
ф
Evento = Ω
Obter um número menor que 7 → EVENTO CERTO
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = evento
Obter o número zero → EVENTO IMPOSSÍVEL
Obter um número maior que 5 → EVENTO SIMPLES
{6} = evento
TIPOS DE AGRUPAMENTOS
USA TODOS ELEMENTOS
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
COMBINAÇÃO
IMPORTA ORDEM
NÃO IMPORTA ORDEM
 Pn = n!
FORMULÁRIO
= 50.063.860 possibilidades de cartões com 6 números
C60,6 = 60!
 6! (60 – 6)!
= 60!
 6! · 54!
Quantos cartões da Mega Sena (60 números) com 6 marcações cada, podemos fazer?
1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6, 5, 4, 3, 2, 1
A ordem não é importante!!!
= 1,99 · 10 -8 = 0,00000199%
P = 1
 50.063.860
Fazendo uma aposta simples com 6 números, qual a probabilidade de você ser sorteado?
1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6, 5, 4, 3, 2, 1
A ordem não é importante!!!
A prova antiga da UFRN continham 15 questões onde cada uma apresentava 4 alternativas. Quantas eram as possibilidades de gabaritos?
Qual a probabilidade do aluno acertar “no chute” as 15 questões?
É mais fácil acertar com um jogo simples da MEGA SENA ou acertar “no chute” as 15 questões antigas da UFRN?
21,37 = 0,00000199 / 0,0000000931. 
ENEM = 45 questões em cada uma das 4 provas = 180 questões com 5 alternativas. Logo, P = (1/5)180 = 1,53 . 10-126 => 1,3 . 10118 vezes menos chances 
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PROBABILIDADE
São as chances de um ou mais eventos ocorrerem ou não.
COMPLEMENTAR
COMPOSTA
CONDICIONADA
UNIÃO
INTERSEÇÃO
INDEPENDENTE
PROBABILIDADE
Seja um evento A de espaço amostral S (não vazio e finito). A probabilidade de ocorrer o evento A é:
P (A) = 
n (A)
n (S) 
Todos os casos favoráveis, isto é, os que queremos que aconteça.
Todos os casos possíveis.
0 ≤ P(A) ≤ 1
0% ≤ P(A) ≤ 100%
Dem.: ф ≤ A ≤ S => ф/S ≤ A/S ≤ S/S => 0 ≤ A/S ≤ 1 
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PROBABILIDADE
Lídia, a procura de emprego, foi selecionada por duas indústrias que estavam localizadas de lados opostos em relação a sua residência. Como não havia vantagens financeiras nem trabalhistas entre as ofertas, decidiu optar pelo emprego cuja probabilidade de pegar o primeiro trem que passasse ao chegar à estação fosse maior, fosse esse para direita ou para esquerda.
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PROBABILIDADE
Na estação ferroviária, foi informado de que os trens para direita passavam nos horários 0h10, 0h40, 1h10, 1h40, 2h10, ..., 23h40, enquanto que os trens para esquerda passavam nos horários 0h00, 0h30, 1h00, 1h30, 2h00, ..., 23h30, diariamente, de domingo a domingo. 
Que emprego Lídia escolheu?
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PROBABILIDADE
D: 0h10, 0h40, 1h10, 1h40, 2h10, ..., 23h40 
E: 0h00, 0h30, 1h00, 1h30, 2h00, ..., 23h30
Entre 1h e 1h10 min: trem da DIREITA
Entre 1h10min e 1h30in: trem da ESQUERDA
Entre 1h30min e 1h40min: trem da DIREITA
Dos 1h40min e 2h: trem da ESQUERDA
Durante meia hora, o intervalo de tempo para pegar o trem da DIREITA é de 10 minutos em 30 minutos e o da ESQUERDA de 20 minutos em 30 minutos.
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PROBABILIDADE
D: 0h10, 0h40, 1h10, 1h40, 2h10, ..., 23h40 
E: 0h00, 0h30, 1h00, 1h30, 2h00, ..., 23h30
A cada hora tem-se 20 min a favor do trem da DIREITA e 40 min para o da ESQUERDA.
P (D) = 
10
30 
P (E) = 
20
30 
= 0,33 = 33% 
= 0,66 = 66% 
Há o dobro de chances dele ser bem sucedido se escolher a indústria da esquerda.
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PROBABILIDADE COMPLEMENTAR
Pc é a probabilidade de NÃO ocorrer um evento.
