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Teorema de arzela ascoli e aplicaco

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O Teorema de Arzela`-Ascoli e Aplicac¸o˜es
Lucas Henrique Silveira Gomes Daniel Aguilar Gomes
Lucas Hiroyuki Ragni Hamada
Novembro 2017
1 Motivac¸a˜o e Preliminares
Nesta sec¸a˜o vamos motivar o Teorema de Arzela´-Ascoli e demonstrar alguns resultados
que facilitara˜o a demonstrac¸a˜o deste Teorema.
1.1 Motivac¸a˜o
No caso de Rn, sabemos que os conjuntos compactos sa˜o precisamente aqueles que sa˜o
limitados e fechados. No entanto, isso na˜o e´ verdade para espac¸os me´tricos em geral.
Vamos estudas um caso em espec´ıfico, que e´ o de conjuntos de func¸o˜es. Vejamos um
exemplo de um conjunto limitado e fechado que na˜o e´ compacto:
Exemplo. Consideremos a bola fechada B ⊂ C ([0, 1];R) de raio 1, isto e´, B = {f ∈
C ([0, 1];R) : ||f || ≤ 1}. Este conjunto e´ claramente limitado e fechado. Para mostrar que
este conjunto na˜o e´ compacto, basta mostrarmos que ele possui uma sequeˆncia de func¸o˜es
que na˜o possui subsequeˆncia convergente. Consideremos a seguinte sequeˆncia de func¸o˜es:
gn(x) =

0 se 0 ≤ x ≤ 1(n+1)
1 se 1n ≤ x ≤ 1
n(n+ 1)x− n se 1(n+1) < x < 1n
(1)
E´ fa´cil ver que esta sequeˆncia e´ de func¸o˜es cont´ınuas (elas sa˜o lineares em 1(n+1) < x <
1
n).
Tambe´m temos que, se m 6= n,
||gn − gm|| = sup
x∈[0,1]
|gn(x)− gm(x)| = 1
Assim, (gn) na˜o possui subsequeˆncia de Cauchy e, portanto, na˜o possui subsequeˆncia
convergente.
1.2 Preliminares
Uma das definic¸o˜es que nos sera´ u´til para estudar a compacidade de conjuntos de func¸o˜es
e´ a seguinte:
Definic¸a˜o 1.1. Sejam M e N espac¸os me´tricos e E um conjunto de func¸o˜es f : M → N .
O conjunto E e´ dito equicont´ınuo em a ∈ M se ∀ε > 0 existir δ > 0 tal que d(x, a) < δ
implique d(f(x), f(a)) < ε ∀f ∈ E
Vale notar que o δ da definic¸a˜o acima depende apenas de a e de ε, mas e´ o mesmo para
todas as func¸o˜es do conjunto.
Nosso foco agora e´ demonstrar alguns resultados que sera˜o u´teis para a demonstrac¸a˜o
do Teorema de Arzela´-Ascoli. Comecemos com um exemplo:
1
Exemplo. Se o conjunto de func¸o˜es fn : M → N for equicont´ınuo e convergir simplesmente
para uma func¸a˜o f : M <→ N temos que, dados a ∈M e ε > 0, podemos tomar δ > 0 tal
que d(x, a) < δ =⇒ d(fn(x), fn(a)) < ε3 . Assim, tomando N > 0 tal que d(f(x), fn(x)) < ε3
e d(f(a), fn(a)) <
ε
3 ∀n > N temos que d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fn(x)) + d(fn(x), fn(a)) +
d(fn(a), f(a)) < ε =⇒ {f, f1, f2, ...} e´ um conjunto equicont´ınuo.
Lema 1.1. Se uma sequeˆncia equicont´ınua de aplicac¸o˜es fn : M → N converge simples-
mente em M, enta˜o a convergeˆncia e´ uniforme em cada parte compacta K ⊂M .
