MEDIDAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO e MEDIDAS DE DISPERSÃO

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MEDIDAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
 Medidas de Tendência Central 
 Servem para representar um conjunto de dados, geralmente 
aparecem nas posições centrais, em torno das quais tende haver 
uma maior concentração de valores. 
 
 Média Aritmética 
 
a) Dados Simples: 
n
xxx
X n


...21 n
x
X
n
i
i
 1ou ou 
n
x
X
i

Aplicação: 
 
A compra de determinado artigo que custou, nos meses de 
junho, julho e agosto, respectivamente, R$ 200,00; R$ 500,00 e 
R$ 700,00. Qual foi o custo médio do artigo para este período? 
 
67,466
3
700500200




n
x
X
i
Interpretação: O valor médio do artigo foi de R$ 466,67, isto 
é, R$ 466,67 é o valor em torno do qual os elementos desta 
série se concentram. 
b) Dados agrupados - Discretos 
Seja distribuição de freqüência 
Xi Fi 
x1 f1 
x2 f2 
  
xn fn 
n
nn
fff
fxfxfx
X



...
...
21
2211
ou 

 

i
ii
f
fx
X
Aplicação: 
 
Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de R$ 
300,00 cada um, quatro escriturários recebendo R$ 600,00 
cada um, três técnicos recebendo R$ 1.200,00 cada um e 
engenheiro com salário de R$ 2.000,00. a média destes salários 
é: 
 
 Salários R$ 
(Xi) 
N° de Funcionários 
(Fi) 
Xi x Fi 
300 2 600 
600 4 2.400 
1.200 3 3.600 
2.000 1 2.000 
Total 10 8.600 
860
10
600.8





i
ii
f
fx
X
Interpretação: O salário médio dos funcionários da empresa em 
estudo é de R$ 860,00 (Oitocentos Reais). 
c) Dados Agrupados – Com intervalo de Classes 
 
1º Passo: Determinar o ponto médio de cada classe (Xi) 
2
LiLs
X i


, Sendo: Ls é o limite superior da classe e Li é o limite 
inferior da classe 
2º Passo: Fazer o produto 
ii fX 
3º Passo: Aplicar a fórmula: 






n
i
i
n
i
ii
f
fx
X
1
1
Aplicação: 
Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mão-
de-obra gasto na revisão completa de um motor de jato. 
O seguinte quadro foi obtido 
 
Tempo de mão-
de-obra 
(horas) 
N° de motores 
 (Fi) 
Xi Xi x Fi 
 0 |— 4 1 2 2 
 4 |— 8 5 6 30 
 8 |— 12 10 10 100 
12 |— 16 12 14 168 
16 |— 20 4 18 72 
TOTAL 32 - 372 
1° passo: 2° passo: 
3° passo: 
 Dados Simples 
 Quando o número de observações (n) for impar 
Exemplo: 
Calcular a mediana da série abaixo: 
Série: 2, 5, 8, 11, 12 
Neste caso o termo de posição central é o que ocupa a terceira 
posição, portanto, o número 8, então: 
 
 Mediana 
 
 É o valor que ocupa a posição mais central em uma 
distribuição, ou seja, é o valor que dividi a amostra ou 
população, em duas partes iguais. 
 
|_________50%___________|________50%__________| 
 0% Md 100% 
 
8Md
 Quando n for par 
Exemplo: 
Calcular a mediana da série abaixo: 
Série: 4, 7, 10, 14, 15, 17 
Neste caso não tem a posição central visto que o número de 
elementos é par. Sendo assim, a mediana é dada pela média dos 
dois termos de posição mais centrais. 
 
12
2
1410


Md
Dados Agrupados: 
Procedimentos: 
1º Passo: Calcular a ordem 
2
n
E 
, não importa se “n” é par ou ímpar, sendo n = 
 if
; 
2º Passo: Determinar a Fac e localizar E (elemento) na Fac. 
3º Passo: Utiliza-se a equação: 
h
f
fac
n
lMd
md
a
i 



















2
il é o limite inferior da classe que contém a mediana. 
afac é a freqüência acumulada anterior à classe que contém a mediana (localizar na Fac). 
h é a amplitude da classe que contém a mediana. 
mdf é a freqüência da classe que contém a mediana (localizar na fi ) 
Aplicação 
Exemplo: Uma amostra aleatória de 50 residências de famílias, classe média, com dois filhos, 
revelou a seguinte distribuição do consumo mensal de energia elétrica abaixo. Determine o 
consumo mediano de energia elétrica das famílias. 
Consumo Mensal (Kwh) N° de Famílias 
 0 |— 50 5 
 50 |— 100 10 
100 |— 150 20 
150 |— 200 5 
200 |— 250 10 
Total 50 
Solução 
1° Passo: Determinar o valor de E. 
25
2
50
E 
2º Passo: Determinar a Fac e localizar E (elemento) na Fac. 
 2º passo 
Consumo Mensal 
(Kwh) 
N° de Famílias 
)( fi 
Fac 
 0 |— 50 5 5 
 50 |— 100 10 15 
100 |— 150 20 35 
150 |— 200 5 40 
200 |— 250 10 50 
Total 50 
 
Valor do E localizado 
(é a classe que contém 
a mediana ) 
Solução 
3º Passo: Utiliza-se a equação: 
h
f
fac
n
lMd
md
a
i 



















2
 , 
100il , 15afac , 20mdf , 50100150  LILSh 
 
12550
20
1525
100 




 
Md 
Interpretação: 50% das famílias de classe média com dois filhos têm o consumo de energia 
menor ou igual a 125 Kwh e os outro 50% tem um consumo superior ou igual a 125 Kwh. 
 Moda 
É o valor de maior ocorrência da distribuição. 
 
