ANÁLISE DE CONJUNTOS DE DADOS NÃO AGRUPADOS

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Probabilidade e Estatística
Professor André Espíndola
2014
Professor André Espíndola
ANÁLISE DE CONJUNTOS 
DE DADOS NÃO AGRUPADOS
Professor André Espíndola
INTRODUÇÃO
A análise de dados frequentemente
segue linhas diferentes, conforme se trate de 
um grande ou de um pequeno conjunto de 
dados. 
� Quando há uma pequena quantidade de 
dados, utilizam-se os métodos para dados 
não agrupados;
� Para maior quantidade de dados, utiliza-se 
métodos para dados agrupados.
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OBJETIVO
� Reduzir o conjunto de dados a medidas que 
resumem todo o conjunto;
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MEDIDAS 
DE TENDÊNCIA CENTRAL
� Há situações em que não estamos 
interessados nos padrões de um grupo, mas 
em caracterizá-lo como um todo. 
� Qual o salário médio do trabalhador brasileiro? 
� Qual o tipo sanguíneo mais comum? 
� Qual a nota que divide os alunos de uma turma 
em um grupo superior e o outro inferior?
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MEDIDAS 
DE TENDÊNCIA CENTRAL
� As Medidas de Tendência Central têm como 
finalidade a representação de um grupo através 
de sua caracterização por um conjunto de valores 
que tende a se concentrar no centro do da série.
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MEDIDAS 
DE TENDÊNCIA CENTRAL
� Média;
� Moda;
� Mediana;
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MÉDIAS
� A média de um conjunto de números é um 
valor que, levando em conta a totalidade dos 
elementos do conjunto, pode substituir a 
todos sem alterar determinada característica 
desse conjunto. 
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MÉDIA ARITMÉTICA
A média (aritmética) é, de modo geral, a mais 
importante de todas as mensurações numéricas 
descritivas. Consiste em adicionar os elementos e 
dividir a soma pelo número de elementos 
adicionados. 
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Características da Média
� a média de um conjunto de números pode ser 
sempre calculada;
� para um dado conjunto de números, a média é
única;
� a média é sensível a (ou afetada por) todos os 
valores do conjunto, assim, se um valor se 
modifica, a média também se modifica;
� somando-se uma constante a cada valor do 
conjunto, a média ficará aumentada do valor 
dessa constante. Analogamente, subtraindo-se de 
cada valor do conjunto uma constante, ou 
multiplicando-se ou dividindo-se por ela cada valor 
do conjunto, a média fica reduzida dessa 
constante, ou multiplicada ou dividida por ela.
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EXEMPLO
� Sabendo-se que o número de peças produzidas por 
sete máquinas diferentes, num certo dia, foi 10, 17, 
13, 15, 16, 18 e 12, temos, para produção média 
desse dia: 
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MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
� A média aritmética ponderada é aquela resultante 
de um conjunto de valores, no qual alguns valores 
têm importância (ou quantidade de ocorrências) 
maior que a dos outros. 
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EXEMPLO
� Os salários médios mensais dos professores 
de ensino fundamental em três cidades são 
R$ 1.450,00, R$ 1.620,00 e R$ 1.190. 
Havendo 720, 660 e 520 professores de 
ensino elementar nessas cidades, 
respectivamente, o salário médio será entre 
as três é: 
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EXEMPLO
� Uma pesquisa amostral efetuada junto a estudantes 
de uma faculdade acusa os seguintes dados sobre o 
conceito obtido na disciplina de Estatística. Qual o 
conceito médio dos estudantes?
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MÉDIA GEOMÉTRICA
� A média geométrica de uma amostra é um número 
que, levando em conta o total dos elementos 
dessa amostra, pode representar a todos, sem 
alterar o produto desses elementos. Assim sendo, 
a média geométrica de uma amostra de tamanho 
n é igual à raiz de ordem n do produto dos n 
valores. 
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OBSERVAÇÃO
� Ao contrário da média aritmética, a média 
geométrica não é muito influenciada pelos 
valores extremos de uma sequência 
numérica. Ainda, a média geométrica é
definida apenas para números positivos. 
� A média geométrica é usada para médias 
proporcionais de crescimento quando uma 
medida subsequente depende de medidas 
prévias. 
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EXEMPLO
� O crescimento do Brasil foi de 2,8% em 
1996, 3,7% em 1997 e 0,5% em 1998. 
Determine a taxa média de crescimento do 
Brasil nesses três anos. 
