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Universidade Federal do Piau´ı - CGBEST - CCNII
Disciplina: Probabilidade e Estat´ıstica II - Prof(a): Cleide Mayra
Intervalo de Confianc¸a e Teste de Hipo´tese
1 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Me´dia de
uma populac¸a˜o Normal, com Variaˆncia desconhecida
1.1 Teste de Hipo´teses
1. Hipo´tese Nula: H0 : µ = µ0
2. Estat´ıstica de Teste: T0 =
X−µ0
S/
√
n
3. Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o
Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o
H1 : µ 6= µ0 t0 > tα/2,n−1 ou t0 < −tα/2,n−1
H1 : µ > µ0 t0 > tα,n−1
H1 : µ < µ0 t0 < −tα,n−1
Exemplo: Um artigo no perio´dico Materials Engineering (1989, Vol II, No. 4, pp. 275-281)
descreve os resultados de testes de tensa˜o quanto a` adesa˜o em 22 corpos de prova de liga U-700.
A carga no ponto de falha do corpo de prova e´ dada a seguir (em MPA):
19, 8− 18, 5− 17, 6− 16, 7− 15, 8− 15, 4− 14, 1− 13, 6− 11, 9− 11, 4− 11, 4
8, 8− 7, 5− 15, 4− 15, 4− 19, 5− 14, 9− 12, 7− 11, 9− 11, 4− 10, 1− 7, 9
A me´dia da amostra e´ x = 13, 71 e o desvio-padra˜o da amostra e´ s = 3, 55. Os dados
sugerem que a carga me´dia na falha excede 10MPa? Considere que a carga na falha tenha uma
distribuic¸a˜o normal e use α = 0, 05.
Soluc¸a˜o:
1. O paraˆmetro de interesse e´ a carga me´dia na falha µ.
2. H0 : µ = 10.
3. H1 : µ > 10. Queremos rejeitar H0 se a carga me´dia na falha exceder 10MPa.
4. α = 0, 05
5. A estat´ıstica de teste e´
t0 =
x− µ0
s/
√
n
6. Rejeite H0 se t0 > t0,05;21 = 1, 721.
7. Ca´lculo: Ja´ que x = 13, 71, s = 3, 55, µ0 = 10 e n = 22, temos
t0 =
13, 71− 10
3, 55/
√
22
= 4, 9
8. Conclusa˜o: uma vez que t0 = 4, 9 > 1, 721, rejeitamos H0 e conclu´ımos, com n´ıvel de 0,05
de significaˆncia, que a carga me´dia na falha excede 10MPa.
1
1.2 Intervalo de Confianc¸a
Se x e s forem a me´dia e o desvio-padra˜o de uma amostra aleato´ria proveniente de uma pop-
ulac¸a˜o normal, com variaˆncia desconhecida σ2, enta˜o um intervalo de confianc¸a de 100(1−α)%
para a me´dia µ e´ dado por
x− tα/2,n−1
s√
n
≤ µ ≤ x+ tα/2,n−1
s√
n
(1)
, sendo tα/2,n−1 os pontos cr´ıticos da distribuic¸a˜o com n− 1 graus de liberdade.
Exemplo: Reconsidere o problema da tensa˜o quanto a` adesa˜o no Exemplo anterior. En-
contre um intervalo de confianc¸a de 95% para µ.
