Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
O Teorema de Arzela`-Ascoli e Aplicac¸o˜es Lucas Henrique Silveira Gomes Daniel Aguilar Gomes Lucas Hiroyuki Ragni Hamada Novembro 2017 1 Motivac¸a˜o e Preliminares Nesta sec¸a˜o vamos motivar o Teorema de Arzela´-Ascoli e demonstrar alguns resultados que facilitara˜o a demonstrac¸a˜o deste Teorema. 1.1 Motivac¸a˜o No caso de Rn, sabemos que os conjuntos compactos sa˜o precisamente aqueles que sa˜o limitados e fechados. No entanto, isso na˜o e´ verdade para espac¸os me´tricos em geral. Vamos estudas um caso em espec´ıfico, que e´ o de conjuntos de func¸o˜es. Vejamos um exemplo de um conjunto limitado e fechado que na˜o e´ compacto: Exemplo. Consideremos a bola fechada B ⊂ C ([0, 1];R) de raio 1, isto e´, B = {f ∈ C ([0, 1];R) : ||f || ≤ 1}. Este conjunto e´ claramente limitado e fechado. Para mostrar que este conjunto na˜o e´ compacto, basta mostrarmos que ele possui uma sequeˆncia de func¸o˜es que na˜o possui subsequeˆncia convergente. Consideremos a seguinte sequeˆncia de func¸o˜es: gn(x) = 0 se 0 ≤ x ≤ 1(n+1) 1 se 1n ≤ x ≤ 1 n(n+ 1)x− n se 1(n+1) < x < 1n (1) E´ fa´cil ver que esta sequeˆncia e´ de func¸o˜es cont´ınuas (elas sa˜o lineares em 1(n+1) < x < 1 n). Tambe´m temos que, se m 6= n, ||gn − gm|| = sup x∈[0,1] |gn(x)− gm(x)| = 1 Assim, (gn) na˜o possui subsequeˆncia de Cauchy e, portanto, na˜o possui subsequeˆncia convergente. 1.2 Preliminares Uma das definic¸o˜es que nos sera´ u´til para estudar a compacidade de conjuntos de func¸o˜es e´ a seguinte: Definic¸a˜o 1.1. Sejam M e N espac¸os me´tricos e E um conjunto de func¸o˜es f : M → N . O conjunto E e´ dito equicont´ınuo em a ∈ M se ∀ε > 0 existir δ > 0 tal que d(x, a) < δ implique d(f(x), f(a)) < ε ∀f ∈ E Vale notar que o δ da definic¸a˜o acima depende apenas de a e de ε, mas e´ o mesmo para todas as func¸o˜es do conjunto. Nosso foco agora e´ demonstrar alguns resultados que sera˜o u´teis para a demonstrac¸a˜o do Teorema de Arzela´-Ascoli. Comecemos com um exemplo: 1 Exemplo. Se o conjunto de func¸o˜es fn : M → N for equicont´ınuo e convergir simplesmente para uma func¸a˜o f : M <→ N temos que, dados a ∈M e ε > 0, podemos tomar δ > 0 tal que d(x, a) < δ =⇒ d(fn(x), fn(a)) < ε3 . Assim, tomando N > 0 tal que d(f(x), fn(x)) < ε3 e d(f(a), fn(a)) < ε 3 ∀n > N temos que d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fn(x)) + d(fn(x), fn(a)) + d(fn(a), f(a)) < ε =⇒ {f, f1, f2, ...} e´ um conjunto equicont´ınuo. Lema 1.1. Se uma sequeˆncia equicont´ınua de aplicac¸o˜es fn : M → N converge simples- mente em M, enta˜o a convergeˆncia e´ uniforme em cada parte compacta K ⊂M . Demonstrac¸a˜o. Vamos supor que fn → f simplesmente. Seja ε > 0 dado. Para cada x ∈M existe nx ∈ N tal que d(fn(x), f(x)) < ε3 ∀n > nx. Como o conjunto {f, f1, f2, ...