Demonstrac¸a˜o. Vamos supor que fn → f simplesmente. Seja ε > 0 dado. Para cada
x ∈M existe nx ∈ N tal que d(fn(x), f(x)) < ε3 ∀n > nx. Como o conjunto {f, f1, f2, ...} e´
equicont´ınuo, pelo exemplo acima, existe δx > 0 tal que d(x, y) < δx =⇒ d(fn(x), fn(y)) <
ε
3 e d(f(x), f(y)) <
ε
3 . Tomemos uma subcobertura finita de K de
⋃
x∈K
B(x, δx): B(x1, δx1)∪
... ∪ B(xp, δxp). Assim, tomando n0 = max{nx1 , ..., nxp}. Enta˜o, existe xi tal que x ∈
B(xi, δxi) =⇒ d(x, xi) < δxi =⇒ d(fn(x), fn(xi)) < ε3 e d(f(x), f(xi)) < ε3 . Logo, temos
que
d(f(x), fn(x)) ≤ d(f(x), f(xi)) + d(f(xi), fn(xi)) + d(fn(xi), fn(x)) < ε
∀n > n0
Proposic¸a˜o 1.1. Dada uma sequeˆncia equicont´ınua de aplicac¸o˜es fn : M → N , suponha-
mos que, para cada x ∈ M o conjunto {fn(x) : n ∈ N tenha fecho completo em N. Se (fn)
converge simplesmente num subconjunto denso D ⊂M , enta˜o (fn) converge uniformemente
em cada parte compacta de M .
Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que (fn) converge simplesmente em todo o espac¸o. Mostre-
mos que ∀x ∈M , (fn(x))n∈N e´ de Cauchy. Seja ε > 0 dado. Assim, como o conjunto de fn :
M → N e´ equicont´ınuo, existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ =⇒ d(fn(x), fn(y)) < ε3∀n ∈ N.
Seja y ∈ B(x, δ)∩D. Assim, existe o limite lim
x→∞ fn(y). Logo, a sequeˆncia (fn(y))n ∈ N con-
verge e enta˜o e´ de Cauchy. Portando, existe n0 ∈ N tal que d(fn(y), fm(y)) < ε3 ∀m,n > n0.
Com isso, d(x, y) < δ e m,n > n0 temos que
d(fm(x), fn(x)) ≤ d(fm(x), fm(y)) + d(fm(y), fn(y)) + d(fn(y), fn(x)) < ε
De maneira ana´loga a`s func¸o˜es uniformemente cont´ınuas, temos a definic¸a˜o de func¸o˜es
uniformemente equicont´ınuas:
Definic¸a˜o 1.2. Um conjunto E de func¸o˜es f : M → N e´ dito uniformemente equicont´ınuo
se, ∀ε > 0 existir um δ > 0 tal que se d(x, y) < δ implique d(f(x), f(y)) < ε ∀f ∈ E.
A partir desta definic¸a˜o, temos o seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 1.2. Se K e´ compacto, enta˜o todo conjunto equicont´ınuo de aplicac¸o˜es f :
K → N e´ uniformemente equicont´ınuo.
