AP1 MD1 Gabarito 2014.1

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS I
GABARITO DA AP1
Questa˜o 1.
(3.0) Considere as seguintes afirmac¸o˜es: Se Beatriz come banana ou Cristina come caqui, enta˜o
A´lvaro come ameixa. Elizabeth come esfirra se e so´ se De´bora come doce. Se Cristina come
caqui, enta˜o De´bora come doce. Para que A´lvaro coma ameixa, basta que Cristina coma caqui
ou que Francisco coma feija˜o. Mas Elizabeth na˜o come esfirra e Beatriz come banana.
a) Escreva todas as proposic¸o˜es elementares que aparecem nas afirmac¸o˜es apresentadas, iden-
tificando cada uma delas com uma letra de nosso alfabeto.
b) Usando as letras que voceˆ escolheu no item acima para identificar as proposic¸o˜es, reescreva
as afirmac¸o˜es dadas com os s´ımbolos da Lo´gica.
c) Considerando que sejam verdadeiras as afirmac¸o˜es apresentadas inicialmente, decida se cada
uma das proposic¸o˜es elementares abaixo e´ verdadeira ou falsa. E necessa´rio que voceˆ apresente
o racioc´ınio que usou para deduzir sua conclusa˜o a partir dos dados.
( ) De´bora come doce.
( ) A´lvaro come ameixa.
( ) Cristina come caqui.
d) Considerando que sejam verdadeiras as afirmac¸o˜es apresentadas inicialmente, e´ poss´ıvel con-
cluir que a proposic¸a˜o elementar “Francisco come feija˜o”e´ verdadeira ou que e´ falsa? Por queˆ?
Soluc¸a˜o Questa˜o 1.
a) Proposic¸o˜es elementares identificadas pelas letras a, b, c, d, e e f .
a : A´lvaro come ameixa.
b : Beatriz come banana.
c : Cristina come caqui.
d : De´bora come doce.
1
e : Elizabeth come ervilha.
f : Francisco come feija˜o.
b) As Afirmac¸o˜es dadas sa˜o escritas com os s´ımbolos da Lo´gica tomando-se as letras escolhidas
no item acima para identificar as proposic¸o˜es elementares.
1) “Se Beatriz come banana ou Cristina come caqui, enta˜o A´lvaro come ameixa.”corresponde
a: b ∨ c⇒ a.
2) “Elizabeth come esfirra se e so´ se De´bora come doce.”corresponde a: e⇔ d.
3) “Se Cristina come caqui, enta˜o De´bora come doce.”corresponde a: c⇒ d.
4) “Para que A´lvaro coma ameixa, basta que Cristina coma caqui ou que Francisco coma
feija˜o.”equivale a “E´ suficiente que Cristina coma caqui ou que Francisco coma feija˜o para
que A´lvaro coma ameixa.”, que corresponde a: c ∨ f ⇒ a.
5) “Mas Elizabeth na˜o come esfirra e Beatriz come banana. ”equivale a (∼e) ∧ b.
c) Ana´lise das proposic¸o˜es obtidas no item (b).
Na quinta proposic¸a˜o, (∼ e) ∧ b, como o conectivo empregado e´ “e”, temos que a proposic¸a˜o
composta e´ verdadeira apenas se ambas as proposic¸o˜es envolvidas tambe´m sa˜o verdadeiras.
Desta forma, temos que (∼e) = V ( ⇔ e = F ) e b = V .
Na segunda proposic¸a˜o, e ⇔ d, como sabemos que e = F , da equivaleˆncia, podemos con-
cluir que d = F
Analisando a primeira proposic¸a˜o, b ∨ c ⇒ a, como b = V , a proposic¸a˜o composta b ∨ c e´
verdadeira, pois o conectivo empregado e´ “ou”, de modo que para a proposic¸a˜o composta ser
verdadeira basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira. Desta forma, como a
proposic¸a˜o b ∨ c e´ verdadeira e temos a implicac¸a˜o b ∨ c⇒ a, conclu´ımos que a = V .
2
Da terceira proposic¸a˜o, c ⇒ d, como sabemos que d = F , podemos concluir que c = F .
Pois, caso contra´rio, se c = V , seguiria imediatamente que d = V , o que na˜o e´ o caso.
Ficamos assim com as seguintes respostas:
( Falso ) De´bora come doce.
( Verdadeiro ) A´lvaro come ameixa.
