06_mapa_karnaugh

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Neil Paiva Tizzo 1 Mapa de Karnaugh 
Neil Paiva Tizzo 
MAPA DE KARNAUGH 
Simplificação de Equações 
Neil Paiva Tizzo 2 Mapa de Karnaugh 
Introdução 
• Quanto mais complexa é a expressão booleana a 
ser implementada em portas lógicas, mais 
complexo é o circuito lógico obtido. 
• Portanto, a simplificação da expressão booleana 
antes da implementação em portas lógicas é 
fundamental para reduzir os custos de 
implementação. 
• A simplificação através do uso dos axiomas da 
álgebra booleana é muito complexa, e 
freqüentemente, por aplicação inadequada, não 
conduz a uma simplificação máxima. 
Neil Paiva Tizzo 3 Mapa de Karnaugh 
Introdução 
• Existem dois métodos para a construção do 
diagrama lógico requerido, a partir da tabela-
verdade apresentada: 
– O primeiro, já visto, requer a álgebra Booleana e 
os teoremas DeMorgan, para simplificar as 
expressões produzindo termos mínimos 
(expressões mínimas). 
– O segundo método é uma variação do primeiro e 
utiliza uma ferramenta chamada mapa de 
Karnaugh. 
Neil Paiva Tizzo 4 Mapa de Karnaugh 
Introdução 
O princípio da simplificação por mapas de 
Karnaugh é de que dois minitermos que 
possuem apenas uma variável diferente (uma 
negada e a outra não) podem ser simplificados 
pelo axioma: 
1 XX
Neil Paiva Tizzo 5 Mapa de Karnaugh 
Exemplo - Simplificação Usando Álgebra 
Achar e simplificar a equação da tabela verdade 
abaixo: 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
CABABCY 
)( CCABY 
ABBAY  1..
Neil Paiva Tizzo 6 Mapa de Karnaugh 
Exemplo – Simplificação Usando Mapa 
Achar e simplificar a equação da tabela verdade 
abaixo: 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
1 
1 
C 
C 
A B A B A B A B 
Y = A B 
Neil Paiva Tizzo 7 Mapa de Karnaugh 
Mapa da Karnaugh com 3 Variáveis 
1 C 
1 C 
A B A B A B A B 
Y = A B 
C 
1 1 C 
A B A B A B A B 
Y = A C 
1 C 
1 1 C 
A B A B A B A B 
Y = A B + A C 
1 1 C 
1 1 1 C 
A B A B A B A B 
Y = A C + B 
Neil Paiva Tizzo 8 Mapa de Karnaugh 
Mapa da Karnaugh com 4 Variáveis 
Y = A B D Y = C D 
C D 
C D 
1 1 1 1 C D 
C D 
A B A B A B A B 
C D 
1 
C D 1 
C D 
C D 
A B A B A B A B 
Neil Paiva Tizzo 9 Mapa de Karnaugh 
Mapa da Karnaugh com 4 Variáveis 
Y = B D 
C D 
1 1 C D 
1 1 C D 
C D 
A B A B A B A B 
Y = C D + B C 
1 1 C D 
1 1 C D 
1 1 1 1 C D 
C D 
A B A B A B A B 
Neil Paiva Tizzo 10 Mapa de Karnaugh 
Mapa da Karnaugh com 4 Variáveis 
C D 
1 C D 
1 1 C D 
1 1 1 C D 
A B A B A B A B 
Y = D + A B 
1 C D 
1 1 1 1 C D 
1 1 1 1 C D 
1 C D 
A B A B A B A B 
Y = A C + B C D + A B C D 
Neil Paiva Tizzo 11 Mapa de Karnaugh 
Uso do Mapa de Karnaugh 
a) Começar a simplificação pelos termos com menor número 
de adjacentes. 
b) Todo termo deve ser usado pelo menos uma vez. 
c) Todo looping (círculo) deve conter o maior número de 
termos possível. 
d) O número de termos em um looping deve ser potência de 2 
(2N). 
e) O mapa deve conter o menor número de loopings possível. 
f) A condição de existência de um looping é que pelo menos 
um termo só pertença a ele. 
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Variável Don´t Care 
• Projetar um alarme para tocar quando o 
computador estiver ligado mas um de seus 
ventiladores (cooler) estiver quebrado 
– A = Computador ligado/desligado 
– B = Ventilador da Fonte 
– C = Ventilador da CPU 
A B C Y 
0 X X 0 
1 0 0 1 
1 0 X 1 
1 X 0 1 
1 1 1 0 
1 
1 
C 
1 C 
A B A B A B A B 
Y = AB + AC 
Neil Paiva Tizzo 13 Mapa de Karnaugh 
Exercícios 
1. Qual é a equação do mapa de karnaugh abaixo: 
A B A B A B A B 
C D 1 1 
C D 1 1 
C D 1 1 
C D 1 1 
C D C D C D C D 
A B 1 1 1 
A B 1 
A B 1 
A B 1 1 1 1 
a) b) 
Neil Paiva Tizzo 14 Mapa de Karnaugh 
Exercícios 
2. Projetar um circuito para implementar a tabela-
verdade abaixo: 
• Usando axiomas 
• Usando mapa de karnaugh 
A B C Y 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
Neil Paiva Tizzo 15 Mapa de Karnaugh 
Exercícios 
3. Projetar um circuito para implementar a tabela-
verdade abaixo: 
• Usando axiomas 
• Usando mapa de karnaugh 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 1 1 
Neil Paiva Tizzo 16 Mapa de Karnaugh 
Exercícios 
4. Projetar um circuito para implementar a tabela-
verdade abaixo: 
• Usando axiomas 
• Usando mapa de karnaugh 
A 
 