Demonstrac¸a˜o. Seja ε > 0 dado. Para cada x ∈ K, existe Bx bola de centro x tal que
y ∈ Bx =⇒ d(f(y), f(x)) < ε2 ∀f ∈ E. Assim, seja δ o nu´mero de Lebesgue da cobertura
K =
⋃
x∈K
Bx. Isto significa que se um subconjunto tem diaˆmetro menor que δ enta˜o ele esta´
contido em alguma Bx. Se y, z ∈ K tal que
d(y, z) < δ =⇒ d(f(y), f(z)) ≤ d(f(y), f(x)) + d(f(x), f(z)) < ε
2
2 O Teorema de Arzela`-Ascoli
Seguiremos com as seguintes definic¸o˜es e proposic¸o˜es para demonstrar o Teorema:
Definic¸a˜o 2.1. Dado E ⊆ F(M,N) definimos E(x) := {f(x) : f ∈ E} para todo x ∈M
Definic¸a˜o 2.2. Dizemos que X ⊆M e´ relativamente compacto se X e´ compacto
Proposic¸a˜o 1. X ⊆ M e´ relativamente compacto se,e somente se, toda sequeˆncia em X
possui uma subsequeˆncia convergente em M
Demonstrac¸a˜o. (⇒) Toda sequeˆncia em X e´ uma sequeˆncia em X que por hipo´tese e´ com-
pacto logo possui alguma subsequeˆncia convergente em X que esta´ contido em M
(⇐) Vamos provar que toda sequeˆncia em X possui subsequeˆncia convergente. Dado
uma sequeˆncia (xn)n em X seja (yn)n uma sequeˆncia em X tal que d(xn, yn) < 1/n , esta
sequeˆncia existe pois cada xn e´ um ponto de X ou um ponto de acumulac¸a˜o de X. Por
hipo´tese existe uma subsequeˆncia (ynk)k de (yn)n convergente para um ponto a ∈ M , a
e´ um ponto de acumulac¸a˜o de X logo a ∈ X, assim pela desigualdade triangular temos
d(a, xnk) ≤ d(a, ynk) + d(xnk , ynk) < d(a, ynk) + 1/nk para todo k ∈ N portanto (xnk)
converge para a.
Proposic¸a˜o 2. Se X ⊆ M e´ relativamente compacto e f : M → N e´ cont´ınua enta˜o f(X)
e´ relativamente compacto
Demonstrac¸a˜o. Por hipo´tese X e´ compacto e f cont´ınua logo f(X) e´ compacto e como N e´
Hausdorff enta˜o f(X) e´ fechado. X ⊆ X implica f(X) ⊆ f(X) da´ı f(X) ⊆ f(X) e como
todo subconjunto fechado de um conjunto compacto e´ compacto , f(X) e´ compacto
Por fim, provaremos o Teorema de Arzela`-Ascoli para espac¸os me´tricos:
Teorema 2.1 (Arzela`-Ascoli). Sejam K compacto e E ⊆ C(K,N). E e´ relativamente
compacto se, e somente se, i) E e´ equicont´ınuo e, ii) E(x) e´ relativamente compacto para
todo x ∈ K
Demonstrac¸a˜o. (⇒) i) Por hipo´tese temos que para todo � > 0 e todo f ∈ E existe δf > 0
tal que d(x, y) < δ implica d(f(x), f(y)) < �. Como E ⊆ ⋃f∈E B(f, �/3) e E e´ compacto
existem fi(1 ≤ i ≤ m;m ∈ N) tais que E ⊆
⋃
1≤i≤mB(fi, �/3). Seja δ = 1/2min1≤i≤δfi .
Se d(x, y) < δ e f ∈ E seja 1 ≤ j ≤ m tal que f ∈ B(fj , �/3) enta˜o d(f(x), f(y)) ≤
d(f(x), fj(x))+d(fj(x), fj(y))+d(fj(y), f(y)) < �/3+�/3+�/3 < � assim E e´ equicont´ınuo
e consequentemente E e´ equicont´ınuo.
ii) Fixado x ∈ K seja vx : C(M,N) → N definido por f 7→ f(x). Observe que vx e´
Lipschitz, de fato d(vx, vy) = d(f(x), f(y)) ≤ supx∈K d(f(x), f(y)) = d(f, g), da´ı e´ cont´ınua
e portanto pela proposic¸a˜o anterior E(x) = vx(E) e´ relativamente compacto.