} e´ equicont´ınuo, pelo exemplo acima, existe δx > 0 tal que d(x, y) < δx =⇒ d(fn(x), fn(y)) < ε 3 e d(f(x), f(y)) < ε 3 . Tomemos uma subcobertura finita de K de ⋃ x∈K B(x, δx): B(x1, δx1)∪ ... ∪ B(xp, δxp). Assim, tomando n0 = max{nx1 , ..., nxp}. Enta˜o, existe xi tal que x ∈ B(xi, δxi) =⇒ d(x, xi) < δxi =⇒ d(fn(x), fn(xi)) < ε3 e d(f(x), f(xi)) < ε3 . Logo, temos que d(f(x), fn(x)) ≤ d(f(x), f(xi)) + d(f(xi), fn(xi)) + d(fn(xi), fn(x)) < ε ∀n > n0 Proposic¸a˜o 1.1. Dada uma sequeˆncia equicont´ınua de aplicac¸o˜es fn : M → N , suponha- mos que, para cada x ∈ M o conjunto {fn(x) : n ∈ N tenha fecho completo em N. Se (fn) converge simplesmente num subconjunto denso D ⊂M , enta˜o (fn) converge uniformemente em cada parte compacta de M . Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que (fn) converge simplesmente em todo o espac¸o. Mostre- mos que ∀x ∈M , (fn(x))n∈N e´ de Cauchy. Seja ε > 0 dado. Assim, como o conjunto de fn : M → N e´ equicont´ınuo, existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ =⇒ d(fn(x), fn(y)) < ε3∀n ∈ N. Seja y ∈ B(x, δ)∩D. Assim, existe o limite lim x→∞ fn(y). Logo, a sequeˆncia (fn(y))n ∈ N con- verge e enta˜o e´ de Cauchy. Portando, existe n0 ∈ N tal que d(fn(y), fm(y)) < ε3 ∀m,n > n0. Com isso, d(x, y) < δ e m,n > n0 temos que d(fm(x), fn(x)) ≤ d(fm(x), fm(y)) + d(fm(y), fn(y)) + d(fn(y), fn(x)) < ε De maneira ana´loga a`s func¸o˜es uniformemente cont´ınuas, temos a definic¸a˜o de func¸o˜es uniformemente equicont´ınuas: Definic¸a˜o 1.2. Um conjunto E de func¸o˜es f : M → N e´ dito uniformemente equicont´ınuo se, ∀ε > 0 existir um δ > 0 tal que se d(x, y) < δ implique d(f(x), f(y)) < ε ∀f ∈ E. A partir desta definic¸a˜o, temos o seguinte resultado: Proposic¸a˜o 1.2. Se K e´ compacto, enta˜o todo conjunto equicont´ınuo de aplicac¸o˜es f : K → N e´ uniformemente equicont´ınuo. Demonstrac¸a˜o. Seja ε > 0 dado. Para cada x ∈ K, existe Bx bola de centro x tal que y ∈ Bx =⇒ d(f(y), f(x)) < ε2 ∀f ∈ E. Assim, seja δ o nu´mero de Lebesgue da cobertura K = ⋃ x∈K Bx. Isto significa que se um subconjunto tem diaˆmetro menor que δ enta˜o ele esta´ contido em alguma Bx. Se y, z ∈ K tal que d(y, z) < δ =⇒ d(f(y), f(z)) ≤ d(f(y), f(x)) + d(f(x), f(z)) < ε 2 2 O Teorema de Arzela`-Ascoli Seguiremos com as seguintes definic¸o˜es e proposic¸o˜es para demonstrar o Teorema: Definic¸a˜o 2.1. Dado E ⊆ F(M,N) definimos E(x) := {f(x) : f ∈ E} para todo x ∈M Definic¸a˜o 2.2. Dizemos que X ⊆M e´ relativamente compacto se X e´ compacto Proposic¸a˜o 1. X ⊆ M e´ relativamente compacto se,e somente se, toda sequeˆncia em X possui uma subsequeˆncia convergente em M Demonstrac¸a˜o. (⇒) Toda sequeˆncia em X e´ uma sequeˆncia em X que por hipo´tese e´ com- pacto logo possui alguma subsequeˆncia convergente em X que esta´ contido em M (⇐) Vamos provar que toda sequeˆncia em X possui subsequeˆncia convergente. Dado uma sequeˆncia (xn)n em X seja (yn)n uma sequeˆncia em X tal que d(xn, yn) < 1/n , esta sequeˆncia existe pois cada xn e´ um ponto de X ou um ponto de acumulac¸a˜o de X. Por hipo´tese existe uma subsequeˆncia (ynk)k de (yn)n convergente para um ponto a ∈ M , a e´ um ponto de acumulac¸a˜o de X logo a ∈ X, assim pela desigualdade triangular temos d(a, xnk) ≤ d(a, ynk) + d(xnk , ynk) < d(a, ynk) + 1/nk para todo k ∈ N portanto (xnk) converge para a. Proposic¸a˜o 2. Se X ⊆ M e´ relativamente compacto e f : M → N e´ cont´ınua enta˜o f(X) e´ relativamente compacto