Aplicacao serie de Taylor

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Exemplo de Aplicação da Série de Taylor como aproximação de uma função.
AK., 03/2012 
Uma função qualquer pode ser substituída por uma série, por exemplo, pela série de Taylor. Dada uma função y(x), pode-se calcular o valor da função (o valor de y) em um x qualquer. Por exemplo, para a função:
o valor de y quando x = 0,3 é:
Da mesma forma, o valor da função em x = 0,4 é:
Esses são os valores exatos da função nesses pontos. Um gráfico dessa função no intervalo x = [0;1] é:
A figura da direita mostar o gráfico ampliado para o intervalo [0,2; 0,5] Alternativamente, pode-se substituir essa função por uma expansão em série de Taylor, que tem a forma geral: 
Diferença entre o ponto x e o ponto x0
Derivadas primeira, segunda, etc, aplicadas no ponto x0
A expansão sempre se faz em torno de um ponto x0 onde o valor da função tem que ser conhecido. 
Por exemplo, supondo que conheçamos o valor da função em x0 = 0,3, quer-se aplicar a série para calcular o valor da função em x = 0,4.
Para aplicar a fórmula da série, precisamos calcular o valor das suas derivadas primeira, segunda, etc. no ponto x0:
Função original
Derivada primeira
Derivada segunda
Derivada terceira
O valor da função e das derivadas no ponto x0 = 0,3 é:
Função original
Derivada primeira
Derivada segunda
Derivada terceira
Derivada quarta
Derivada quinta
Substituindo esses valores, a série de Taylor fica:
Note-se que a série é um polinômio simples em x, com infinitos termos. Na prática, calcula-se apenas os primeiros termos, até que se tenha a precisão desejada. Por exemplo, calculando o valor da função para x = 0,4, tem-se:
Cada termo do somatório tem o sinal contrário ao termo anterior, e seu módulo vai diminuindo, de forma que o somatório vai convergindo para o valor exato da função, que é 109,9:
Em forma de diagrama: 
Assim, a série de Taylor é capaz de substituir qualquer função por uma soma infinita de polinômios. Se calculássemos todos os infinitos termos, o resultado da série seria idêntico à função original.
Em muitas aplicações em engenharia, a função que se quer substituir é uma diferencial, ou seja, a diferença entre os pontos em torno do qual se faz a expansão e o que se quer calcular é infinitesimal, de forma que basta conservar os dois primeiros termos para que se tenha precisão suficiente.
Na resolução de equações diferenciais, pode-se substituir a função que se busca pela série que, por ser um polinômio, pode ser facilmente integrada, de forma que a integral da série se aproxima da integral da função original (desconhecida).
Outra aplicação comum é quando se substitui uma função desconhecida pela série, mantendo apenas os dois primeiros termos, ou seja, desprezando as derivadas segunda e superiores. Como não se conhece a função, não é possível calcular sua derivada primeira, como foi feito nesse exemplo, porém o desenvolvimento do problema é tal que essa derivada primeira passa a ser justamente a incógnita do problema. Na sequência, integra-se a derivada primeira que aparece no desenvolvimento, e a integral é a função resposta que se buscava.