IntConfTestHip-engprod

e 2 respectivamente. Queremos saber se µ1 − µ2 = 0
(b) H0 : µ1 − µ2 = 0 ou H0 : µ1 = µ2
(c) H1 : µ1 − µ2 6= 0 ou µ1 6= µ2.
(d) α = 0, 05
(e) A estat´ıstica de teste e´
t0 =
X1 −X2 − 0
Sp
√
1
n1
+ 1n2
(f) Rejeite H0 se t0 > t0,025;14 = 2, 145 ou se t0 < t0,025;14 = −2, 145.
(g) Ca´lculo: Ja´ que n1 = 8, x1 = 92, 255, s1 = 2, 39, n2 = 8, x2 = 74, 592, 733 e s2 = 2, 98,
temos
S2p =
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2 =
(7)(2, 392) + (7)(2, 982)
8 + 8− 2 = 7, 30
Sp =
√
7, 30 = 2, 7
e
t0 =
92, 255− 92, 733
2, 7
√
1
8 +
1
8
= −0, 35
(h) Conclusa˜o: uma vez que t0 = −2, 145 < −0, 35 < 2, 145, a hipo´tese nula na˜o pode
ser rejeitada. Ou seja, no n´ıvel de significaˆncia de 0,05, na˜o temos evideˆncia forte
para concluir que o catalizador 2 resulte em um rendimento me´dio que difira do
rendimento me´dio quando o catalizador 1 for usado.
3.2 Intervalo de Confianc¸a
Se x1, s1, x2 e s2 forem as me´dias e as variaˆncias de duas amostras aleato´rias de tamanhos
n1 e n2, respectivamente, provenientes de duas populac¸o˜es normais independentes, com
variaˆncias desconhecidas, pore´m iguais, enta˜o um intervalo de confianc¸a com 100(1−α)%
para a diferena˜ nas me´dias µ1 − µ2 e´
X1−X2− tα/2,n+m−2Sp
√
1
n
+
1
m
≤ µ1−µ2 ≤ X1−X2 + tα/2,n+m−2Sp
√
1
n
+
1
m
(7)
em que
sp =
√
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
5
e´ a estimativa combinada do desvio-padra˜o comum da populac¸a˜o.
Exemplo: Em um processo qu´ımico de mate´rias-primas, usado para gravar placas de
circuito impresso, esta˜o sendo comparados dois catalisadores diferentes para se determinar
se eles exigem tempo diferentes de imersa˜o para a remoc¸a˜o de quantidades ideˆnticas de
material fotorresistente. Doze lotes foram submetidos ao catalisador 1, resultando em uma
me´dia amostral do tempo de imersa˜o de X1 = 24, 6 minutos e um desvio padra˜o amostral
de s1 = 0, 85 minutos. Quinze lotes foram submetidos ao catalisador 2, resultado em um
tempo me´dio de imersa˜o de X2 = 22, 1 minutos e em um desvio-padra˜o de s2 = 0, 98
minuto. Achar um intervalo de confianc¸a de 95% de confianc¸a para a diferenc¸a entre as
me´dias µ1 − µ2, supondo que os desvios-padra˜o das duas populac¸o˜es sejam iguais.
Soluc¸a˜o:
Temos que:
i) S2p =
(n−1)S21+(m−1)S22
n+m−2 =
11(0,85)2+14(0.98)2
12+15−2 = 0, 8557
ii) O desvio-padra˜o combinado e´ Sp =
√
0, 8557 = 0, 925
iii) tα/2,n+m−2 = t0,025;25 = 2, 060. Portanto:
24, 6− 22, 1− 2, 060(0, 925)
√
1
12
+
1
15
≤ (µ1 − µ2)
≤ 24, 6− 22, 1 + 2, 060(0, 925)
√
1
12 +
1
15(8)
1, 76 ≤ µ1 − µ2 ≤ 3, 24 (9)
Portanto, estamos 95% confiantes de que o catalisador 1 requer um tempo de imersa˜o
maior do que o tempo de imersa˜o exigido pelo catalisador 2 por uma quantidade que
esta´ entre 1,76 minuto e 3,24 minutos.
4 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Igual-
dade de Proporc¸o˜es de duas Populac¸o˜es
4.1 Teste de Hipo´teses
(a) Hipo´tese Nula: H0 : p1 = p2
(b) Estat´ıstica de Teste: Z0 =
p̂1−p̂2√
p̂(1−p̂)
(
1
n1
+ 1
n2
) onde p̂ = x1+x2n1+n2 e´ um estimador comum
do paraˆmetro p
(c) Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o
Exemplo: Dois tipos diferentes de soluc¸a˜o de polimento esta˜o sendo avaliados para
poss´ıvel uso em uma operac¸a˜o de polimento na fabricac¸a˜o de lentes intra-oculares usadas
no olho humano depois de uma operac¸a˜o de catarata. Trezentas lentes foram polidas
usando a primeira soluc¸a˜o de polimento e, desse nu´mero, 253 na˜o tiveram defeitos, usando
a segunda soluc¸a˜o de polimento, sendo 196 lentes consideradas satisfato´rias. Ha´ qualquer
raza˜o para acreditar que as duas soluc¸o˜es de polimento difiram? Use α = 0, 01.