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Média geométrica ponderada
∑
⋅⋅⋅=
i np p
n
ppp
G xxxxx K
321
321
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MÉDIA HARMÔNICA
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EXEMPLO
� Um investidor compra R$ 18.000 em ações 
de uma companhia a R$ 45,00 a ação. Num 
segundo momento, compra R$ 18.000 a R$ 
36,00 a ação e, por fim, numa terceira 
aplicação, compra R$ 18.000 a R$ 30,00 a 
ação. Assim, descubra o preço médio por 
ação pago pelo investidor. 
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Média harmônica ponderada
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MEDIANA (Md) 
� A mediana é aquele valor que ocupa a posição 
central da listagem, estando a amostra com seus 
valores ordenados e com todos os valores 
repetidos também incluídos, individualmente, na 
lista. A mediana da amostra divide o conjunto total 
em duas partes iguais, com metade (50%) dos 
valores acima da mediana da amostra e metade 
(50%) abaixo dela. A mediana da amostra pode 
não pertencer ao conjunto original de valores. 
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EXEMPLO
Dada uma série de valores, como, por 
exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, de 
acordo com a definição de mediana, o 
primeiro passo a ser dado é o de ordenação 
(crescente ou decrescente) dos valores: 
2 - 5 - 6 - 9 - 10 - 13 - 15 - 16 - 18 
Md = 10
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EXEMPLO
Se a lista de valores tiver número par de 
termos, a mediana será, por definição, 
qualquer número compreendido entre os dois 
valores centrais da série. Convencionaremos 
utilizar o ponto médio. Dada a lista: 
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 
tem , para mediana, a média aritmética entre 
10 e 12. 
Md = 11
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OBSERVAÇÕES
� 1) A média e a mediana não têm, 
necessariamente, o mesmo valor. 
� 2) A mediana não, necessariamente, 
coincide com um elemento da série. 
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Características da mediana 
1) Não depende de todos os valores da série, 
podendo se manter inalterável com a modificação 
de alguns deles. 
2) Não é influenciada pelos valores extremos da 
distribuição; por isso é particularmente indicada 
quando existem dados discrepantes. 
3) Pode ser calculada quando os valores mais altos e 
mais baixos de uma série não podem ser 
exatamente definidos. 
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MODA( Mo)
� A denominação moda torna-se coerente na 
medida em que é (são) o(s) evento(s) que 
mais se destaca(m), isto é, que ocorre(m) 
com maior frequência no fenômeno 
estudado. 
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EXEMPLOS
� Quando queremos informações sobre o tipo de 
sangue mais comum, estamos interessados na 
moda. 
� Se um comerciante pretende abrir uma loja de 
calçados e quer saber quais os números de sapatos 
femininos que deve encomendar em maior 
quantidade, a medida de tendência que ele 
necessita para um bom planejamento administrativo 
é a moda. 
� Numa eleição, o candidato que tem o maior número 
de votos representa a moda. 
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OBSERVAÇÕES SOBRE A MODA
a) amodal, quando não tem distinção entre 
todas as frequências que aparecem; 
b) unimodal , quando há apenas uma moda; 
c) bimodal, quando há duas modas; 
d) multimodal, quando há três ou mais modas. 
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EXEMPLO
Encontre a moda das amostras abaixo: 
a) 2, 7, 5, 4, 3, 1 
b) 1, 3, 9, 2, 9, 5 
c) 7,1 ; 8,4 ; 7,1 ; 7,1 ; 9,5 ; 8,4 ; 9,4 ; 8,4 
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Observação
� Comparada com a média e com a mediana, 
a moda é a menos útil das medidas paraproblemas estatísticos, porque não se presta 
à análise matemática, ao contrário do que 
ocorre com as outras duas medidas. A 
utilidade da moda se acentua quando um ou 
dois valores, ou um grupo de valores, 
ocorrem com muito maior freqüência que 
outros. 
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SEPARATRIZES
� A mediana é apenas um dentre os muitos 
quantis que dividem os dados em duas ou 
mais partes tão aproximadamente iguais 
quanto possível. Entre eles, destacam-se os 
quartis, os decis e os percentis, que 
dividem os dados em 4, 10 e 100 partes, 
respectivamente. 
