Buscar

Lista de Cálculo 3 UnB Semana 01 Soluções

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 5 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 01∗
Revisa˜o: Retas no Plano
De in´ıcio sera´ apresentada uma breve revisa˜o, apenas o essencial, sobre vetores e suas
propriedades. Apesar de elementares, os conceitos revistos aqui sera˜o usados de maneira
sistema´tica durante todo o curso, e vale a pena reveˆ-los com cuidado.
O Plano Cartesiano
O plano cartesiano e´ o conjunto dos pares ordenados R2 = {(x, y); x e y ∈ R}, e pode
ser identificado com o plano euclidiano introduzindo-se um sistema de eixos ortogonais Oxy,
como ilustra a Figura 1. Da figura percebe-se que a cada ponto do plano corresponde um
u´nico par (x, y), dito as coordenadas do ponto; e reciprocamente, a cada par corresponde
um u´nico ponto. Com essa identificac¸a˜o diz-se que o plano euclidiano e´ o conjunto R2.
Por simplicidade, sera´ usada a mesma notac¸a˜o para o ponto P = (x, y), de coordenadas
x e y, e para o vetor P = (x, y), que e´ o segmento de reta orientado
−−→
OP que parte da origem
O e termina no ponto P .
Para P0 = (x0, y0) e P1 = (x1, y1) em R
2 e r ∈ R define-se a soma e a multiplicac¸a˜o por
escalar por meio das igualdades
P0 + P1 = (x0 + x1, y0 + y1) e r P0 = (rx0, ry0) (1)
x
y
P
O
Figura 1
x1 x0 x0 + x1
y0
y1
y0 + y1
P0
P1
P0 + P1
O
P1
Figura 2
A soma tem uma interpretac¸a˜o geome´trica interessante, ilustrada na Figura 2. De fato,
observe que o ponto P1 foi obtido marcando-se, a partir da origem, uma distaˆncia x1 ao longo
do eixo Ox e uma distaˆncia y1 ao longo do eixo Oy. Ja´ as coordenadas de P0 + P1 foram
obtidas da seguinte forma: a partir de x0, marca-se uma distaˆncia x1 ao longo do eixo Ox, e
a partir de y0 marca-se uma distaˆncia y1 ao longo do eixo Oy. Assim, P0+P1 pode ser visto
como o mesmo vetor P1 transladado para a nova origem P0.
Resumindo, a soma P0+P1 corresponde a transladar o vetor P1 para o ponto P0. Trocando
o papel entre esses pontos, obte´m-se tambe´m que a soma P0 + P1 corresponde a transladar
o vetor P0 para o ponto P1. Essa interpretac¸a˜o da´ origem a` regra do paralelogramo: a soma
de dois vetores corresponde a uma diagonal do paralelogramo por eles gerado.
O vetor P1, ilustrado na Figura 2 e correspondente ao segmento
−−→
OP1, foi identificado
como o segmento
−−−−−−−−→
P0(P0 + P1). Essa identificac¸a˜o facilita a visualizac¸a˜o de algumas operac¸o˜es
∗Texto digitado e diagramado por Yuri Santos a partir de suas anotac¸o˜es de sala
alge´bricas e, em geral, o segmento orientado
−→
PQ, de origem P e extremidade em Q, sera´
identificado com o vetor Q− P , de origem em O e extremidade em Q− P .
A interpretac¸a˜o geome´trica da multiplicac¸a˜o por escalar e´ fa´cil: ela prolonga ou contrai o
vetor, podendo alterar o seu sentido, mas na˜o a sua direc¸a˜o. Isso porque, se a inclinac¸a˜o de
P0 = (x0, y0) em relac¸a˜o ao eixo Ox e´
y0
x0
, enta˜o a inclinac¸a˜o de rP0 = (rx0, ry0) em relac¸a˜o
ao mesmo eixo tambe´m e´ ry0
rx0
= y0
x0
. A Figura 3 ilustra os casos em que r < 0 e 0 < r < 1.
Em particular, para r = −1, obte´m-se que o vetor −P1 = (−1)P1 = (−x1,−y1) tem a
mesma direc¸a˜o, mas sentido oposto ao de P1.