6
Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o
H1 : p1 6= p2 Z0 > Zα/2 ou Z0 < −Zα/2
H1 : p1 > p2 Z0 > Zα
H1 : p1 < p2 Z0 < −Zα
Soluc¸a˜o:
(a) Os paraˆmetros de interesse sa˜o p1 e p2, a proporc¸a˜o de lentes satisfato´rias depois do
polimento com os flu´ıdos 1 e 2.
(b) H0 : p1 = p2
(c) H1 : p12
(d) α = 0, 01
(e) A estat´ıstca de teste e´
Z0 =
p̂1 − p̂2√
p̂(1− p̂)
(
1
n1
+ 1n2
)
sendo p̂1 = 253/300 = 0, 8433 e p̂2 = 196/300 = 0, 6533, n1 = n2 = 300 e
p̂ =
x1 + x2
n1 + n2
=
253 + 196
300 + 300
= 0, 7483
(f) Rejeitar H0 : p1 = p2, se z0 > z0,005 = 2, 58 ou se z0 < −z0,005 = −2, 58
(g) Ca´lculo: o valor da estat´ıstica de teste e´:
Z0 =
0, 8433− 0, 6533√
0, 7483(0, 2517)
(
1
300 +
1
300
) = 5, 36
(h) Conclusa˜o: Uma vez que z0 = 5, 36 > 2, 58, rejeita-se a hipo´tese nula.
4.2 Intervalo de Confianc¸a
Se ha´ duas proporc¸o˜es de interesse, digamos p1 e p2, e´ poss´ıvel obter um intervalo de
confianc¸a de 100(1 − α)% de confianc¸a para sua diferenc¸a p1 − p2. Se duas amostras
independentes, de tamanhos n1 e n2, sa˜o extra´ıdas de populac¸o˜es infinitas, de modo que
X1 e X2 sejam varia´veis aleato´rias binomiais independentes, com paraˆmetros (n1, p1) e
(n2, p2) respectivamente, onde X1 e´ o nu´mero de observac¸o˜es amostrais da primeira pop-
ulac¸a˜o que pertencem a uma classe de interesse, e X2 representa o nu´mero de observac¸o˜es
amostrais da segunda populac¸a˜o que pertencem a uma classe de interesse, enta˜o p̂1 =
X1
n1
e
p̂2 =
X2
n2
, sa˜o estimadores independentes de p1 e p2, respectivamente. Enta˜o um intervalo
de confianc¸a para a diferenc¸a nas proporc¸o˜es verdadeiras e´,
p̂1 − p̂2 − zα/2
√
p̂1(1− p̂1)
n1
+
p̂2(1− p̂2)
n2
≤ p1 − p2 (10)
≤ p̂1 − p̂2 + zα/2
√
p̂1(1− p̂1)
n1
+
p̂2(1− p̂2)
n2
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Exemplo: Em uma amostra aleato´ria de 75 eixos, 12 teˆm um acabamento de su-
perf´ıcie que e´ mais a´spero do que permitem as especificac¸o˜es. Portanto, uma estima-
tiva da proporc¸a˜o p de eixos na populac¸a˜o que excedem as especificac¸o˜es de aspereza e´
p̂ = x/n = 12/75 = 0, 16. Suponha que seja feita uma modificac¸a˜o no processo de acaba-
mento da superf´ıcie e que, subsequentemente, seja obtida uma segunda amostra aleato´ria
de 85 eixos. O nu´mero de eixos defeituosos nessa segunda amostra e´ 10. Obter um in-
tervalo de confianc¸a aproximado de 95% de confianc¸a para a diferenc¸a das proporc¸o˜es de
defeituosos produzidos pelos dois processos.
Soluc¸a˜o:
0, 16− 0, 12− 1, 96
√
0, 16(0, 84)
75
+
0, 12(0, 88)
85
≤ p1 − p2 ≤ 0, 16− 0, 12 + 1, 96
√
0, 16(0, 84)
75
+
0, 12(0, 88)
85
(11)
−0, 07 ≤ p1 − p2 ≤ 0, 15.
Esse intervalo inclui o zero, de modo que, com base nos dados amostrais parece improva´vel
que as mudanc¸as feitas no processo de acabamento da superf´ıcie tenham reduzido a pro-
porc¸a˜o de eixos defeituosos produzidos.
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