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QUARTIS
� As medidas estatísticas criadas com a 
finalidade de dividir o conjunto de dados em 
quatro partes aproximadamente iguais, onde 
dizemos “aproximadamente iguais” porque 
não há maneira de dividir em quatro partes 
iguais um conjunto com n = 27 ou n = 33, por 
exemplo. Estas medidas são 
tradicionalmente conhecidas como quartis, 
Q1, Q2 e Q3. Sem dúvida, Q2 é
simplesmente a mediana.
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PERCENTIS
� Medida estatística utilizada para dividir um 
conjunto dados em cem partes 
aproximadamente iguais, onde dizemos 
“aproximadamente iguais” porque não há
maneira de dividir em cem partes iguais um 
conjunto com n=328, por exemplo. As 
medidas estatísticas criadas com esta 
finalidade são tradicionalmente conhecidas 
como percentis, P1, P2 , ... P81, ... , P98 e 
P99.
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DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
� Medidas utilizadas para medir a dispersão 
do conjunto, avaliando a heterogeneidade
ou a homogeneidade do mesmo. 
� A dispersão mede quão próximos uns dos 
outros estão os valores de um grupo. 
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MEDIDAS
� AMPLITUDE
� VARIÂNCIA
� DESVIO PADRÃO
� COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
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AMPLITUDE
� A amplitude (ou intervalo total) de um 
conjunto de dados é igual à diferença entre o 
maior e o menor valor. 
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EXEMPLO
� Em um hospital, onde se mede a pulsação 
de cada paciente três vezes por dia, o 
paciente A acusou as taxas de 72, 76 e 74, e 
o paciente B acusou 72, 91 e 59. A taxa 
média de ambos é a mesma, 74; observe, 
entretanto, a diferença na variabilidade. 
Enquanto a pulsação de A é estável, a de B 
apresenta grande flutuação. 
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OBSERVAÇÕES
� A vantagem: relativamente fácil de calcular, 
mesmo para um grande conjunto de 
números. 
� Desvantagem: levar em conta somente os 
dois valores extremos de um conjunto, nada 
informando quanto aos outros valores. 
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VARIÂNCIA
� A variância é a medida de dispersão que mede a 
média dos quadrados dos desvios dos valores, de 
um conjunto numérico em relação a sua média. 
AMOSTRAL
POPULACIONAL
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EXEMPLO
Calcular a variância da produção dos dois 
funcionários. 
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EXEMPLO
� Calcule a variância da tabela a seguir 
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OBSERVAÇÃO
� A variância é expressa na unidade de 
medida do conjunto numérico. Como ela é
um valor ao quadrado, torna-se difícil a 
interpretação prática, motivo pelo qual 
surge outra medida de dispersão o desvio 
padrão. 
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DESVIO PADRÃO
� O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada 
positiva da variância. 
AMOSTRAL
POPULACIONAL
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EXEMPLO
� Calcular o desvio padrão das tabelas 
anteriores. 
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OBSERRVAÇÃO
� O desvio padrão é uma das medidas mais 
comumente usadas para distribuições, e 
desempenha papel relevante em toda a 
estatística. Cabe notar que a unidade do 
desvio padrão é a mesma da média. Por 
exemplo, se a média é em reais, o desvio 
padrão também se exprime em reais. A 
variância, por sua vez, se exprime em 
quadrados de unidades 
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Fórmula alternativa para o cálculo de 
variância e desvio padrão:
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EXEMPLO
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COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
� O coeficiente de variação é dado pelo quociente 
entre o desvio padrão e a média de um conjunto. 
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EXEMPLO
� Determinar os coeficientes de variação da 
tabela anterior. 
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EXERCÍCIOS
� Páginas: 27, 28, 34 e 35
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Referências
� SCHIFFMAN, L. & KANUK, L. Comportamento do consumidor. LTC 
Editora. 6a ed. 2000. P. 27) 
� DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. 
6.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
� MORETTIN, P.A., BUSSAB, W. O. Estatística Básica. 5.ed. São Paulo: 
Ed. Saraiva, 2002.
� SPIEGEL, M. R. Estatística. 2.ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico 
S.A., 1969. SPIEGEL, M. R.. Manual de fórmulas, métodos e tabelas 
de matemática. São Paulo: Ed. Makron Books do Brasil, 1992.
� BUSSAB, Wilton O., MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5 ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002.
� DOWNING, Douglas. Estatística Aplicada.2.ed São Paulo: Saraiva, 
2002. 
� TRIOLA, Mario Introdução à Estatística. 7.ed. Rio de Janeiro: LTC, 
1999.