P (Ac) = 
n (S) – n(A)
 n (S) 
=
n (S)
n (S) 
-
n (A)
n (S) 
= 1 – P(A)
Casos favoráveis
Todos os casos possíveis
PROBABILIDADE COMPLEMENTAR
Ex.: No lançamento simultâneo de dois dados, qual é a probabilidade de não sair soma 4?
6
6
= 36 resultados possíveis
1
3
3
1
2
2
Probabilidade de sair soma 4 é:
3/36 = 1/12 = 0,08 = 8%. 
A probabilidade de não sair soma 4 é:
1 – 1/12 = 11/12 = 0,92 = 92%.
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PROBABILIDADE COMPLEMENTAR
Ex.: Em um grupo de 30 pessoas, qual a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem aniversário na mesma data (dia e mês)?
30 pessoas = 71% 60 ou 70 pessoas = 99% 1 - (365!/ (365n . (365 – n)!)
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Dados dois eventos, A e B, os resultados do evento A não influenciam nos resultados do evento B.
Numa caixa há 4 bolas pretas e 6 vermelhas. Qual é a probabilidade de tirarmos uma bola preta e uma vermelha, com reposição?
EVENTOS INDEPENDENTES
Dados dois eventos, A e B, os resultados do evento A não influenciam nos resultados do evento B.
4 P
6 V
4
6
24 possibilidades de 100 possíveis, portanto, 
P(A∩B) = 24/100 = 24%
4
10
6
10
.
= 24/100 = 24% 
EVENTOS INDEPENDENTES
EVENTOS INDEPENDENTES
Quando dois eventos A e B são independentes, a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, assim, temos: 
A probabilidade de Breno ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Rubens é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados?
B: Breno é aprovado e R: Rubens é aprovado
Como a aprovação de um não influencia na aprovação do outro (considerando que eles não irão colar), então os eventos B e R são independente. Logo:
P(B  R) = P(B) · P(R) = 1/3 · 2/3 = 2/9 = 0,22 = 22 % 
EVENTOS INDEPENDENTES
s
.5 .20 .17 .19 .7
.10 .11 .12 .13 .14 .15
.4
.8
.16
.1
.2
.3
.6
.9
.18
A
B
Espaço amostral:
S = {1, 2, ... , 20}, 
n(S) = 20
Conj. dos divisores de 16:
A = {1, 2, 4, 8, 16}, 
n(A) = 5
Conj. dos divisores de 18:
B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, 
n(B) = 6
UNIÃO DE EVENTOS
s
.5 .20 .17 .19 .7
.10 .11 .12 .13 .14 .15
.4
.8
.16
.1
.2
.3
.6
.9
.18
A
B
Divisores de 16 e 18:
A ∩ B = {1, 2}, n(A ∩ B) = 2
Divisores de 16 ou 18:
AUB={1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 9, 18}
n(A U B) = 9 = 6 + 5 – 2
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
UNIÃO DE EVENTOS
P (A) = 
n (A)
n (S) 
P (B) = 
n (B)
n (S) 
P (A ∩ B) = 
 n (A ∩ B)
 n (S) 
P (A U B) = 
 n (A U B)
 n (S) 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
UNIÃO DE EVENTOS
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Se A e B forem eventos disjuntos, então:
P(A  B) = P(A) + P(B)
UNIÃO DE EVENTOS
Ex.: Em uma comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios do clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser sócia de A ou de B?
UNIÃO DE EVENTOS
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) = 400/1000 + 300/1000 – 200/1000
P(A U B) = 4/10 + 3/10 – 2/10 
P(A U B) = 5/10 = 1/2 = 0,5 = 50% 
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral S. 
A probabilidade de A dado B, é a probabilidade de ocorrer o evento A, quando o evento B ocorreu. 
Em outras palavras, é a probabilidade de algo acontecer dado uma condição de ocorrência, fazendo com que o espaço amostral se reduza.
PROBABILIDADE CONDICIONADA
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Um avião fretado por uma operadora turística de DF parte de Brasília até Natal/RN, com 140 passageiros. Durante o voo, cada turista respondeu a duas perguntas: 
1 – Já voo antes? 
2 – Já esteve em Natal?
Os dados obtidos com as respostas encontram-se na tabela ao lado.
1ªvez
Já voo antes
∑
Não conhecia
83
22
105
Já conhecia
23
12
35
∑
106
34
140
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Um passageiro é selecionado ao acaso
e verifica-se que ele nunca tinha viajado de avião.