(⇐) Seja D = {xn}n ⊆ K denso e enumera´vel. Seja Ln = E(xn) que por hipo´tese e´
compacto da´ı pelo teorema de Tychonoff
∏
n∈N Ln e´ compacto. Seja (fn) uma sequeˆncia
em E e (f ′n)n = (fn|D)n uma sequeˆncia em
∏
n∈N Ln da´ı existe uma subsequeˆncia (f
′
nk
)k
de (f ′n)n que converge simplesmente em
∏
n∈N Ln, como {fnk(x) : k ∈ N} ⊆ E(x) segue que
{fnk(x) : k ∈ N} e´ compacto e portanto completo, assim (fnk)k convergeuniformemente em
cada parte compacta de K, em particular em K. Segue de uma proposic¸a˜o anterior que E e´
relativamente compacto.
O teorema de Ascol´ı-Arzela na˜o e´ valido quando K na˜o e´ compacto como podemos ver
para K = N = R e E = (fn)n onde fn(x) = x/n para todo x ∈ R e todo n ∈ N entretanto
olhando para a demonstrac¸a˜o de (⇐) vemos que utilizamos o fato de K ser compacto apenas
no final provando assim o seguinte corola´rio.
3
Corola´rio 2.1. seja K separa´vel e E ⊆ C(K,N) equicontinuo tal que para todo x ∈ R o
conjunto E(x) e´ relativamente compacto enta˜o toda sequeˆncia em E possui uma subsequeˆncia
uniformemente convergente em cada parte compacta de K.
Para uso posterior enunciaremos um caso particular do corola´rio anterior:
Definic¸a˜o 2.3. E ⊆ F(M,N) e´ pontualmente limitada quando para todo x ∈M o conjunto
E(x) ⊆ N e´ limitado
Corola´rio 2.2. Seja M separa´vel. toda sequencia equicont´ınua e pontualmente limitada de
aplicac¸o˜es fn : M → Rk possui uma subsequeˆncia que converge uniformemente em cada
parte compacta de M.
Demonstrac¸a˜o. Basta observar que para todo x ∈ M , E(x) e´ fechado e limitado em Rk e
portanto compacto
3 Aplicac¸a˜o do Teorema de Arzela`-Ascoli
Como aplicac¸a˜o do teorema para func¸o˜es reais cont´ınuas, vamos mostrar a existeˆncia de
soluc¸a˜o do seguinte problema de valor inicial (PVI) sob certas hipo´teses:{
F ′(x) = Φ(x, F (x))
F (a) = y0
O seguinte resultado generalizado para Rn e´ conhecido por Teorema de Peano:
Teorema 3.1. Se a func¸a˜o Φ for cont´ınua no domı´nio D = [a, b] × B[y0, R], enta˜o existe
uma soluc¸a˜o do PVI no intervalo [a, a+h] com h = min{b−a,R/M}, onde M = sup
(x,y)∈D
Φ(x, y).
Note que M esta´ bem definido, uma vez que Φ e´ uma func¸a˜o cont´ınua no domı´nio
compacto D.
Demonstrac¸a˜o. Vamos definir o seguinte operador integral T :
TF (x) = y0 +
∫ x
a
Φ(t, F (t))dt
Vemos que, se F ∗ e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial, enta˜o F ∗ = TF ∗ via Teorema Funda-
mental do Ca´lculo. Vamos procurar uma famı´lia de func¸o˜es que seja aproximac¸a˜o dessa
soluc¸a˜o.
Para todo n ≥ 1, defina:
Fn(x) =

y0 se a ≤ x ≤ a+ 1/n
y0 +
∫ x−1/n
a
Φ(t, Fn(t))dt se a+ 1/n ≤ x ≤ a+ h
Precisamos verificar se Fn esta´ bem definida: Vemos que, para x ∈ [a, a+ 1/n], Fn esta´
bem definida por ser uma constante y0. Dessa forma, para x ∈ [a + 1/n, a + 2/n], temos
que:
Fn(x) = y0 +
∫ x−1/n
a
Φ(t, Fn(t))dt
Como x− 1/n ≤ a+ 2/n− 1/n = a+ 1/n e Fn e´ bem definida ate´ a+ 1/n, obtemos que a
integral esta´ bem definida em no intervalo [a, a+ 2/n]. Com um argumento completamente
ana´logo, podemos concluir que Fn esta´ bem definida em [a, a+ 3/n]. Por induc¸a˜o, obtemos
que Fn esta´ bem definida em [a, a+ k/n],∀k ∈ N, ou seja, em [a,+∞). Em particular, ela
esta´ bem definida em [a, a+ h].