Demonstrac¸a˜o. Por hipo´tese X e´ compacto e f cont´ınua logo f(X) e´ compacto e como N e´ Hausdorff enta˜o f(X) e´ fechado. X ⊆ X implica f(X) ⊆ f(X) da´ı f(X) ⊆ f(X) e como todo subconjunto fechado de um conjunto compacto e´ compacto , f(X) e´ compacto Por fim, provaremos o Teorema de Arzela`-Ascoli para espac¸os me´tricos: Teorema 2.1 (Arzela`-Ascoli). Sejam K compacto e E ⊆ C(K,N). E e´ relativamente compacto se, e somente se, i) E e´ equicont´ınuo e, ii) E(x) e´ relativamente compacto para todo x ∈ K Demonstrac¸a˜o. (⇒) i) Por hipo´tese temos que para todo � > 0 e todo f ∈ E existe δf > 0 tal que d(x, y) < δ implica d(f(x), f(y)) < �. Como E ⊆ ⋃f∈E B(f, �/3) e E e´ compacto existem fi(1 ≤ i ≤ m;m ∈ N) tais que E ⊆ ⋃ 1≤i≤mB(fi, �/3). Seja δ = 1/2min1≤i≤δfi . Se d(x, y) < δ e f ∈ E seja 1 ≤ j ≤ m tal que f ∈ B(fj , �/3) enta˜o d(f(x), f(y)) ≤ d(f(x), fj(x))+d(fj(x), fj(y))+d(fj(y), f(y)) < �/3+�/3+�/3 < � assim E e´ equicont´ınuo e consequentemente E e´ equicont´ınuo. ii) Fixado x ∈ K seja vx : C(M,N) → N definido por f 7→ f(x). Observe que vx e´ Lipschitz, de fato d(vx, vy) = d(f(x), f(y)) ≤ supx∈K d(f(x), f(y)) = d(f, g), da´ı e´ cont´ınua e portanto pela proposic¸a˜o anterior E(x) = vx(E) e´ relativamente compacto. (⇐) Seja D = {xn}n ⊆ K denso e enumera´vel. Seja Ln = E(xn) que por hipo´tese e´ compacto da´ı pelo teorema de Tychonoff ∏ n∈N Ln e´ compacto. Seja (fn) uma sequeˆncia em E e (f ′n)n = (fn|D)n uma sequeˆncia em ∏ n∈N Ln da´ı existe uma subsequeˆncia (f ′ nk )k de (f ′n)n que converge simplesmente em ∏ n∈N Ln, como {fnk(x) : k ∈ N} ⊆ E(x) segue que {fnk(x) : k ∈ N} e´ compacto e portanto completo, assim (fnk)k convergeuniformemente em cada parte compacta de K, em particular em K. Segue de uma proposic¸a˜o anterior que E e´ relativamente compacto. O teorema de Ascol´ı-Arzela na˜o e´ valido quando K na˜o e´ compacto como podemos ver para K = N = R e E = (fn)n onde fn(x) = x/n para todo x ∈ R e todo n ∈ N entretanto olhando para a demonstrac¸a˜o de (⇐) vemos que utilizamos o fato de K ser compacto apenas no final provando assim o seguinte corola´rio. 3 Corola´rio 2.1. seja K separa´vel e E ⊆ C(K,N) equicontinuo tal que para todo x ∈ R o conjunto E(x) e´ relativamente compacto enta˜o toda sequeˆncia em E possui uma subsequeˆncia uniformemente convergente em cada parte compacta de K. Para uso posterior enunciaremos um caso particular do corola´rio anterior: Definic¸a˜o 2.3. E ⊆ F(M,N) e´ pontualmente limitada quando para todo x ∈M o conjunto E(x) ⊆ N e´ limitado Corola´rio 2.2. Seja M separa´vel. toda sequencia equicont´ınua e pontualmente limitada de aplicac¸o˜es fn : M → Rk possui uma subsequeˆncia que converge uniformemente em cada parte compacta de M. Demonstrac¸a˜o. Basta observar que para todo x ∈ M , E(x) e´ fechado e limitado em Rk e portanto compacto 3 Aplicac¸a˜o do Teorema de Arzela`-Ascoli Como aplicac¸a˜o do teorema para func¸o˜es reais cont´ınuas, vamos mostrar a existeˆncia de soluc¸a˜o do seguinte problema de valor inicial (PVI) sob certas hipo´teses:{ F ′(x) = Φ(x, F (x)) F (a) = y0 O seguinte resultado generalizado para Rn e´ conhecido por Teorema