P
rP 0 < r < 1
rP r < 0
Figura 3
P0 − P1
P0
P1
P0 + P1
−P1
P0 − P1
Figura 4
Agora a diferenc¸a P0−P1 pode ser melhor interpretada, diferenc¸a entendida como a soma
P0 + (−P1). Observe na Figura 4 que P0 − P1 e´ uma diagonal do paralelogramo gerado por
P0 e −P1, e esse paralelogramo e´ congruente a`quele gerado por P0 e P1. Assim, P0−P1 pode
ser identificado com o segmento
−−→
P1P0, de origem em P1 e extremidade em P0.
Apo´s essas interpretac¸o˜es, a regra do paralelogramo pode ser enunciada como
Regra do Paralelogramo: no paralelogramo gerado por dois vetores, a diagonal que con-
te´m a origem representa a soma, e a outra diagonal representa a diferenc¸a entre os vetores.
Apesar de simples, essa regra desempenha um papel importante no estudo de vetores,
como ilustra os pro´ximos exemplos.
Exemplo 1. Determinar a equac¸a˜o parame´trica da reta L que passa por P0 = (x0, y0) e tem
a direc¸a˜o do vetor Q = (a, b).
P
P0
Q
L
Soluc¸a˜o. De acordo com a figura ao lado, um ponto
P = (x, y) esta´ sobre a reta se, e somente se, a diferenc¸a
P −P0 tem a mesma direc¸a˜o do vetor Q. Dito de outra
forma, tem-se que P ∈ L ⇔ P − P0 = tQ para algum
t ∈ R. Assim, a condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para
que o ponto esteja sobre a reta e´ que
P = (x, y) = tQ+ P0 = t(a, b) + (x0, y0)
= (x0 + ta, y0 + tb). �
Esta equac¸a˜o e´ dita parame´trica porque descreve a reta em termos do paraˆmetro t. E´ uma
forma conveniente porque se adapta com facilidade em dimenso˜es maiores. Ale´m disso, no
caso do R2, ela coincide com a maneira usual de descrever retas, colocando uma varia´vel em
termos da outra. De fato, se a 6= 0 e b 6= 0, da equac¸a˜o parame´trica x = x0+ ta e y = y0+ ty
obte´m-se que t = x−x0
a
= y−y0
b
, de onde segue a conhecida fo´rmula y − y0 =
b
a
(x− x0).
Exemplo 2. Determinar a equac¸a˜o parame´trica da reta L que passa pelos pontos
P1 = (x1, y1) e P0 = (x0, y0).
Ca´lculo III Notas da Aula 01 2/5
Soluc¸a˜o. De acordo com a figura, a reta tem a direc¸a˜o
do vetor Q = P1−P0, e com essa escolha o exemplo fica
reduzido ao caso anterior. Assim,
P = (x, y) ∈ L⇔ P − P0 = tQ = t(P1 − P0)
para algum t ∈ R. Equivalentemente, a condic¸a˜o para
que o ponto esteja sobre a reta e´ que
P = P (t) = P0 − t P0 + t P1 = (1− t)P0 + t P1 �
P1
P1 − P0
P0
P
Para 0 ≤ t ≤ 1, a expressa˜o P (t) = (1 − t)P0 + t P1 e´ conhecida como a combinac¸a˜o
convexa entre os pontos P0 e P1. Isso porque ela parametriza o segmento de reta com origem
em P (0) = P0 e extremidade em P (1) = P1.
Distaˆncia em R2
Ale´m de direc¸a˜o e sentido, os vetores possuem normas (ou mo´dulos), que sa˜o as medidas
de seus comprimentos, comprimentos que sa˜o calculados por meio do Teorema de Pita´goras:
Definic¸a˜o 1. A norma do vetor P =(x, y) e´ definida como sendo o nu´mero ‖P‖ =
√
x2 + y2.
‖P
‖|y|
yP
|x|
x
P1
P1 − P0
P0 ‖P1
− P0
‖
A norma e´ a distaˆncia do ponto a` origem. Mais geralmente, como ilustra a figura acima,
a distaˆncia entre os pontos P0 e P1 pode ser calculada assim: como o segmento
−−→
P0P1 esta´
identificado com o vetor P1 − P0, basta enta˜o calcular o comprimento desse u´ltimo. Assim,
a distaˆncia entre os vetores e´ ‖P1 − P0‖.