Soluc¸a˜o: Temos que tα/2,n−1 = t0,025;21 = 2, 080
Logo: IC(µ, 95%)=
x− tα/2,n−1
s√
n
≤ µ ≤ x+ tα/2,n−1
s√
n
(2)
13, 71− 2, 080(3, 55)/
√
22 ≤ µ ≤ 13, 71 + 2, 080(3, 55)/
√
22 (3)
13, 71− 1, 57 ≤ µ ≤ 13, 71 + 1, 57 (4)
12, 14 ≤ µ ≤ 15, 28 (5)
Portanto, estamos 95% confiantes de a verdadeira carga me´dia da falha esta´ dentro do
intervalo
2 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Diferenc¸a
nas Me´dias com Variaˆncias Conhecidas
2.1 Teste de Hipo´teses
1. Hipo´tese Nula: H0 : µ1 − µ2 = ∆0
2. Estat´ıstica de Teste: Z0 =
X1−X2−∆0√
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
3. Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o
Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o
H1 : µ1 − µ2 6= ∆0 Z0 > Zα/2 ou Z0 < −Zα/2
H1 : µ1 − µ2 > ∆0 Z0 > Zα
H1 : µ1 − µ2 < ∆0 Z0 < −Zα
Exemplo: Um idealizador de produtos esta´ interessado em reduzir o tempo de secagem de
um zarca˜o. Duas formulac¸o˜es de tinta sa˜o testadas, a formulac¸a˜o 1 tem uma qu´ımica padra˜o e a
formulac¸a˜o 2 tem um novo ingrediente, que deve reduzir o tempo de secagem. Da experieˆncia,
sabe-se que o desvio padra˜o do tempo de secagem e´ igual a 8 minutos, e essa variabilidade
2
inerente na˜o deve ser afetada pela adic¸a˜o do novo ingrediente. Dez espe´cimes sa˜o pintadas
com a formulac¸a˜o 1 e outros dez espe´cimes sa˜o pintados pela formulac¸a˜o 2. Os vinte espe´cimes
sa˜o pintados em uma ordem aleato´ria. Os tempos me´dios de secagem das duas amostras sa˜o
x1 = 121 minutos e x2 = 112, respectivamente. Quais as concluso˜es que o idealizador de
produtos pode tirar sobre a eficieˆncia do novo ingrediente, usando α = 0, 05?
Soluc¸a˜o:
• A grandeza de interesse e´ a diferenc¸a nos tempos me´dios de secagem, µ1 − µ2.
• H0 : µ1 − µ2 = 0 ou H0 : µ1 = µ2
• H1 : µ1 > µ2. Queremos rejeitar H0 se o novo ingrediente reduzir o tempo me´dio de
secagem.
• α = 0, 05
• A estat´ıstica de teste e´
Z0 =
(x1 − x2)− 0√
σ21
n1
+
σ22
n2
sendo σ21 = σ
2
2 = 8
2 = 64, n1 = n2 = 10.
• Rejeitar H0 : µ1 = µ2, se z0 > 1, 64 = z0,05.
• Calculo: Uma vez que x1 = 121min e x2 = 112min, a estat´ıstica de teste e´
Z0 =
121− 112√
82
10 +
82
10
= 2, 52
• Conclusa˜o: Ja´ que z0 = 2, 52 > 1, 64, rejeitamos H0 : µ1 = µ2, com α = 0, 05 e conclu´ımos
que a adic¸a˜o do novo ingrediente a` tinta reduz significativamente o tempo de secagem.
2.2 Intervalo de Confianc¸a
Se x1 − x2 forem as me´dias de duas amostras aleato´rias dependentes de tamanhos n1 e n2,
provenientes de populac¸o˜es com variaˆncias conhecidas σ21 e σ
2
2, respectivamente, enta˜o um
intervalo de confianc¸a de 100(1− α)% para µ1 − µ2, e´
(
X1 −X2
)
− zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
≤ (µ1 − µ2) ≤
(
X1 −X2
)
+ zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
(6)
Exemplo: Testes de resisteˆncia a` tensa˜o foram feitos em duas estruturas contendo dois teo-
res diferentes de alumı´nio. Essas estruturas foram usadas na fabricac¸a˜o das asas de um avia˜o
comercial. De experieˆncias passadas com o processo de fabricac¸a˜o dessas estruturas e com o
procedimento de testes, os desvios-padra˜o das resisteˆncias a` tensa˜o sa˜o considerados conhecidos.
Os dados obtidos sa˜o os seguintes: n1 = 10, x1 = 87, 6, σ1 = 1, n2 = 12, x2 = 74, 5 e σ2 = 1, 5.
Se µ1 e µ2 denotarem as resisteˆncias me´dias verdadeiras a` tensa˜o para dos dois tipos de es-
truturas. Achar um intervalo de confianc¸a de 90% para a diferenc¸a na resisteˆncia me´dia µ1−µ2.