( Falso ) Cristina come caqui.
d) Considerando que sejam verdadeiras as afirmac¸o˜es apresentadas inicialmente, e´ poss´ıvel con-
cluir que a proposic¸a˜o elementar ”Francisco come feija˜o”e´ verdadeira ou que e´ falsa? Por queˆ?
Na˜o. Vamos analisar a quarta proposic¸a˜o, c ∨ f ⇒ a. Sabemos que c = F . Se f = V , enta˜o
c ∨ f = V e, portanto, como a = V , a proposic¸a˜o, c ∨ f ⇒ a e´ verdadeira. Por outro lado,
se f = F , enta˜o c ∨ f = F e, portanto, como a = V , a proposic¸a˜o, c ∨ f ⇒ a e´ tambe´m
e´ verdadeira. Lembre-se que, quando a hipo´tese e´ falsa, independente do valor verdade da
consequeˆncia, a implicac¸a˜o e´ verdadeira. Desta forma, na˜o podemos concluir se a proposic¸a˜o
elementar f e´ falsa ou verdadeira, pois ambos valores verdade fazem a quarta proposic¸a˜o ser
verdadeira.
Crite´rio: 3.0 pontos.
Parciais:
a) 0.3 ponto. Escreveu as proposic¸o˜es elementares certas;
b) 0.6 ponto. Escreveu as afirmac¸o˜es dadas com os s´ımbolos da lo´gica e as letras das pro-
posic¸o˜es elementares. As proposic¸o˜es b∨ c⇒ a, e⇔ d, c⇒ d e ∼ e∧ b valem 0.1 ponto cada e
a proposic¸a˜o c ∨ f ⇒ a vale 0.2 ponto;
c) 1.5 ponto. Cada item respondido certo, recebe 0.5 ponto;
d) 0.6 ponto.
Questa˜o 2.
3
(2.0) Considere os conjuntos A = {1 , 5 , −3 , −2} e B = {−4 , 4 , 8 , −8 , 3}. Decida se
sa˜o falsas ou verdadeiras as proposic¸o˜es a seguir. Justifique suas respostas.
( ) ∀ x ∈ B, x > 3⇒ x e´ par.
( ) ∃ x ∈ B, ∀ y ∈ A, x < y.
Soluc¸a˜o Questa˜o 2.
( Verdadeiro ) ∀ x ∈ B, x > 3⇒ x e´ par.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto B, se x e´ maior
do que 3, enta˜o x e´ par”. Desta forma, para que a proposic¸a˜o seja verdadeira, e´ necessa´rio que
todos os elemento do conjunto B que sa˜o maiores do que 3 sejam nu´meros pares. Isto e´ verdade.
Os elementos de B que sa˜o maiores do que 3, sa˜o 4 e 8, que sa˜o pares.
( Verdadeiro ) ∃ x ∈ B, ∀ y ∈ A, x < y.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que, para
todo y que pertence no conjunto A, x < y”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira,
devemos encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto B que seja menor do que todos os
elementos do conjunto A. Os elementos do conjunto A sa˜o: 1 , 5 , −3 , −2. O elemento
−8 ∈ B e´ tal que −8 < 1, −8 < 5, −8 < −3 e −8 < −2. Portanto ha´ um elemento de B, no
caso o nu´mero -8, que menor do que qualquer elemento de A.
Crite´rio: 2.0 pontos: 1.0 ponto cada item.
Questa˜o 3.
(1.5) Em um hospital, 40% dos funciona´rios sa˜o me´dicos. Destes 40%, 15% sa˜o ortopedistas.
De todos os funciona´rios do hospital, qual e´ a percentagem de me´dicos ortopedistas?
Soluc¸a˜o Questa˜o 3.
4
Vamos chamar de F o nu´mero de funciona´rios do hospital, de M o o nu´mero de me´dico do
hospital e de O o nu´mero de ortopedistas do hospital. Neste caso, como 40% dos funciona´rios
sa˜o me´dicos, temos que
M =
40
100
F.
Ale´m disto, como 15% destes 40% sa˜o ortopedistas, temos que
O =
15
100
M =
15
100
· 40
100
F =
6
100
F.
Portanto, 6% dos funciona´rios do hospital sa˜o me´dicos.
Crite´rio: 1.5 pontos se tudo certo. Sem pontuac¸a˜o parcial.
Questa˜o 4.