P
P
‖P‖
1
Uma propriedade importante da norma e´ a homogeneidade,
no sentido de que, para r > 0, a norma de rP e´ igual a` r vezes
a norma de P . Mais geralmente, tem-se que
‖r P‖ =
√
(rx)2 + (ry)2 = |r|
√
x2 + y2 = |r|‖P‖
Em consequeˆncia, se P 6= O, enta˜o P
‖P‖
e´ um vetor de norma 1
(vetor unita´rio) na mesma direc¸a˜o e sentido de P . De fato, da
homogeneidade segue-se que ‖ P
‖P‖
‖ = 1
‖P‖
‖P‖ = 1. Observe o
uso interessante do vetor unita´rio no pro´ximo exemplo.
Exemplo 3. Descreva a forc¸a gravitacional com que a Terra atrai um sate´lite que se desloca
ao longo do plano que conte´m o equador.
Soluc¸a˜o. Introduza um sistema de coordenadas Oxy no plano que conte´m o equador, e
de modo que a origem O coincida com o centro de massa da Terra. Sejam m a massa e
P = (x, y) a posic¸a˜o do centro de massa do sate´lite. Veja a figura abaixo. Sejam ainda G a
constante gravitacional, M a massa e F = F (P ) a forc¸a da Terra sobre o sate´lite.
Ca´lculo III Notas da Aula 01 3/5
PF
Com essa notac¸a˜o, e´ claro que o vetor unita´rio na
direc¸a˜o e sentido da forc¸a e´ dado por F (P )
‖F (P )‖
. Por outro
lado, das leis da gravitac¸a˜o, a forc¸a tem a direc¸a˜o da
linha que une os centros de massa, e atua no sentido de
P para O. Ora! O vetor unita´rio nessa mesma direc¸a˜o
e sentido e´ dado por − P
‖P‖
, e portanto F (P )‖F (P )‖
= − P
‖P‖
.
Assim, F (P ) = −‖F (P )‖ P
‖P‖
, e resta apenas determinar a intensidade da forc¸a. Mas essa
e´ bem conhecida, e dada por ‖F (P )‖ = GMm
‖P‖2
. Da´ı segue-se que a forc¸a gravitacional e´
F (P ) = −
GMm
‖P‖2
P
‖P‖
= −
GMmP
‖P‖3
= −
GMm
(x2 + y2)3/2
(x, y) (2)
�
Exemplo 4. No mesmo sistema Oxy do exemplo anterior, suponha que uma nave espacial
parta do ponto P0 = (3, 0) e siga em linha reta ate´ alcanc¸ar o ponto P1 = (0, 4). Determine
o ponto da trajeto´ria em que a forc¸a gravitacional tem intensidade ma´xima.
Soluc¸a˜o. O primeiro passo e´ parametrizar o seguimento de reta entre P0 e P1 usando a
equac¸a˜o parame´trica P (t) = (1− t)P0 + tP1 = (3(1− t), 4t) com t ∈ [0, 1].
O segundo passo e´ notar que, em raza˜o da expressa˜o da forc¸a
em (2), a intensidade e´ ma´xima se a distaˆncia for mı´nima. Assim,
o problema e´ minimizar a func¸a˜o ‖P (t)‖. Equivalentemente, o pro-
blema e´ minimizar a func¸a˜o g(t) = ‖P (t)‖2 = 9(1 − t)2 + 16t2.
Derivando e igualando a zero obte´m-se que
0 = g′(t) = 2[16t− 9(1− t)] = 2[25t− 9]
Logo, o u´nico ponto cr´ıtico e´ t = t0 = 9/25, que claramente e´ o
ponto de mı´nimo de g(t). Assim, a intensidade da forc¸a e´ ma´xima
no ponto P (t0) = (1− t0)P0 + t0P1 =
12
25
(4, 3). �
P0
P1
P (t)
F
Ortogonalidade
Ale´m da soma e da multiplicac¸a˜o por escalar, pode ser definida uma terceira operac¸a˜o
em R2, conhecida como o produto escalar (ou produto interno).