Soluc¸a˜o: IC(µ1 − µ2; 90%) e´ dado por
3
LI = X1 −X2 − zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
= 87, 6− 74, 5− 1, 64
√
12
10
+
(1, 5)2
12
= 13, 1− 0, 88 = 12, 22kg/mm2
e
LS = X1 −X2 + zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
= 87, 6− 74, 5 + 1, 64
√
12
10
+
(1, 5)2
12
= 13, 1 + 0, 88 = 13, 98kg/mm2
Desse modo, o intervalo de confianc¸a de 90% para a diferenc¸a na resisteˆncia me´dia a` tensa˜o
e´
12, 22kg/mm2 ≤ µ1 − µ2 ≤ 13, 98kg/mm2
Note que o intervalo de confianc¸a na˜o inclui o zero, implicando que a resisteˆncia me´dia da
estrutura 1 (µ1) excede a resisteˆncia me´dia da estrutura (µ2). De fato, podemos estabelecer que
estamos 90% confiantes em que a resisteˆncia me´dia a` tensa˜o da estrutura 1 excede a resisteˆncia
me´dia da estrutura 2 por um valor entre 12,22 e 13, 98km/mm2.
3 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Diferenc¸a
nas Me´dias de duas distribuic¸o˜es Normais, com Variaˆncias
desconhecidas e iguais
3.1 Teste de Hipo´teses
1. Hipo´tese Nula: H0 : µ1 − µ2 = ∆0
2. Estat´ıstica de Teste: T0 =
X1−X2−∆0
Sp
√
1
n1
+ 1
n2
onde S2p =
(n1−1)S21+(n2−1)S22
n1+n2−2
3. Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o
Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o
H1 : µ1 − µ2 6= ∆0 t0 > tα/2,n1+n2−2 ou t0 < −tα/2,n1+n2−2
H1 : µ1 − µ2 > ∆0 t0 > tα/2,n1+n2−2
H1 : µ1 − µ2 < ∆0 t0 < −tα/2,n1+n2−2
Exemplo: Dois catalisadores esta˜o sendo analisados para determinar como eles afetam
o rendimento me´dio de um processo qu´ımico. Especificamente, o catalizador 1 esta´ cor-
rentemente em uso, mas o catalizador 2 e´ aceita´vel. Uma vez que o catalizador 2 e´ mais
barato, ele deve ser adotado, desde que ele na˜o mude o rendimento do processo.Um teste e´
4
feito em uma planta piloto. Os dados obtidos sa˜o os n1 = 8, x1 = 92, 255, s1 = 2, 39, n2 =
8, x2 = 74, 592, 733 e s2 = 2, 98. Ha´ alguma diferenc¸a entre os rendimento me´dios? Use
α = 0, 05 e considere as variaˆncias iguais.
Soluc¸a˜o:
(a) Os paraˆmetros de interesse sa˜o µ1 e µ2, o rendimento me´dio do processo usando os
catalizadores 1e 2 respectivamente. Queremos saber se µ1 − µ2 = 0
(b) H0 : µ1 − µ2 = 0 ou H0 : µ1 = µ2
(c) H1 : µ1 − µ2 6= 0 ou µ1 6= µ2.
(d) α = 0, 05
(e) A estat´ıstica de teste e´
t0 =
X1 −X2 − 0
Sp
√
1
n1
+ 1n2
(f) Rejeite H0 se t0 > t0,025;14 = 2, 145 ou se t0 < t0,025;14 = −2, 145.
(g) Ca´lculo: Ja´ que n1 = 8, x1 = 92, 255, s1 = 2, 39, n2 = 8, x2 = 74, 592, 733 e s2 = 2, 98,
temos
S2p =
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2 =
(7)(2, 392) + (7)(2, 982)
8 + 8− 2 = 7, 30
Sp =
√
7, 30 = 2, 7
e
t0 =
92, 255− 92, 733
2, 7
√
1
8 +
1
8
= −0, 35
(h) Conclusa˜o: uma vez que t0 = −2, 145 < −0, 35 < 2, 145, a hipo´tese nula na˜o pode
ser rejeitada. Ou seja, no n´ıvel de significaˆncia de 0,05, na˜o temos evideˆncia forte
para concluir que o catalizador 2 resulte em um rendimento me´dio que difira do
rendimento me´dio quando o catalizador 1 for usado.
