continuação- apostila-parteII

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2 Distribuic¸a˜o Marginal
2.1 Distribuic¸a˜o Marginal - Caso Discreto
Consideremos inicialmente uma varia´vel aleato´ria bidimensional (X, Y ).
Suponhamos que X assume os valores x1, x2, . . . , xn e que Y assume os
valores y1, y2, . . . , ym. Seja pX,Y (xi, yj) = P (X = xi, Y = yj), para
i = 1, 2, . . . , n e j = 1, 2, . . . ,m a distribuic¸a˜o conjunta de (X, Y ).
A distribuic¸a˜o de probabilidade marginal de X e Y e´ obtido da seguinte
forma:
1. Marginal de X: P (X = xi) =
∑m
j=1 P (X = xi, Y = yj), i = 1, 2, . . . , n;
2. Marginal de Y : P (Y = yj) =
∑n
i=1 P (X = xi, Y = yj), j = 1, 2, . . . ,m :
Exemplo 4: Consideremos, por exemplo, um estudo da composic¸a˜o
de famı´lias com 3 filhos quanto ao sexo das crianc¸as. Podemos definir as
seguintes varia´veis:
X = nu´mero de meninos
Y =


1 se o primeiro filho for homem
0 se o primeiro filho for mulher
(3)
Z=Nu´mero de vezes em que houve variac¸a˜o do sexo entre um nascimento
e outro, dentro da mesma famı´lia.
Com essas informac¸o˜es, e supondo que as poss´ıveis composic¸o˜es ten-
ham a mesma probabilidade, e sejam pX,Y (x, y) pX,Z(x, z) as func¸o˜es de
probabilidade conjunta de (X, Y ) e (X,Z), obter as distribuic¸o˜es de prob-
abilidade marginais das varia´veis X, Y e Z
2.2 Distribuic¸a˜o Marginal - Caso Cont´ınuo
Dada a densidade conjunta das varia´veis X e Y , as densidades marginais
de X e Y denotadas por fX(x) e fY (y), respectivamente, sa˜o obtidas da
seguinte forma:
3
Marginal de X: fX(x) =
∫∞
−∞ fX,Y (x, y)dy
Marginal de Y : fY (y) =
∫∞
−∞ fX,Y (x, y)dx
Exemplo 5: Uma fa´brica de doces distribui caixas de chocolate de
diferentes tipos, classificados basicamente entre chocolates brancos e mar-
rons. Para uma caixa selecionada de forma aleato´ria, sejam X e Y , re-
spectivamente, as proporc¸o˜es de chocolates brancos e marrons, e suponha
que a func¸a˜o de densidade conjunta e´:
fX,Y (x, y) =


2
5
(2x+ 3y), se 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
0 caso contra´rio
(3)
Determinar as func¸o˜es densidade marginais de X e Y
Exemplo 6: Para a func¸a˜o fX,Y (x, y) = cxy,
a) Determine o valor de c, tal que a func¸a˜o fX,Y (x, y) = cxy para 0 <
x < 3 e 0 < y < 3 satisfac¸a as propriedades de uma func¸a˜o densidade
de probabilidade conjunta;
b) Determine as func¸o˜es de densidade marginal da v.a X.
3 Distribuic¸a˜o Condicional
3.1 Caso Discreto
Suponha que X e Y sejam duas varia´veis aleato´rias discretas cuja func¸a˜o
de probabilidade conjunta e´ pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y). Depois de
o valor y da varia´vel aleato´ria Y ter sido observado, a probabilidade de
que a varia´vel aleato´ria X assumira´ algum valor x espec´ıfico, e´ dada pela
seguinte probabilidade condicional:
pX|Y (x) = P (X = x|Y = y) =
P (X = x, Y = y)
P (Y = y)
=
pX,Y (x, y)
pY (y)
. (4)
Em outras palavras, se e´ conhecido que Y = y, enta˜o a distribuic¸a˜o
de X sera´ discreta, dada pelo quociente entre a conjunta de X e Y e a
4
marginal de Y . pX|Y (x) e´ chamada de func¸a˜o de probabilidade condi-
cional de X dada Y .
Da igualdade acima, obte´m-se: pX,Y (x, y) = pX|Y (x)pY (y), ou seja,
conhecendo-se a func¸a˜o de probabilidade de Y e a func¸a˜o de probabilidade
condicional de X dado Y , obte´m-se a func¸a˜o de probabilidade conjunta
de X e Y .
Da mesma forma,
pY |X(y) = P (Y = y|X = x) =
P (X = x, Y = y)
P (X = x)
=
pX,Y (x, y)
pX(x)
. (5)
e´ a distribuic¸a˜o condicional de Y dado X.
Exemplo 7: Para exemplo 4 determinar a distribuic¸a˜o de probabili-
dade condicional de X dado que Y = 0, ou seja X|Y = 0.
Exemplo 8: Chamadas sa˜o feitas para verificar o hora´rio de avio˜es na
cidade de suas partidas. Voceˆ monitora o nu´mero de barras de poteˆncia
de sinal em seu telefone celular e o nu´mero de vezes em que voceˆ tem de
dizer o nome da cidade de sua partida antes do sistema de vozes recohecer
o nome.
Nos quatro primeiros bits transmitidos, seja
X o nu´mero de barras da poteˆncia de sinal em seu telefone celular
Y o nu´mero de vezes que voceˆ tem de dizer o nome da cidade de sua partida
Especificando a probabilidade de cada um dos pontos na figura abaixo,
especificamos a distribuic¸a˜o de probabilidade conjunta de X e Y .
X = o nu´mero de barras da poteˆncia de sinal em seu telefone celular
Y o nu´mero de vezes que voceˆ tem 1 2 3
de dizer o nome da cidade de sua partida
4 0,15 0,1 0,05
3 0,02 0,1 0,05
2 0,02 0,03 0,2
1 0,01 0,02 0,25
Determinar:
5
a) Distribuic¸o˜es de probabilidades marginais de X e Y ;
b) P (Y = 1|X = 3), P (Y = 2|X = 3), P (Y = 3|X = 3) e P (Y = 4|X =
3);
c) A distribuic¸a˜o condicional de X dado que Y = 3.
3.2 Caso Cont´ınuo
Seja y um valor dado qualquer para o qual fY (y) > 0. Enta˜o a densidade
condicional de X dado que Y = y pode ser definida por:
fX|Y (x) =
fX,Y (x, y)
fY (y)
,−∞ < x <∞. (6)
Dessa igualdade obte´m-se: fX,Y = fX(x)fY |X(y|x), ou seja, conhecendo-
se a densidade de probabilidade de Y e a densidade condicional de X dado
Y , obte´m-se a densidade conjunta de X e Y .
Analogamente, a densidade condicional de Y dado que X = x pode ser
definida por:
fY |X(y) =
fX,Y (x, y)
fX(x)
,−∞ < y <∞. (7)
Exemplo 9: Suponha que a func¸a˜o densidade conjunta de X e Y seja
definida por:
fX,Y (x, y) =


21x2y3 se 0 < x < y < 1
0 caso contra´rio
(8)
Determinar a densidade condicional de Y dado que X = x.
Exemplo 10: Para o exerc´ıcio 6, determine:
a) a distribuic¸a˜o de probabilidades condicionais de Y , dado queX = 1, 5.
b) a distribuic¸a˜o de probabilidades condicionais de X, dado que Y = 2.
6