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e 2 respectivamente. Queremos saber se µ1 − µ2 = 0 (b) H0 : µ1 − µ2 = 0 ou H0 : µ1 = µ2 (c) H1 : µ1 − µ2 6= 0 ou µ1 6= µ2. (d) α = 0, 05 (e) A estat´ıstica de teste e´ t0 = X1 −X2 − 0 Sp √ 1 n1 + 1n2 (f) Rejeite H0 se t0 > t0,025;14 = 2, 145 ou se t0 < t0,025;14 = −2, 145. (g) Ca´lculo: Ja´ que n1 = 8, x1 = 92, 255, s1 = 2, 39, n2 = 8, x2 = 74, 592, 733 e s2 = 2, 98, temos S2p = (n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 2 = (7)(2, 392) + (7)(2, 982) 8 + 8− 2 = 7, 30 Sp = √ 7, 30 = 2, 7 e t0 = 92, 255− 92, 733 2, 7 √ 1 8 + 1 8 = −0, 35 (h) Conclusa˜o: uma vez que t0 = −2, 145 < −0, 35 < 2, 145, a hipo´tese nula na˜o pode ser rejeitada. Ou seja, no n´ıvel de significaˆncia de 0,05, na˜o temos evideˆncia forte para concluir que o catalizador 2 resulte em um rendimento me´dio que difira do rendimento me´dio quando o catalizador 1 for usado. 3.2 Intervalo de Confianc¸a Se x1, s1, x2 e s2 forem as me´dias e as variaˆncias de duas amostras aleato´rias de tamanhos n1 e n2, respectivamente, provenientes de duas populac¸o˜es normais independentes, com variaˆncias desconhecidas, pore´m iguais, enta˜o um intervalo de confianc¸a com 100(1−α)% para a diferena˜ nas me´dias µ1 − µ2 e´ X1−X2− tα/2,n+m−2Sp √ 1 n + 1 m ≤ µ1−µ2 ≤ X1−X2 + tα/2,n+m−2Sp √ 1 n + 1 m (7) em que sp = √ (n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 2 5 e´ a estimativa combinada do desvio-padra˜o comum da populac¸a˜o. Exemplo: Em um processo qu´ımico de mate´rias-primas, usado para gravar placas de circuito impresso, esta˜o sendo comparados dois catalisadores diferentes para se determinar se eles exigem tempo diferentes de imersa˜o para a remoc¸a˜o de quantidades ideˆnticas de material fotorresistente. Doze lotes foram submetidos ao catalisador 1, resultando em uma me´dia amostral do tempo de imersa˜o de X1 = 24, 6 minutos e um desvio padra˜o amostral de s1 = 0, 85 minutos. Quinze lotes foram submetidos ao catalisador 2, resultado em um tempo me´dio de imersa˜o de X2 = 22, 1 minutos e em um desvio-padra˜o de s2 = 0, 98 minuto. Achar um intervalo de confianc¸a de 95% de confianc¸a para a diferenc¸a entre as me´dias µ1 − µ2, supondo que os desvios-padra˜o das duas populac¸o˜es sejam iguais. Soluc¸a˜o: Temos que: i) S2p = (n−1)S21+(m−1)S22 n+m−2 = 11(0,85)2+14(0.98)2 12+15−2 = 0, 8557 ii) O desvio-padra˜o combinado e´ Sp = √ 0, 8557 = 0, 925 iii) tα/2,n+m−2 = t0,025;25 = 2, 060. Portanto: 24, 6− 22, 1− 2, 060(0, 925) √ 1 12 + 1 15 ≤ (µ1 − µ2) ≤ 24, 6− 22, 1 + 2, 060(0, 925) √ 1 12 + 1 15(8) 1, 76 ≤ µ1 − µ2 ≤ 3, 24 (9) Portanto, estamos 95% confiantes de que o catalisador 1 requer um tempo de imersa˜o maior do que o tempo de imersa˜o exigido pelo catalisador 2 por uma quantidade que esta´ entre 1,76 minuto e 3,24 minutos. 