de Peano: Teorema 3.1. Se a func¸a˜o Φ for cont´ınua no domı´nio D = [a, b] × B[y0, R], enta˜o existe uma soluc¸a˜o do PVI no intervalo [a, a+h] com h = min{b−a,R/M}, onde M = sup (x,y)∈D Φ(x, y). Note que M esta´ bem definido, uma vez que Φ e´ uma func¸a˜o cont´ınua no domı´nio compacto D. Demonstrac¸a˜o. Vamos definir o seguinte operador integral T : TF (x) = y0 + ∫ x a Φ(t, F (t))dt Vemos que, se F ∗ e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial, enta˜o F ∗ = TF ∗ via Teorema Funda- mental do Ca´lculo. Vamos procurar uma famı´lia de func¸o˜es que seja aproximac¸a˜o dessa soluc¸a˜o. Para todo n ≥ 1, defina: Fn(x) = y0 se a ≤ x ≤ a+ 1/n y0 + ∫ x−1/n a Φ(t, Fn(t))dt se a+ 1/n ≤ x ≤ a+ h Precisamos verificar se Fn esta´ bem definida: Vemos que, para x ∈ [a, a+ 1/n], Fn esta´ bem definida por ser uma constante y0. Dessa forma, para x ∈ [a + 1/n, a + 2/n], temos que: Fn(x) = y0 + ∫ x−1/n a Φ(t, Fn(t))dt Como x− 1/n ≤ a+ 2/n− 1/n = a+ 1/n e Fn e´ bem definida ate´ a+ 1/n, obtemos que a integral esta´ bem definida em no intervalo [a, a+ 2/n]. Com um argumento completamente ana´logo, podemos concluir que Fn esta´ bem definida em [a, a+ 3/n]. Por induc¸a˜o, obtemos que Fn esta´ bem definida em [a, a+ k/n],∀k ∈ N, ou seja, em [a,+∞). Em particular, ela esta´ bem definida em [a, a+ h]. Precisamos verificar tambe´m se Fn(x) ∈ B[y0, R],∀x ∈ [a, a+ h]. De fato: 4 • |Fn(x)− y0| = 0 < R se x ∈ [a, a+ 1/n] • |Fn(x)− y0| = ∣∣∣∣∣ ∫ x−1/n a Φ(t, Fn(t))dt ∣∣∣∣∣ ≤ ∫ x−1/n a |Φ(t, Fn(t))| dt ≤ |x− 1/n− a|M = (x− 1/n− a)M ≤ (x− a)M ≤ hM ≤ R se x ∈ [a+ 1/n, a+ h] Vamos provar que E = {Fn}n e´ uma famı´lia (uniformemente) equicont´ınua: Seja � > 0, tome δ = �/M . Enta˜o, se x1,x2 ∈ [a, a+ h] e x1 < x2 com x2 − x1 < δ, enta˜o: |Fn(x2)− Fn(x1)| ≤ ∫ x2−1/n x1−1/n |Φ(t, Fn(t))| dt ≤ (x2 − x1)M < δM = � Temos que E(x) e´ limitado por R+y0. Como Fn esta´ definida em um intervalo compacto, temos, pelo corola´rio 2.2, que ∃F ∗ ∈ E tal que F ∗ e´ limite de alguma subsequeˆncia (Fnk)k de (Fn)n. Por fim, vamos mostrar que a sequeˆncia (Fn)n (consequentemente a subsequeˆncia (Fnk)k) e´ aproximac¸a˜o do ponto fixo: ∀n ≥ 1 temos: • x ∈ [a, a+ 1/n]: |TFn(x)− Fn(x)| = ∣∣∣∣∫ x a Φ(t, Fn(t))dt ∣∣∣∣ ≤ ∫ x a |Φ(t, Fn(t))| dt ≤M(x− a) ≤M/n • x ∈ [a+ 1/n, a+ h]: |TFn(x)− Fn(x)| = ∣∣∣∣∣ ∫ x x−1/n Φ(t, Fn(t))dt ∣∣∣∣∣ ≤ ∫ x x−1/n |Φ(t, Fn(t))| dt ≤M/n Podemos agora concluir que F ∗ e´ ponto fixo: |F ∗(x)− TF ∗(x)| ≤ |F ∗(x)− Fnk(x)|+ |Fnk(x)− TFnk(x)|+ + |TFnk(x)− TF ∗(x)| ≤ d(F ∗, Fnk) + M nk + ∫ a+h a |Φ(t, Fnk(t))− Φ(t, F ∗(t))| dt onde d e´ a me´trica do supremo no espac¸o das func¸o˜es cont´ınua limitadas. Note que d(F ∗, Fnk) → 0 quando k → +∞ ja´ que F ∗ e´ o limite de (Fnk)k. Como Φ e´ cont´ınua em D e FnK → F ∗ uniformemente em [a, a+h], temos que |Φ(t, Fnk(t))− Φ(t, F ∗(t))| → 0. Portanto, a integral tende uniformemente a 0. Portanto, todos os termos do lado direito da inequac¸a˜o tendem a zero quando k tende a infinito. Logo: |F ∗(x)− TF ∗(x)| = 0 =⇒ F ∗(x) = TF ∗(x) 5 Motivação e Preliminares Motivação Preliminares O Teorema de Arzelà-Ascoli Aplicação do Teorema de Arzelà-Ascoli
Compartilhar