Precisamos verificar tambe´m se Fn(x) ∈ B[y0, R],∀x ∈ [a, a+ h]. De fato:
4
• |Fn(x)− y0| = 0 < R se x ∈ [a, a+ 1/n]
• |Fn(x)− y0| =
∣∣∣∣∣
∫ x−1/n
a
Φ(t, Fn(t))dt
∣∣∣∣∣ ≤
∫ x−1/n
a
|Φ(t, Fn(t))| dt
≤ |x− 1/n− a|M = (x− 1/n− a)M ≤ (x− a)M ≤ hM ≤ R
se x ∈ [a+ 1/n, a+ h]
Vamos provar que E = {Fn}n e´ uma famı´lia (uniformemente) equicont´ınua: Seja � > 0,
tome δ = �/M . Enta˜o, se x1,x2 ∈ [a, a+ h] e x1 < x2 com x2 − x1 < δ, enta˜o:
|Fn(x2)− Fn(x1)| ≤
∫ x2−1/n
x1−1/n
|Φ(t, Fn(t))| dt ≤ (x2 − x1)M < δM = �
Temos que E(x) e´ limitado por R+y0. Como Fn esta´ definida em um intervalo compacto,
temos, pelo corola´rio 2.2, que ∃F ∗ ∈ E tal que F ∗ e´ limite de alguma subsequeˆncia (Fnk)k
de (Fn)n.
Por fim, vamos mostrar que a sequeˆncia (Fn)n (consequentemente a subsequeˆncia (Fnk)k)
e´ aproximac¸a˜o do ponto fixo:
∀n ≥ 1 temos:
• x ∈ [a, a+ 1/n]:
|TFn(x)− Fn(x)| =
∣∣∣∣∫ x
a
Φ(t, Fn(t))dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ x
a
|Φ(t, Fn(t))| dt
≤M(x− a) ≤M/n
• x ∈ [a+ 1/n, a+ h]:
|TFn(x)− Fn(x)| =
∣∣∣∣∣
∫ x
x−1/n
Φ(t, Fn(t))dt
∣∣∣∣∣ ≤
∫ x
x−1/n
|Φ(t, Fn(t))| dt ≤M/n
Podemos agora concluir que F ∗ e´ ponto fixo:
|F ∗(x)− TF ∗(x)| ≤ |F ∗(x)− Fnk(x)|+ |Fnk(x)− TFnk(x)|+
+ |TFnk(x)− TF ∗(x)|
≤ d(F ∗, Fnk) +
M
nk
+
∫ a+h
a
|Φ(t, Fnk(t))− Φ(t, F ∗(t))| dt
onde d e´ a me´trica do supremo no espac¸o das func¸o˜es cont´ınua limitadas. Note que
d(F ∗, Fnk) → 0 quando k → +∞ ja´ que F ∗ e´ o limite de (Fnk)k. Como Φ e´ cont´ınua
em D e FnK → F ∗ uniformemente em [a, a+h], temos que |Φ(t, Fnk(t))− Φ(t, F ∗(t))| → 0.
Portanto, a integral tende uniformemente a 0. Portanto, todos os termos do lado direito da
inequac¸a˜o tendem a zero quando k tende a infinito. Logo:
|F ∗(x)− TF ∗(x)| = 0 =⇒ F ∗(x) = TF ∗(x)
5
	Motivação e Preliminares
	Motivação
	Preliminares
	O Teorema de Arzelà-Ascoli
	Aplicação do Teorema de Arzelà-Ascoli

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