Qual é a probabilidade de que ele já conhecesse Natal? 
1ªvez
Já voo antes
∑
Não conhecia
83
22
105
Já conhecia
23
12
35
∑
106
34
140
P (Já conhecer | 1ª vez de avião) = 
 total já conhecer e voam pela 1ª vez
 total que voam pela 1ª vez 
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Um passageiro é selecionado ao acaso e verifica-se que ele nunca tinha viajado de avião.
Qual é a probabilidade de que ele já conhecesse Natal? 
1ªvez
Já voo antes
∑
Não conhecia
83
22
105
Já conhecia
23
12
35
∑
106
34
140
P (A|B) = 
 23
 106
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Probabilidade de A, dado B.
A e B são eventos de um mesmo espaço amostral Ω.
Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades: 
PROBABILIDADE CONDICIONADA
39.577 / 48.249 = 0,82.
temos P(S | M) =
Observando a tabela, qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino?
Sexo
Alfabetizada
Total
Sim
Não
Masc.
39.577
8.672
48.249
Fem.
46.304
7.297
56.601
Total
85.881
15.969
101.850
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. 
Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, qual a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A.
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Sejam os eventos:
A = “o motor foi produzido pela fábrica A”
B = “o motor foi produzido pela fábrica B”
D = “o motor é defeituoso”
O enunciado forneceu:
P(A) = 40% = 0,4
P(B) = 60% = 0,6
P(D|A) = 2% = 0,02
P(D|B) = 3% = 0,03
P(A|D) = ?
D = (D∩A) U (D ∩B)
P(D) = P (D∩A) + P(D ∩B)
P(D) = P(D|A) · P(A) + P(D|B) · P(B)
P(D) = 0,02 · 0,4 + 0,03 · 0,6 = 0,026
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Sejam os eventos:
A = “o motor foi produzido pela fábrica A”
B = “o motor foi produzido pela fábrica B”
D = “o motor é defeituoso”
O enunciado forneceu:
P(A) = 40% = 0,4
P(B) = 60% = 0,6
P(D|A) = 2% = 0,02
P(D|B) = 3% = 0,03
P(A|D) = ?
P (A∩D) = P (D∩A) = P(D|A) · P(A)
P (A∩D) = 0,02 · 0,4 = 0,008
PROBABILIDADE CONDICIONADA
Sejam os eventos:
A = “o motor foi produzido pela fábrica A”
B = “o motor foi produzido pela fábrica B”
D = “o motor é defeituoso”
O enunciado forneceu:
P(A) = 40% = 0,4
P(B) = 60% = 0,6
P(D|A) = 2% = 0,02
P(D|B) = 3% = 0,03
P(A|D) = ?
P (A|D) = 0,308 = 30,8 %
Considera o lançamento de um dado. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
A: Sair um número par
B: Sair um número maior que 3
C: Sair um número par e maior que 3
D: Sair um número par ou maior que 3
E: Sair um número par e ímpar
F: Sair o número 2
G: Não sair o número 2
H: Ser maior que 3, de modo que seja par.
RESUMÃO
C: Sair um número par e maior que 3
RESUMÃO
Considera o lançamento de um dado. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
A: Sair um número par
A: {2, 4, 6}; P(A) = 3/6
B: {4, 5, 6}; P(B) = 3/6
C = A∩B: {4, 6}; P(A∩B) = 2/6
B: Sair um número maior que 3
D: Sair um número par ou maior que 3
D = AUB: {2, 4, 5, 6}
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 
RESUMÃO
Considera o lançamento de um dado. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
E: Sair um número par e ímpar
P(E) = ф, conj. disjuntos
P(F) = 1/6
F: Sair o número 2
G: Não sair o nº 2
P(G) = P(Fc) = 1 – P(F) = 1 – 1/6 = 1/5 
H: Ser maior que 3, de modo que seja par
T: {4, 5, 6} e P: {2, 4, 6} => (T∩P): {4, 6}
P(H) = P(T|P) = n(T∩P)/n(P) = 2/3 
Observe que a pergunta é a probabilidade de sair nº>3 sendo que ele seja par, ou seja, o evento de ser n° par já ocorreu! 
É diferente de perguntar a probab. de sair n°>3 E par, pois aí teremos interseção de dois eventos e não uma condição. 
P(T|P) ≠ P(T∩P).
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