(2.0) Na AD2 de Me´todos Determin´ısticos I, composta de duas questo˜es, 560 alunos acertaram
somente uma das questo˜es e 310 acertaram a segunda. Sendo que 70 alunos acertaram as duas
questo˜es e 275 erraram a primeira questa˜o. Quantos alunos fizeram a prova?
Soluc¸a˜o Questa˜o 4.
Sabemos que a melhor forma de resolver este tipo de questa˜o e´ comec¸ar pelo nu´mero de ele-
mentos na intersec¸a˜o dos conjuntos existentes. No caso os conjuntos sa˜o dois:
A: conjunto dos alunos que acertaram a primeira questa˜o;
B: conjunto dos alunos que acertaram a segunda questa˜o.
O nu´mero de alunos na intersec¸a˜o dos dois conjuntos e´ 70. Como 310 acertaram a segunda
questa˜o e, neste total tambe´m contam os que acertaram a primeira questa˜o tambe´m, temos
que 310-70=240 acertaram apenas a segunda questa˜o. Como 560 alunos acertaram somente
uma das questo˜es, temos que 560-240= 320 acertaram apenas a primeira questa˜o. Finalmente,
como 275 erraram a primeira questa˜o e estes podem ter acertado ou errado a segunda questa˜o,
temos que 275-240=35 alunos na˜o acertaram nenhuma das questo˜es. Desta forma,
320 + 70 + 240 + 35 = 665
5
e´ o nu´mero de alunos que fizeram a prova. Abaixo temos o diagrama de Vennrelativo a este
problema.
Crite´rio: 2.0 pontos.
Parciais:
- concluiu que 310-70=240 acertaram apenas a segunda questa˜o, recebe 0.5 ponto;
- concluiu que 560-240= 320 acertaram apenas a primeira questa˜o, recebe 0.5 ponto;
- concluiu que 275-240=35 alunos na˜o acertaram nenhuma das questo˜es, recebe 0.5 ponto;
- concluiu que 320 + 70+ 240 + 35 = 665 e´ o nu´mero de alunos que fizeram a prova, recebe 0.5
ponto.
Questa˜o 5. (1.5)
(a) Resolva a expressa˜o a seguir.(
3
2
)3
÷
(
16
25
)− 1
2
− 3
√
2
(
125
2
) 3
9
,
escrevendo a resposta na forma de uma frac¸a˜o irredut´ıvel.
6
(
3
2
)3
÷
(
16
25
)− 1
2
− 3
√
2
(
125
2
) 3
9
=
27
8
÷
(
25
16
) 1
2
− 3
√
2
(
125
2
) 1
3
=
27
8
÷ 5
4
− 3
√
2
5
3
√
2
=
27
8
÷ 5
4
− 3
√
2
5
3
√
2
=
27
8
· 4
5
− 5
=
27
10
− 5 = 27
10
− 50
10
= −23
10
.
Crite´rio: 0.8 ponto.
Parciais:
- acertou
(
16
25
)− 1
=
5
4
, recebe 0.3 ponto;
- acertou 3
√
2
(
125
2
) 3
9
= 5, recebe 0.3 ponto;
- chegou ao resultado correto, recebe 0.2 ponto.
(b) Racionalize a expressa˜o abaixo, colocando o resultado na sua forma mais simples.
√
10√
3−√2 +
√
5√
5−√6
√
10√
3−√2 +
√
5√
5−√6 =
√
10√
3−√2 ·
(√
3 +
√
2
)(√
3 +
√
2
) + √5√
5−√6 ·
(√
5 +
√
6
)(√
5 +
√
6
)
=
√
10
(√
3 +
√
2
)
1
+
√
5
(√
5 +
√
6
)
−1
=
√
10
(√
3 +
√
2
)
−
√
5
(√
5 +
√
6
)
=
√
30 +
√
20−
√
25−
√
30
=
√
20−
√
25
= 2
√
5− 5
Crite´rio: 0.7 ponto.
7
Parciais:
- acertou
√
10√
3−√2 =
√
10
(√
3 +
√
2
)
, recebe 0.2 ponto;
- acertou
√
5√
5−√6 = −
√
5
(√
5 +
√
6
)
, recebe 0.2 ponto;
- acertou o resultado
√
20−√25, recebe 0.2 ponto;
- chegou ao resultado simplificado de 2
√
5− 5, recebe 0.1 ponto.
8