B 
 
C 
 
Y 
 0 
 
0 
 
0 
 
1 
 0 
 
0 
 
1 
 
0 
 0 
 
1 
 
0 
 
0 
 0 
 
1 
 
1 
 
0 
 1 
 
0 
 
0 
 
1 
 1 
 
0 
 
1 
 
1 
 1 
 
1 
 
0 
 
1 
 1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
Neil Paiva Tizzo 17 Mapa de Karnaugh 
Exercícios 
5. Ache a equação simplificada de: 
Z = f(A,B,C,D) =  (0,3,4,5,6,7,11,12,13,14,15) 
 
6. Um sistema lógico de um aeroporto deve tocar uma campainha para 
que seja anunciado cada vôo. Sabe-se que sai um vôo doméstico de 3 
em 3 horas a partir das 3:00h; e um vôo internacional de 4 em 4 horas 
a partir de 2:00h. O sistema lógico dispõe de um relógio digital de 12 
horas que marca as horas em binário. Projetar o sistema lógico. O 
projeto deve ser o mais simplificado possível e ter: 
 a) Tabela verdade 
 b) Simplificação usando mapa de Karnaugh 
 c) Implementação usando qualquer tipo de portas. 
 
Neil Paiva Tizzo 18 Mapa de Karnaugh 
Lista de Exercícios 
8. Simplificar a expressão abaixo usando mapa de Karnaugh e 
implementar esta nova expressão com portas NAND de 2 
entradas 
DCBAACDDBADCCDACBADCBAf ),,,(
9. Simplificar a expressão abaixo usando mapa de 
Karnaugh e implementar esta nova expressão com 
portas NAND. 
))()((),,( CBACABBCACBAf 
7. Utilizando mapa de Karnaugh, simplifique a equação: 
DCBADCBADCBADCBADCBAY 
Neil Paiva Tizzo 19 Mapa de Karnaugh 
Lista de Exercícios 
10. Um prédio possui o andar térreo (zero) e os andares de um a nove. Para 
atendimento dos moradores, existem três elevadores chamados: E1, E2 e E3. 
Sabe-se que E1 atende somente os andares pares, o E2 atende somente os 
andares de 0, 1, 2 e 3; já o elevador E3 atende os andares 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
Projetar um circuito de controle para os elevadores sabendo-se que apenas 
um andar é solicitado de cada vez e que a identificação do andar está 
codificada em binário de quatro bits: A, B, C, D. Obs: é possível um mesmo 
andar ser atendido, ao mesmo tempo, por mais de um elevador. 
O projeto deve ser o mais simplificado possível e conter: 
 a) Tabela verdade 
 b) Simplificação usando mapa de Karnaugh 
 c) Implementação usando qualquer tipo de portas. 
Neil Paiva Tizzo 20 Mapa de Karnaugh 
Lista de Exercícios 
11. Um paciente de um hospital precisa tomar um analgésico 
de 3 em 3 horas começando às 1:00h e um antibiótico de 4 
em 4 horas começando às 2:00h. O hospital dispõe de um 
relógio de 12 horas cuja indicação das horas está disponível 
em binário. 
 Projetar um circuito capaz de acionar uma campainha em 
todas as horas que o paciente necessita tomar os 
remédios, a partir das saídas binárias do relógio. 
 O projeto deverá ser o mais simplificado possível, e ser 
implementado com qualquer tipo de portas. 
Neil Paiva Tizzo 21 Mapa de Karnaugh 
Lista de Exercícios 
12. No cruzamento das ruas A, B e C existeum sinal de pedestre, o qual possui um 
botão D para permitir o fechamento dos sinais SA (rua A), SB (rua B) SC (rua C), 
possibilitando a passagem com segurança dos alunos de um escola localizada neste 
cruzamento. Em cada rua, existe um sensor que acusa a presença de carros. 
Quando não há o acionamento de D, estes sensores fazem o sinal abrir para uma 
das três ruas, segundo as regras abaixo: 
  Os carros que vêm da rua A têm prioridade em relação aos que vêm pela rua B 
  Os carros que vêm da rua B têm prioridade em relação aos que vêm pela rua C 
  Os carros que vêm da rua C têm prioridade em relação aos que vêm pela rua A 
  Se vier carros em todas as ruas ou se não vier em nenhuma, o sinal SA é aberto 
 a. Monte a tabela verdade 
 b. Encontre as equações simplificadas usando o mapa de Karnaugh 
 c. Desenhe o circuito usando portas 
 d. Encontre as equações simplificadas usando a álgebra booleana 
 e . Desenhe o circuito utilizando somente portas NAND 
Neil Paiva Tizzo 22 Mapa de Karnaugh 
Lista de Exercícios 
13. Um sistema de refrigeração de um motor A é composto por um ventilador 
pequeno B, um ventilador grande C e um sensor de temperatura D. 
 Funcionamento: 
 Quando o motor A é ligado o ventilador B também é ligado. O ventilador C 
é acionado somente após o sensor D indicar uma temperatura elevada. Se 
o motor A é desligado, o ventilador C é também desligado mas o 
ventilador B permanece ligado até que o sensor D indicar uma 
temperatura baixa. 
 Projetar um circuito para uma lâmpada L que deverá acender em qualquer 
situação anormal de funcionamento do sistema. 
 O projeto deverá ser o mais simplificado possível, e ser implementado 
com portas NAND de 2 entradas. portas.