 Moda - Dados Simples 
Exemplo: 
Determine a moda da série: 3, 5, 6, 6, 9, 11 
A moda será o número 6, devido esse valor é o que mais se repete 
na série, ou seja, é o valor que ocorre com maior freqüência. 
 
 Moda 
 Para dados Agrupados: 
Procedimentos: 
1º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência). 
2º Passo: Aplica-se a equação. 
 
1
1 2
oM li h
 
   
   
 Fórmula de Czuber 
 
li é o limite inferior da classe modal. 
h é a amplitude da classe modal. 
1 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente 
anterior. 
2 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente 
posterior. 
Exemplo: A distribuição abaixo representa o consumo, em kg, de um produto colocado em 
oferta em um supermercado, que limitou o consumo máximo por cliente em 5 kg. 
Determine a moda e interprete o seu valor. 
Consumo (Kg) N° de Clientes 
0 |— 1 12 
1 |— 2 15 
2 |— 3 54 
3 |— 4 32 
4 |— 5 21 
 
Solução: 
Consumo (Kg) N° de Clientes 
0 |— 1 12 
1 |— 2 15 
2 |— 3 54 
3 |— 4 32 
4 |— 5 21 
1º Passo: identificar a 
classe modal. 
freqüência da classe 
imediatamente anterior 
freqüência da classe 
imediatamente posterior 
1° Passo: Identificar a classe modal. 
 
2º Passo: Aplica-se a equação. 
 
1
1 2
oM li h
 
   
   
 
 
1 54 15 39    
2 54 32 22    
2li 
123 h 
 
39
2 1 2,64
39 22
oM
 
    
  
 
Interpretação: O consumo mais freqüente de carne por cliente corresponde a 2,64 Kg. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de 
variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média. 
Servem para medir a representatividade da média 
 Variância 
 
 Variância – Dados Simples 
Para uma série de dados simples a variância é dada pela seguinte 
fórmula: 
 
 





 

N
xi
x
N
i
2
22 1
Variância Populacional, N é o número de 
observações 
 





 



n
xi
x
n
S i
2
22
1
1
Variância amostral, n é o número de 
observações. 
 
Exemplo: 
Calcular a variância amostralda série 3, 5, 7, 8 e 12. 
Xi Xi
2 
3 9 
5 25 
7 49 
8 64 
12 144 
Somatório 35 291 
5,11
5
)35(
291
4
1 22 





S
Variância – Dados Agrupados 
Variância Populacional, onde: 
 







 
 

N
fx
fx
N
ii
ii
2
22 1
N é o número de observações e o ix e o ponto médio 
 







 


 

n
fx
fx
n
s
ii
ii
2
22
1
1
Variância Amostral, onde: 
n é o número de observações e o ix e o ponto médio 
Exemplo: Uma amostra aleatória de 50 residências de famílias, classe média, com dois filhos, revelou a 
seguinte distribuição do consumo mensal de energia elétrica. Determine a variância. 
Consumo Mensal (Kwh) N° de Famílias 
 0 |— 50 5 
 50 |— 100 10 
100 |— 150 20 
150 |— 200 5 
200 |— 250 10 
Total 50 
Solução: 
1º Passo: Determinar o ponto médio ( ix ) de cada classe: 
Nota: O ponto médio é dado por: 
2
liLs
xi

 
Consumo Mensal (Kwh) 
(Classes) 
N° de Famílias 
 0 |— 50 5 25 
 50 |— 100 10 75 
100 |— 150 20 125 
150 |— 200 5 175 
200 |— 250 10 225 
Total 50 
ix
1º passo 
2º Passo: Fazer o produto entre o ponto médio de cada classe e sua respectiva freqüência 
absoluta )( fi e em seguida fazer seu somatório. 
N° de Famílias 
5 25 25 x 5 = 125 
10 75 75 x 10 = 750 
20 125 125 x 20 = 2500 
5 175 175 x 5 = 875 
10 225 225 x 10 = 2.250 
50 = 6.500 
ix ii fx 
  )( fixi
2º passo 
3º Passo: Elevar o ponto médio ao quadrado. 
25 125 (25)2 = 625 
75 750 (75)2 = 5.625 
125 2500 (125)2 = 15.625 
175 875 (175)2 = 30.625 
225 2.250 (225)2 = 50.625 
ix ii fx 
2
ix
4º Passo: Fazer produto do ponto médio ao quadrado e sua respectiva freqüência absoluta 
)( fi
 e em seguida fazer seu somatório. 
N° de Famílias 
5 25 125 625 (625 x 5) = 3.125 
10 75 750 5.625 (5.625 x 10) = 56.250 
20 125 2500 15.625 (15.625 x 20) = 312.500 
5 175 875 30.625 (30.625 x 5) = 153.125 
10 225 2.250 50.625 (50.625 x 10) =506.250 
50 = 6.500 =1.031.250 
ix
ii fx 
2
ix ii fx 
2
5º Passo: Aplica-se a equação da variância amostral já que o problema fala em dados são provenientes de uma amostra. 
 







 


 

n
fx
fx
n
s
ii
ii
2
22
1
1
02,801.3
50
)500.6(
250.031.1
150
1 22 







s
Desvio Padrão 
É definido como raiz quadrada da variância 
2 
Desvio Padrão Populacional 
2SS 
Desvio Padrão Amostral 
 Coeficiente de Variação 
 É uma medida de dispersão relativa que indica a relação 
percentual entre o desvio padrão e a média dos dados. Serve de 
termo de comparação entre duas ou mais situações diferente. 
 
 
100
X
S
CV
Interpretações Coeficiente de Variação: 
Se: C.V < 15% tem-se baixa dispersão 
Se: 15% < C.V < 30% tem-se média dispersão 
Se: C.V  30% tem-se elevada dispersão