4 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Igual- dade de Proporc¸o˜es de duas Populac¸o˜es 4.1 Teste de Hipo´teses (a) Hipo´tese Nula: H0 : p1 = p2 (b) Estat´ıstica de Teste: Z0 = p̂1−p̂2√ p̂(1−p̂) ( 1 n1 + 1 n2 ) onde p̂ = x1+x2n1+n2 e´ um estimador comum do paraˆmetro p (c) Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o Exemplo: Dois tipos diferentes de soluc¸a˜o de polimento esta˜o sendo avaliados para poss´ıvel uso em uma operac¸a˜o de polimento na fabricac¸a˜o de lentes intra-oculares usadas no olho humano depois de uma operac¸a˜o de catarata. Trezentas lentes foram polidas usando a primeira soluc¸a˜o de polimento e, desse nu´mero, 253 na˜o tiveram defeitos, usando a segunda soluc¸a˜o de polimento, sendo 196 lentes consideradas satisfato´rias. Ha´ qualquer raza˜o para acreditar que as duas soluc¸o˜es de polimento difiram? Use α = 0, 01. 6 Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o H1 : p1 6= p2 Z0 > Zα/2 ou Z0 < −Zα/2 H1 : p1 > p2 Z0 > Zα H1 : p1 < p2 Z0 < −Zα Soluc¸a˜o: (a) Os paraˆmetros de interesse sa˜o p1 e p2, a proporc¸a˜o de lentes satisfato´rias depois do polimento com os flu´ıdos 1 e 2. (b) H0 : p1 = p2 (c) H1 : p12 (d) α = 0, 01 (e) A estat´ıstca de teste e´ Z0 = p̂1 − p̂2√ p̂(1− p̂) ( 1 n1 + 1n2 ) sendo p̂1 = 253/300 = 0, 8433 e p̂2 = 196/300 = 0, 6533, n1 = n2 = 300 e p̂ = x1 + x2 n1 + n2 = 253 + 196 300 + 300 = 0, 7483 (f) Rejeitar H0 : p1 = p2, se z0 > z0,005 = 2, 58 ou se z0 < −z0,005 = −2, 58 (g) Ca´lculo: o valor da estat´ıstica de teste e´: Z0 = 0, 8433− 0, 6533√ 0, 7483(0, 2517) ( 1 300 + 1 300 ) = 5, 36 (h) Conclusa˜o: Uma vez que z0 = 5, 36 > 2, 58, rejeita-se a hipo´tese nula. 4.2 Intervalo de Confianc¸a Se ha´ duas proporc¸o˜es de interesse, digamos p1 e p2, e´ poss´ıvel obter um intervalo de confianc¸a de 100(1 − α)% de confianc¸a para sua diferenc¸a p1 − p2. Se duas amostras independentes, de tamanhos n1 e n2, sa˜o extra´ıdas de populac¸o˜es infinitas, de modo que X1 e X2 sejam varia´veis aleato´rias binomiais independentes, com paraˆmetros (n1, p1) e (n2, p2) respectivamente, onde X1 e´ o nu´mero de observac¸o˜es amostrais da primeira pop- ulac¸a˜o que pertencem a uma classe de interesse, e X2 representa o nu´mero de observac¸o˜es amostrais da segunda populac¸a˜o que pertencem a uma classe de interesse, enta˜o p̂1 = X1 n1 e p̂2 = X2 n2 , sa˜o estimadores independentes de p1 e p2, respectivamente. Enta˜o um intervalo de confianc¸a para a diferenc¸a nas proporc¸o˜es verdadeiras e´, p̂1 − p̂2 − zα/2 √ p̂1(1− p̂1) n1 + p̂2(1− p̂2) n2 ≤ p1 − p2 (10) ≤ p̂1 − p̂2 + zα/2 √ p̂1(1− p̂1) n1 + p̂2(1− p̂2) n2 7 Exemplo: Em uma amostra aleato´ria de 75 eixos, 12 teˆm um acabamento de su- perf´ıcie que e´ mais a´spero do que permitem as especificac¸o˜es. Portanto, uma estima- tiva da proporc¸a˜o p de eixos na populac¸a˜o que excedem as especificac¸o˜es de aspereza e´ p̂ = x/n = 12/75 = 0, 16. Suponha que seja feita uma modificac¸a˜o no processo de acaba- mento da superf´ıcie e que, subsequentemente, seja obtida uma segunda amostra aleato´ria de 85 eixos. O nu´mero de eixos defeituosos nessa segunda amostra e´ 10. Obter um in- tervalo de confianc¸a aproximado de 95% de confianc¸a para a diferenc¸a das proporc¸o˜es de defeituosos produzidos pelos dois processos. Soluc¸a˜o: 0, 16− 0, 12− 1, 96 √ 0, 16(0, 84) 75 + 0, 12(0, 88) 85 ≤ p1 − p2 ≤ 0, 16− 0, 12 + 1, 96 √ 0, 16(0, 84) 75 + 0, 12(0, 88) 85 (11) −0, 07 ≤ p1 − p2 ≤ 0, 15. Esse intervalo inclui o zero, de modo que, com base nos dados amostrais parece improva´vel que as mudanc¸as feitas no processo de acabamento da superf´ıcie tenham reduzido a pro- porc¸a˜o de eixos defeituosos produzidos. 8