3.2 Intervalo de Confianc¸a
Se x1, s1, x2 e s2 forem as me´dias e as variaˆncias de duas amostras aleato´rias de tamanhos
n1 e n2, respectivamente, provenientes de duas populac¸o˜es normais independentes, com
variaˆncias desconhecidas, pore´m iguais, enta˜o um intervalo de confianc¸a com 100(1−α)%
para a diferena˜ nas me´dias µ1 − µ2 e´
X1−X2− tα/2,n+m−2Sp
√
1
n
+
1
m
≤ µ1−µ2 ≤ X1−X2 + tα/2,n+m−2Sp
√
1
n
+
1
m
(7)
em que
sp =
√
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
5
e´ a estimativa combinada do desvio-padra˜o comum da populac¸a˜o.
Exemplo: Em um processo qu´ımico de mate´rias-primas, usado para gravar placas de
circuito impresso, esta˜o sendo comparados dois catalisadores diferentes para se determinar
se eles exigem tempo diferentes de imersa˜o para a remoc¸a˜o de quantidades ideˆnticas de
material fotorresistente. Doze lotes foram submetidos ao catalisador 1, resultando em uma
me´dia amostral do tempo de imersa˜o de X1 = 24, 6 minutos e um desvio padra˜o amostral
de s1 = 0, 85 minutos. Quinze lotes foram submetidos ao catalisador 2, resultado em um
tempo me´dio de imersa˜o de X2 = 22, 1 minutos e em um desvio-padra˜o de s2 = 0, 98
minuto. Achar um intervalo de confianc¸a de 95% de confianc¸a para a diferenc¸a entre as
me´dias µ1 − µ2, supondo que os desvios-padra˜o das duas populac¸o˜es sejam iguais.
Soluc¸a˜o:
Temos que:
i) S2p =
(n−1)S21+(m−1)S22
n+m−2 =
11(0,85)2+14(0.98)2
12+15−2 = 0, 8557
ii) O desvio-padra˜o combinado e´ Sp =
√
0, 8557 = 0, 925
iii) tα/2,n+m−2 = t0,025;25 = 2, 060. Portanto:
24, 6− 22, 1− 2, 060(0, 925)
√
1
12
+
1
15
≤ (µ1 − µ2)
≤ 24, 6− 22, 1 + 2, 060(0, 925)
√
1
12 +
1
15(8)
1, 76 ≤ µ1 − µ2 ≤ 3, 24 (9)
Portanto, estamos 95% confiantes de que o catalisador 1 requer um tempo de imersa˜o
maior do que o tempo de imersa˜o exigido pelo catalisador 2 por uma quantidade que
esta´ entre 1,76 minuto e 3,24 minutos.
4 Intervalo de Confianc¸a e teste de hipo´teses para a Igual-
dade de Proporc¸o˜es de duas Populac¸o˜es
4.1 Teste de Hipo´teses
(a) Hipo´tese Nula: H0 : p1 = p2
(b) Estat´ıstica de Teste: Z0 =
p̂1−p̂2√
p̂(1−p̂)
(
1
n1
+ 1
n2
) onde p̂ = x1+x2n1+n2 e´ um estimador comum
do paraˆmetro p
(c) Hipo´teses alternativas e crite´rios de rejeic¸a˜o
Exemplo: Dois tipos diferentes de soluc¸a˜o de polimento esta˜o sendo avaliados para
poss´ıvel uso em uma operac¸a˜o de polimento na fabricac¸a˜o de lentes intra-oculares usadas
no olho humano depois de uma operac¸a˜o de catarata. Trezentas lentes foram polidas
usando a primeira soluc¸a˜o de polimento e, desse nu´mero, 253 na˜o tiveram defeitos, usando
a segunda soluc¸a˜o de polimento, sendo 196 lentes consideradas satisfato´rias. Ha´ qualquer
raza˜o para acreditar que as duas soluc¸o˜es de polimento difiram? Use α = 0, 01.