Como motivac¸a˜o, considere o problema de decidir se os vetores P0 = (x0, y0) e
P1 = (x1, y1) sa˜o ortogonais. Usando Pita´goras, tem-se que esses vetores sa˜o ortogonais
se, e somente se, ‖P1 − P0‖
2 = ‖P1‖
2 + ‖P0‖
2. Veja a figura abaixo. Usando as coordenada,
obte´m-se que os vetores sa˜o ortogonais se, e somente se,
P1
‖P1‖
P0
‖P0‖
‖P
1 − P
0‖
(x1 − x0)
2 + (y1 − y0)
2 = (x21 + y
2
1) + (x
2
0 + y
2
0)
⇔ −2x1x0 − 2y1y0 = 0
⇔ x0x1 + y0y1 = 0
Resumindo, para decidir se os vetores sa˜o ortogonais,
basta calcular x0x1 + y0y1. Essa expressa˜o e´ exatamente o
produto escalar, conforme a definic¸a˜o a seguir.
Definic¸a˜o 2. O produto escalar entre os vetores P0 = (x0, y0) e P1 = (x1, y1) e´ definido
como sendo o nu´mero 〈P0, P1〉 = x0x1 + y0y1.
Com essa notac¸a˜o, os vetores P0 e P1 sa˜o ortogonais se, e somente se, 〈P0, P1〉 = 0. Ale´m
disso, na˜o e´ dif´ıcil verifica que o produto escalar possui as seguintes
Ca´lculo III Notas da Aula 01 4/5
Propriedades
1. 〈P, P 〉 = ‖P‖2
2. 〈P0, P1〉 = 〈P1, P0〉
3. 〈r P0, P1〉 = r〈P0, P1〉, ∀ r ∈ R
4. 〈P0, P1 + P2〉 = 〈P0, P1〉+ 〈P0, P2〉 1
2
1
−2
Exemplo 5. Determinar a direc¸a˜o ortogonal ao vetor P0 = (1, 2).
Soluc¸a˜o. Deve ser escolhido um vetor P1 = (a, b) de modo que 〈P0, P1〉 = a + 2b = 0, isto
e´, de modo que a = −2b. Escolhendo b = 1, por exemplo, obte´m-se que P1 = (−2, 1) e´ um
vetor ortogonal a P0. Veja a figura acima.
De fato, P (t) = tP1 = (−2t, t) e´ a equac¸a˜o parame´trica da reta pela origem que tem a
direc¸a˜o ortogonal a P0. Em geral, o vetor P1 = (−y0, x0) e´ ortogonal a P0 = (x0, y0). �
Exemplo 6. Resolver o Exemplo 4 usando o produto escalar.
P0
P1
P (t)
P (t0)
Soluc¸a˜o. Com a notac¸a˜o do exemplo, a nave segue na direc¸a˜o do
vetor P1 − P0, que sai de P0 e vai para P1. Ora! Por Pita´goras,
a distaˆncia ‖P (t)‖ sera´ mı´nima no ponto t = t0 em que P (t0) for
ortogonal ao vetor P1−P0 = (−3, 4). Veja a figura ao lado. Impondo
a condic¸a˜o de ortogonalidade obte´m-se que
0 = 〈P (t), P0−P1〉 = 〈(3(1−t), 4t), (−3, 4)〉 = 16t−9(1−t) = 25t−9
que e´ exatamente a mesma condic¸a˜o obtida no Exemplo 4 usando
a derivada. Logo, a soluc¸a˜o e´ a mesma t = t0 = 9/25. �
Exemplo 7. Sejam C o c´ırculo unita´rio de equac¸a˜o x2 + y2 = 1 e P0 = (a, b) um ponto de
C. Determinar a equac¸a˜o da reta tangente a C por P0.
Soluc¸a˜o. A propriedade importante aqui e´ que a reta
tangente e´ ortogonal ao vetor posic¸a˜o, como ilustrado
ao lado. Assim, P = (x, y) e´ um ponto da reta tangente
se, e somente se, P −P0 e´ ortogonal a P0. Equivalente-
mente, usando as propriedades do produto escalar, P e´
um ponto da reta tangente se, e somente se,
0 = 〈P − P0, P0〉
= 〈P, P0〉 − 〈P0, P0〉
= ax+ by − 1
onde foi usado que 〈P0, P0〉 = ‖P0‖
2 = 1, pois P0 ∈ C.
Assim, a equac¸a˜o da reta tangente e´ ax+ by = 1. �
P0
P
Ca´lculo III Notas da Aula 01 5/5

Outros materiais