6
Hipo´teses Alternativas Crite´rio de Rejeic¸a˜o
H1 : p1 6= p2 Z0 > Zα/2 ou Z0 < −Zα/2
H1 : p1 > p2 Z0 > Zα
H1 : p1 < p2 Z0 < −Zα
Soluc¸a˜o:
(a) Os paraˆmetros de interesse sa˜o p1 e p2, a proporc¸a˜o de lentes satisfato´rias depois do
polimento com os flu´ıdos 1 e 2.
(b) H0 : p1 = p2
(c) H1 : p12
(d) α = 0, 01
(e) A estat´ıstca de teste e´
Z0 =
p̂1 − p̂2√
p̂(1− p̂)
(
1
n1
+ 1n2
)
sendo p̂1 = 253/300 = 0, 8433 e p̂2 = 196/300 = 0, 6533, n1 = n2 = 300 e
p̂ =
x1 + x2
n1 + n2
=
253 + 196
300 + 300
= 0, 7483
(f) Rejeitar H0 : p1 = p2, se z0 > z0,005 = 2, 58 ou se z0 < −z0,005 = −2, 58
(g) Ca´lculo: o valor da estat´ıstica de teste e´:
Z0 =
0, 8433− 0, 6533√
0, 7483(0, 2517)
(
1
300 +
1
300
) = 5, 36
(h) Conclusa˜o: Uma vez que z0 = 5, 36 > 2, 58, rejeita-se a hipo´tese nula.
4.2 Intervalo de Confianc¸a
Se ha´ duas proporc¸o˜es de interesse, digamos p1 e p2, e´ poss´ıvel obter um intervalo de
confianc¸a de 100(1 − α)% de confianc¸a para sua diferenc¸a p1 − p2. Se duas amostras
independentes, de tamanhos n1 e n2, sa˜o extra´ıdas de populac¸o˜es infinitas, de modo que
X1 e X2 sejam varia´veis aleato´rias binomiais independentes, com paraˆmetros (n1, p1) e
(n2, p2) respectivamente, onde X1 e´ o nu´mero de observac¸o˜es amostrais da primeira pop-
ulac¸a˜o que pertencem a uma classe de interesse, e X2 representa o nu´mero de observac¸o˜es
amostrais da segunda populac¸a˜o que pertencem a uma classe de interesse, enta˜o p̂1 =
X1
n1
e
p̂2 =
X2
n2
, sa˜o estimadores independentes de p1 e p2, respectivamente. Enta˜o um intervalo
de confianc¸a para a diferenc¸a nas proporc¸o˜es verdadeiras e´,
p̂1 − p̂2 − zα/2
√
p̂1(1− p̂1)
n1
+
p̂2(1− p̂2)
n2
≤ p1 − p2 (10)
≤ p̂1 − p̂2 + zα/2
√
p̂1(1− p̂1)
n1
+
p̂2(1− p̂2)
n2
7
Exemplo: Em uma amostra aleato´ria de 75 eixos, 12 teˆm um acabamento de su-
perf´ıcie que e´ mais a´spero do que permitem as especificac¸o˜es. Portanto, uma estima-
tiva da proporc¸a˜o p de eixos na populac¸a˜o que excedem as especificac¸o˜es de aspereza e´
p̂ = x/n = 12/75 = 0, 16. Suponha que seja feita uma modificac¸a˜o no processo de acaba-
mento da superf´ıcie e que, subsequentemente, seja obtida uma segunda amostra aleato´ria
de 85 eixos. O nu´mero de eixos defeituosos nessa segunda amostra e´ 10. Obter um in-
tervalo de confianc¸a aproximado de 95% de confianc¸a para a diferenc¸a das proporc¸o˜es de
defeituosos produzidos pelos dois processos.
Soluc¸a˜o:
0, 16− 0, 12− 1, 96
√
0, 16(0, 84)
75
+
0, 12(0, 88)
85
≤ p1 − p2 ≤ 0, 16− 0, 12 + 1, 96
√
0, 16(0, 84)
75
+
0, 12(0, 88)
85
(11)
−0, 07 ≤ p1 − p2 ≤ 0, 15.
Esse intervalo inclui o zero, de modo que, com base nos dados amostrais parece improva´vel
que as mudanc¸as feitas no processo de acabamento da superf´ıcie tenham reduzido a pro-
porc¸a˜o de eixos defeituosos produzidos.
8